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§1.1.3《导数的几何意义》导学案
编写：袁再华审核：沈瑞斌编写时间:2014.4.25
班级组名姓名
【学习目标】
（1）让学生掌握函数3）在x = A0处的导数广3））的几何意义
即广（工。）=lim ”七,蚩）二/（七）=切线的斜率K
A X
（2）会利用导数的儿何意义解释实际问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。
【学习重难点】
重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方.法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义
【知识链接】：
1 .函数）=/<*）在x=x（）处的瞬时变化率就是函数y = /（x）在工=工0处的导数，记作
）或
/ （x
即 /'（◎ = ______________________________________
2.求函数y=f（x）在x = %
处的导数的基木步骤：
（1）求增量:
（2算比值：
⑶求）卜
【学习过程】：
%1.知识点一.曲线的切线
如图，曲线C是函数y=f（x）图象，P（x（）,y（））是曲线C上的任意一点，Q（x（）+Ar , y（）+
△ y）为P邻近一点,PQ为C的一条割线.
问题1：在图中作出",贝U空是割线PQ的什么？
心
即: 蛔=血=*觑*性
问题2：当点Q 沿着曲线无限接近点P,即△ x-0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们 把 直线PT 称为 _____________________
问题3：当Ax-0时,割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线的斜率.
由此可知：函数y=f(x)在;1 =气处的导数的儿何意义就是：
%1. 知识点二：求曲线上一点P(x 0,y 0)处的切线
例1：求抛物线y = x 2+\,在点P (1,2)处的切线的方程。
变式：求抛物线.y = /+l,经过点(0,0)的切线的方程。
归纳:y=f(x)在X 。处的切线的方程可写成:
%1. 知识点三：导数几何意义的应用
例 2.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/?（*） = -4.9/+6.5x+10
，根据 图
像，请描述、比较曲线饭）在4、匕、上附近的变化情况
. p
问题1：用曲线/?（，）在1。、'、上处的切线，刻画曲线/?（，）在上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当t = t.时，曲线龙⑺在4处的切线，。平行于工轴，所以，在t = t.附近曲线
⑵ 当 1 =匕时，曲线仰）在&处的切线，的斜率，所以，在，=4附近曲线下降，即函数h
（x） = -4.9x2 + 6.5x +10 在t = t
附近。
｝
（3）当t = t2时，曲线仰）在，2处的切线匕的斜率/?'。2）＜0,所以，在t = t2附近曲线下降，即函数/Z（X）=-4.9^2+6.5X +10在t = t,附近 o
从上图可以看出，直线，的倾斜程度小于直线匕的倾斜程度，这说明曲线
问题2:你能描述函数在t3和t4附近增（减）以及增（减）快慢的情况吗？（可先作出曲线在七和七4处的切线后分析）
规律：(1)曲线在某点附近的递增(或逆减)<=> 曲线在该点的导数的为
---------------- =曲线在该点处切线的斜率为--------------------- 。
(2)曲线在某点附近的陡峭程度反映曲线增减的快慢，它取决于曲线某点附近导数绝对值的
大小，也就是曲线在该点切线的斜率绝对值的大小。
问题3.阅读教材P8-9页例3，回答:
⑴某一时刻血管中药物浓度的瞬时变化率就是曲线在此处的也就是曲线在此处
的 ________ ；
(2)用几何法估算t=0. 2处的切线的斜率,可取点,和，则
斜率k = f'(0.2g;
%1.知识点四：导函数
由函数爬)在x=Xo处求导数的过程可以看到，当x=x。时，广”0)是一个确定的数，那么，当X变化时便是X的一个函数，我们叫它为的导函数.记作：/(Q或矿，即:
例3.求抛物线/(x) = x2+l的导函数广⑴，并计算广(0),广⑵.
【当堂检测】
1.如图，试描述函数.Ax)在x=-5, -4, -2, 0, 1附近的变化情况。
2.(课本P10,6.)已知函数，(*)的图像，试画出其导
函数广(W图像的大致形状。
【课后反思】本节课我还有哪些疑惑?