论行列式的计算方法
摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法
行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。
方法1 化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：
123123413451
21221
n n n
n D n n n -=--
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式
的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：
1
1(2,,)(2,,)111111111112111110003
111120001111100010000
001000
0020011(1)2
0020
000
1
01(1)()2
i i
n n i n r r i n r r n n n D n n
n n n n n
n n n
n
n n n
n n n n n n n n n n ===+
--=-----++----+=
?-----+=??-
()(1)(2)
12(1)
12
(1)(1)12
n n n n n n n -----?-+=??-
[问题推广]
例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1
这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。[2]
从而推广到一般，求下列行列式：
01211
01223411
2
30(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---??
??????=∈=-??
??????
解：令 0121101223411230n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---??
????
??=????????
首先注意，若u 为n 次单位根（即u n
=1），则有：
1011110
212
123
111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a u u a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------??+++??????+++?????????==∴=????+++????????+++????
++++++=++++
这里用到等）12
011122111
2
01111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------????????????
????=+++?????????
????++??????
??????
=?=+++????????
其中
2122cos
sin 1,1(0)1,,,,n k n k k w n n
w w k n w w w ππ-=∴=≠<< 设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根
()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)
(,,,)
((),(),,())()
(,,,)(j j
j n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------??
????
??==-=?????????=?==??
?
?=??????
?
记：方阵则由上述知：故
）
12
2(1)
0111(1)(1)111
1(,,,)11n n n n n n w w w w w w w w
w
w ------?????
???==???
????? 显然为范德蒙行列式
110
A (1)()()(1)()()
n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=????=?∴==??? 从而有： 又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例1与
11120'1
02
n n n n a a a a a a D a a a ---=
相对应
(1)(2)
'2
1n n n n D D --而与只相差（－个符号
(1)(2)
'12
01,121(1)2
(1)()()
,,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+????==≠=++++=+++=
即得：=(-1)
从而当（时对单位根总有：
21()()1()1n f u uf u u u u n n
n
f u u -∴-=++++-=--∴=
- 1
2111
11()1,
11
(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n
--=-=-=-=++++-=-==∏∏ 而又令则有：＋＋＋
(1)(2)
'
12
(1)(2)
12
21
(1)
1
21
1
(1)2
(1)1
2
(1)()()
(1)111
()()2111(1)(1)2(1)
1(1)
2
1(1)
2
n n n n n n n n n n n n k
k n n n
n n n D f f w f w n n n w w w
n n n
w n n n
n n ----------=---=????+=?
?-????---+-??=-+-?
?=
+=-?
?∏ 从而有：(-1)
与例1的答案一致。
方法2 按行（列）展开法（降阶法）
设n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
()11221,2,,n i i i i in in D a A a A a A i n =+++=
或 ()11221,2,,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++= 其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式
按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。
例2，计算20阶行列式[9]
20123181920
2121718193
2
1
161718201918321
D =
[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。
注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计
算： 解：
11
2020118(1,(2,,20)
19)
111111123181920211111212171819
3111113
2
1
161718
19111112019183
2
1
2011111
1
11111302222400222
21(1)22120
000
2
2100000
i i
i i i c c r r D ++==-+---=---------=?-?=-?
182
以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。
下面是一常用的方法：
方法3 递推法
应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。
［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。
例3，2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：
000100010
1n D αβ
αβαβ
αβαβαβ
++=
++
11
,n n n D αβαβαβ
++-=≠-证明 ：其中
（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）
［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余
的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]
。从行列式的左上方往右下方看，即知D n-1与D n 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：D n 按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－
这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式。若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往
低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：
11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－） 或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－） 现可反复用低阶代替高阶，有：
23
112233422
221[()()](1)
n n n n n n n n n n n
D D D D D D D D D D αβαβαβαβαβ
αβαβααββ-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）
＝＝（－）=
同样有：
23112233422
221[()()](2)
n n n n n n n n n n n
D D D D D D D D D D βαβαβαβαβα
αβαββαβα-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）
＝＝（－）=
因此当αβ≠时
由（1）（2）式可解得：11
n n n D αβαβ
++-=-
证毕。
［点评］虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关
系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。
方法4 加边法（升阶法）
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。
加边法的一般做法是：
1
11111111112122122
2121111
100
000n
n n n n n n n n nn
n nn
n
n nn
a a a a a a
b a a a a D a a b a a a a a a b a a =
==
特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====
当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每
行或每列是否有相同的因子。如下题：
例4、计算n 阶行列式：[8]
211212212212212
12
111
n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=
+
[分析] 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法。
解：
111121
22112121
2
21222
1
2
1
2
1
2121
2
11
(1,,)(1,,)
1101100010100
10
1
10100100100
1
i i i i n n n n n n n n
n n
i
n i n
i i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑
[注意] 在家一定要记住，加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。
方法5 拆行（列）法
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。
例5、 南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值： 设n 阶行列式：
11121212221
21n
n n n nn
a a a a a a a a a =
且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 对任意数b ，求n 阶行列式
111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b
++++++=+++
[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b ，显然用拆行（列）法。
解：
11121111211212122221222222121
22n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b
a a
b a b
b a b a b
++++++++++++++=
=
+
+++++++
11121111121212222122221212111n n n
n n n n n nn n nn n nn
a a a b
a b a b a a a a a b a b a b a a b a a a b a b a b
a a ++++=++++
1112111112
1212222122221
212111111n
n n
n n n n n nn
n nn
n nn
a a a a a a a a a a a a a a
b b
a a a a a a a =+++
211
1
1n
n
i i i i b A b A ===+++∑∑ ,1
1n
ij i j b A ==+∑
A 又令＝
11
121212221
2n
n n n nn
a a a a a a a a a
,,1,2,,
i j j i
a a i j n =-= 且 ':1,A A A ∴==-有且
1
1E A A A A A A A A
?=?＊
－－＊＊由＝得：即＝
1A A ∴＊－＝
'
1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊又（）
*A ∴也为反对称矩阵
又(,1,2,,)ij A i j n = 为*
A 的元素
1,1
0n
ij i j A ==∴=∑
有
从而知：1,1
11n
n ij i j D b
A ===+=∑
方法6 数学归纳法
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）
例6 .证明：
2cos 10001
2cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 10
1
2cos n n D θθθθθθ
θθ
+=
=
≠
证：当1,2n =时，有：
122sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 112cos sin D D θθθ
θθθθθ+==
+==-=
结论显然成立。
现假定结论对小于等于1n -时成立。 即有：
21sin(21)sin(11),
sin sin n n n n D D θ
θ
θ
θ
---+-+=
=
将n D 按第1列展开，得：
(1)
(1)
12
2cos 1002cos 0001
2cos 0012cos 000
02cos 1002cos 10
1
2cos 0
1
2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθθ
θ
θ
θθθ
θθθ
θθθθ
θθθθ----=-=?--+-+=?
-
?--=
?-?+=
s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθθ
θθθθθ
θθ??+?=
+=
故当对n 时，等式也成立。 得证。
接下来介绍一些特殊的行列式计算方法，但却很实用。
方法7 析因法
如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x) 。
那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x ），若x 等于某一数a 1
时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x -a 1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D 阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。
例7 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。需求如下行列式的值。
121
21123
1
2
3n n n n
x a a a a x a a D a a a a a a a x
+=
[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n == 时，有10n D +=。但大家认真看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式
.1,2,,i x a i n -= ,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一
样的，为：
1
n
i i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式
1
n
i i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。
解：
1211
221
211
2
323
12
3
2
31
11()11n
i n i n
n i n
i n
n
n i i n n i
n
i n
i i a x
a a a a a a a x
x a a x a a D a x a a a a x
a a a a a x
a x
a a x
==+===++=
=+++∑∑∑∑∑
令：
122'123
2
31111n n n n
a a a x a a D a a a a a x
+=
显然当：.1,2,,i x a i n == 时，'10n D += 。 又'1n D +为n 次多项式。
'112()()()n n D C x a x a x a +∴=--- 设
又'1n D +中x 的最高次项为n
x ，系数为1，∴C=1
'112()()()n n D x a x a x a +∴=---
因此得：
'
111121
()()()()()
n
n i n i n
i n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑
[点评] 该题显然用析因法是最简便，但大家不要一味地只找使它等于0的数，而该最多只能有n 个数使它等于0，而行列式又是n+1阶是一个n+1次多项式，从而我们想到的就
是得用行列式的性质把行列式的次数降低一次，使得原n+1次多项式变为一个一次多项式和一个n 次多项式的乘积。进而便可求得其值。
凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得。在析因法中，对于一个n 次多项式，当你最多只能找出r 个使其行列式为零时，就要把它化为一个n -r 次多项式与一个r 次多项式的乘积。但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用本法。
方法8 .辅助行列式法
辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。 解题程序：
1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；
2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n = ; 3)[1]
*,1
n
ij
i j D D x
A
==-∑
例8 .大连理工大学2004年硕士生入学考试《高等代数》试题，第一大题填空题第2小题需求下列n 阶行列式的值。
11121121
2111
n n n D n --=
-
解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：
(1)
2*00020
020
()(1)(1)2000
n n n n n
n D n n ---=
=-?--
又(1)
12
12,11(1)
(1)n n n n n n A A A n ---====-?- ，其余的为零。
(1)
2
*,1
,1
1
(1)(1)1
22
(1)1
2
()(1)
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
(1)n n n
n
n
n n ij i n i i j i n n n n n
n n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-?-+=-?-+-??-=-?-∑∑
[点评]若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题。但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式。
以下几种方法是利用到公式，所以有的方法在这只简单地给出其应用，只要记住公式，会应用就行。
方法9 利用拉普拉斯定理
拉普拉斯定理的四种特殊情形：[1][5]
1）
0nn nn mm mn mm A A B C B =? 2）
0nn nm nn mm mm A C A B B =?
3）
0(1)nn mn nn mm mm
mn
A A
B B
C =-? 4）(1)0
nm nn mn nn mm mm
C A A B B =-?
例9 计算n 阶行列式：[1]
n a a a a
b D b b
λαββββ
α
βββββα
=
解：
12
222
(2)(2)
(2,,1)
0000
0(1)(2)00000
000(3,)000000(1)00(2)0
0[(2)(1)i n
i n n i n a
a a a
b D n a a
a
a
b
n C C i n n a b n n ab n λλλ
ααβ
βββαααβλ
αβ
βββαβαβαβαβ
λ
αβαβ
αβ
λαλβ+?-?-=------+-+--=----?
+--=+--- 利用拉普拉斯定理
2
]()
n αβ-?-
方法 10 .利用范德蒙行列式
范德蒙行列式：
12322
2
212311
11112
3
1111()n
n i j j i n
n n n n n
x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=
-∏
例10 计算n 阶行列式[9]
11112
22
2(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211
1
1
1n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=
-+-+-
11112
22
2(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211
1
1
1
n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=
-+-+-
解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到
(1)2
22221
11
1
1
111121(1)
(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：
n m n m E AB E BA
λλλ--=-
(1)(1)
2
2
11(1)
[()()](1)
()n n n n n j i n
j i n
D a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏
方法11 利用矩阵行列式公式
引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n m E BA E BA = [5]
先引入一个证明题：[1]
设A ，B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠，证明：
n m n m E AB E BA λλλ--=-
证明：00n n n m m m E A E E AB A B
E B E E λλ-??????= ??? ?-??????
两边取行列式得： 00n
n n
n n m m m m m
E A E E A E AB A
E AB E B
E B E B
E E λλλλ-=
==--n E AB λ=- 又
1
1
n n n
m m m E E A E A B
E B BA E E λλλλ????
-
?? ? ?
= ? ?
?-+ ? ?????
??同样两边取行列式有：
1
01
n
n
n
n
m
m m
m
E E A E A E A
B
E B
E B
BA E E λλλλ
λ
-=
=-+
()1
1
n
n m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ
-=-
+=-=- 得证。
那么对于,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠能否得到：
n m n m E AB E BA λλλ-+=+
答案是肯定的。 证：00n n n m m m E A E E AB A B
E B E E λλ-+-??????=
??? ?-??????
∴ 有：
n
n m
E A
E AB B
E λλ-=+ 又 1
1
n n
n
m m m E E A E A B
E B BA E E λλλλ????
-?? ? ?= ? ?
?+ ? ?????
??
1
n
n m n m m m E A E BA E E BA B
E λλλλλ
--∴
=+=+ n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+
即得：对,A B 分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ≠时，有：
n m n m E AB E BA λλλ-=
则当1λ=时，有：n m E AB E BA = ∴引理得证。
例11．2003年全国硕士研究生入学考试数学试卷三第九题的解答中需要计算如下行列式的
值。
123
12312331
23n
n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b ++=
++
解：令矩阵123
1
231233123n
n n n a b a a a a a b a a A a a a b a a a a a a b
++=
++
则可得：
()1
231
23121
2331
2
311
1,,,n
n n n n n n
a a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ??
?
?=+=+ ?
?
??
11n n n bE B C ??=+
其中 ()()1112111,,,,T
n n n B C a a a ??== 那么根据上面所提到的引理可得：
111n n n n n D bE BC b b C B -??=+=+
又 ()11
12111
1,,,n n n n i i C B a a a a ??=?? ? ?== ? ???
∑
∴可得：11
()n n n i i D b a b -==+∑
方法12 利用方阵特征值与行列式的关系。[]
5
也以例11为例
解：12
3
12312331
23n
n n n n a b
a a a a a
b a a M a a a b a a a a a a b ++=
++
1
231
231
2331
2
3n
n
n n n n n
a a a a a a a a bE bE A a a a a a a a a a =+=+ 显然n bE 的n 个特征值为,,,
b b b 。
n A 的n 个特征值为1
000,,,,n
i i a =∑ 。
故n M 的特征值为1
1
,,,,n
i i n b a b b b =-+∑
由矩阵特征值与对应行列式的关系知：1
1
()n
n n n i i D M b a b -===+∑
[注] n M 的特征值也可由特征值的定义得到。
[点评]本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法一般不适用，在
这仅给出做此方法参考。 问题的推广
例11中，主对角线上的元素为()12,,,i a b i n += ，那么我们使得主对角线上的元素为
12,,n λλλ ，n 个任意数，可得下列一般的行列式：[]
1[]
3[]
7 1
2
312
3
1
23
1231
23n n n
n n n
a
a a a a
a a a a D a a a a a a a λλλλ=
［分析］上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子
12,,,n a a a ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)
解： 1231231231231
2
3110000()
n n n n n n
n a a a a a a a a a a D a a a a a a a λλλ+=
1231122
1
1110
0021000
100001
()
(,,)n i n n
n a a a a a i n a r r a λλλ+--=------
1
23
111
11
22
1100001
00002000000
()
(,,)
n
i n i i i
i i i n n
n a a a a a a a C C a a i n a λλλλλ=-++--+
--=-∑
11111().()()[.()]n n n
n
i
i i i i i j j j i i i i i
j i
a a a a a a λλλλ====≠=+-=-+--∑∏∏∏
特别地，当i i a b λ=+时 12(,,,)i n = 1
1
11
()n
n
n n
n n i i i i D a b
b b b a --===+=+∑∑ 与例11的答案一致。
以上总共给出了计算行列式的12种方法，其中一些是常见的些是最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。在课外书中还有其他的一些方法，如：极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，但这些方法用处不多，所以不加以介绍。
本人认为只要理解和掌握以上12种方法，不管哪种行列式计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看大家的灵活应用程度，能否找出一个最简便的方法解出其值。
参考文献：
1、 李师正等 《高等代数复习解题方法与技巧》 高等教育出版社 2005
2、 张贤科 许甫华 《高等代数学》 清华大学出版社 2000
3、 刘学鹏等 《高等代数复习与研究》 南海出版公司 1995
4、 张禾瑞 郝鈵新 《高等代数》 高等教育出版社 1993
5、 许甫华 张贤科 《高等代数解题方法》 清华大学出版社 2001
6、 北大数学系 《高等代数》 高等教育出版社 1988
7、 李永乐 《研究生入学考试线性代数》 北京大学出版社 2000 8、 张敬和等 《数学二考研题典丛书》 东北大学出版社 2004.3
9、 张永曙 《考研·数学应试强化辅导与解题指南》 西北工业大学出版社 1999.5 各高校历年研究生入学考试试卷忽略此处..
10、
行列式的计算方法综述 目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考） 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法 由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。 例1.算上三角行列式 解：展开式的一般项为 同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法 画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上
第 １ 页 （下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。 例2.计算 解：各行加到第一行中 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法 有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。 例3.计算n 级行列式 解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有 上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法） 升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。 例4.计算n 级行列式
习题1 1-1．计算下列行列式 （1）7 13501 1 63. 解一 由三阶行列式定义得 7 13501163 30765311110335161709010154234. =??+??+??-??-??-??=++---= 解二 23 31 12 3361 105 105 1 05361056317317018r r r r r r --?=-=--- 23 32 5105 105 01801834056 0034 r r r r ?-=-=-=-. （2） 4 321651005311 021. 解 21 3241 120112011201 1350 01510151015601560007 123400330033 r r r r r r -----== 34 120 10151210033000 7 r r ?-=- =-.
（3） d c b a 1001 10011001---. 解 342312 10001110101011 01010 10 1 r cr r br r ar a a a b abcd b b bcd c cd d d ++++--+= --+-- 211 1(1)(1)1 011010 1 1 a a b abcd a ab abcd cd cd d d +++=-?--+=-+-- 12 21 011010 1 1(1)(1)11. r r a ab cd abcd cd d a ab cd abcd d ab ad cd abcd +++++=-+-+++=-?--=++++（按第一列展） （4） 2010411063 14321111 1. 解 43433232 21 11 111111111112340123012313 6 10 013 6 001314102001410 0014 r r r r r r r r r r -----= = 43 1111 0123100130001 r r -= =.
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！ 项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1）3 81141 1 02---； （2）b a c a c b c b a （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x + ++. 解 注意看过程解答（1） =---3 811411 2 811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2）=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n ； （6）1 3 …)12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
浅 一、 特殊行列式法 1．定义法 当行列式中含零元较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法 利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解： 将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+
3．爪形行列式法 例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4． 范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 1112111121111211122121 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变 1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644
(2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acbbaccbabbbaaaccc 3abca 3b 3?c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2?ac 2ba 2cb 2 (ab )(bc )(ca ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (xy )yyx (xy )(xy )yxy 3(xy )3x 3 3xy (xy )y 33x 2 yx 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4
解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D
⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
浅论行列式及其计算方法 摘要：本文主要介绍了行列式的概念——行列式是n 阶矩阵的一个特征量。行列式的性质——行列式和它的转置行列式相等等一系列性质。行列式的计算方法——化三角法，定义法等。克莱姆法则。以及和矩阵相关的一些问题。 关键词：行列式的概念 行列式的性质 行列式的计算 矩阵 克莱姆法则 正文 1行列式的概念 1.1 二阶、三阶行列式 行列式是代数式的简要记号，如 1112112212212122a a a a a a a a =- （1.1） 111213 21222311223312233113213231 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 322311332112312213a a a a a a a a a --- （1.2） 分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如32a 表示该元素位于第3行、第2列。 二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。 【例】5152(1)3133 2 -=?--?=； 2 2 2 2 ()a b a b a b b a =--=+-； 250 1334 1 6 ---2361(1)0(5)(3)4=??+?-?+-?-?034-?? (1)(3)21(5)6--?-?-?-?(36)(0)(60)(0)(6)(30)120=++----=。 1.2 n 阶行列式的全面展开 用2 n 个元素可以构成n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 。 行列式有时简记为j i a 。一阶行列式a 就是a 。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定n 阶行列式的全面展开按如下方式进行： （1）展开式的每一项都是不同行、不同列的n 个元素的乘积。 （2）取自不同行、不同列的n 个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如332112a a a 对应的排列是2 1 3。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，n 个自然数共有!n 种排列，因而全面展开式共有!n 项。 （3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数
教学内容 【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开 ②按某一行(或列)展开法 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11 a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32 3122 21a a a a 记 32 2211a a M = 33 23a a ，111111)1(M A +-=；31 2112a a M = 33 23a a ， =12A 1221)1(M +-；31 2113a a M = 32 22a a ， 133113)1(M A +-= 。 称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式， j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。 则三阶行列式就可以写成D =33 32 31 232221 13 1211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++, 2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ?三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，则1 1223 3 11121ABC x y S x y x y ?= A 、 B 、 C 三点共线的充分必要条件为1 12 2331 101 x y x y x y = 【例题精讲】