函数及其应用
【课标要求】
1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律?
2. 函数
(1) 通过简单实例，了解常量、变量的意义?
(2) 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例
(3) 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析
(4) 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值?
(5) 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系
(6 )结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测
3. 一次函数
(1) 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式
(2) 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k z0)探索并理解其性质(k>0或k v0时，图象的变化情况).
(3) 理解正比例函数.
(4) 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
(5) 能用一次函数解决实际问题.
4. 反比例函数
(1) 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式.
k
(2) 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y (k z 0)探索并理解其性质
x
(k> 0或k v 0时，图象的变化情况).
(3) 能用反比例函数解决某些实际问题.
5. 二次函数
(1) 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义
(2) 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质
(3) 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题.
(4) 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
【课时分布】
函数部分在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排
【知识回顾】
1. 知识脉络
2. 基础知识
(1) 一次函数的图象：函数 y =kx b (k 、b 是常数，k z 0)的图象是过点(0, b )且与直线 y =kx 平行
的一条直线.
一次函数的性质： 设y =kx b ( k z 0),则当k > 0时，y 随x 的增大而增大；当k v 0, y 随x 的增大而减小?
正比例函数的图象：函数y =kx (k 是常数，k z 0)的图象是过原点及点(1 , k )的一条直线? 当k >0时，图象过原点及第一、第三象限；当
k v 0时，图象过原点及第二、第四象限
?
新课标第
—网
正比例函数的性质：设 y =kx (k z 0)，则当k > 0时，y 随x 的增大而增大；当 k v 0时， y 随x 的增大而减小.
k
(2) 反比例函数的图象：函数 y (k z 0)是双曲线.当k >0时，图象在第一、第三象
x
限；当k v 0时，图象在第二、第四象限?
k
反比例函数的性质：设 y
(k z 0)，则当k > 0时，在每个象限中，y 随x 的增大而
x
减小；当k v 0时，在每个象限中，y 随x 的增大而增大?
(3) 二次函数
一般式： y ax 2 bx c(a 0).
图象：函数y ax 2 bx c(a 0)的图象是对称轴平行于 y 轴的抛物线
性质：设 y ax 2 bx c(a 0) 当a > 0时，抛物线开口向上，当 a v 0时，抛物线开口向下;
b 2a ；
K ③顶点坐标(一
2a
①开口方向: ②对称轴：直线x
4ac b 2
）
；
4a
④增减性：当a > 0时，如果x
么y 随x 的增大而增大；当a v 0时，如果 b
一，那么y 随x 的增大而减小，如果 x
2a
x 一，那么y 随x 的增大而增大，如果x
2a
b ，那
2a _b 2a ，
那么y 随x 的增大而减小?
2
顶点式y a x h k a 0 .
2
图象：函数y a x h k a 0的图象是对称轴平行于 y 轴的抛物线?
2
性质：设yaxh k a 0
① 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上，当 a v 0时，抛物线开口向下； ② 对称轴：直线x h ； ③ 顶点坐标(h,k)；
④ 增减性：当a >0时，如果x h ，那么y 随x 的增大而减小，如果 x h ，那么y 随 x 的增大而增大；当 a v 0时，如果x h ，那么y 随x 的增大而增大，如果 x h ，那么y 随x 的增大而减小?
《函数》复习题?
2.已知P (tanA , 2)为函数图象y 22上一点，则 Q ( . 3cosA,sinA) ________________ (答在、
3x
不在)在函数y=x-1图象上；Q 3cos A,sin A)关于x 轴y 轴、关于原点的对称点到直线 y=x-1
的距离分别是 ____________________
3. ( 05甘肃兰州)四边形 ABCD 为直角梯形，CD// AB, CBL AB,且CD=BC±A B 若直线丨丄
2 ，
AB 直线I 截这个所得的位于此直线左方的图形面积为 y ，点A 到直线1的距离为x ,则y
与x 的函数关系的大致图象为(
)
?坐标
1.
P (1-m, 3m+1 )到x , y 轴的的距离相等，则 P 点坐标为 ____
2. A (4, 3), B 点在坐标轴上，线段 AB 的长为5，贝U B 点坐标为
3. 正方形的两边与 x,y 的坐标为
轴的负方向重合，其中正方形一个顶点为 在双曲线y —上，则
B ( 4y,12Cos60 ° )关于原点对称,P (x , k 的值为
5.点A( 3x-4,5-x )在第二象限，且x 是方程|3x 4 x 2
10x
25 的解，则A 点的坐标为 ___
6. (2006年芜湖市)如图， 将OA 绕原点O 逆时针旋转 A. ( 4,3) B. ( 3,4) ?函数概念和图象： 1?已知等腰三角形周长是 自变量x 的取值范围是_ 式，自变量范围) 在平面直角坐标系中， A 点坐标为 90°
得到OA ，则点A 的坐标是( C. (3, 4) D. (4, 3) (3,4), )
20,⑴底边长y 与腰长x 的函数关系是
:⑵
;⑶画出函数的图象(坐标轴方向，原点，关系
C (a-2, 2a-3 ),则点 C
y )
1
AB=5 BC=3点P 从起点D 出发，沿DC
CB 向终点B 匀速运动，设点 P 走过的路程为x 点P 经过的线段与线段 AD AP 围成图形的面 积为y,y 随x 的变化而变化，在下列图象中，能正确反映 y 与x 的函数关系的是（
）
5.
（05江苏徐州）有一根直尺的短边长 2厘米，长边长10
厘米，还有一块锐角为 45°的直
角三角形纸板，它的斜边长12厘米，如图①，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜 边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿 AB 方向平移如图②，设平移的长度为 x 厘米（
（1 ）当x=0时（如图①），S= _______ ;当x=10时，S= ___________ （2）当O ⑶ 当4 6. （ 05河南课改）Rt △ PMN 中，/ P=90°, PM=PN MN=8厘米，矩形 ABCD 勺长和宽分别为 厘米和2厘米，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令 Rt △ PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒 1厘米的速度移动，直到 C 点与N 点重合为止，设移动 x 秒后，矩 形ABCD WA PMN 重叠部分的面积为 y 平方厘米，则y 与x 之间的函数关系是 __________________ 平移?在平移过程中， GD ,与BC 2交于点E, AG 与C 2D 2、 ⑴ 当AC i D i 平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 D i E 与D 2F 的数量关系，并证明 7. （2006重庆）如图 ABC / ACB=90 ,AC=8,BC=6.沿斜边 AB 的中 线CD 把这张纸片剪成 ACQ !和 BC 2D 2两个三角形（如图 2所示）?将纸片 ACQ !沿直 线D 2B （AB 方向平移 （点 A'DjD z ’B 始终在同一直线上） ，当点D i 于点B 重合时，停止 BC 2分别交于点F 、P. 所示，一张三角形纸片 1 5. （06昆明）直线y 2x 3与直线L 交于P 点，P 点的横坐标为-1，直线L 与y 轴交于A （0, -1 ）点，则直线L 的解析式为 _______________________________ 6. （2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分 你的猜想; ⑵ 设平移距离 D 2D 1为x , AC 1D 1与 BC 2D 2重叠部分面积为 y ，请写出y 与x 的函数 关系式，以及自变量的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的 x 的值，使重叠部分的面积等于原 1 ABC 面积的丄. 4 ABCD 中 AB// DC,已知 AB=12, BC=4. 2，/ DAB=45 , 以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形 ABCD 绕A 点按逆时针方 向旋转 90°,得到等腰梯形 OEFG （ 0、E 、F 、G 分别是A B C 、D 旋转后的对应点） (1) (2) 写出C F 两点坐标 将等腰梯形ABCD 沿 x 轴的负半轴平行移动， 设移动后的0A 的长度是x 如图2，等腰梯形 ABCD 与等腰梯形OEFGt 合部分的面积为 y , 当点D 移动到等腰梯形 OEFG 的内部时，求y 与x 之间的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围 （3） 在直线CD 上是否存在点 巳使厶EFP 为等腰三角形，若存在，求 P 点坐标，若不存 在，说明理由 ?几类函数: 一次函数 1?直线y x 2不过第 ______________象限 3 2. （06陕西）直线y x 3与x 轴，y 轴围的三角形面积为 ____________________ 3. 直线y=kx+b 与直线y 5 4x 平行且与直线 y 3（x 6）的交点在y 轴上，则直线 若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由 & （ 07西城期末试题）在等腰梯形 y=kx+b 与两轴围成的三角形的面积为 _____________________ 别交于A (3,0), B (0, 3)两点，，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD L x 轴于点D (1) 求直线AB 的解析式； (2) 若S 梯形OBCD= ,求点C 的坐标;(3)在第一象限内是否存 3 在点P 使得以P,O,B 为顶点的三角形与△ OBAf 似.若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由? 反比例函数 k 1 1. 直线y 1 x 与双曲线y —只有一个交点 P -，n 则直线 x 8 y=—x+ n 不经过第 __________ 象限 2. ( 05四川)如图直线 AB 与x 轴y 轴交于B A ,与双曲线的 一个交点是 C, Ct U x 轴于D, OD=2OB=4OA=4则直线和双曲线 的解析式为 __________________________________________ 3. ( 06南京)某种灯的使用寿命为 1000小 时，它可使用天数 y 与平均每天使用小时数 x 之 间的函数关系是 ___________ — 4. (06北京)直线y=-x 绕原点O 顺时针旋转90°得到直线I ，直线1与反比例函数y — x 的图象的一个交点为 A ( a,3 ),则反比例函数的解析式为 ___________________ 5. (06天津)正比例函数 y kx(k 0)的图象与反比例函数 y (m 0)的图象都经过 x A (4, 2) (1) 则这两个函数的解析式为 ________________________________ (2) 这两个函数的其他交点为 ________________________________ 6. 点P (m,n )在第一象限，且在双曲线 y -和直线上，则以 m,n 为邻边的矩形面积 x ;若点P (m,n )在直线y=-x+10上则以m,n 为邻边的矩形的周长为 二次函数 1. ( 06大连)如图是二次函数 y 1= ax 2 n 的图象，观察图象写出 y 2>y 1时，x 2. ( 06陕西)抛物线的函数表达式是( A 2 c 2 A. y x x 2 B . y x C. y x 2 x 2 D . y x 2 x 2 3. ( 06南通)已知二次函数 y 2x 2 9x 34当自变量x 取两个不 同的值x 1, x 2时，函数值相等，则当自变量 x 取x 1 x 2时的函数值与 ( ) A. x 1时的函数值相等 B . x 0时的函数值相等 + bx + c 和一次函数 y = mx + 的取值范围 _______________ ) x 2 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由） 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG． （2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明 △AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立． 【详解】 （1）CG=EG．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=1 2 FD， 同理．在Rt△DEF中，EG=1 2 FD，∴CG=EG． （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG． ∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG． F 初三数学《几何计算训练题》 班级： 姓名： 评分： 一、填空题：（每小题3分，共15分） 1、60°的余角等于 。 2、等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。 3、△ABC 中，∠A ，∠ B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A -+=（，则△AB C 是： 。 （填什么三角形） 4、钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针 端转过的弧长是： 。 5、如上图，AC 为正方形ABCD 的对角线，延长AB 到E ，使AE = AC ， 为一边作菱 形AEFC ，若菱形的面积为29，则正方形的面积为 。 二、解答题： 6、有一个角是60°的直角三角形，求它的面积Y 与斜边X 的函数关系是式。（6分） 7、某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm 的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm ，聪明的你也能算出这个大石球的半径了吗？请你建立一个用于求大理石球的几何模型，并写出你的计算过程。（6分） C 8、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，tanB=2 1，AE=7，求DE 的长。（6分） 9、如图，小岛A 在港口P 的南偏西?45方向，距离港口100海里处，甲船从A 出发，沿AP 方向以10海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东?60方向以20海里/时的速度驶离港口。现两船同时出发，出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果保留根号）（6分） 10、如图，四边形ABCD 为菱形,已知A (0,6)，D (－8,0). （1）求点C 的坐标； （2）设菱形ABCD 对角线AC 、BD 相交于点E ，求经过点E 的反比例函数解析式.（8分） 11、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=o ，AD =BC =DC 的长．（8分） 12、已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，A D 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O． A B C D 10题图 函数综合复习训练题 一 .反比例函数、一次函数部分 7．如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x =的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ， AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号） ． 8如图，A 、B 是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 9如图，点A 、B 是双曲线3 y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 若1S =阴影，则12S S += ． 10如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴， 垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 11.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图3，直线a 与反比例函数 ()1 0y x x = >的图像相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -= y O x A C B x y A B O 1S 2S B A O y x a O B x y C A 图5 12.从2、3、4、5这四个数中，任取两个数() p q p q ≠ 和，构成函数2 y px y x q =-=+ 和，并使这两个函数图象的交点在直线2 x=的右侧，则这样的有序数对() p q ，共有（）A．12对B．6对C．5对D．3对 15.已知, A、B、C、D、E是反比例函数 16 y x =（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示） \ 16如图7所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……P n（x n，y n） 在函数y= x 9 （x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3……△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2 ,……A n-1A n，都在x轴上，则y1+y2+…+y n= 。 17（10分）如图，一次函数y kx b =+(0) k≠的图象与反比例函数(0) m y m x =≠的图象相交于A、B两点． （1）根据图象，分别写出点A、B的坐标； （2）求出这两个函数的解析式． 18（09）如图，点P的坐标为（2， 2 3 ），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线 x k y=(x>0) 1 B A O x y 1 初三数学几何综合练习题 1. 在厶ABC中，/ C=90 ° AC=BC,点D在射线BC上(不与点B、C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90。得 到DE,连接BE. (1) 如图1，点D在BC边上. ①依题意补全图1; ②作DF丄BC交AB于点F，若AC=8, DF =3，求BE的长; (2) 如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段 (直 AB、BD、BE之间的数量关系 接写出结论)? 图1 2. 已知：Rt△ A B C'和Rt△ ABC 重合，/ A'C'B= / ACB=90° / BA'C'= / BAC=30 ° 现将Rt△ A B C '绕点B 按逆时针方向旋转角a (60°< a 90° ,设旋转过程中射线 C 'C和线段AA相交于点D,连接BD . (1)当a=60°时，A'过点C,如图1所示，判断BD和A A之间的位置关系，不必证明； (2)当a=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想(1 )中的结论是否仍然成立，不必证明； (3)如图3,对旋转角a ( 60°< aV 90 °,猜想(1)中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由? 3 .如图1已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点，且ED=BD,连接DE, BE. (1) 依题意补全图1，并证明：△ BDE为等边三角形； (2) 若/ ACB=45 °点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD FB^A CDE绕点D 顺时针旋转％度(0 v av 360°得到△ CDE'，点E的对应点为E',点C的对应点为点C. ①如图2，当a=30°时，连接BC'.证明：EF =BC'; ②如图3，点M为DC中点，点P为线段C E'上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？ 初三数学旋转综合知识点检测题 一、选择题 1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( ) 2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（） °°°° 3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A 点落在位置，若，则的度数是( ) °°°° 4.在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得 到OA′，则点A′的坐标是( ) A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3) 5.在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ) A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1) 6.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换： ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°. 其中，能将△ABC变换成△PQR的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 8.如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形， 图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.写出两个你熟悉的中心对称的几何图形名称，它们是____________. 10.如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 _____________. 11.△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，旋转____________度后能与原来的图形重合 12.如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点 的对应点A′点的坐标是 _____________. 13.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得 点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐 标是__________. 二次函数综合题型精讲精练 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解析：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x ． （2）由y=﹣x 2+x=﹣（x ﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ， 在Rt △ABN 中，AB== =4 ， 因此OM+AM 最小值为 ． 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’，将点B 与连接起来交直线与点M ，那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’，将点A 与B ’连接起来交直线与点那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2：已知抛物线1 C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点 (0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 （1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1 x x +≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=. 42.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P （1）若AE=CF， ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径的长． 43.合作学习 如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数 的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH 于点G。回答下列问题： ①该反比例函数的解析式是什么？ ②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？ （1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题； （2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE>EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由． 44.九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘 制成如下统计图． 根据统计图，解答下列问题： （1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整； （2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？ 45.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 46.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是（-1，1），（0，0）和（1，0）． （1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； （2）在其它格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标（写出2个即可）． 47.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为，△BED的面积为 ． 九年级数学旋转几何综合易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点． （1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明； （2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转( ) 090a α? < ∴∠DAB=45° ∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135° ∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE⊥EB （2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H ∵ME=EB，点E是AF的中点 ∴四边形MFBA是平行四边形 ∴MF∥AB，MF=AB ∴∠MHB=180°－∠ABC=90° ∵∠DCA=∠FCB=a ∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a ∵∠DCF=45°，∠CDF=90° ∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形 ∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a ∴∠DCB=∠DFM ∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形 ∴DC=DF，BC=AB=MF ∴△DCB≌△DFM(SAS) ∴∠MDF=∠BDC，DB=DM ∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90° ∴△DMB是等腰直角三角形 ∵点E是MB的中点 ∴DE=EB，DE⊥EB （3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下： 初三数学几何综合练习题 1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE. （1）如图1，点D在BC边上. ①依题意补全图1； ②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长； （2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系 （直接写出结论）. 图1图2 B A C 2. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ． （1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由. 3．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE . (1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形； (2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′. ①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ； ②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段'' C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？ 4．（1）如图1 ，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系； 图1 图2 图3 初三数学二次函数测试附详细答案 一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（） ．C D 2 22 2 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其 2 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（） 8．（3分）（2008?长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（） ．C D． 二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题： （1）它的开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标为_________； （2）图象与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________． 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a_________0，b_________0，c_________ 0． 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到． 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为_________． 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为_________． 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________． 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=_________． 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m_________． 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=_________时，其最大值为0． 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0，b2﹣4ac_________0． 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）二次函数的解析式为_________； （2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）当自变量_________时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x_________时，两函数的函数值的积小于0． 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第_________象限． 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=_________． A B C D E F G 初三数学简答题专项训练1 班级 学号 姓名 得分 1、如图，△ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC 于D ，CE 平分∠ACB ，FG//AC 交BC 于G . 求证：(1)△EBD ∽△GCD ；(2)ED ⊥DG . 2、如图，在△ABC 中，AB =8，BC =16，AC =12，AD//BC ，点E 在AC 边上，∠DEA =∠B ，DE 的延长线交BC 边于F ． (1)求DF 的长；(2) 设DE =x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域． 3、如图，矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，E 在边CD 上(与点C 、D 不重合)，AF ⊥AE 交边CB 的延长线于F ，联结EF ，交边AB 于点G ．设DE = x ，BF = y ． (1)求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果AD = BF ，求证：△AEF ∽△DEA ； (3)当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰三角形?若能,求出DE 的长；若不能，说明理由． 初三数学简答题专项训练2 G C B E A F E F D C B A 班级 学号 姓名 得分 4、如图，△ABC 中，AB =6，BC =4，D 、E 分别在边BC 、BA 的延长线上，∠ADC =∠BAC ，∠E =∠DAC ． (1)设AC =x ，DE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； (2)△AED 能否与△ABC 相似？如果能够，请求出cos B 的值；如果不能，请说明理由． 5、已知A (6，0)，B (0，8)，C (－4，0). M 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2个单位的速度运动，点N 从点A 出发，沿AB 方向以每秒5个单位的速度运动. MN 交y 轴于P . 两点同时开始出发，当M 到达点A 时，运动停止. 设运动时间为t 秒. O 为原点. (1)当t 为何值时，MN ⊥AB ； (2)在点M 从点C 到点O 的运动过程中(不包括O 点)，PN MP 是否为定值，若是，请求出这个定值；反之，请说明理由；(3)在整个运动过程中，△BPN 是否可能为等腰三角形？若能，求出相应的t 的值；反之，请说明理由. 6、如图1，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC . CE 平分∠ACD ，交BI 延长线于E ，联结CI . 设∠BAC =2α。 (1)用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC =_______ ，∠E =_______； (2)若AB =1，且△ABC 与△ICE 相似，求AC 长； (3)如图2，延长AI 交EC 延长线于F . 当△ABC 形状、大小变化时，写出并证明图中始终与△ABI 相似的三角形. 初三数学简答题专项训练3 班级 学号 姓名 得分 A B D C E I 图1 F A B D C E I 图2 A B C D E 中考数学初中数学 旋转(大题培优)及详细答案 一、旋转 1．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，设CE ＝a ，CF ＝b ． （1）如图1，当a ＝42时，求b 的值； （2）当a ＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b 的值； （3）如图3，请直接写出∠EAF 绕点A 旋转的过程中a 、b 满足的关系式． 【答案】（1）422）b ＝8；（3）ab ＝32． 【解析】 试题分析：（1）由正方形ABCD 的边长为4，可得AC ＝2 ，∠ACB ＝45°． 再CE ＝a ＝2∠CAE ＝∠AEC ，从而可得∠CAF 的度数，既而可得 b=AC ； （2）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得； （3）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得. 试题解析：（1）∵正方形ABCD 的边长为4，∴AC ＝2，∠ACB ＝45°． ∵CE ＝a ＝2∴∠CAE ＝∠AEC ＝ 452 ? ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠EAF －∠CAE ＝22.5°，∴∠AFC ＝∠ACD －∠CAF ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠AFC ，∴b=AC ＝CF ＝42 （2）∵∠FAE ＝45°，∠ACB ＝45°，∴∠FAC ＋∠CAE ＝45°，∠CAE ＋∠AEC ＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC ． 又∵∠ACF ＝∠ECA ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴AC CF EC CA =，∴42442 =∴CF ＝8，即b ＝8． （3）ab ＝32． 提示：由（2）知可证△ACF ∽△ECA ，∴∴ AC CF EC CA =，∴4242 =，∴ab ＝32． 2．（探索发现） 如图，ABC ?是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ?绕点A 逆时针旋转 60?得到AEF ?，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的： 如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ； 中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四） 5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3 中考数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（?广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（） A．1B．0C．2D．﹣3 考点：有理数大小比较 分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 解答：解：﹣3＜0＜1＜2， 故选：C． 点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键． 2．（3分）（?广东）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D． 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 故选C． 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．（3分）（?广东）计算3a﹣2a的结果正确的是（） A．1B．a C．﹣a D．﹣5a 考点：合并同类项． 分析：根据合并同类项的法则，可得答案． 解答：解：原式=（3﹣2）a=a， 故选：B． 点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键． 4．（3分）（?广东）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（） A．x（x2﹣9）B．x（x﹣3）2C．x（x+3）2D．x（x+3）（x﹣3） 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 旋转及综合专题 一、旋转相关定义 1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角。 2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P 1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后图形全等。 4、把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 6、把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 二、旋转相关结论 如 图 ， 将 ?ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 α 角 到 ?AB 1C 1 。点 B 和点 B 1 为对应点，点 C 和C 1 为对 应点。 结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB 1 的垂直平分 线l 1 、线段CC 1 的垂直平分线l 2 都经过旋转中心 点 A 。利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。 结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角α。 如图， ?ABB 1 和 ?ACC 1 均为等腰三角形， ∠BAB 1 = ∠CAC 1 = α。 武汉市中考数学几何综合题专题汇编（2） 1、（2013?绍兴）矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，P ，Q 是对角线BD 上不重合的两点，点P 关于直线AD ，AB 的对称点分别是点E 、F ，点Q 关于直线BC 、CD 的对称点分别是点G 、H ．若由点E 、F 、G 、H 构成的四边形恰好为菱形，求PQ 的长。 2、（2013陕西压轴题）问题探究 （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，如果AB=a ，CD=b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由. 图① 图② A B C D M B 图③ A C D P （第25题图） 3、（2013?温州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （6，0），B （0.8），点C 的坐标为（0，m ），过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点D 为x 轴上的一动点，连接CD ，DE ，以CD ，DE 为边作?CDEF ． （1）当0＜m ＜8时，求CE 的长（用含m 的代数式表示）； （2）当m=3时，是否存在点D ，使?CDEF 的顶点F 恰好落在y 轴上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m 的值． 4、（13年北京）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?< 初三中考数学函数综合 题汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 初三中考函数综合题汇总 1、抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过点)4 9 1(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的 交点为点B ． （1）求抛物线bx ax y +=2（0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． 2、如图，已知二次函数mx x y 22+-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM 上有点P （1， 2 3 ），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 3、如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 是坐标原点，A （-3，0）且sin ∠ABO=5 3 ，抛物 线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线AB 和抛物线的解析式； （2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ，使得△ABO 和△ADP 相似，求出点P 的坐标； 第24题 3 （3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画⊙A ，再以D 判断⊙A 和⊙D 的位置关系，并说明理由. 4、已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221（1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值； （3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ， 当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积. 5、以点P 为圆心PO 长为半径作圆交x 轴交于点A 、O 两点，过点A 作直线AC 交y 轴于点C ,与圆 P 交于点B ，5 3 sin = ∠CAO (1) 求点C 的坐标；(2) 若点D 是弧AB 的中点，求经过A 、D 、O 三点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式；(3) 若直线)0(≠+=k b kx y 经过点)0,2(M ，当直线 )0(≠+=k b kx y 与圆P 相交时，求 b 的取值范围． 图 中考数学相似综合试题及答案 一、相似 1．如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路 线追赶,当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上. （1）此时两人相距多少米(DE的长)? （2）张华追赶王刚的速度是多少? 【答案】（1）解：在Rt△ABC中： ∵AB=40，BC=30， ∴AC=50 m. 由题意可得DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴ = ， 即 = . 解得DE= m. 答：此时两人相距 m. （2）解：在Rt△BDE中： ∵DB=2，DE=， ∴BE=2 m. ∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m. ∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s). ∴张华用的时间为14-4=10(s)， ∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）, ∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）. 答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s. 【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长. （2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间， 再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案. 2．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）． （1）当α=0°时，连接DE，则∠CDE=________°，CD=________； （2）试判断：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m=10，n=8，当旋转的角度α恰为∠ACB的大小时，求线段BD的长； （4）若m=6，n= ，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长． 【答案】（1）90； （2）解：如图3中，北京中考数学专题复习旋转的综合题
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