13.4最短路径问题教学设计
教学目标
能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.
教学重点
利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
教学难点
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
教学过程
一、回顾旧知
1.从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
2.要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。
二、探索新知
1、建立模型
问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？
师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线
追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？
师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：
（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；
（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C 在的什么位置时，AC与CB的和最小
2、解决问题
问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？
师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示
如果学生有困难，教师作如下提示：
（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？
（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B′处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
学生在老师的启发引导下，完成作图.
3、证明“最短”
问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？
师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC′、BC′、B′C′.
由轴对称的性质可知：
BC=B′C BC′.=B′C′
∴AC+BC=AC+B′C=AB′
AC′+BC′=AC′+B′C′
当C′与C不重合时当C′与C重合时
A B′＜AC′+C′B′AC+BC=AC′+C′B
∴AC+BC＜AC′+C′B
总之，AC+B C≤AC′+C′B，即AC+BC最短
4、小结新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？
师生活动：学生回答，并相互补充.
三、运用新知
如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.
师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.
四、拓展新知
有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？
师生活动：
1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：
（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？
（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.
2、分组讨论，师生共同分析.
3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.
五、提炼新知
师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1、本节课研究问题的过程是什么？
2、解决上述问题运用了什么知识？
3、在解决问题的过程运用了什么方法？
4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？
六、课外思考
将军又提出一个问题：
如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？