2011届高三数学综合练习（文科）4.15
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．设集合2
{0}A x x =->1，2{log 0}B x x =>，则A B = （ ） A.{}|x x >1 B.{}|x x >0 C.{}|x x <-1 D. {}|x x x <->1或1
2．复数3
112
i i
+
等于 （ ）
A ．
1
2 B ．1
2- C ．
3
2
i D ．
12
i
3. 若a b >，则下列不等式正确的是 （ ）
A ．
11a
b
<
B ．33a b >
C ．22a b >
D ．a b >
4. 在ABC ?中， 60=C ，3=AB ，2=
BC ，那么A 等于 （ ）
A ．135°
B ．105°
C ．45°
D ．75°
5．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22
a a a 成等差数列，则
91078
a a a a +=+ （ ）
A
．1-
．1+
．3-
．3+
6．如图1，一个空间几何体的主视图、左视图都是边长为1且一个内角为60°
的菱形，俯视图是圆，那么这个几何体的表面积为 （ ）
A ．π4
B ．π3
C ．π2
D ．π 7.己知a 、b
为平面上两个不共线的向量，
p ：|a + 2b |=|a —2b |；q: a ⊥b
，则p 是q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充要条件
8．设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A ． 若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥α B ．若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ?α C ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交 D ． 若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或 l ?β
9．已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F ，)0,10(2F ，M 是此双曲线上一点， 若021=?MF MF
，
2=，则该双曲线的方程是 （ ）
A ．
19
2
2
=-y
x
B ． 19
2
2
=-
y
x C ．
17
3
2
2
=-
y
x
D ．
13
7
2
2
=-
y
x
11、已知a b c
、、是同以平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为0
120，且
||1k a b c ++>
，则实数k 的取值范围是 （ ）
A 、0k <
B 、2k >
C 、0k < 或 2k >
D 、 02k <<
11．已知,)
0(34)
0(3)(21?????<++≥=-x x x x x f x 则方程f (x )=2的实数根的个数是
（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
12． 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是
A ．4a
B ．2()a c -
C ．2()a c +
D ．以上答案均有可能
二.填空题（每题4分，共16分）
13．命题“任意的3,210x R x x ∈-+<”的否定是___________.
12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22S 是1S 与33S 的等差中项,则数列{}n a 的公比为 13． 已知矩形A B C D 中，8,6,AB BC ==沿A C 将矩形A B C D 折成一个二面角,B AC D --则四面体
A B C D 的外接球的表面积为 .
16.若曲线y=f(x)上存在三点A 、B 、C,使AB BC =
,则称点曲线有“中位点”，下列曲线：①y=cosx,
②1y x
=
,③32
2y x x =+-,④y=cosx+x 2,⑤12y x x =-++,有“中位点”的有
（写出所有满足要求的序号）
三.解答题：（共74分）
17. （本小题满分12分）设)0,0)(sin ,(cos ),sin )1(,(cos πβαλββαλα<<<>=-=b a 是平面上的两个向量，且b a b a -+与互相垂直（1）求λ的值； （2）若αβtan ,3
4tan ,5
4求=
=?b a 的值.
18、（本小题满分12分）某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
求恰好是一男一女的概率P 1
（2）从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使
用版本是北师大版的概率P 2
19. （本小题满分12分）直三棱柱111C B A ABC -中，
11===BB BC AC ，3
1=
AB ．（1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1；
（2）求三棱锥C AB A 11-的体积．
20. （本小题满分12分）在数列{}n a 中，()1111,302,n n n n a a a a a n n N --=+-=≥∈
（I ）试判断数列1n a ??????
是否成等差数列；（II ）设{}n b 满足1
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（III ）若1
1n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围。
A
B
C
C1
A1
B1
21. （本小题满分12分）椭圆C:
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
11212414,||,||.3
3
P F F F P F P F ⊥==
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆M ：x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、
B 关于点M 对称，求直线l 的方程.
22．(本小题满分14分) 已知函数3
2
1()(sin )22
f x ax x x c θ=+-+的图象过点37(1,
)6
，且在[2,1)-内单调递减，在[1,)+∞上单
调递增.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若对于任意的12,[,3](0)x x m m m ∈+≥，不等式1245|()()|2
f x f x -≤
恒成立，试问这样的m 是否
存在.若存在，请求出m 的范围，若不存在，说明理由；
高三文科数学综合练习参考答案
一、ACBCD DDBAD CD
二、13．x R ?∈,使 3210x x -+≥ 14. 3
1 15. 100π 16．①③⑤
三、17 .解（1） ,
sin
sin
)1(sin
cos
sin )1(cos
||||)()(2
2
22
2
2
2
2
2
2ααλββαλα--=---+=-=-?+b a b a b a
0sin sin )1(222=--∴ααλ，)
6(,2),(02分垂直与时即当舍或 b a b a -+===λλλ
（2）当b a b a -+与垂直时，
)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+=?b a π
βαβα
<<<=
-∴0,5
4)cos( ，则02
<-<-
βαπ
24
7tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan 4
3)tan(,5
3)sin(=
--+-=
+-=∴-
=--
=-∴β
βαββαββααβαβα
18、解：（1）（略解）从使用北师大版的5名教师中任选2名共有10种情况，满足题意的有6种情况，所以所求的概率为：6310
5
P =
= （要用列出各种情况得方法来解答）
（2）只考虑首位发言教师的情况：共有50种，符合题意的有5种，所以所求的概率为25150
10
P =
=
19. 解：（1）直三棱柱ABC —A1B1C1中，BB1⊥底面ABC ，则BB1⊥AB，BB1⊥BC， 又由于AC=BC=BB1=1，AB1=3，则AB=2，则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC， 又由上BB1⊥底面ABC 可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB ，
所以有平面AB1C⊥平面B1CB ；-
（2）三棱锥A1—AB1C 的体积61121311111=
??=
=--AC A B C AB A V V ．
20.（1）由已知可得
1
113(2)n
n n a a --
=≥，
1
11{}211(1)332(132)
(31)
221111(3)(1)31,
32
32
(31)(32)
,233(31)(32)
(31)(34)
,33
3(n
n n n n n n
n n n n a b n b n n n n n S a a n b n a n n n n n n n n n C C C n n λλλλ++=+-?=-+--∴=
=
==
+
≥-
≤+--+-∴≤
≥-+-+-=
-=
-故数列是等差数列
（）由（）的结论可得，所以将代入并整理得原命题等价于该式对恒成立。设则120,1)
28282,-,
]
3
3n n
n C C n n C C λ+>>-=∴∞ 时，的最小值为
的取值范围是（
21.(共12分)解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522
1
2
2
21=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4, 所以椭圆C 的方程为
4
9
2
2
y
x
+
＝1.
(Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
已知圆的方程为（x +2）2
+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,
代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称. 所以
.2949182
2
2
2
1-=++-
=+k
k
k
x x 解得9
8=
k ，
所以直线l 的方程为,1)2(9
8++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,14
9
2
12
1=+
y x ①
,14
9
2
22
2=+
y x ②
由①－②得
.04
)
)((9
)
)((21212121=+-+
+-y y y y x x x x ③
因为A 、B 关于点M 对称， 所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得
2
121x x y y --＝
9
8， 即直线l 的斜率为
9
8，
所以直线l 的方程为y －1＝9
8（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.) 21.解：
（1）∵2)(sin 3)(2
-+='x ax x f θ，
由题设可知：?
??≤-'='0)2(0)1(f f 即??
?≤--=-+02sin 2120
2sin 3θθa a ?sin θ≥1 ∴sin θ=1. 从而a = 13,∴f (x )= 13x 3+12x 2－2x +c ,而又由f (1)= 376得c =22
3
.
∴f (x )= 133+12x 2－2x +22
3
即为所求.
(2)由2)(2
-+='x x x f =（x +2）（x －1），易知f (x )在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)
上为减函数. …8分
①当m ＞1时，f (x )在[m ,m +3]上递增,故f (x )max =f (m +3), f (x )min =f (m ) 由f (m +3)－f (m )= 13(m +3)3+12(m +3)2－2(m +3)－13m 3－12m 2+2m =3m 2
+12m +152≤452，
得－5≤m ≤1.这与条件矛盾，故 …10分
② 当0≤m ≤1时，f (x )在[m ,1]上递增, 在[1,m +3]上递增 ∴f (x )min =f (1), f (x )max =max { f (m ),f (m +3) },
又f (m +3)－f (m )= 3m 2+12m +152=3(m +2)2－9
2
＞0(0≤m ≤1)
∴f (x )max = f (m +3)∴|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min = f (m +3)－f (1)≤f (4)－f (1)= 45
2
恒成立. 故当0≤m ≤1时，原不等式恒成立.综上，存在m 且m ∈[0,1]合题意.