1、反三角函数：
概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ??
∈-
???
?时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =. sin ()y x x R =∈，不存在反函数.
含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ??
∈-????；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
其中：
（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－
2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2
π
]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2
π
], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关
系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],
arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π
], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件；
（4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2
π
的应用。
2、最简单的三角方程
（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k
k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；
若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；
（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】
例1. 函数，，的反函数为（
）y x x =∈???
???sin π
π2
32
[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []
B y x x .arcsin =-∈-，，11 []
C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []
D y x x .arcsin =-∈-π，，11 分析与解： π
π2
32
≤≤
x ∴?-??????x x π
π2
2，，需把角转化至主值区间。 ∴-
≤-≤
-==π
ππ
π2
2
x x x y ，又sin()sin
由反正弦函数定义，得π-=x y arcsin ∴=--≤≤x y y πarcsin ，又由已知得11
[]
∴=-∈-所求反函数为，，y x x πarcsin 11 例4. 函数，，的图象为（）y x x =∈-
??????arccos(cos )π
π2
2
（A ） （B ）
（C ） （D ）
分析与解：
解析式可化简为，，，，y x x x x x ==∈?
? ??
?-∈-???????????
??arccos(cos )0220ππ
即，，，，显然其图象应为（）y x x x x A =∈?
? ??
?-∈-????????
???
??0220ππ 例5. 函数，，
的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()π
π
3
23
A B ..π
ππ656056，，??
??
??
?????
C D ..π
ππ
π3236
23，，??
??
???????
分析与解： 欲求函数值域，需先求，，
的值域。u x x =∈-
sin ()π
π
3
23
-
<<
∴-<≤-<≤π
π3
2332132
1x x u ，，即sin []
而在，上为减函数y u =-arccos 11
∴->≥arccos()arccos arccos 3
2
1u 即，故选（）056
≤ 例6.使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是( ) A B ..022221，，?? ? ?? ?? ? ?? [)C D ..-?? ?? ? ?-12210， ， 分析与解： 该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x 的取值范围，故需把x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。 若，则，，而，x x x ≤∈- ??????∈???? ? ?0202arcsin arccos πππ 此时不成立，故arcsin arccos x x x >>0 若，则， ，，x x x >∈?? ? ??∈? ? ?? ?00202arcsin arccos ππ 而在区间，上为增函数y x =? ? ? ? ?sin 02π 又arcsin arccos sin(arcsin )sin(arccos )x x x x >∴> 即，解不等式，得x x x >-> 12 2 2 || 又，故选（）01 2 2 1<≤∴ <≤x x B 例7. []若，则（）022<<+???? ? ?++=απ παπαarcsin cos()arccos sin() A B C D . .. .π π π απ α22 2 22 2- -- - 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。 arcsin cos()arcsin(sin )arcsin(sin )π αααα2+?? ??? ?=-=-=- []arccos sin()arccos(sin )arccos(sin )πααπα+=-=- =--?? ?? ? ?=--=+ππ αππαπαarccos cos( )(),222 ∴=-++= 原式，故选（）()( )απ απ 2 2 A 例8. 求值：(1)3sin 2arcsin 5????- ??????? (2)1 1tan arccos 2 3?? ??? 分析：arcsin()arcsin()sin -- ??????=-3 5 2 235表示，上的角，若设，则易得π παα =-3 5 2，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin α问题的关键 是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。 解：（）设，则13 535arcsin()sin -==-αα αππαα∈-???? ??∴= -= 2 2145 2，，cos sin ∴==?-?=-sin sin cos ()()2223 5452425 ααα 即sin arcsin()23524 25-? ??? ??=- （）设，则21313arccos cos ==αα [] απ αα∈∴=-= 0122 3 2，sin cos ∴=-=- =tg ααα2111 3223 22cos sin 即tg 121322arccos ????? ?= 例9.知函数2 ()arccos()f x x x =- （1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)f x f x <+ 解：（1）由112 ≤-≤-x x 得 251251+≤≤-x 又]1,4 1[41)21(22 -∈--=-x x x ∴)(x f 的定义域为]251,251[ +-，值域为]4 1arccos ,0[-π 又∵]2 1 ,251[ -∈x 时，x x x g -=2)(单调递减，x y arccos =单调递减，从而)(x f 递增 ∴)(x f 的单调递增区间是]21,251[ -，同理)(x f 的单调递减区间是]2 5 1,21[+ （2）)] 2 1 2( ) 2 1 2 arccos[( ) arccos( ) 2 1 2( ) (2 2+ - + < - + x x x x f x f即 即) 4 1 4 arccos( ) arccos(2 2- < -x x x ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? - > - ≤ - ≤ - ≤ - ≤ - 4 1 4 1 4 1 4 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x x 解不等式组得 6 1 2 1 < < -x∴不等式的解集为) 6 1 , 2 1 (- 简单的三角方程 例1.写出下列三角方程的解集 (1) 2 sin() 82 x π -=; (2)2cos310 x+=; (3)cot3 x= 解集{x|x=(kπ+arctg3)2，k∈Z} 例2.求方程tan(3)3 4 x π +=在[] 0,2π上的解集. 说明 如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k 取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解． 例3.解方程2 2sin 3cos 10x x ++= 解：方程化为22cos 3cos 30x x --= 说明 可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解． 例4. 解方程①3sin 2cos 0x x -= ②2 2 2sin 3sin cos 2cos 0x x x x --= ②除以cos 2 x 化为2tg 2 x-3tgx-2=0． 说明 关于sinx ，cosx 的齐次方程的解法：方程两边都除cos n x(n=1，2，3，…)(∵cosx=0不是方程的解)，转化为关于tgx 的方程来解． 例5.解方程：(1)3sin 2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x x -= 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程 2x-30°=k180°+(-1)k 30° ∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k ∈Z)所以解集是 {x|x=k90°+(-1)k15°+15°，k ∈Z} 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = . 反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： . 名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. . 反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ 1、反三角函数: 概念:把正弦函数,时得反函数,成为反正弦函数，记作、 ,不存在反函数、 含义:表示一个角;角;、 其中: （１). 符号arcsｉn x可以理解为[-,]上得一个角(弧度),也可以理解为区间［-,]上得一个实数;同样符号arccos x可以理解为［0,π]上得一个角(弧度)，也可以理解为区间[0,π]上得一个实数; (2)．ｙ＝ａrcsin x等价于siｎy=x, y∈［-,],ｙ=arcｃos x等价于cos y=x, x∈［0，π]，这两个等价关系就是解反三角函数问题得主要依据; (３).恒等式ｓｉn(arｃsiｎx)=ｘ, ｘ∈[-１，1］，cos（aｒcｃos x)＝ｘ, x∈[-1，1], ａrｃsin(siｎx)=x，x∈[-,]，ａｒccos(coｓx）=x, ｘ∈［0, π]得运用得条件; (4）. 恒等式arcsiｎｘ+aｒcｃos x＝，arcｔan x+arccoｔx=得应用。 2 其中: (1)．含有未知数得三角函数得方程叫做三角方程。解三角方程就就是确定三角方程就是否有解,如果有解,求出三角方程得解集; (2）．解最简单得三角方程就是解简单得三角方程得基础，要在理解三角方程得基础上,熟练地写出最简单得三角方程得解; (3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间得关系在解三角方程中得作用; 如:若,则;若,则; 若,则；若,则; (4).会用数形结合得思想与函数思想进行含有参数得三角方程得解得情况与讨论。 【例题精讲】 例1、 分析与解: 例4、 函数，，的图象为（）y x x =∈- ??????arccos(cos )π π2 2 （A ） （B ） （C ） （D ） 分析与解: 例５、 函数，， 的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()π π 3 23 三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图，理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arcotx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。 第一象限角：2k π＜α＜2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角：2k π+ 2 π ＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角：2k π+2 3π ＜α＜2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k 2360°+α，k ∈Z 。 (5)特殊角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝ 2 π k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π ，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π ，k ∈Z ｝ 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4 π ，k ∈Z ｝ 2.弧度制： (1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2π 时y max =1 x=2kπ-2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时 y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ-2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+2π ,2kπ+3 2π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ-2 π，kπ+ 2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z) 反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。 反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系 加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ 高考中的反三角函数与简单三角方程 一、选择题 1. (86(10)3分)当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是 A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x - B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x - C.π－arccosx ＝arcsin 21x - D.π－arcsinx ＝arccos 21x - 2. (87(8)3分)函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2 ,2ππ])的图象是 3. (88(7)3分)方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是 A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z} B.{x|x ＝k π＋(－1)3 πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3 π，k ∈Z} 4. (88(10)3分)tg[arctg 5 1＋arctg3]的值等于 A.4 B.41 C.8 1 D.8 5. (89(4)3分)cos[arcsin(－5 4)－arccos(－53)]的值等于 A.－1 B.－257 C.25 7 D.－510 6. (89上海)函数y ＝arccos x 1的值域是 A.[0，2 π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. (89上海)下面四个函数中为奇函数的是 A.y ＝x 2sin(x ＋2π) B.y ＝x 2cos(x ＋4 π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx) 8. (90(4)3分)方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 9. (90(15)3分)设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是 A.y ＝－arctg(x －2) B.y ＝arctg(x －2) C.y ＝－arctg(x ＋2) D.y ＝arctg(x ＋2) 10.(90上海)下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是 A.y ＝ctg(arccosx) B.tg(arcsinx) C.sin(arctgx) D.cos(arctgx) 11.(90广东)已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2 π－arcctgx ，那么 A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数 C.①是奇函数，②是偶函数 D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数 12.(91上海)下列四个式子中，正确的是 A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 3 1) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 3 1) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－3 1)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－3 1)] 13.(92(4)3分)方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是 A.10o B.20o C.50o D.70o 14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分) A.[0，arcsina] B.[arcsina ，π－arcsina] C.[π－arcsina ，π] D.[arcsina ，2 π＋arcsina] 15.(92上海)函数y ＝arccos 的值域是 A.[0，2π] B.(0，2 π) C.[0，π] D.(0，π) 16. (94(14)5分)函数y ＝arccos(sinx)(－323 ππ < 反三角函数： 1、概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ?? ∈-???? 时的反函数，称为反正弦函数，记作x y arcsin =. 注意： sin ()y x x R =∈，不存在反函数. 2、含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ?? ∈-???? ；sin x α=. 3、反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 其中： （1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π ，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－ 2π，2 π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－ 2π，2 π ], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式： sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], arcsin(sin x )＝x , x ∈[－ 2π，2π ], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π] arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2 π 。 最简单的三角方程 其中： （1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±； 若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 二、典型例题： 例1. 函数，，的反函数为（ ）y x x =∈??? ???sin π π2 32 []A y x x .arcsin =∈-，，11 [] B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11 例2. 函数，，的图象为（）y x x =∈- ??????arccos(cos )π π2 2 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 1、反三角函数: 概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx. IL 2 2 y = Sin X（X二R）,不存在反函数 含义：arcsinx表示一个角：?；角? _一，一；sin〉=x. 1 2 2J 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 其中：（1 ）?符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实 2 2 2 2 数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数； (2) ?y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关 2 2 系是解反三角函数问题的主要依据； (3) ?恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1], arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2 (4) ? 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。2 2 方程 方程的解集 Sin X = a a ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z } a <1 {χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= a a ∣ = 1 {χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z } a <1 {χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a {χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z} (1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有 解，求出三角方程的解集； (2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简 单的三角方程的解； (3) .要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 女口：若 sin 〉=Sin :,贝U Sin = Q (T )k :;若 cos 〉= cos ：,则〉=2k 二二卩 若 tan : = tan ：,贝V a = k .■-；若 CotI=Cot ：,贝y a = k 二■ L ； (4) .会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 【例题精讲】 A. y = a r c s Xn X E 【-1, 1 】 B. y = -arcsinx , X 1-1, 11 C. y"+arcsXnχw[-1, 1】 D. y =二-arcsinx , X ∣-1, 11 分析与解: X , ,需把角X 转化至主值区间 IL 2 2 π π X ,又 sin(二 -X)=Sinx = y 2 2 由反正弦函数定义，得 H -x=arcsiny ■ X -二- arcsiyι又由已知得 -1三y 二1 例1.函数y = Sin X , 「 兀 X _2， 三角函数 1.特殊锐角（ 0°， 30°， 45°， 60°， 90°）的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为 a （rad ）, 半径为 R，面积为 S 角a 的弧度数公式2π×(a /360 °) ①360°=2π rad 角度与弧度的换算②1°=π/180rad ③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 ° 弧长公式l a R 扇形的面积公式s1lR 2 3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓 奇偶指是整数 k 的奇偶性（ k· /2+ a） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角， k· /2+ a 之和所在象限）注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 学习指导参考 4. 三角函数的图像和性质： （其中 k z ） ①： 三角 函数 函 数 图 象 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 y sin x R [-1,1] 2 奇 2k , 2k 2 2 2k , 2k 2 2 对称轴 : x k 2 y cosx R [-1,1] 2 偶 2k ,2 k 2k ,2 k 对称轴 : x k y tanx y cotx x k x k 2 R R 奇 非奇非偶 k , k k , k 2 2 对称中心: ( k 2 , 0) 性 对称中心 : ( k , 0) 对称中心 : ( k + 2 , 0) 零值点 x k x k 2 最 x k , y max 1 x 2k ， y max 1 ； 2 值 x k , y min 1 y 2k ， y min 1 x k x 2 k 反三角函数的概念和性质 ． 一．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝ arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 反三角函数与最简单的三角方程 (99.9.15) 班别 学号 姓名 成绩 一、 在下面各式中，对的在括号内打√，错的打×。（10分） (1) arcsin 2π =1 ( ) (2) arccos 2 1=3 π ±( ) (3) sin(arcsin 215-)=2 1 5-( ) (4) sin(arcsin 3π)=3π( ) (5) arccos[cos(3 π-)]=3 π -( ) (6) arctg 4π =n π+4 π,n ∈Z( ) (7) arctg(3-)= 65π( ) (8) x ∈R,arcsinx+arccosx=2π ( ) (9) arcsin(sin 32π)=3π-( ) (10) arccos(cos 21)=3 π ( ) 二、 选择题（把答案写在指定的括号内，每题8分，共40分） 1，已知函数y=2 1 arccos 2 1 3-x ，则其定义域和值域分别是（ ） （A ）131≤≤-x 20,π≤≤y （B ）ππ≤≤-≤≤-y x ,131 （C ）2121,31231≤≤-+≤ ≤y x π （D ）22,3 1 231≤≤-+≤≤y x π 2，已知x(π，2π)，则arcctg(ctgx)等于（ ） （A ）π－x （B ）x －π （C ）x －2π （D ）2π－x 3，方程cos 2 x=cos 2 6π 的解集是（ ） （A ）{x |x=k π6 π±，k ∈Z} （B ）{x |x=k π3 π ±，k ∈Z} （C ）{x |x=2k π6 π±，k ∈Z} （D ）{x |x=2k π3 π ±，k ∈Z} 4，方程sinx+cosx=2 6 ，0 反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 三角函数及反三角函数集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 函数变换 反三角函数 三角函数的，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 第25讲反三角函数与三角方程 本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程． 反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数 1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π 2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y ＝arcsin x (x ∈[－ 1，1]) 这个式子表示：在区间[-π2 ，π 2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ， 即2．反正弦函数的性质： ⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π 2 ]． ⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即 ⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π 2 ])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象： 二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到： 1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1]) 这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ， 即2．反余弦函数的性质： ⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减； ⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即 ⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象： 三．反正切函数 1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π 2 ))的反函数就是反正切函数，记为y ＝arctan x (x ∈R )． 这个式子表示：在区间(-π2 ，π 2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ， 即2．反正切函数的性质： 反三角函数的概念和性质 反三角函数的概念和性质 一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－ ，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ] （C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相 三角函数公式和图象总结 1．与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为S={β|β=α+k ×360，k ∈Z} 2．弧长公式：α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 3．三角函数定义： sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===，其中P (,)x y 是α终边上一点，||r OP = 4．同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=，?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。 12．①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω，最大值为A+b ，最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13．正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 14．余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15．S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点三角函数,反三角函数公式大全
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