天线理论课件：第三章__典型线天线

第三章线天线

线天线的尺寸都接近于工作波长的整数倍或半整数倍，也称谐振天线。由于其电特性对于频率的变化很敏感，因而大多为窄带天线。线天线形式有很多，本章主要介绍一些应用较为广泛的几种典型的线天线。

§1.水平对称天线（Horizontal Antenna）1.1 双极天线

双极天线是水平架设的对称阵子天线，其结构简单，架设方便，易于维护，广泛用做短波天线，用于天波的传播。

1.1.1 双极天线的结构

水平架设于地面上的双极天线，由对称双臂、支架和绝缘子构成，结构如下图所示。两臂与地面平行，由单根或多股金属导线构成，导线的直径一般为mm 6~3。两臂之间由绝缘子固定，并通过绝缘子与支架相连，支架距离阵子两端m 3~2。支架的金属拉线每隔小于4λ的间距加入绝缘子，减小方向图失真。

1.1.2 双极天线的方向性

下图为一架设于地面上的双极天线，架设高度为H ，天线臂长为l 。坐标原点到观察点射线的仰角（与地面夹角）为?，与y 轴夹角θ，方位角?。

由图可以得到： ?θsin cos cos ''?===OP

OA OP OP OP OA

则有：

?θ22sin cos 1sin ?-=

在分析水平天线的辐射场时，常将地面看成是理想导电地，地面对天线辐射性能的影响可用天线的负镜像来替代。双极天线的方向函数为对称阵子元函数和其负镜像阵函数的乘积，即为：

()()()()()??--?=???=?sin sin 2sin cos 1cos sin cos cos ,,221kH kl

kl f f f g ????

根据上式，可以画出双极天线的立体方向图。固定天线架设高度4λ=H ，改变双极天线的臂长得到的立体方向图见图3.2（1）；固定双极天线的臂长，改变天线的架设高度得到的方向图如图3.2（2）所示。 λ

5.0=l λ

65.0=l λ25.0=l λ75.0=l λ0.1=l λ

2.1=l 图

3.2（1）方向图随臂长的变化

双极天线的方向特性的分析：

（1） 垂直平面方向图

垂直平面是指垂直于地面并通过天线最大辐射方向的平面，即图3.1中0=?的xoz 平面。

当0=?时，双极天线的方向函数变成：

()()??-=

?sin sin 2cos 1kH kl f v

λ25.0=H λ5.0=H λ75.0=H λ0.1=H λ25.1=H λ75.1=H 图3.2（2）方向图随架高H 的变化

将0=?代入双极天线的方向函数，可得

()()??-=?sin sin 2cos 1kH kl f xoz 垂直平面的方向图如上图所示（4λ=l ）。 垂直面方向图特点：

a) 阵元的方向图是圆，天线的方向图形状仅由地因子决定。

b) xoz f 只是λH 的函数，与λl 无关。改变架设高度可控制垂直平面的方向图。

c) 沿地面方向（0=?）无辐射，双极天线不能用做地波通信。

d) 3.0<λH 时，最大辐射方向为 90=?，在 90~60=?范围内场强变化不大。适用于km 300以内的天波通信。

e) 3.0>λH 时，出现多个最大辐射方向，λH 越高，波瓣数越多，靠近地面的第一波瓣1m ?越低。第一波瓣最大辐射仰角1m ?可由下式求出：

()1sin sin 1=?m kH

得到：

H m 4arcsin 1λ

=?

天线架设时，应使第一波瓣的最大仰角等于通信仰

角0?。由通信仰角0?就可确定天线的架设高度，即：

0sin 4?=λ

H 可见，通信距离越远，0?越小，要求架设高度越高。

（2） 水平平面方向图

水平平面方向图是在辐射仰角?一定的平面上，天线辐射场强随方位角?的变化关系图。方向函数为：

()()()()()??--?=???=?sin sin 2sin cos 1cos sin cos cos ,,221kH kl

kl f f f g h ????

式中地因子()?g f 与?无关，当天线的仰角?一定时，()?g f 只影响合成场的大小，不影响方向图的形状，水平面内的方向图形状完全由元函数()?,1?f 决定。下图给出了λ25.0=l 及λ25.0=H 时，水平面方向图随仰角

?的变化。

水平面方向图特点：

a) 与架设高度λH 无关。

b) 与自由空间对称阵子相同，水平平面内方向图形状取决于λl 。当7.0<λl 时，最大辐射方向在0=?方向；当7.0>λl 时，在0=?方向辐射很小或无辐射。一般取7.0≤λl 。

c) 仰角?越大，方向性越弱。

综合垂直面和水平面方向图特点，得到如下结论：

A) 控制λl ，可控制水平面方向图；控制λH ，可控制垂直面方向图。

B) 架设高度3.0<λH 时，在高仰角方向辐射最强，可用作km 300距离内的通信。

C) 远距离通信时，根据通信距离确定通信仰角0?，再由0?确定λH 。

D) 臂长应取7.0<λl ，确保0=?方向辐射最强。

1.1.2 输入阻抗与方向系数

理论计算天线输入阻抗的方法一般误差较大，通常采用实际测量来确定天线的阻抗。双极天线的输入阻抗随频率变化关系曲线如图3.4所示。

在图示的频带内，双极天线的输入阻抗对频率变化较为敏感，因此要使天线在宽频带内工作，必须在天线与馈线之间采取阻抗匹配措施。

双极天线的方向系数可由下式求得：

()r

m R f D ?,1201?= ()?,1m f ?--最大辐射方向的方向函数

r R --天线的辐射电阻

图3.5给出了地面为理想导电平面、架设高度5.0>λH 时，天线方向系数D 与臂长λl 的关系曲线。

1.2 笼形天线（Cage Antenna）

双极天线的输入阻抗随频率变化较大，是一种窄频带天线。为了展宽带宽，可采用加粗天线阵子直径的办法。通常将几根导线排成圆柱形组成阵子的两臂，

这种天线称为笼形天线，结构如图3.5所示。

笼形天线两臂通常由6~8根细导线构成，每根导线直径为3~5mm，笼形直径约为1~3m，特性阻抗为

250~400Ω。笼形天线的输入阻抗在频段内变化较为平

缓，工作带宽较宽。

笼形天线两臂的直径较大，在输入端引入很大的端电容，使得天线与馈线的匹配变差。为减小馈电处的端电容，阵子的半径从距馈电点3~4m 处逐渐缩小，至馈电处汇集在一起。天线的两端采取同样的方法以减小末端效应。

如果组成笼形天线的导线有n 根，单根导线的半径为a ，笼形半径为b ，则笼形天线的等效半径e a 可由下式计算：

()n

e na b a 1?= 笼形天线的方向性和天线尺寸的选择与双极天线相同。

为展宽双极天线的带宽，也可将其双臂改成其它形式，构成笼形双锥天线、平面片形对称阵子天线等。

§2.直立天线（Vertical Antenna）地面波通信，通常采用垂直极化波，使用垂直接地的直立天线（或称单极天线）。长波和中波波段，直立天线很长，需用支架架起，也可直接用铁塔做辐射体，称为铁塔天线或桅杆天线。在短波和超短波波段，天线尺寸较小，采用外形象鞭的鞭状天线。

2.1 鞭状天线（Whip Antenna）

鞭状天线结构简单，携带方便，广泛应用于无线移动通信中。

2.1.1 结构

鞭状天线相当于将对称阵子天线从中间馈电点处分成两部分，在金属臂和地之间进行馈电。常见的鞭状天线是一根金属棒，金属可做成便携式，即将棒分成数节，节间采取螺接或拉伸等方式连接。

2.1.2 鞭状天线的辐射场

假设鞭状天线高为h ，输入端电流为0I ，其上电流分布可表示为：

()()z h k kh

I z I -=sin sin 0 远区场表达式为：

?-?=-?=-?-?cos )

cos()sin cos(sin 60)(sin cos sin 60)(00

sin 0kh kh kh r e I j dz e z h k kh r e I j E jkr h jkz jkr

λπθθ

方向函数为：

?-?=?cos sin )cos()sin cos()(kh kh kh F

下图为鞭状天线随高度h 变化的方向图。

λ

5.0=h λ

75.0=h λ

65.0=h λ70.0=h 鞭状天线方向图随h 的变化

2.1.3 鞭状天线的性能

1) 极化

鞭状天线的辐射场垂直于地面，属于垂直极化波。

2) 方向图及方向系数

鞭状天线上的电流分布与对应的对称阵子上半部分相同，地面对鞭状天线的影响可以用其正镜像代替，地面上半空间辐射场的方向图与相应的自由空间中对称阵子的方向图相同。

理想导电地情况下，鞭状天线辐射的功率是对应对称阵子辐射功率的一半，假设电流分布相同的对称阵子的辐射功率为P ，在观察点处，二者的功率密度max W 相同，由方向系数定义可得：

()()

dipole whip D r P W r P W D 2424212max 2

max

===ππ 可见，鞭状天线的方向系数是对称阵子方向系数的2倍。同样可推得，鞭状天线的辐射阻抗是相应对称阵子辐射阻抗的一半，即2dipole whip R R =。

3) 有效高度

假设有一直立天线，均匀分布的电流是鞭状天线的输入端电流，在最大辐射方向的场强与鞭状天线的相等，则该天线的长度就称为鞭状天线的有效高度，以e h 表示。

依据有效高度定义，则有：

()2

tan sin cos 10000kh k I kh kh k I dz z I I h h

e =-==? 即有效高度e h 为：

2

tan 1kh k h e = 当1.0<λh 时，()22tan kh kh ≈，此时2h h e ≈。也就是说，当鞭状天线的高度λ<

4) 输入阻抗

如果将大地看成理想导电地，鞭状天线的输入阻抗是相应对称阵子输入阻抗的一半。实际上，输入到天线的功率只有一部分辐射出去了，大部分被损耗掉了。因此天线的输入电阻in R 应包括辐射电阻0r R 和损耗电阻lo R 两部分，即：00l r in R R R +=

其中()()???<<<<=地质为干地地质为湿地,4.20,5.292

20λλh kh h kh R e e r

h A R lo 4λ

=

对于干地，7≈A ；对于湿地，2≈A 。

5) 天线效率

鞭状天线的辐射阻抗较小，因此辐射效率很低，如短波鞭状天线的效率只有百分之几。要提高鞭状天线的效率，可采用提高辐射电阻和减小损耗电阻的办法，如天线加载和埋设地网等。

2.1.4 顶端加载

在天线顶端加小球、圆盘或辐射叶等以改变天线顶端的电流分布，称为顶端加载。顶端加载后，天线的顶端增大了顶端的电流，从而增强了天线的辐射能力，改善了性能。

顶负载的作用相当于在天线的顶端引入了一个电

容a C ，该电容可以用一段长为'h 的延长线来等效。如

果鞭状天线的高度为h ，加载后天线的高度相当于)('h h +。假设垂直线段的特性阻抗为0Z ，导线半径a ，

等效长度'h 可由下式计算：

a C ctgkh Z ω1'0=

即： ()a C Z k

h ω0'arctan 1= 式中， Ω??? ??-=12ln

600a h Z 设加载后鞭状天线上的电流分布为：

()[]()[]''0sin sin h h k z h h k I I z +-+=

而 ?=h z e dz I I h 00

可得加顶负载天线的有效高度为： ()[]()()[]

''00sin 2sin 22sin 21h h k k kh h h k dz I I h h z e ++==? 当天线的高度很小时，上式可简化为：

???

? ??++=''12h h h h h e 可见，鞭状天线加载后有效高度增加，辐射能力增强。 加顶负载后鞭状天线的方向图在水平面内仍然是个圆；在垂直平面内方向函数为：

()()()()()()[]()()[]{}?+-+-??-?=?cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos ,'''''h h k kh h h k kh kh kh kh F ?

2.2 双锥天线（Biconical Antenna）

双锥天线是两臂为锥体的偶极天线，两臂由中间向两端直径逐渐增大，圆锥的张角保持不变。

2.2.1 无限双锥天线

无限双锥天线是由两臂两个顶点靠拢、形状相同的无限长锥形导电面组成，如下图(a)所示。高频震荡电压

V通过两顶点之间的缝隙馈入，该电压产生球面

i

波，进而产生两极表面电流()r I和极间电压()r

V。由于两臂无限延伸，无限双锥可以看成是均匀渐变的传输线，采用传输线理论进行分析。

1）辐射场

无限双锥天线在两极间激励电磁波的主模为TEM

模，磁场只有垂直于轴线的?H 分量，电场只有θE 分量，即θθE a

E ?= ，??H a H ?= 。 由麦克斯韦方程H j E ωμ-=??可得：

()?θωμH j rE r

r -=??1 （1） 而由E j H ωε=??得到：

()()()θθ?θ?ωεθθθθθE a j H r r r a H r r a r ?sin sin 1?sin sin 1

?2=??

??????-???????? 令两边对应的分量相等，则有：

()0sin =???θθ

H r （2） ()θ?ωεθθE j H r r r -=??sin sin 1 （3）

（3） 式可以改写成：

()θ?ωεE j rH r

r -=??1 （4） （4）式代入到（1）式中得到：

()()0222

=-????rH k rH r

（5） μεω22=k --传播常数

方程（5）解的形式为：

jkr e H rH -=0?

满足（2）的解为：

()θ?sin r r f H =

由此可得无限双锥两极间磁场表示式为：

r

e H H jkr

-=θ?sin 0 由于天线辐射电磁波为TEM ，可得其电场强度为：

θηη?θsin 10r e H H E jkr -==

辐射场的归一化方向函数为：

()()

22sin 2sin α

πθαθαθ-<<=F

2）输入阻抗

为求无限双锥天线的输入阻抗，首先要求出锥体上相对应两点间的电压()r V 和锥体表面电流()r I 。由电场分布可得极间电压()r V 为： ()()[]4cot ln 2022

2

2αηθαπαθαπαjkr e H rd E l d E r V ---==?=?? 锥体表面电流：

()jkr e H d r H r I -?==0202sin π?θπ

? 由传输线理论，特性阻抗应为：

()()[]4cot ln απ

η==r I r V Z c c Z 与r 无关，因此

()()[]c in Z I V Z ===4cot ln 00απ

η 对于自由空间，πη120=，代入上式有：

[]4cot ln 120α=c Z

当锥角较小时， ()απη4ln ≈

c Z 由于无限双锥上的电流为纯行波，所以输入阻抗为纯电阻。

3）辐射阻抗

由坡印廷矢量得到无限双锥天线的辐射功率为：

()[]4cot ln 2sin 22022022

απη?θθηπαπαH d d r E s d W P S av r ==?=????- 以()0I 为归算电流，得天线辐射阻抗：

()[]4cot ln 022απ

η==I P R r r 。 2.2.2 有限双锥天线

实际应用中的双锥天线是有限长的，TEM 主模和双锥末端产生的高次模同时存在，高次模引起电抗使得天线的输入阻抗不再是纯电阻。此时除大部分功率被辐射出去，另有部分功率被反射回来。这相当于特性阻抗为c Z 的传输线端接一个负载L Z 。设法增大顶角

α，可以降低输入阻抗的电抗部分，使天线的带宽变宽，同时也使得输入阻抗的实部对频率的变化不敏感。

《线性代数》第3章习题解答

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =- ----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3] [19,1,0,10,11] T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使 11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 11223,k k k βααα=++则表示系数123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关. 解：正确。因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使 11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以 1212,,,ααββ线性相关。 4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0, T T T βαα===[] 30,0,1,1T α=， []40,0,1,1T α=-- 解：显然 131342βααααα=+=+- (2) [][][]121,2,5, 1,1,1,1,2,3,T T T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.T α= 解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组 1232233 2321 2535 x x x x x x x x x ++=?? +-=??++=? 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 211231321 1211 12110541 2120133 013321 3 1502 140 5 10r r r r A r r r r ???? ?? --??????=------??????---???????????? 23132351 0541 00650133010330 1 20 1 2r r r r r -????-????--????+???????? 故 1236,3,2,x x x =-==12 3 46320. βαααα∴ =-+++

第二章 钢桥设计计算理论 苏庆田2013

第二章钢桥设计计算理论

一般规定 ①钢桥按照极限状态方法进行设计； ?承载能力极限状态设计：包括构件和连接的强度破坏，结构、构件丧失稳定及结构倾覆 ?正常使用极限状态：包括影响结构、构件正常使用的变形、振动及影响结构耐久性的局部损坏 ?疲劳极限状态：疲劳破坏 ②公路钢结构桥梁应考虑以下三种设计状况及其相应的极限状态设计； 1 持久状况：桥梁建成后承受结构自重、车辆荷载等持续时间很长的状况。该状况 应进行承载能力极限状态、疲劳极限状态和正常使用极限状态设计。 2 短暂状况：桥梁在制作、运送和架设过程中承受临时荷载的状况。该状况应进行 承载能力极限状态设计，必要时进行正常使用极限状态设计。 3 偶然状况：桥梁在使用过程中偶然出现的状况。该状况只需进行承载能力极限状 态设计。

一般规定 1桥梁杆件的强度和稳定应按有效截面计算（？？？）。 2 受拉翼缘的强度计算有效截面应考虑剪力滞和孔洞的影响。 3 受压翼缘和腹板的强度计算有效截面应考虑剪力滞、孔洞和板件局部稳定的 影响。 4 杆件稳定计算应考虑板件局部稳定的影响。

有效截面 有效截面规定 1) 考虑受压加劲板局部稳定影响的有效截面按下式计算： 图5.1.7 考虑受压加劲板局部稳定影响的受压板件宽度示意图（刚性加劲肋）

有效截面 有效截面规定 1) 考虑受压加劲板局部稳定影响的有效截面按下式计算： 图5.1.7 考虑受压加劲板局部稳定影响的受压板件宽度示意图（柔性加劲肋）

有效截面规定 有效截面 2) 考虑剪力滞影响的有效截面面积按下式计算： (5.1.6-1) 式中: 图5.1.8 考虑剪力滞影响的第i块板件的翼缘有效宽度示意图

线代第三章习题解答

第三章 行列式 习题3.1 3-1-6.用定义计算行列式 （1）()2,1,0,,,0 0000002 2 221111 4=≠= i d c b a d c b a d c b a D i i i i 解：设4 44?=ij a D 则4D 中第1行的非0元为113111, b a a a ==，故11,3j = 同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j === ∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --= (2)010...0002 0 000...000 0 n D n =M M M M 解：由行列式的定义121212()12(1)n n n j j j n j j nj j j j D a a a τ= -∑L L L 仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零 12121()(231)1212231(1) (1) (1)(1)(1) 12(1) ! n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-?=-?L L L L L 习题3.2

3.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γ γ γ βββ α αα 证明: 222222222 22222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c ααααααα ββ βββββγγ γ γ γ γγ -=-+-左0= (2) 3 2 2)(11122b a b b a a b ab a -=+ 证明:23 22 2 212()()2()1100 1 c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a b a b b a b a b a b --------==---左 右=-=3)(b a (3) 1212112 21100001000001n n n n n n n n x x x a x a x a x a x a a a a a x -------=+++++-+L L M M M O M M L L L 证明: 按最后一行展开，得 1211000000010001000 (1)(1)0 0010000100 10001 n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L L L 左

线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα， 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性

【精品线代试题】大学线代 考研线代第三章复习题

第三章向量复习题 一、填空题： 1.当____时，向量线性无关. 2..向量则6， 3.如果线性无关，且不能由线性表示，则 的线性无关 4.设,，当5/2时，线性相关. 5.一个非零向量是线性无关；的，一个零向量是线性相关的. 6.设向量组A:线性无关，，，线性相关 7.设为阶方阵，且，是A X=0的两个不同解，则一定线性相关 8.向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是 等于。(填大于，小于或等于) 9.设向量组,,线性相关，则的值为 。 二、选择题： 1..阶方阵的行列式,则的列向量（A） Ａ．线性相关Ｂ．线性无关Ｃ．Ｄ． 2.设为阶方阵，，则的行向量中（A） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关 D、任一行都可由其余个行向量线性表示 3.设有维向量组（Ⅰ）：和（Ⅱ）：，则（B）． A、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 B、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 C、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 D、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 4.下列命题中正确的是(D) (A)任意个维向量线性相关(B)任意个维向量线性无关 (C)任意个维向量线性相关(D)任意个维向量线性无关 5.向量组线性相关且秩为s，则(D) （A）(B)(C)(D) 6.维向量组(3≤s≤n）线性无关的充要条件是（）. (A）中任意两个向量都线性无关 (B)中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)中不含零向量 7.向量组线性无关的充要条件是（C） A、任意不为零向量 B、中任两个向量的对应分量不成比例 C、中有部分向量线性无关 D、中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8.设为阶方阵，，则的行向量中（D） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线性无关组 C、任意个行向量线性相关

线性代数第三章(答案)

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 一、填空题 1、 设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____ 2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0 的通解为________ 3、 设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______ 4、 设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ，??????? ??=n x x x X 21，???? ??? ??=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组B AX =的解是________ 5、 已知????? ? ?=10 0210 002 P ，??? ? ? ? ?=20 0020 001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ?的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、 矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R

线性代数 第三章 测验

（1）设n 阶方阵A 的秩rn （5）设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=B 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是：（ ） （A ）若AX=0仅有零解，则AX=B 有唯一解； （B ）若AX=0有非零解，则AX=B 有无穷多解； （C ）若AX=B 有无穷多个解，则AX=0仅有零解； （D ）若AX=B 有无穷多个解，则AX=0有非零解。 （6）设向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αr 可由向量组（Ⅱ）：β1，β2，…，βS 线性表示，则（ ） （A ）当rS 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C ）当rS 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解.

理论力学第一章题及解答(文末)

第一章 思考题 1.1平均速度与瞬时速度有何不同？ 1.2 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =.为什么2θ r r a r -=而非r ？为什么θθ r r a 20+=而非θθ r r +？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 1.4 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中既有n a 而无τa ？ 1.5dt r d 与dt dr 有无不同？dt v d 与dt dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论. 1.6人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？ 1.7雨点以匀速度v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路经？ 1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？ 1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？ 1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明. 1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？ 1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？ 1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是k j i v 323++=，式中i 、j 、k 是沿x 、 y 、z 轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。 1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O 及z 轴的动量矩各是多少？ 1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？ 1.16如()r F F =，则在三维直角坐标系中，仍有▽0=?F 的关系存在吗？试验之。 1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？

线性代数第三章

显然，如果n = k，则COS sin sincos的猜想是正确的，即cos sin sincos，sincos，sincos，B是n阶矩阵。以下等式成立的条件是什么？如果矩阵B与矩阵A是可交换的，并且a是22矩阵，那么根据矩阵乘法的定义，我们可以知道所有可以与a交换的矩阵都是22矩阵，因此我们可以知道所有矩阵可以与a交换的是a，而B是任何常数2-7。证明了可以与a交换的矩阵必须是对角矩阵。证明：让矩阵B 1112 2122 1112 1112 2122 2122 ijab 与a交换，即，可以与a交换的矩阵B只能是对角矩阵。2-8（1）证明如果a和B是n阶对称矩阵，那么当且仅当a和B是可交换的时，AB才是对称矩阵。（2）设a为实对称矩阵，并证明：（1）a和B是n阶对称矩阵，证明充分性：由于a和B是可交换的，则AB，Ba和ab是对称矩阵；由于AB是对称矩阵，所以ABAB Baab是Abba。综上所述，如果a 和B是n阶对称矩阵，那么当且仅当a和B是可交换的时，AB才是对称矩阵。2-9找到以下方程的逆矩阵。注意：实际上，很难通过找到伴随矩阵来找到逆矩阵。通过基本矩阵的推导找到逆矩阵更方便。但是作为基础，我们应该学习通过找到伴随矩阵来找到逆矩阵。令方阵a满足方程，证明a是可逆的，然后求逆。证明并且仅当存在m阶可逆矩阵和p阶可逆

矩阵Q时a等于B。PAQ证明有必要首先对a进行有限基本行变换在a的左边执行有限数量的m阶基本矩阵，即有限m阶基本矩阵的乘积，可以将其设置为m阶可逆矩阵P来执行有限阶基本列转换，等效于将a的右侧乘以有限度的乘积。基本矩阵的乘积设置为n阶可逆矩阵充分性：PAQ等效于基本行转换和有限时间的基本列转换。2-34。B计算中的一个选项是2-51计算：1412 1819 36 38 1412 1315 3638 4543 3-15计算以下矩阵的等级：以下是其他文档，可以在下载后将其删除。感谢您的教育实践摘要主题15第1部分：教育实践摘要1.在清光绪创建的实践学校中学33在其中，学校所在地多次更改，学校名称多次更改。在那时，中学被改名为领导者和老师。他们以开放的心态听取意见，从经验中吸取教训，并主动完成实习学校分配的任务。这产生了良好的形象，给实践学校的领导，老师和学生留下了良好的印象，并赢得了学校领导和老师的赞誉，我对此感到非常满意。在这段短暂的实习期间，我主要进行了教学实践，班主任工作和研究工作。2，教学工作：1.如何很好地教好每一节课是整个练习过程的重点。从9月17日到9月27日，一个多星期的任务是听课。在此期间，我听了高中12名中文老师的14堂课，2堂历史课和1堂地理课。在听课

线性代数第三章答案

第二次作业参考答案 2-1设21 1122103 10,103,0161211132A B C ?????? ? ? ? ==-=- ? ? ? ? ? ?---?????? ,试求()32A B C -,并验证()()AB C A BC =。 解: 63339 301836A ?? ?= ? ?-? ?,2442206222B ?? ?=- ? ?-??,4113211361614A B --?? ?-=- ? ?-?? ()411107 132113601291516143249A B C ---?????? ??? ? -=--=- ??? ? ??? ?--?????? 21112223831010326961211191011AB ?????? ??? ?=-= ??? ? ??? ?--??????,()23810221326901251291011322412AB C -?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?--?????? 1221052103011061113223BC -?????? ??? ?=--=- ??? ? ??? ?---??????,()2115222133101062512612232412A BC --?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?---?????? ()()AB C A BC ∴= 2-2计算下列乘积： （1）()312321?? ? ? ??? （2）()21123?? ? - ? ??? （3）()11 121311 2 321 2223231 32 333a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ??? ??????? （7）0110n ?? ?-?? （n 为正整数） 解：(1) ()()()3123234310101?? ? =++== ? ??? (2) ()22411212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-???? (3) ()()111213111232122232111122133121222233 131232333231323333a a a x x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a a x x ???? ?? ??? ? =++++++ ??? ? ??? ????? ?? 222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++ （7）令0110n n A ?? = ?-?? 当n=1时，111cos sin 012 2 1011sin cos 2 2A π ππ π?? ? ??== ? ?-?? ?- ??? ；当n=2时，210cos sin 01sin cos A ππππ-???? == ? ?--???? ；

线性代数第三章

线性代数： 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 线性代数第三版： 《线性代数第三版》是中国人民大学出版社2004年12月出版的图书，作者是赵树源。 内容提要： 一本新颖的《线性代数》,用全新的方法讲解线性代数的基本定理,揭开数学中的黑洞,让你感受富有哲理的论述,轻松学会线性代数方法。本书以基本定理为纲,建立了一个新的线性相关的理论体系,增加了一些新定理,改进了一些定理的证明;用发现法引入了行列式的概念,给出了克拉默法则的一个标准的表述及其一个新的证明,指出了克拉默法则是一个根本法则及其在理论上的重大意义,论述富有哲理,例如讲了数的哲学及对称美。 图书目录： 第一章行列式 1.1 二阶、三阶行列式 1.2 n阶行列式

1.3 行列式的性质 1.4 行列式按行（列）展开1.5 克莱姆法则 习题一 第二章矩阵 2.1 矩阵的概念 2.2 矩阵的运算 2.3 几种特殊的矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 逆矩阵 2.6 矩阵的初等变换 2.7 矩阵的秩 习题二 第三章线性方程组 3.1 线性方程组的消元解法3.2 n维向量空间 3.3 向量间的线性关系 3.4 线性方程组解的结构3.5 投入产出数学模型 习题三 第四章矩阵的特征值 4.1 矩阵的特征值与特征向量

线性代数第3章(知识梳理)

本章结构 0 m n m n A x b A x ????→?=? →???→?=? →→??6444444444447444444444448矩阵表示消元法 非齐次向量表示向量与向量组的线性组合 线性方程组 矩阵表示消元法 齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩 　齐次线性方程组 非齐次线性方程组 解的性质、基础解系、全部解　解的性质、全部解 常用方法：1????→????????→??????→初等行变换 初等行变换 初等行变换 非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形 A ????→初等行变换 阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ??= ? ?? 2、求矩阵A 的逆 ()()1A I I A -→M M 3、消元法求线性方程组Ax b =的解 增广矩阵()A b M →行最简阶梯 4、求矩阵A 的秩 A →阶梯形 5、判断向量β能否由向量组12,,,s αααL 线性表示 以12,,,,s αααβL 为列向量的矩阵→行最简阶梯 6、求向量组12,,,s αααL 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示 以12,,,s αααL 为列向量的矩阵→行最简阶梯 7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解 增广矩阵()A b M →行最简阶梯 一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ?= 1、() A b M u u u u u u u u u u u u u u u r 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b 2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.

线性代数第三章答案

第三章 多维随机变量及其分布 一、单项选择题 单选：1、C ；2、B ；3、C ；4、B ；5、C 二、填空题 1． 2． 81 16；3.3.0；4. 4，是。 三、判断题（正确的打√，错 ?） 1、×； 2、×； 3、√； 4、√； 5、√ 四、设随机变量()Y X ,的概率密度函数为：???<<<<=else y x y x f , 01 0,10,1),(， 求：()Y X ,的分布函数),(y x F . 解：当0≤x 或0≤y 时，0),(=y x F ， 当10<

故????? ????≥≥><<><<<<<<≤≤=. 111 ,110,110,1010,000),(y x x y y y x x y x xy y x y x F 且且且且或 五、设随机变量1X 与2X 独立同分布于),(p n B ，证明),2(~21p n B X X Y +=. 证明：因为),(~,21p n B X X ，所以21X X Y +=的取值为.2,2,1,0n ==+==)()(21k X X P k X P ),0(21k X X P ==)1,1(21-==+k X X P )0,(21==++X k X P i k n i k i k n i n i i n k i p p C p p C +----=--= ∑ ) 1() 1(0 k n k k n p p C --=22) 1(，所以),2(~2p n B Y 六、设X 与Y 相互独立，分别服从参数为λ和μ的指数分布，求Y X Z -=的. 解：因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 联合概率密度为 ? ? ?>>=--其它 且0, 00),(y x e y x f y x μλλμ )()()(z Y X P z Z P z F ≤-=≤= 当0≤z 时，? ? +∞ +∞ -+= = ),()(z x z e dy y x f dx z F μμ λλ 当0>z 时，? ? +∞ =z dy y x f dx z F 0 ),()(? ? +∞ +∞ -+ z z x dy y x f dx ),( z e λμ λμ-+- =1。

【复旦版线代】线性代数第三章课后习题及详细解答

习题 三 1. 略.见教材习题参考答案. 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 略.见教材习题参考答案. 5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关. 【证明】因为 1234123412341312342() 2()0 +++=+++?+++=+?-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关. 6. 设向量组12,,,r L ααα线性无关，证明向量组12,,,r L βββ也线性无关，这里 12.i i +++L β=ααα 【证明】 设向量组12,,,r L βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k L 使得 1122.r r k k k +++=L 0βββ 把12i i +++L β=ααα代入上式，得 121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0L L L ααα. 又已知12,,,r L ααα线性无关，故 1220,0, 0.r r r k k k k k k +++=??++=?? ??=? L L L L L 该方程组只有惟一零解120r k k k ====L ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r L βββ线性无关. 7. 略.见教材习题参考答案. 8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==L L α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n L ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=L α