普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座38）—导数、定积分
一．课标要求：
1．导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算
① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3，y=1/x ，y=x 的导数；
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数；
③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理
① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。
三．要点精讲
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x
y
??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即
x
y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。
如果当0→?x 时，
x
y
??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个
极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0
lim →?x x y
??=0
lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。
说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x
y
??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；
（2）求平均变化率
x
y ??=x x f x x f ?-?+)
()(00；
（3）取极限，得导数f’(x 0)=x
y x ??→?0lim 。
2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'
'
'
v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('
'
'
uv v u uv +=
若C 为常数,则.)('
'Cu Cu =
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：??
?
??v u ‘=2
''v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X
5．导数的应用
（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'
f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'
f 0)( （2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧 切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； （3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6．定积分 （1）概念 设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 i f 1 ＝(ξ i )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间 [a ，b ]上的定积分，记作： ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝∑=∞ →n i n f 1 lim (ξi )△x 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。 基本的积分公式：? dx 0＝C ； ?dx x m ＝ 11 1 ++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1） ； ?x 1 dx ＝ln x ＋C ； ? dx e x ＝x e ＋C ； ?dx a x ＝a a x ln ＋C ；?xdx cos ＝sin x ＋C ； ?xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。 （2）定积分的性质 ①? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） ； ②? ??±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③ ? ??+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。 （3）定积分求曲边梯形面积 由三条直线x ＝a ，x ＝b （a = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a ? ?-b a b a dx x f dx x f )()(21。 四．典例解析 题型1：导数的概念 例1．已知s= 2 2 1gt ，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。 解析：（1）[]t t ?=-=?,1.031.3,1.3,3指时间改变量； .3059.032 1 1.321)3()1.3(22=-=-=?g g s s s s ?指时间改变量。 059.31 3059 .0==??= t s v 。 其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速 度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 （2）从（1）可见某段时间内的平均速度 t s ??随t ?变化而变化，t ?越小，t s ??越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→?t 时， t s ??的极限， V=0 lim →?x t s ??=0 lim →? x =?-?+t s t s )3()3(0lim →?x t g t g ?-?+2 232 1)3(21 = g 21 lim →?x （6+)t ?=3g=29.4(米/秒)。 题型2：导数的基本运算 例3．（1）求)1 1(32 x x x x y ++=的导数； （2）求)11)( 1(-+=x x y 的导数； （3）求2 cos 2sin x x x y -=的导数； （4）求y=x x sin 2 的导数； （5）求y ＝ x x x x x 9 532-+-的导数。 解析：（1）23 11x x y + += ,.2332 'x x y -=∴ （2）先化简,2 12 1 111-+-=-+ -? = x x x x x x y ∴.1121212123 21 ' ??? ? ?+-=--=--x x x x y （3）先使用三角公式进行化简. x x x x x y sin 2 1 2cos 2sin -=-= .cos 211)(sin 21sin 21''' ' x x x x x y -=-=?? ? ??-=∴ （4）y ’=x x x x x 222sin )'(sin *sin )'(-=x x x x x 22sin cos sin 2-； （5） y ＝2 33x －x ＋５－2 19- x ∴y ’＝３*（x 23） ＇－x ＇＋５＇－９2 1(x ）＇＝３*2321x －１＋０－９*（－2 1 ）23 -x ＝ 1)1 1(292-+x x 。 点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。 例4．写出由下列函数复合而成的函数： （1）y=cosu,u=1+2 X （2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+2 X )； （2）y=ln(lnx)。 点评：通过对y=（3x-22)展开求导及按复合关系求导，直观的得到'x y ='u y .' x u .给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。 题型3：导数的几何意义 例5．（1）若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= （2）（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线2 1y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ） （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 解析：（1）与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4 y x =在某一 点的导数为4，而34y x '=，所以4 y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A ； （2）21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且 20001y x x =++，于是切线方程为2 0001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确，选D 。 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例6．（1）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2 ,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞) 上的变量，则(πr 2 )`＝2πr ○ 1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2；○2式可以用语言叙述为： 。 （2）（06湖南卷）曲线1y x =和2 y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。 解析：（1）V 球＝3 43 R π，又32 443 R R ππ'（）＝ 故○2式可填32 443 R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”； （2）曲线x y 1= 和2 x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是4 3 。 点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。 题型4：借助导数处理单调性、极值和最值 例7．（1）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C ．f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） （3）已知函数()11ax x f x e x -+= -。 （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。 解析：（1）依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值， 即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C ； （3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax 2+2－a (1－x)2 e －ax 。 (ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x 2(1－x)2 e －2x , f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数； (ⅱ)当0 a －2 a , x 2= a －2 a ； 当x 变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: f(x)在(－∞, －a －2 a ), (a －2 a ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－a －2 a ,a －2 a )为减函数。 (Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1； (ⅱ)当a>2时, 取x 0= 1 2 a －2 a ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x 0) ax ≥1， 得：f(x)= 1+x 1－x e －ax ≥1+x 1－x >1. 综上当且仅当a ∈(－∞,2]时,对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>1。 点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。 例8．（1）3 2 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） (A )－2 (B)0 (C)2 (D)4 （2）设函数f(x)= 3 2 23(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ） 讨论f(x)的极值。 解析：（1）2 ()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，()f x '>0，当0 （2）由已知得[]' ()6(1)f x x x a =--，令' ()0f x =，解得 120,1x x a ==-。 （Ⅰ）当1a =时，'2 ()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当1a >时，()' ()61f x x x a =--????，' (),()f x f x 随x 的变化情况如下表： 从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在 (1,)a -+∞上单调递增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值3 1(1)a --。 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 题型5：导数综合题 例9．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点 A B 、的坐标分别为 11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB = ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程. 解析： (Ⅰ)令033)23()(2 3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或； 当1- 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 。 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -。 （Ⅱ） 设),(n m p ，),(y x Q ， ()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m ， 21-=PQ k ，所以2 1 -=--m x n y 。 又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以 ?? ? ??-+=+4222n x m y ，消去n m ,得()()92822=++-y x 。 点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。 题型6：导数实际应用题 例11．（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 解析：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面 =（单位：m ）。 于是底面正六边形的面积为（单位：m 2 ）： 2262)42 x x ==+- 。 帐篷的体积为（单位：m 3 ）： 231()2)(1)112)3V x x x x x x ??= +--+=+-???? 求导数，得2()3)V x x '= -； 令()0V x '=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。 当1 答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。 点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。 题型7：定积分 例13．计算下列定积分的值 （1） ?--3 1 2)4(dx x x ； （2）?-2 1 5)1(dx x ； （3） dx x x ? +20 )sin (π； （4）dx x ?-22 2cos π π； 解析：（1） （2）因为5 6)1(])1(6 1[-='-x x ，所以6 1|)1(61)1(2162 1 5=-= -? x dx x ； （3） （4） 例14．（1）一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功。 （2）抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ． 解析：（1）物体的速度233)(bt bt dt dx V ='== 。 媒质阻力4 22229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0。 当x=0时，t=0；当x=a 时，31 1)(b a t t ==， 又ds=vdt ，故阻力所作的功为： 32 77130 320 30 27 27727)3(1 11b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu == ==?==???? （2）依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以3 2 261)(b a dx bx ax S a b = += ? - (1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组? ??+==+bx ax y y x 2 4 得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0． 于是,)1(16 1 2+- =b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(4 3>+=b b b b S ，5 2)1(3) 3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b) ＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且 2 9m ax = S 。 点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。 五．思维总结 1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主 主要考查： （1）函数的极限； （2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用； （3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。 2．考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 高二数学周六（导数、定积分）测试题 （考试时间：100分钟，满分150分） 班级 姓名 学号 得分 一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分) 1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 2. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-1 3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3lim x f x f x x →--+= ( ) A ．3 B ．23- C ． 13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 5．函数)0,4 (2cos π 在点x y =处的切线方程是 （ ） A ．024=++πy x B ．024=+-πy x C ．024=--πy x D ．024=-+πy x 6.曲线3cos (0)2 y x x π=≤≤ 与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B. 52 C. 3 D. 2 7．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=4 1t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程（ ） 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的 反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 导数与定积分测试卷 一、 选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1.曲线2)(3 -+=x x x f 在点P 处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 的坐标为（ ） )0,1.(A )8,2.(B )0,1.(C 和)4,1(-- )8,2.(D 和)4,1(-- 2.若2)(0'-=x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(000 lim （ ） 2.-A 4.-B 6.-C 8.-D 3.函数13)(3 +-=x x x f 在]0,3[-上的最大、最小值分别是（ ） 1,1.-A 17,1.-B 17,3.-C 19,3.-D 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在)1,0(内有极小值，则b 的取值范围是（ ） 10.<b C 2 1.< b D 5.由曲线x x f = )(和3 )(x x g =所围成图形的面积可用定积分表示为（ ） dx x dx x A ? ? + 1 3 1 . dx x dx x B ? ?- 1 1 03 . dx x dx x C ? ? - - 1 1 3 . dx x dx x D ? ? - 1 3 1 . 6.设))(()(),...,()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+，则=)(2011x f （ ） x A sin . x B sin .- x C cos . x D cos .- 7.设653 1)(2 3+++= x ax x x f 在区间]3,1[上为单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） ),5.[+∞- A ]3,.(--∞ B ),5[]3,.(+∞- ?--∞C ]5, 5.[- D 8.已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则b a +的值为（ ） 07.或-A 16-.或B 0.C 7.-D 9.设)100)...(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则=)1(' f （ ） 99.-A ！ 100.-B ！ 100.C ！ 0.D 10.由曲线1,2,===y x e y x 围成的区域的面积为（ ） e e A -2 . 1.2 --e e B 3.2 -e C e D -3. 1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题 姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用 一、选择题： 1、曲线 3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ） A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．设2 1sin x y x -=，则'y =（ ） A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin )1(sin 22--- 3．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18 B ．38/3 C ．16/3 D ．16 4.函数y=2x 3-3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A 、5 、-15 B 、5 、 4 C 、-4、 -15 D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A ．单调递增 B 、有增有减 C 、单调递减 D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ） A. 2e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7、由直线21=x ，x=2，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面 积是（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 8、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数， 则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图 象可能是 二、填空题 高二理科数学导数与定积分测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1. ?1 0dx e x =（ ） A. 1 B. 1-e C.e D.1+e 2. 曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线14-=x y ，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2) D ．(1,0)或(2,8) 3. 函数)1()1()(2-+=x x x f 在1=x 处的导数等于（ ） A. 1 B.2 C.2 D.4 4. 函数x x x x f -+=23)(的单调递减区间是（ ） A. )31,1(- B. )1,31(- C. )31,1(-- D. )1,31 ( 5. 若2 09,T x dx T =?则常数的值为( ) A. 9 B.-3 C. 3 D. -3或3 6.已知函数x x x f ln )(=，则函数)(x f （ ） A. 在e x = 处取得极小值 B. 在e x = 处取得极大值 C.在e x 1 = 处取得极小值 D. 在e x 1 = 处取得极大值 7.函数f(x)在其定义域可导，)(x f y =的图象如右图所示，则导函数)('x f 的图象为( ) 8.若函数a x x x x f +++-=93)(23在区间[-2,-1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（ ） A.-5 B.7 C.10 D.-19 9．已知k x kx x f 22)(2++=在(1,2)存在单调递增区间，则k 的取值围是（ ） A. 21 1-<<-k B. 21 1->- 导数的概念及计算、定积分检测题 （试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知函数f (x )＝1 x cos x ，则f (π)＋f ′????π2等于( ) A ．－3 π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π 解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′????π2＝－1π＋2 π×(－1)＝－3π . 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x . 3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3 2t 2＋2t ，那么速度为 零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 解析：选D ∵s ＝13t 3－3 2t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1 ＝1或t 2＝2. 4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.1 3 B.310 C.14 D.15 解析：选A 由??? y ＝x 2， y ＝x ， 解得????? x ＝0，y ＝0或????? x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为??0 1 (x － x 2 )d x ＝????23x 32－13x 3??? 1 ＝13 . 2016年专项练习题集-定积分的计算 2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 2 2 -?=（ ） A.233 B.31 C.34 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(1 22 -?=123 153 x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭 图形的面积为（ ） A 、22 B 、42 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的 函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由 ???==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 8103412 9 942 30 3 =??? ? ?-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.22 -? 2 412x x -+dx =（ ） A.π4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y=2 4 x- +,即(x-2)2+y2=16(y≥0). 12x ∵22-?2 x- +dx表示以4为半径的圆的四分之一12x 4 面积.∴22-?2 x- +dx=π4. 12x 4 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( ) 导数与微积分综合题 【基本公式】 1、平均变化率： 2、瞬时变化率： 3、导数的定义 导数的几何意义： 导数的物理意义： 4．常用的导数公式： （1）若f (x )=c , 则f ′(x )= ;（2）若*)()(Q x x f ∈=αα,则f ′(x )= ; （3）若f (x )=sin x ,则f ′(x )= ;（4）若f (x )=cos x,则f ′(x )= ; （5）若x a x f =)(,则f ′(x )= (a >0);（6）若x e x f =)(,则f ′(x )= ; （7）若x x f a log )(=,则f ′(x )= (a >0,a ≠1);（8）若x x f ln )(=,则f ′(x )= 5．导数运算的法则： （1）)]()([x g x f ±′= （2）)]()([x g x f ′= （3）? ? ????)()(x g x f ′= （g(x)≠0）（4）)]([x cf ′= 6．定积分的定义： 定积分的性质：（1）? ? =b a b a dx x f c dx x cf )()(（c 为常数） （2）)(),(x g x f 可积，则[]? ? ?+ = +b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()( （3）? ? ?+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()( 7．常见函数的原函数： ?=dx ___________?=cdx ___________?=dx x n _____________?=xdx sin ________ ?=xdx cos _________? =dx x 1________?=xdx ln ___________?=dx a x ___________ 8、微积分基本定理：牛顿一莱布尼茨公式：若函数f 在[]b a ,上连续，存在原函数F ，即 ()()[]b a x x f x F ,,∈='，则 f 在[]b a ,上可积，则_____________________ 9、连续曲线()x f y =在 []b a ,上形成的曲边梯形面积为_____________________ 10、连续曲线()x f y =与()x g y =在[]b a ,上围成图形面积为___________（a ，b 为交点的横坐标） 【练习】 一、恒成立问题 1. 已知函数3 2 1()23 f x x bx x a = -++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 导数与定积分练习题 一、填空题 1、已知0||2||≠=，且关于x 的函数x x x x f ?++=23||2 131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为 2、已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值为 3、y 2=x 与y=x 2所围成图形的面积（阴影部分）是 4、函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时， 0)()1(<'-x f x ，设).3(),2 1(),0(f c f b f a ===则,,a b c 的大小关系为 5、设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02 πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 6、过点（1，1）且与曲线3x y =相切的切线方程为 7、计算0?的结果是 8、已知点P 在曲线y= 41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则倾斜角a 的取值范围是 9、已知曲线1y x =与2y x =，则两曲线在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是___________________ 10、设函数32 ()2310f x x x x =+++在1x ，2x 处取得极值，则2212x x += 11、已知函数x f x f x x f x ?-?+=→?)1()21(lim ,)(02 则= 12、函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则,a b 的值为 13、若),1()2ln(2 1)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是 14、已知函数223)(a x ax x x f +++=有两个极值点，则实数a 的取值范围为 15、三次函数b bx x x f 22)(3+-=在[1，2]内恒为正值的充要条件为 16、设函数)(],2,2[,32 1)1ln()(2x f x x e x x f x 若-∈+-+=的最大值为M ，最小值为m ，则m M +等于 17、函数f （x ）=x 3－bx 2+1有且仅有两个不同零点，则b 的值为 18、若设函数*)()(1,12)()(N n n f x x f tx x x f m ∈? ?????+='+=则数列的导数的前n 项的和 高中数学知识点—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数； ③会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积 分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； 导数积分练习题 1．若2 22212311 11 ,,,x S x dx S dx S e dx x ===?? ?则123,,S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3 2 t 2＋2t ，那 么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( ) A ．(-∞，12)∪(12,2) B ．(－∞，0)∪(1 2，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，1 2 )∪(2，＋∞) 4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152 B ．有最大值－15 2 C ．有最小值152 D ．有最小值－15 2 5．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A ． 4 3 B ．2 C ．83 D 7．设函数()()()()()2 2 2,2,0,8 x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ） A ．有极大值,无极小值 B ．有极小值,无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 8．已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则（ ） A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值 C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值 D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值 9．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a 高考数学----导数、定积分知识清单 一 、导数的概念 ●（一）导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量 △y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y △x 叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即 △y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。如果当0→?x 时，△y △x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0 即f ‘（x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数 在点x 0处不可导，或说无导数。（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导） （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； ② 求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； ③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 ●（二）导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的 斜率 x x f x x f x f k x ?-?+==→?) ()(lim )(000 0' 切。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。 导数的应用及定积分 （一）导数及其应用 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 3．函数的导数 对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。 5．常见函数的导数 (x n )′＝__________.(1 x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________. (a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则： (f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，?? ?? f (x ) g (x )′＝___________________. （3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 6．函数的单调性 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导， (1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________． (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________． 7．函数的极值高中数学导数及微积分练习题
常用求导与定积分公式(完美)
定积分及微积分基本定理练习题及答案
高中数学导数与积分知识点
最新【强烈推荐】高二数学-导数定积分测试题含答案
常用的求导和定积分公式(完美)
定积分及微积分基本定理练习题及答案
导数与定积分单元测试
高中数学导数及微积分练习题
导数与定积分
导数与定积分测试题
导数的概念及计算、定积分检测题
2016年专项练习题集-定积分的计算
导数与定积分分类练习(无答案)
导数与定积分练习题
高中数学导数与定积分知识点
导数积分练习题
导数与定积分知识汇总
导数及定积分知识点总结及练习经典
相关主题
文本预览