1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：
()ln T
V =
αdT κ
dp -?
如果11,T T
p
ακ=
=
，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为
(),,V V T p =
其全微分为
.p T
V V dV dT dp T p ??????
=+ ? ?
?????? （1） 全式除以V ，有
11.p T
dV V V dT dp V
V T V p ??????=
+ ? ?
?????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为
.T dV dT dp V
ακ=- （2）
上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
()ln .T
V dT dp ακ
=
-? （3）
若11,T T
p
ακ=
=
，式（3）可表为
11
ln .V dT dp T
p ??=
- ???
? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ）
，相应地体
积由0V 最终变到V ，有
ln =ln
ln
,V T p V T p -
即
000
p V pV C T
T ==（常量）
， 或
.p V C T
=
（5） 式（5）就是由所给11,T T
p
ακ=
=
求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强0p 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U 与原来在大气中的内能0U 之差为000U U p V -=，其中0V 是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U 与其原来在大气中的内能
0U 由式（1.5.3）
0U U W Q -=+ （1）
确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，0.Q = 过程中外界对系统所做的功可以分为1W 和2W 两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由0V 变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强0p 可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为
1000.W p V p V =-?=
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则
20.W =
因此式（1）可表为
000.U U p V -= （2）
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
00,p V nRT = （3）
000()()1
V nR
U U C T T T T γ-=-=
-- （4）
式中n 是系统所含物质的量。代入式（2）即有
0.T T γ= （5）
活门是在系统的压强达到0p 时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作0p ，其物态方程为
00.p V nR T γ= （6）
与式（3）比较，知
0.V V γ=
1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为1T ，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为2T ，试根据克氏不等式证
明，热机的效率不超过1
21T T
-
解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有
0,i i
i
Q T ≤∑
（1）
式中i Q 是热机从温度为i T 的热源吸取的热量（吸热i Q 为正，放热i Q 为负）。 将热量重新定义，可将式（1）改写为
0,j k j
k
j
k
Q Q T T -≤∑
∑
（2）
式中j Q 是热机从热源j T 吸取的热量，k Q 是热机在热源k T 放出的热量，j Q ，k Q 恒正。 将式（2）改写为
.j k j
k
j
k
Q Q T T ≤
∑
∑
（3）
假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为1T ，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为2T ，必有
1
2
1,
1,
j j
j
j j
k k
k
k
k
Q Q
T T Q Q
T T ≤≤
∑∑
∑
∑ 故由式（3）得
1
2
11.j k
j
k
Q Q
T T ≤
∑
∑ （4）
定义1j
j
Q Q
=
∑为热机在过程中吸取的总热量，2k
k
Q Q
=
∑为热机放出的总热量，则式（4）
可表为
121
2
,Q Q T T ≤ （5）
或
221
1
.T Q T Q ≤ （6）
根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为
12.W Q Q =-
热机的效率为
221
1
11.Q T W Q
Q T η=
=-
≤-
1.19 均匀杆的温度一端为1T ，另一端为2T ，试计算达到均匀温度()121
2
T T +后的熵增。
解：以L 表示杆的长度。杆的初始状态是0l =端温度为2T ，l L =端温度为1T ，温度梯度为
12
T T L
-（设12T T >）。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达
到具有均匀温度
()1212
T T +的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为d l 的
许多小段，如图所示。位于l 到l dl +的小段，初温为
12
2.T T T T l L
-=+
（1
）
这小段由初温T 变到终温
()1212
T T +后的熵增加值为
12
12
2
12
22
ln
,T T l p p T
T T dT dS c dl c dl T T T
T l
L
++==-+
?
（2） 其中p c 是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为
()
121
22012
12
1
21
22
22120
12
11221212
12112212
ln ln 2ln
ln 2ln
ln ln 2
ln ln ln 12l
L p L
p
p p p p S dS
T T T T c T l dl L c T T T T T T T T c L T l T l T l T T L L L L c L T T c L T T T T T T T T T T T T T T C T T ?=
?+-?
?
?=-+ ??????
?
+?---?
???
??
?=-++-+ ? ? ???-???
??
???+=-
--+-+-=-+-??.
?? ???
（3）
式中p p C c L =是杆的定压热容量。
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T =
试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T = （1）
故有
().V
p f V T ???
= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有
,T V
U p T p V T ??????
=- ? ??????? （3） 所以
()0.T
U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.
2.4 已知0T U V ???
= ????，求证0.T
U p ???= ???? 解：对复合函数
(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）
求偏导数，有
.T T T
U U V p V p ????
?????= ? ? ?????????? （2） 如果0T
U V ???
= ????，即有
0.T
U p ???= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：
(,)(,)(,)(,)(,)(,)
T
U U T p p T U T V T V T p T ????= ?
??????=
??
.T T
U V V p ??????=
? ??????? （2） 2.8 证明
2222,,p V T V
p T
C C p V T T V T p T ???????
?????
==- ? ?
?
????????????? 并由此导出
2022
2,.V
V V
V V
p p p p p
p C C T dV T p C C T dp T ??
?=+ ???????=- ??????
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数.
解：式（2.2.5）给出
.V V
S C T T ???
= ???? （1）
以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有
2222,V T V
C S S S T T T V V T T V T ????????????
=== ? ? ?
??????????????? （2） 其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程
pV nRT =
知，在V 不变时，p 是T 的线性函数，即
220.V
p T ??
?= ?
??? 所以 0.V T
C V ???
= ????
这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得
20
2.V
V V
V V
p C C T dV T ??
?=+ ????? （3） 式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.
同理，式（2.2.8）给出
.p p
S C T T ???
= ???? （4）
以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有
2222.p p T
C S S S T T T p p T T p T ?????????
???===- ? ? ? ?
?????????????? （5） 其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程
pV nRT =
知，在p 不变时V 是T 的线性函数，即
220.p
V T ??
?= ?
??? 所以
0.p T
C p ???= ???? 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得
202.p
p p
p p
V C C T dp T ??
?=+ ????? 式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根
据物态方程计算出来. 3.4求证：（1）V T n V n S T ,,??? ????-=???
????μ （2）P
T n T n V P ,,?
??
????=??? ????μ 证明：（1）由自由能的全微分方程dF=-SdT-PdV+μdn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到V
T n V n S T ,,?
??
????-=???
????μ 这是开系的一个麦氏关系。
（2）由吉布斯函数的全微分方程dG=-SdT+VdP+μdn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到P
T n T n V P ,,?
??
????=??? ????μ 这是开系的一个麦氏关系。 3.5求证μ-???
????V T n U ,n
V T T ,???
????-=μ
解：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有
V
T V T V T n S T n U n F ,,,???
????-??? ????=???
???? （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ=--=
可得
V
T n F ,?
??
????=μ， V T n S T ,?
??????=-n
V T ,???
????μ （2） 代入（1），即有V T n U ,???
????-μ=-T n
V T ,???
????μ
6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
()ε
επd m h
V 21
23
3
22
证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
Z Y X dP dP dP h
V 3
-----------------（1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大
小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P h
V 2
34π-------------（2）
上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格
大小h 3
而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为m
P
22
=
ε
因此 εm P 2=， εmd PdP =
将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
()ε
επd m h
V 21
23
3
22------------（3）
6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为 D(ε) d ε =εεd m h L 2
122?
?
?
??
证明：对于一维自由粒子，有n L
h n L
p ==
π2
d n L
h d p =∴
由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→
p d h
L d 2
n =
再由 εεm m
p
2p 22
==
得
所以 ()εεεεεd m h L m d
h
L dn 2
12222 d D ?
?
?
??===， 证毕
6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为
()2
22π.L D d md h
εεε=
解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为
2
1d d d d .x y x y p p h
（1）
用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为
cos ,sin .
x y p p p p θθ==
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
d d .p p θ
在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为
2
2d d .L p p h
θ （2）
对d θ积分，从0积分到2π，有
20
d 2π.π
θ=?
可得在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的
状态数为
2
2
2πd .L p p h
（3）
将能量动量关系
2
2p
m
ε=
代入，即有
()2
2
2πd d .L D m h
εεε=
（4）
6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
εεπd ch V 2
3
)
(4
证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
Z Y X dP dP dP h
V 3
-----------------（1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大
小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P h
V 2
34π-------------（2）
在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，
代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 2
3
)
(4-------------------（3）
7.1 试根据公式l l
l
p a V
ε?=-?∑证明，对于非相对论粒子
()2
2
2
22
1222x
y z p
n
n n m m L πε??
==++ ?
??
, (),,0,1,2,,x y z n n n =±±
有
2.3U p V
=
上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为 ()2
222
122x y z
n n n
x
y z n
n n m L πε??=++ ???
, (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）
为书写简便起见，我们将上式简记为
23
,l aV
ε-
= （2）
其中3V L =是系统的体积，常量()
()
2
22
2
22x
y z
a n
n n m
π=
++ ，并以单一指标l 代表
,,x y z n n n 三个量子数.
由式（2）可得
5113
22.33aV
V
V
εε-?=-
=-
? （3）
代入压强公式，有
22,33l l
l l l
l
U p a a V
V
V
εε?=-=
=
?∑∑
（4）
式中l l
l
U a ε
=
∑是系统的内能.
上述证明示涉及分布{}l a 的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
7.2 试根据公式l l
l
p a V
ε?=-?∑证明，对于相对论粒子
()
12222
2x
y z
cp c
n
n n
L
πε==++ , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±
有 1.3U p V
=
上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为
()
12222
2x y z
n
n n x
y z
c
n
n n
L
πε=++ (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）
用指标l 表示量子数,,,x y z n n n V 表示系统的体积，3V L =，可将上式简记为
13
,l aV
ε-
= （2）
其中
()
12222
2.x
y
z
a c n n n
π=++
由此可得
43
11.33l l aV
V
V
εε-?=-
=-
? （3）
代入压强公式，得
1.33l l
l l l
l
U p a a V
V
V
εε?=-=
=
?∑∑
（4）
本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.
7.17 气柱的高度为H ，处在重力场中. 试证明此气柱的内能和热容量为
0,e
1
m gH
kT
N m gH
U U N kT =+-
-
()2
02
2
e 1.e 1m gH kT V V
m gH kT
N m gh C C N k kT
=+-
??- ??
?
解: 为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体.在重力场中分子的能量为
()22
2
1
.2x
y z p p p m gz m
ε=
+++ （1）
粒子的配分函数为
()
222
213
3
230
1e
d d d d d d 12πd d e
d x
y z p
p p m gz
m
x y z
H m gz
Z x y z p p p h
m x y z
h β
βββ-
++--=
??= ???
????
()3
2312π11e ,mgH m A h mg
βββ-??=- ??? （2） 其中d d A x y =?是气柱的截面积. 气柱的内能为
1
l n 32
e
1
m gH
U N Z N m gH N kT N kT ββ
?=-?=+-
-
0,1
m gH
N m gH U N kT e
β=+-
- （3）
式中03.2U N kT =
气体的热容量为
V U C T
?=
?
()
()
2
2
2
e
1.e
1m gH
V
m gH
N m gH C N k kT
ββ=+-
- （4）
上述结果显然也适用于双（多）原子分子气体，只要将0U 和0
V U 理解为无外场时气体的内能和热容量. 当
1m gH kT
<<时，式（4）右方后两项相互消去而有
.V V C C = （5）
这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（z =H ）与底部（z =0）的重力势能差远小于热运动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的.
当
1m gH kT
>>时，式（4）右方第三项趋于零，因此
.V V C C nk =+ （6）
这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部与底部的重力势能差远大于热运动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量Nk .
对于300K 的空气，相应于
1m gH kT
≈的H 约为4
10m . 因此在通常情形下，
式（5）是适用的. 实际上大气温度随高度而降低，当气柱很高时，应用玻耳兹曼分布时所作的恒温假设并不成立.
7.21 定域系统含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级0ε和()110.εεε>求在温
度为T 的热平衡状态下粒子在两能级的分布，以及系统的内能和熵. 讨论在低温和高温极限下的结果.
解: 首先分析粒子在两能级的分布. 配分函数为
()
01
101e e
e
1e .Z βεβεβεβεε-----=+??=+??
处在两能级的最概然粒子数分别为
()
1001
e
e
1e
N N n Z αβεβεβεε-----==
=
+
,1T
N e
θ
-
=
+ （1）
()()
101
1
1011e
e
e
1e
N N n Z βεεαβεβεβεε-------==
=
+
e
,1e
T
T
N θ
θ
-
-
=
+ （2）
其中10
k
εεθ-=
是系统的特征温度. 式（1）和（2）表明，01,n n 随温度的变化取决于特
征温度与温度的比值，如图所示. 在低温极限T θ<<下，01,0.n N n ≈≈粒子冻结在低能级. 在高温极限T θ>>下，012
N n n ≈≈
，意味着在高温极限下两能级级能量的差异对粒
子数分布已没有可能觉察的影响，粒子以相等的概率处在两个能级.
系统的内能为
()()
101010ln 1e
N U N
Z N βεεεεεβ
--?=-=+
?+
()
100.1e T
N N θ
εεε-=+
+ （3）
在低温极限T θ<<下，有
0.U N ε≈
在高温极限T θ>>下，有
()01.2
N U εε≈
+
这是容易理解的.
系统的热容量为
2
2
e .1e T T
T C N k
θ
θ
θ--?? ???
=??+ ???
（4）
热容量随温度的变化如图所示. 在低温极限T θ<<下，有
2
e ,T C N k T θ
θ-
??≈ ???
它趋于零. 在高温极限T θ>>下，有
2
1
,4C N k T θ??
≈ ???
也趋于零. 这结果也是易于理解的. 值得注意，C
随温度的变化有一个尖峰，
其位置由
0C T
?=?
确定（大致在~T θ附近）. 热容量这一尖峰称为热容量的肖脱基（Shottky ）反常（解释见后）.
系统的熵为
11ln lnZ S N k Z ββ???
=- ????
()
()()101010ln 1e .1e Nk βεεβεεβεε----????=++????+??
（5）
S 随温度的变化如下图所示. 在低温极限下，
0.S ≈
高温极限下，
ln 2.S N k =
8.14试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率v 。
证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为 f=1 p ≤P F
f=0 p>P F -----------（1）
其中P F 是费米动量，即0K 时电子的最大动量。因此电子的平均动量为
F F
F P P P P P dP
P h
V
dP P h V p F
F
4
33
141883
4
2
33
03
=
==
?
?ππ--------------（2）
因此电子的平均速率为F F v m
P m
p v 4
343=
==
=---------------（3）
8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压. 解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为
.cp ε=
根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
()()
2
3
8πd d .V
D ch εεεε=
（1）
式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2. 0 K 下自由电子气体的分布为
()()()1,
0;0,
0.
f μμεμμ≤??=?
>?? （2）
费米能量()0μ由下式确定：
()
()
()
()02
3
3
3
8π8π1d 0,3
V
V
N ch ch μεεμ
=
=
?
?
故
()1
3
30.8n ch μπ??=
???
（3） 0 K 下电子气体的内能为
()()
()
()
()
()
00
03
3
4
3
d 8πd 8π104
U D V
ch V
ch μμεεε
εεμ
==
=
?
?
?
()30.4
N μ=
（4）
根据习题7.2式（4），电子气体的压强为
()110.34
U p n V
μ=
= （5）
8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.
解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为
()2
4d d .A D m h
πεεε=
（1）
式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2. 0 K 下自由电子的分布为
()()()1,
0;0,
0.
f μμεμμ≤??=?
>?? （2）
费米能量()0μ由下式确定：
()()02
2
4π4πd 0,A A N m m h
h
μεμ=
=
?
即
()2
2
0.4π4πh
N
h
m A
m
μ=
=
（3）
0 K 下二维自由电子气体的内能为
()()()02
2
2
4π4πd 00.2
2
A A m N U m h
h
μεεμ
μ=
=
=
?
（4）
仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为
.U p A
=
（5）
因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2
p n μ=
9.1证明在正则分布中熵可表为∑-=s
s s k S ρρln 其中s
E s e
Z βρ-=
1是系
统处在s 态的概率。 证： )ln (ln β
β
??-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1
s
s
E s
E e
Z e
Z ββρ--=
?=
∑
)2(ln ∑∑---=
??k
E k
E k
k
k
e
e
E
Z βββ
由(1)知 []s s s s s E Z E Z E Z e s
ρβρβρβln ln
1
;ln ln +=
-+=-?=-
代至(2)得
[]∑∑
+
=
+=
??s
s s
s s
s Z Z Z ρρ
β
β
ρρβ
β
ln 1
ln 1
ln ln
1
ln ;
于是 ∑-=????
?
???-=s
s s k Z Z k S ρρββ
ln ln ln 9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵
证： ()
2
22
1
21;iz iy ix
N
i s s
E p p p
m
E e
Z s
++=
=
∑
∑
=-β
符号∏=i
iz iy ix
dp dp dp
dp
符号∏=
i i i i
dz dy dx
dq
()()2
/33)
(232332!!!!12
221
2
2
2
1
2
2
2
2N N
N N
p p p m
N
N p p p m
N
N p p p N
m h
N V
Z dp e
h
N V
dp
e
h
N V
dpdq e
h N Z z y x N
i iz iy ix N i iz iy ix m ???
? ??=
???
????=
∑=
∑
=
???∞+∞-++-∞
+∞-++-
++-
==βπ
ββ
β
利用式（9.5.3）V
NTk V
Z
Z Z
P =
??=
??=
?ββ
β1ln 1类似求S U ,。
1-2 试确定表压力为0.01MPa 时U 形管压力计中液柱的高度差。 （1）U 形管中装水，其密度为1000kg/m 3 ；（2）U 形管中装酒精，其密度为789kg/m 3 。 解答： m 29.1789 81 .91001.02m 02.1100081.91001.016 6 =??=?=??=?= ?∴?=酒精水）（）即（h h g P h h g P g g ρρ 1-3 用U 形管测量容器中气体的压力。在水银柱上加一段水柱（如图1-3）。已侧的水柱高850mm ，汞柱高520mm 。当时大气压力为755mmHg 。 问容器中气体的绝对压力为多少MPa ？ 解答：MPa P P P P Hg O H 178.080665.98503224.1335207552b =?+?+=++=）（ 图1-3 图1-4 1-4 用斜管压力计测量锅炉烟道中烟气的真空度（如图1-4）。管子的倾角o 30=α；压力计中使用密度为 800kg/m3的煤油；斜管中液柱长度l=200mm 。当时大气压力mmHg P 745b =。问烟气的真空度为多少毫米水 柱？绝对压力为多少毫米汞柱？ 解答： mmHg P P P mmHg Pa h g P v b o v 1135.7391050062.78.7847452801001972.18.784 8.81784.930sin 2.0800131=??-=-==??=???=?=--绝）（）（ρ 1-7 从工程单位制热力性质表中查得，水蒸汽在500℃、100at 时的比体积和比焓分别为 kg kcal h kg m v /6.806/03347.03==、。在国际单位制中，这时水蒸气的压力和比热力学各为多少？ 解答： kg kJ pV U MPa P /8.304803347.01080665.91868.46.806h 280665.91080665.910013 4=??-?=-==??=）（）（ 1-8 摄氏温标取水在标准大气压下的冰点和沸点分别为C 0 o 和C 010o ，而华氏温标则相应地取为F o 32和
《大学物理C 》作业 班级 学号 姓名 成绩 NO.6 热力学基础 一 选择题 1．气体经过如P —V 图中所示的三个过程abc ，adc ，aec 由a 到c ，则各过程 （A ）吸热相等 （B ）对外做功相等 （C ）吸热和做功都不相等，但内能变化相等 （D ）吸热、做功及内能变化都不相等 [ C ] 解：功和热量都是过程量，都与过程有关，三个过程abc ，adc ，aec 不相同，因此吸热和做功都不相等。 内能是温度的单值函数，是状态函数，只与初态、末态有关，因三个过程abc ，adc ，aec 都是由a 到c ，所以内能变化相等。 2．一定量的理想气体，经过某过程后，它的温度升高了，由热力学定律可断定 （1）该理想气体系统在此过程中吸了热 （2）在此过程中外界对系统做了正功 （3）该理想气体系统内能增加了 （4）在此过程中系统从外界吸了热，又对外做了正功 （A ）（1）（3）正确 （B ）（2）（3）正确 （C ）（3）正确 （D ）（3）（4）正确 （E ）（4）正确 [ C ] 解：内能是温度的单值函数，温度升高只能说明内能增加了。而功和热量都与过程有关，不能只由温度升降而判断其正负。 3．如图所示，工质经a1b 和b2a 构成的一循环过程， 已知在a1b 过程中，工质与外界交换的静热量为Q ， b2a 为绝热过程，循环包围的面积为A ，则此循环效 V
率η为 （A ） Q A （ B ）Q A < （C ）Q A > （D ）1 21T T -（T 1，T 2为循环过程中的最高和最低温度） [ B ] 解：此循环效率为 2 1 21Q += - =Q A Q Q 净η 由热力学第二定律的开尔文表述，热机不能从单一热源吸热而对外做功，该循环的效率应小于Q A 。 4．已知孤立系统B 态的熵S B 小于A 态的熵S A ，即S B ＜S A ，则 （A ）系统可由A 态到B 态 （B ）系统可由B 态到A 态 （C ）对不可逆过程，可由A 态变为B 态，也可由B 态变为A 态 （D ）上述说法都不对 [ B ] 解：由克劳修斯熵公式0d ≥= -=?? B A A B T Q S S S 可逆 ， 等号适用于可逆过程，不等号适用于不可逆过程。孤立系统内发生可逆过程时，系统的熵保持不变，发生不可逆过程时，系统的熵增加。 5. 甲说：“由热力学第一定律可证明任何热机的效率不可能等于1．”乙说：“热力学第二定律可表述为效率等于 100％的热机不可能制造成功．”丙说：“由热力学第一定律可证明任何卡诺循环的效率都等于)/(112T T - ．”丁说：“由热力学第一定律可证明理想气体卡诺热机(可逆的)循环的效率等于)/(112T T -”对以上说法，有如下几种评论，哪种是正确的？ (A) 甲、乙、丙、丁全对． (B) 甲、乙、丙、丁全错． (C) 甲、乙、丁对，丙错． (D) 乙、丁对，甲、丙错．
一、分析说明题： 1、水汽化过程的P-V 与T-S 图上：1点、2线、3区、5态，分别指的是什么？ 答：1点：临界点2线：上界线（干饱和蒸汽线）、下界线（饱和水线）3区：过冷区（液相区或未饱和区）、湿蒸汽区（汽液两相区）、过热蒸汽区（气相区）5态：未饱和水、饱和水、湿饱和蒸汽、干饱和蒸汽、过热蒸汽 2、什么样的的气体可以看成是理想气体？ 答：①分子之间的平均距离相当大，分子的体积与气体的总体积相比可以忽略。②分子之间没有相互的作用力。 ③分子之间的相互碰撞及分子与器壁之间的碰撞均为弹性碰撞。 3、画图分析蒸汽初温及初压的变化对郎肯循环的影响。 ①蒸汽初温的影响： 保持p 1、p 2不变，将t 1提高，2t 1 T 1T η=- 则有：1T ↑，2T 不变?t η↑ 且乏汽干度：2'2x x > ②蒸汽初压的影响： 保持t 1、 p 2不变，提高p 1，2t 1 T 1T η=- 则有：1T ↑，2T 不变?t η↑ 但是乏汽干度：2'2x x < 4、什么叫逆向循环或制冷循环？逆向循环的经济性用什么衡量？其表达式是什么？ 答：在循环中消耗机械能，把热量从低温热源传向高温热源的循环称为逆向循环或制冷循环。或者在P-V 图和T-S 图上以顺时针方向进行的循环。 逆向循环的经济性评价指标有：制冷系数；ε =q 2/W net ；热泵系数：ε ′ =q 1/W net 5、简述绝对压强、相对压强及真空度之间的关系。 答：①当绝对压强大于当地大气压时： 相对压强（表压强）=绝对压强-当地大气压 或 当地绝表P P P -= ②当绝对压强小于当地大气压时：真空度=当地大气压-绝对压强 或 绝当地真空P P P -= 6、绝热刚性容器中间用隔板分开，两侧分别有1kg N 2和O 2，其p 1、T 1相同。若将隔板抽出，则混合前后的温度和熵有什么变化，为什么？ 答: ①因为是刚性绝热容器，所以系统与外界之间既没有热量交换也没有功量交换。②系统内部的隔板抽出后，温度保持不变。③绝热过程系统熵流为零，系统内部为不可逆变化，熵产大于零，因此总熵变大于零。 7、表压力或真空度能否作为状态参数进行热力计算？若工质的压力不变，问测量其压力的压力表或真空计的读数是否 可能变化？ 答：①表压力或真空度不能作为状态参数进行热力计算，因为表压力或真空度只是一个相对压力。 ②若工质的压力不变，测量其压力的压力表或真空计的读数可能变化，因为测量所处的环境压力可能发生变化。
第八章 热力学基础 一、选择题 ［ A ］1.（基础训练4）一定量理想气体从体 积 V 1，膨胀到体积V 2分别经历的过程是：A →B 等压过程，A → C 等温过程；A → D 绝热过程，其中吸热量最多的过程 (A)是A →B. (B)是A →C. (C)是A →D. (D)既是A →B 也是A →C , 两过程吸热一样多。 【提示】功即过程曲线下的面积，由图可知AD AC AB A A A >>； 根据热力学第一定律：E A Q ?+= AD 绝热过程：0=Q ； AC 等温过程：AC A Q =； AB 等压过程：AB AB E A Q ?+=，且0 >?AB E ［ B ］2.（基础训练6）如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为p 0，右边为真空．今将隔板 抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是 (A) p 0． (B) p 0 / 2． (C) 2γp 0． (D) p 0 / 2γ． 【提示】该过程是绝热自由膨胀：Q=0，A=0；根据热力学第一定律Q A E =+?得 0E ?=， ∴0T T =；根据状态方程pV RT ν=得00p V pV =；已知02V V =，∴0/2p p =. ［ D ］3.（基础训练10）一定量的气体作绝热自由膨胀，设其热力学能增量为E ?，熵增量为S ?，则应有 (A) 0......0=???=?S E 【提示】由上题分析知：0=?E ；而绝热自由膨胀过程是孤立系统中的不可逆过
一、名词解释 1过程：热力系从一个状态变化到另一个状态时所经历的全部状态的集合。 2循环：热力系统(工质)经过一系列变化回到初态，这一系列变化过程称为热力循环，简称循环。 3稳定状态：状态参数不随时间变化的状态称为稳定状态。 4热力学第零定律：如果两个系统分别与第三个系统处于热平衡，则这两个系统彼此必然处于热平衡。5内能：指组成热力系的大量微观粒子本身所具有的能量，用u表示。 6开口系统：与外界有物质交换的系统称为开口系。 7平衡状态：在不受外界影响(重力场除外)的条件下，如果系统的状态参数不随时间变化，则该系统所处的状态称为平衡状态。 8可逆过程：系统经历某一过程后，如令过程逆行而能使系统与外界同时恢复到初始状态，而不留下任何痕迹，则此过程为可逆过程。 9卡诺定律：在两个不同温度的恒温热源之间工作的所有热机中，以可逆热机的效率为最高。 (1)在相同的高温热源和低温热源之间工作的一切可逆机，热效率相等，与其工质无关。 (2)在相同的高温热源和低温热源之间工作的一切不可逆机，其热效率低于可逆机的热效率。 10基本状态参数：描述系统所处状态的一些宏观物理量称为状态参数；热工学中状态参数有六种，即压力、比容、温度、内能、熵、焓，其中压力、比容、和温度是三个可以直接测量而且又常用的状态参数，称为基本状态参数。 11理想气体：凡遵循克拉贝隆状态方程的气体(分子之间无作用力，分子本身不占容积)称为理想气体。12稳定温度场：换热系统中空间各点温度场分布不随时间变化的场。 *13制冷：用人为的方法将物体或空间冷却，并使之低于环境温度，并维持这个低温的过程。 *14传热过程：热量从间壁一侧的热流体通过间壁传给另一侧的冷流体，这种热量传递的过程称为传热过程。 二、判断判断命题是否正确并简要说明理由 1.稳定流动热力系必为平衡热力系 (×) 平衡热力系各状态参数值是确定的，且不随时间变化。稳定不一定平衡，系统可能有内外势差存在。 2.两种相对湿度相同的湿空气，温度高者其吸收水分能力强。 (×) 湿空气吸收水蒸气的能力只与相对湿度有关，而与温度无关 3.两个不同的恒温热源之间工作所有热机以卡诺机的热效率为最高。 (×) 在两个不同温度的恒温热源之间工作的一切热机中，卡诺循环的效率最高。 4.可逆过程就是系统可以逆向进行回复原态的过程。 (×) 可逆过程不是能自发的逆向进行，而是说若当过程逆向进行时，逆过程在外界留下的痕迹能将原来正过程的痕迹完全消除(必须指出可以自发进行的)。 5.工质以初态1变化到另一状态2，不论中间经历什么过程，其内能的变化量均相等。 (√) 内能是指组成热力系的大量微观粒子本身所具有的能量，是一个状态量。内能的变化量?u=u2-u1=Q-W，变化量的大小是由从初状态1到另一状态2过程中工质做功和吸热(或放热)大小所确定，与中间经历的过程无关. 6.任何状态都可以用坐标图上的点表示。 (×) 热力系不平衡状态，是无法表示在坐标系中的，因为热力系各部分状态参数不一致。 7.可逆过程一定是准静态过程。 (√) 可逆过程=准静态过程+无耗散效应，所以可逆一定是准静态过程，而准静态过程不是可逆过程。可逆过程能重复正过程的每一状态，而不引起其他变化。 8.一杯沸水比一杯同体积的凉水具有更多的热量。 (×) 热量是过程量，不是状态量。而单纯说热水和冷水，不存在热量传递过程。可以这么说，一杯沸水比一杯同体积的凉水具有更多的热力学能量。 9.循环效率越高，则循环向外输出的功也越多。 (×) 效率高，只能说明在同样循环吸收热量的条件下，循环向外输出的功越多。 10.工质经历了一个不可逆循环后其熵变为零。
《热力学基础》计算题答案全 1. 温度为25℃、压强为1 atm 的1 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀 至原来的3倍． (普适气体常量R ＝8.31 1 --??K mol J 1，ln 3=1.0986) (1) 计算这个过程中气体对外所作的功． (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程气体对外作功为 ??=== 0000333ln d d V V V V RT V V RT V p W 2分 =8.31×298×1.0986 J = 2.72×103 J 2分 (2) 绝热过程气体对外作功为 V V V p V p W V V V V d d 000 03003??-== γγ RT V p 1 311131001--=--=--γγγ γ 2分 ＝2.20×103 J 2分 2.一定量的单原子分子理想气体，从初态A 出发，沿图示直线过程变到另一状态B ，又经过等容、 等压两过程回到状态A ． (1) 求A →B ，B →C ，C →A 各过程中系统对外所作的功W ，内能的增量?E 以及所吸收的热量Q ． (2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和)． 解：(1) A →B ： ))((211A B A B V V p p W -+==200 J ． ΔE 1=ν C V (T B －T A )=3(p B V B －p A V A ) /2=750 J Q =W 1+ΔE 1＝950 J ． 3分 B → C ： W 2 =0 ΔE 2 =ν C V (T C －T B )=3( p C V C －p B V B ) /2 =－600 J ． Q 2 =W 2+ΔE 2＝－600 J ． 2分 C →A ： W 3 = p A (V A －V C )=－100 J ． 150)(2 3)(3-=-=-=?C C A A C A V V p V p T T C E ν J ． Q 3 =W 3+ΔE 3＝－250 J 3分 (2) W = W 1 +W 2 +W 3=100 J ． Q = Q 1 +Q 2 +Q 3 =100 J 2分 1 2 3 1 2 O V (10-3 m 3) 5 A B C
工程热力学考试试卷 All rights reserved. 判断题 1.流动功是系统维持流动所花费的代价，所以流动功不能为0。（×） 2.质量保持不变的系统就是闭口系。（×） 3.处于稳定状态的系统一定处于平衡状态（×） 4.根据熵的定义T q s rev δ= d ，热量是过程量，所以熵也是过程量。 （×） 5.等温过程的膨胀功与与吸收的热量相等。（×） 6.v p -图上，理想气体的等熵线比等温线陡；s T -图上，理想气体的等压线比等容线陡。（×） 7.绝热系可以是开口系。（√） 8.可以从单一热源中取热并使之完全转换为功。（√） 9.定容过程对湿蒸汽进行加热，干度一定增大。（×） 10.可逆循环的热效率一定大于不可逆循环的热效率。（×） 11.w du q δδ+=及pdv dT c q v +=δ二式均适用于任何工质，任何过程。（×） 分析、简答题 1.“系统经某一初态经不可逆与可逆两条途径到达同一终态，则经不可逆途径系统的熵变必大于可逆途径的熵变。”，这种说法是否正确，为什么？ 答：不正确。因为熵是状态参数，不论过程是否可逆，只要初终态相同，其熵变均相同，故系统从某一初态经不可逆与可逆两条途径到达同一终态，经不可逆途径系统的熵与可逆途径的熵变相等。 2.试在s T -图上把理想气体两状态间热力学能及焓的变化表示出来。
答：通过2点作等温线，分别与过1点的等容线和等压线相交于2v 及2p 点；由于理想气体的热力学能和焓是温度的单值函数，p v T T T 222==，可以得到p v h h u u 2222,==。 等容过程的吸热量与相同温限下的热力学能的变化相等，可以得到 12u u q v v -=。 等压过程的吸热量与相同温度下的焓的变化相等，可以得到 12h h q p p -=。s T -图上过程线下方的面积表示热量，所以 11212s s q v v v 面积=；11212s s q p p p 面积=。从而可以得到，1121212s s q u u v v v 面积==-；1121212s s q h h p p p 面积==-。 3.某理想气体在v p -图上的两种过程如下图所示，试在s T -图上画出相应的两个过程，指出过程多变指数n 的范围，并说明各过程中工质是膨胀还是压缩，吸热还是放热，升温还是降温，降压还是升压。 答：1-2过程：0-<<∞n ，压缩、放热、降温、降压。
热力学习题答案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
第9章热力学基础 一. 基本要求 1. 理解平衡态、准静态过程的概念。 2. 掌握内能、功和热量的概念。 3. 掌握热力学第一定律，能熟练地分析、计算理想气体在各等值过程中及绝热过程中的功、热量和内能的改变量。 4. 掌握循环及卡诺循环的概念，能熟练地计算循环及卡诺循环的效率。 5. 了解可逆过程与不可逆过程的概念。 6. 解热力学第二定律的两种表述，了解两种表述的等价性。 7. 理解熵的概念，了解热力学第二定律的统计意义及无序性。 二. 内容提要 1. 内能功热量 内能从热力学观点来看，内能是系统的态函数，它由系统的态参量单值决定。对于理想气体，其内能E仅为温度T的函数，即 当温度变化ΔT时，内能的变化 功热学中的功与力学中的功在概念上没有差别，但热学中的作功过程必有系统边界的移动。在热学中，功是过程量，在过程初、末状态相同的情况下，过程不同，系统作的功A也不相同。 系统膨胀作功的一般算式为 在p—V图上，系统对外作的功与过程曲线下方的面积等值。
热量 热量是系统在热传递过程中传递能量的量度。热量也是过程量，其大小不仅与过程、的初、末状态有关，而且也与系统所经历的过程有关。 2. 热力学第一定律 系统从外界吸收的热量，一部分用于增加内能，一部分用于对外作功，即 热力学第一定律的微分式为 3. 热力学第一定律的应用——几种过程的A 、Q 、ΔE 的计算公式 （1）等体过程 体积不变的过程，其特征是体积V =常量；其过程方程为 在等体过程中，系统不对外作功，即0=V A 。等体过程中系统吸收的热量与系统内 能的增量相等，即 (2) 等压过程 压强不变的过程，其特点是压强p =常量；过程方程为 在等压过程中，系统对外做的功 系统吸收的热量 )(12T T C M M Q P mol P -= 式中R C C V P +=为等压摩尔热容。 （3）等温过程 温度不变的过程，其特点是温度T =常量；其过程方程为 pV =常量 在等温过程中，系统内能无变化，即 （4）绝热过程 不与外界交换热量的过程，其特点是dQ=0，其过程方程 pV γ=常量 在绝热过程中，系统对外做的功等于系统内能的减少，即 7. 循环过程 系统从某一状态出发，经过一系列状态变化后又回到了初始状态的整个变化过程。其特点是内能变化为零，即
统计热力学基础 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科 B 2.在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑n i = N，∑n iεi = U， 这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的 C 3.假定某种分子的许可能级是0、ε、2ε和3ε，简并度分别为1、1、2、3 四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3ε时，体系的微观状态数为：( ) A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法 A 5.对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q)·g i·exp( -εi/kT)的说法：(1) n i是第i 能级上的粒子分布数; (2) 随着能级升高，εi 增大，n i总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 6.对于分布在某一能级εi上的粒子数n i，下列说法中正确是：( ) A. n i与能级的简并度无关 B. εi值越小，n i 值就越大 C. n i称为一种分布 D.任何分布的n i都可以用波尔兹曼分布公式求出 B 7. 15．在已知温度T时，某种粒子的能级εj = 2εi，简并度g i = 2g j，则εj和εi上分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp(ε j/2kT) B. 2exp(- εj/2kT) C. 0.5exp( -εj/kT) D. 2exp( 2ε j/kT) C 8. I2的振动特征温度Θv= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2的温度是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9.下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 10. 分子运动的振动特征温度Θv 是物质的重要性质之一，下列正确的说法是：( ) A.Θv越高，表示温度越高 B.Θv越高，表示分子振动能越小 C. Θv越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. Θv越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 11.下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与A贡献是不同的：( ) A. 转动运动 B. 电子运动 C. 振动运动 D. 平动运动 D 12.三维平动子的平动能为εt = 7h2 /(4mV2/3 )，能级的简并度为：( )
工程热力学期末试卷 建筑环境与设备工程专业适用 （闭卷，150分钟） 班级 姓名 学号 成绩 一、简答题(每小题5分，共40分) 1. 什么是热力过程？可逆过程的主要特征是什么？ 答：热力系统从一个平衡态到另一个平衡态，称为热力过程。可逆过程的主要特征是驱动过程进行的势差无限小，即准静过程，且无耗散。 2. 温度为500°C 的热源向热机工质放出500 kJ 的热量，设环境温度为30°C ，试问这部分热量的火用（yong ）值（最大可用能）为多少？ 答： =??? ? ?++- ?=15.27350015.273301500,q x E 303.95kJ 3. 两个不同温度（T 1,T 2）的恒温热源间工作的可逆热机，从高温热源T 1吸收热量Q 1向低温热源T 2放出热量Q 2，证明：由高温热源、低温热源、热机和功源四个子系统构成的孤立系统熵增 。假设功源的熵变△S W =0。 证明：四个子系统构成的孤立系统熵增为 （1分） 对热机循环子系统： 1分 1分 根据卡诺定理及推论： 1分 4. 刚性绝热容器中间用隔板分为两部分，A 中存有高压空气，B 中保持真空，如右图所示。若将隔板抽去，试分析容器中空气的状态参数（T 、P 、u 、s 、v ）如变化，并简述为什么。 答：u 、T 不变，P 减小，v 增大，s 增大。 自由膨胀 12iso T T R S S S S S ?=?+?+?+?W 1212 00ISO Q Q S T T -?= +++R 0S ?= iso S ?=
5. 试由开口系能量程一般表达式出发，证明绝热节流过程中，节流前后工质的焓值不变。（绝热节流过程可看作稳态稳流过程，宏观动能和重力位能的变化可忽略不计） 答：开口系一般能量程表达式为 绝热节流过程是稳态稳流过程，因此有如下简化条件 ， 则上式可以简化为： 根据质量守恒，有 代入能量程，有 6. 什么是理想混合气体中某组元的分压力？试按分压力给出第i 组元的状态程。 答：在混合气体的温度之下，当i 组元单独占有整个混合气体的容积（中容积）时对容器壁面所形成的压力，称为该组元的分压力；若表为P i ，则该组元的状态程可写成：P i V = m i R i T 。 7. 高、低温热源的温差愈大，卡诺制冷机的制冷系数是否就愈大，愈有利？试证明你的结论。 答：否，温差愈大，卡诺制冷机的制冷系数愈小，耗功越大。（2分） 证明：T T w q T T T R ?==-= 2 2212ε，当 2q 不变，T ?↑时，↑w 、↓R ε。即在同样2q 下(说明 得到的收益相同)，温差愈大，需耗费更多的外界有用功量，制冷系数下降。（3分） 8. 一个控制质量由初始状态A 分别经可逆与不可逆等温吸热过程到达状态B ，若两过程中热源温度均为 r T 。试证明系统在可逆过程中吸收的热量多，对外做出的膨胀功也大。
热力学习题答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
第9章热力学基础 一. 基本要求 1. 理解平衡态、准静态过程的概念。 2. 掌握内能、功和热量的概念。 3. 掌握热力学第一定律，能熟练地分析、计算理想气体在各等值过程中及绝热过程中的功、热量和内能的改变量。 4. 掌握循环及卡诺循环的概念，能熟练地计算循环及卡诺循环的效率。 5. 了解可逆过程与不可逆过程的概念。 6. 解热力学第二定律的两种表述，了解两种表述的等价性。 7. 理解熵的概念，了解热力学第二定律的统计意义及无序性。 二. 内容提要 1. 内能功热量 内能从热力学观点来看，内能是系统的态函数，它由系统的态参量单值决定。对于理想气体，其内能E仅为温度T的函数，即 当温度变化ΔT时，内能的变化
功热学中的功与力学中的功在概念上没有差别，但热学中的作功过程必有系统边界的移动。在热学中，功是过程量，在过程初、末状态相同的情况下，过程不同，系统作的功A也不相同。 系统膨胀作功的一般算式为 在p—V图上，系统对外作的功与过程曲线下方的面积等值。 热量热量是系统在热传递过程中传递能量的量度。热量也是过程量，其大小不仅与过程、的初、末状态有关，而且也与系统所经历的过程有关。 2. 热力学第一定律系统从外界吸收的热量，一部分用于增加内能，一部分用于对外作功，即 热力学第一定律的微分式为 3. 热力学第一定律的应用——几种过程的A、Q、ΔE的计算公式 （1）等体过程体积不变的过程，其特征是体积V =常量；其过程方程为 在等体过程中，系统不对外作功，即0 A。等体过程中系统吸收的热量与系统内 V 能的增量相等，即 (2) 等压过程压强不变的过程，其特点是压强p =常量；过程方程为 在等压过程中，系统对外做的功
工程热力学试题 （本试题的答案必须全部写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效） 说明： 1）答题前请考生务必认真阅读说明； 2）考生允许携带计算器； 3）重力加速度g＝9.80m/s2； 4）本套试题中所用到的双原子理想气体绝热指数K＝； 5）理想气体通用气体常数R＝(mol·k)； 6）标准大气压Pa＝； 7）氧原子量取16，氢原子量取1，碳原子量取12，N原子量取14； 8）空气分子量取29，空气的定压比热Cp=(kg·K)。 一、是非题（每题2分，共20分；正确的打√，错误的打×。） 1、系统从同一始态出发，分别经历可逆过程和不可逆过程到达同一终态，则两个过程该系统的熵变相同。（） 2、循环功越大，热效率越高。（） 3、对于由单相物质组成的系统而言，均匀必平衡，平衡必均匀。（） 4、系统经历不可逆过程后，熵一定增大。（） 5、湿空气相对湿度越高，含湿量越大。（） 6、理想气体绝热节流前后温度不变。（）
7、系统吸热，熵一定增大；系统放热，熵一定减小。（） 8、对于具有活塞的封闭系统，气体膨胀时一定对外做功。（） 9、可逆过程必是准静态过程，准静态过程不一定是可逆过程。（） 10、对于实际气体，由焓和温度可以确定其状态。（） 二、填空题（每题5分，共50分） 1、某气体的分子量为44，则该气体的气体常数为。 2、某甲烷与氮的混合气，两组分的体积百分含量分别为70％和30％，则该混气的平均分子量为。 3、300k对应的华氏温度为。 4、卡诺循环热机，从200℃热源吸热，向30℃冷源放热，若吸热率是10kw，则输出功率为。 5、自动升降机每分钟把50kg的砖块升高12m，则升降机的功率为。 6、、30℃的氦气经节流阀后压力降至100kpa，若节流前后速度相等，则节流前管径与节流后管径的比值为。 7、某双原子理想气体的定压比热为，则其定容比热可近似认为等于。 8、容积2m3的空气由、40℃被可逆压缩到1MPa、0.6m3，则该过程的多变指数为。 9、空气可逆绝热地流经某收缩喷管，若进口压力为2MPa，出口
热力学基础作业 班级:_____________ 姓名:_____________ 学号:_____________ 日期:__________年_______月_______日 成绩:_____________ 一、选择题 1. 一定量某理想气体按pV 2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 (A) 将升高． (B) 将降低． (C) 不变． (D)升高还是降低，不能确定． ［ ］ 2. 若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了 (A)0.500． (B) 400． (C) 900． (D) 2100． ［ ］ 3. 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻尔兹曼常量，R 为普适气体常量，则该理想气体的分子数为： (A) pV / m ． (B) pV / (kT )． (C) pV / (RT )． (D) pV / (mT )． ［ ］ 4. 理想气体向真空作绝热膨胀． (A) 膨胀后，温度不变，压强减小． (B) 膨胀后，温度降低，压强减小． (C) 膨胀后，温度升高，压强减小． (D) 膨胀后，温度不变，压强不变． ［ ］ 5. 对于理想气体系统来说，在下列过程中，哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作的功三者均为负值？ (A) 等体降压过程． (B) 等温膨胀过程． (C) 绝热膨胀过程． (D) 等压压缩过程． ［ ］ 6. 如果卡诺热机的循环曲线所包围的面积从图 中的abcda 增大为da c b a ''，那么循环abcda 与da c b a ''所作的净功和热机效率变化情况是： (A) 净功增大，效率提高． (B) 净功增大，效率降低． (C) 净功和效率都不变． (D) 净功增大，效率不变． ［ ］ 7. 两个卡诺热机的循环曲线如图所示，一个工作在温度为T 1 与T 3的两个热源之间，另一个工作在温度为T 2 与T 3的两个热源之间，已知这两个循环曲线所包围的面积相等．由此可知： （A ） 两个热机的效率一定相等． （B ） 两个热机从高温热源所吸收的热量一定相等． c ' d T 2 a b b ' c T 1V O p
作业8（热力学） 一、选择题 [ ] 1. 有A 、B 两种不同的容器，A 中装有单原子理想气体，B 中装有双原子理想气体，若两种气体的压强相同，则这两种气体的单位体积内的内能之间的关系为： (A) A B E E V V ????< ? ?????； (B) A B E E V V ????> ? ?????；(C) A B E E V V ????= ? ?????；(D) 无法判定 [ ] 2. 对于室温下的双原子分子理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外所做的功与从外界吸收的热量之比W/Q 为： (A) 1/3； (B) 1/4； (C) 2/5； (D) 2/7 [ ] 3.“ 理想气体和单一热源接触作等温膨胀时，吸收的热量全部用来对外做功”。对此说法有如下几种评论，其中正确的是： (A) 不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律； (B) 违反热力学第一定律，但不违反热力学第二定律； (C) 不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律； (D) 违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律 [ ] 4.在给出的4个图像中，能够描述一定质量的理想气体在可逆绝热过程中密度随压强变化的图像为： (A) (B) (C) (D) [ ] 5. 一定质量的理想气体经过压缩过程后，体积减小为原来的一半，如果要使外界所做的机械功为最大，那么这个过程应是: (A) 绝热过程； (B) 等温过程；(C) 等压过程；(D) 绝热过程或等温过程均可 [ ] 6. 关于可逆过程和不可逆过程的判断：(1)可逆热力学过程一定是准静态过程；(2)难静态过程一定是可逆过程；(3)不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程；(4)凡有摩擦的过程，一定是不可逆过程。以上4种判断正确的是： (A) (1)(2)(3)； (B) (1)(2)(4)；(C) (2)(4)；(D) (1)(4) [ ] 7. 你认为以下哪个循环过程是不可能的： (A) 绝热线、等温线、等压线组成的循环； (B) 绝热线、等温线、等容线组成的循环； (C) 等容线、等压线、绝热线组成的循环； (D) 两条绝热线和一条等温线组成的循环 [ ] 8. 一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体．若把隔板抽出进行自由膨胀，达到平衡后： (A) 温度不变，熵增加； (B) 温度升高，熵增加； (C) 温度降低，熵增加； (D) 温度不变，熵不变
一．是非题 1．两种湿空气的相对湿度相等，则吸收水蒸汽的能力也相等。（ ） 2．闭口系统进行一放热过程，其熵一定减少（ ） 3．容器中气体的压力不变，则压力表的读数也绝对不会改变。（ ） 4．理想气体在绝热容器中作自由膨胀，则气体温度与压力的表达式为 k k p p T T 11212-??? ? ??= （ ） 5．对所研究的各种热力现象都可以按闭口系统、开口系统或孤立系统进行分析，其结果与所取系统的形式无关。 （ ） 6．工质在相同的初、终态之间进行可逆与不可逆过程，则工质熵的变化是一样的。 （ ） 7．对于过热水蒸气，干度1>x （ ） 8．对于渐缩喷管，若气流的初参数一定，那么随着背压的降低，流量将增大，但最多增大到临界流量。（ ） 9．膨胀功、流动功和技术功都是与过程的路径有关的过程量 （ ） # 10．已知露点温度d t 、含湿量d 即能确定湿空气的状态。 （ ） 二．选择题 （10分） 1．如果热机从热源吸热100kJ ，对外作功100kJ ，则（ ）。 （A ） 违反热力学第一定律； （B ） 违反热力学第二定律； （C ） 不违反第一、第二定律；（D ） A 和B 。 2．压力为10 bar 的气体通过渐缩喷管流入1 bar 的环境中，现将喷管尾部截去一小段，其流速、流量变化为（ ）。 （A ） 流速减小，流量不变 （B ）流速不变，流量增加 （C ） 流速不变，流量不变 （D ） 流速减小，流量增大 3．系统在可逆过程中与外界传递的热量，其数值大小取决于（ ）。 （A ） 系统的初、终态； （B ） 系统所经历的过程； [ （C ） （A ）和（B ）； （ D ） 系统的熵变。 4．不断对密闭刚性容器中的汽水混合物加热之后，其结果只能是（ ）。 （A ）全部水变成水蒸汽 （B ）部分水变成水蒸汽 （C ）部分或全部水变成水蒸汽 （D ）不能确定 5．（ ）过程是可逆过程。 （A ）.可以从终态回复到初态的 （B ）.没有摩擦的 （C ）.没有摩擦的准静态过程 （D ）.没有温差的 三．填空题 （10分） 1．理想气体多变过程中，工质放热压缩升温的多变指数的范围_________
《大学物理学》热力学基础 一、选择题 13-1．如图所示，bca 为理想气体的绝热过程，b 1a 和b 2a 是任意过程，则上述两过程中气体做功与吸收热量的情况是 ( ) （A ）b 1a 过程放热、作负功，b 2a 过程放热、作负功； （B ）b 1a 过程吸热、作负功，b 2a 过程放热、作负功； （C ）b 1a 过程吸热、作正功，b 2a 过程吸热、作负功； （D ）b 1a 过程放热、作正功，b 2a 过程吸热、作正功。 【提示：体积压缩，气体作负功；三个过程中a 和b 两点之间的内能变化相同，bca 线是绝热过程，既不吸热也不放热，b 1a 过程作的负功比b 2a 过程作的负功多，由Q W E =+?知b 2a 过程放热，b 1a 过程吸热】 13-2．如图，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B ，且他们的压强相等，即A B P P =。问在状态A 和状态B 之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然 ( ) （A ）对外作正功；（B ）内能增加； （C ）从外界吸热；（D ）向外界放热。 【提示：由于A B T T <，必有A B E E <；而功、热量是 过程量，与过程有关】 13-3．两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛氦气(均视为刚性理想气体)，开始时它们的压强和温度都相同，现将3 J 的热量传给氦气，使之升高到一定的温度，若氢气也升高到同样的温度，则应向氢气传递热量为 ( ) （A ）6J ； （B ）3J ； （C ）5J ； （D ）10J 。 【提示：等体过程不做功，有Q E =?，而2 mol M i E R T M ?= ?，所以需传5J 】 13-4．有人想象了如图所示的四个理想气体的循环过程，则在理论上可以实现的是（ ） A （） C （） B （） D （）
化工热力学课后答案(填空、判断、画图) 第1章 绪言 一、是否题 1. 封闭体系的体积为一常数。（错） 2. 封闭体系中有两个相βα, 。在尚未达到平衡时，βα,两个相都是均相敞开体系； 达到平衡时，则βα,两个相都等价于均相封闭体系。（对） 3. 理想气体的焓和热容仅是温度的函数。（对） 4. 理想气体的熵和吉氏函数仅是温度的函数。（错。还与压力或摩尔体积有关。） 5. 封闭体系的1mol 气体进行了某一过程，其体积总是变化着的，但是初态和终态的体积相 等，初态和终态的温度分别为T 1和T 2，则该过程的? =2 1 T T V dT C U ?；同样，对于初、终态 压力相等的过程有? =2 1 T T P dT C H ?。（对。状态函数的变化仅决定于初、终态与途径无关。） 二、填空题 1. 状态函数的特点是：状态函数的变化与途径无关，仅决定于初、终态 。 2. 封闭体系中，温度是T 的1mol 理想气体从(P i ，V i )等温可逆地膨胀到(P f ，V f )，则所做的 功为() f i rev V V RT W ln =(以V 表示)或() i f rev P P RT W ln = (以P 表示)。 3. 封闭体系中的1mol 理想气体(已知ig P C )，按下列途径由T 1、P 1和V 1可逆地变化至P 2，则 A 等容过程的 W = 0 ，Q =() 1121T P P R C ig P ???? ??--， U =() 1121T P P R C ig P ??? ? ??--， H = 112 1T P P C ig P ??? ? ??-。 B 等温过程的 W =21ln P P RT -，Q =2 1ln P P RT ， U = 0 ， H = 0 。 第2章Ｐ－Ｖ－Ｔ关系和状态方程 一、是否题 1. 纯物质由蒸汽变成液体，必须经过冷凝的相变化过程。（错。可以通过超临界流体区。） 2. 当压力大于临界压力时，纯物质就以液态存在。（错。若温度也大于临界温度时，则是超临界流体。） 3. 由于分子间相互作用力的存在，实际气体的摩尔体积一定小于同温同压下的理想气体的 摩尔体积，所以，理想气体的压缩因子Z=1，实际气体的压缩因子Z<1。（错。如温度大 于Boyle 温度时，Z ＞1。）
大学物理课堂作业 热力学基础 一、填空题 1 在p?V图上 (1) 系统的某一平衡态用_____________来表示； (2) 系统的某一平衡过程用________________来表示； (3) 系统的某一平衡循环过程用__________________来表示； 2.处于平衡态A的一定量的理想气体，若经准静态等体过程变到平衡态B，将从外界吸收热量416 J，若经准静态等压过程变到与平衡态B有相同温度的平衡态C，将从外界吸收热量582 J，所以，从平衡态A变到平衡态C的准静态等压 过程中气体对外界所作的功为____________________. 3.一定量的某种理想气体在等压过程中对外作功为200 J．若此种气体为单 原子分子气体，则该过程中需吸热_____________ J；若为双原子分子气体，则 需吸热______________ J. 4.可逆卡诺热机可以逆向运转．逆向循环时, 从低温热源吸热,向高温热源放热,而且吸的热量和放出的热量等于它正循环时向低温热源放出的热量和从高温热源吸的热量.设高温热源的温度为T1 =450 K , 低温热源的温度为T2 =300 K, 卡诺热机逆向循环时从低温热源吸热Q2 =400 J，则该卡诺热机逆向循环一次外界必须 作功W＝_________． 5. 一热机从温度为727℃的高温热源吸热，向温度为527℃的低温热源放热．若 热机在最大效率下工作，且每一循环吸热2000 J ，则此热机每一循环作功_____ ____________ J． 6. 从统计的意义来解释, 不可逆过程实质上是一个________________________ __________________________的转变过程, 一切实际过程都向着_____________ _____________________________的方向进行． γC p/C V为已知)的循环过程如T－V图所示，其中CA为绝热过程，7. 1 mol 理想气体(设= A点状态参量(T1，V1)和B点的状态参量(T2，V2)为已知．试求C点的状态参量：