2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）设a 为常数命题:[0p x ?∈，1]，20x a -，则p 为真命题的充要条件是( ) A ．1a
B ．1a
C ．2a
D ．2a
2．（3分）已知向量a 与b 的夹角是
3
π
，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数(λ= ) A ．32
-
B ．
32
C ．2-
D ．2
3．（3
分）已知2
)n x
的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数
项为( ) A ．34-
B ．672-
C ．84
D ．672
4．（3分）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为2
3
，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A ．19
B ．
827
C ．
1627
D ．
1781
5．（3分）已知α是第四象限，且3cos()5πα-=-
，则
1)4(sin()2π
απα+-=+ ) A ．25
-
B ．15
-
C ．
25
D ．
145
6．（3分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线
222:126
x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是( )
A
．2y =
B
．2y =
C ．28x y =
D ．216x y =
7．（3分）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量
迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息( )（参考数据：20.301lg ≈，130.477)g ≈
A ．4.1小时
B ．4.2小时
C ．4.3小时
D ．4.4小时
8．（3分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )
A ．
42
3
B ．
163
C ．
163
D ．
323
二、多项选择题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（3分）已知复数(12)(2)z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为3i B ．||5z = C ．4z -为纯虚数
D ．z 在复平面上对应的点在第四象限
10．（3分）已知函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，0)?π<<在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12
π
、
712
π
，图象在y 轴上的截距为3．则下列结论正确的是( )
A ．()f x 的最小正周期为2π
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 在区间5[,]1212
ππ
-
上单调递增 D ．()6
f x π
+为偶函数
11．（3分）设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是( ) A ．准线l 的方程是2x =-
B ．||||ME MF -的最大值为2
C ．||||ME MF +的最小值为5
D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切 12．（3分）已知函数()2a
f x x x
=+
-，则下列结论正确的是( ) A ．当1a >时，()f x 无零点 B ．当1a =时，()f x 只有一个零点
C ．当1a <时，()f x 有两个零点
D ．若()f x 有两个零点1x ，2x ，则122x x += 三、填空题．
13．（3分）已知球O 的表面积为16π，点A ，B ，C 在球O 的球面上，且3AC =，60ABC ∠=?，则球心O 到平面ABC 的距离为 ．
14．（3分）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 种．
15．（3分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐
标原点，若存在点P ，使||||PF OF =，且1
cos 4
OFP ∠=，则双曲线的离心率为 ．
16．（3分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:(1)x C y x e '
=-相切，则a 的取值范围是 ．
四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在锐角ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin c A ． （1）求角C 的大小；
（2）若2b =，c =ABC ?的面积．
18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12(21)(21)n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足13
40
n
T >的正整数n 的最小值．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，
3PA =．点E 在侧棱PC 上（端点除外），平面ABE 交PD 于点F ． （1）求证：四边形ABEF 为直角梯形；
（2）若2PF FD =，求直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值．
20．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 [12.5，15.5)
[15.5，18.5)
[18.5，21.5)
[21.5，24.5)
[24.5，27.5)
[27.5，30.5)
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；
（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(,27.04)N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：若X
服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+≈；(22)0.9544P X μσμσ-<+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<+≈．
21．如图，已知动圆M 过点(1,0))E -，且与圆22:(1)8F x y -+=内切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）过圆心F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点P ，使当直线l 绕点F 任意转动时，PA PB ?为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ?的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数2()(1)f x xlnx a x =+-，e 为自然对数的底数．
（1）当2
2
e a =时，讨论()
f x 的单调性；
（2）若对任意1x ，都有()0f x 成立，求实数a 的取值范围．
2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）设a 为常数命题:[0p x ?∈，1]，20x a -，则p 为真命题的充要条件是( ) A ．1a
B ．1a
C ．2a
D ．2a
【解答】解：命题p 为真?当[0x ，1]时，20x a -能成立，即2x a 能成立，所以(2)2x max a =， 故选：C ．
2．（3分）已知向量a 与b 的夹角是
3
π
，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数(λ= ) A ．32
-
B ．
32
C ．2-
D ．2
【解答】解：已知向量a 与b 的夹角是3
π
，且||1a =，||4b =， 则：||||cos
23
a b a b π
==，
已知：(3)a b a λ+⊥， 则：(3)0a b a λ+=， 即：230a a b λ+=， 解得：3
2
λ=-，
故选：A ．
3．（3分）已知2
)n x
的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数
项为( ) A ．34-
B ．672-
C ．84
D ．672
【解答】解：由已知，可得2512n =，则9n =，∴展开式的通项公式为93
9219
92()(2)r
r r
r r r
r T C C x x
--+=?-=-．
令930r -=，得3r =，
∴常数项为33
9
(2)884672C -=-?=-， 故选：B ．
4．（3分）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为2
3
，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A ．19
B ．
827
C ．
1627
D ．
1781
【解答】解：甲以3:0获胜为事件A ，甲以3:1胜为事件B ，则A ，B 互斥， 且328()()327P A ==，2232128
()()33327
P B C =??=，
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为： 8816
()272727
P A B +=
+=
， 故选：C ．
5．（3分）已知α是第四象限，且3cos()5πα-=-
，则
1)4(sin()2π
απα+-=+ ) A ．25
-
B ．15
-
C ．
2
5
D ．
145
【解答】解：由已知得3
cos 5
α=
，4sin 5α=-，
则原式21cos2sin 22cos 2sin cos 682
2cos 2sin cos cos 555
ααααααααα+++===+=-=-．
故选：A ．
6．（3分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线
22
2:126
x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是( )
A
．2y =
B
．2y =
C ．28x y =
D ．216x y = 【解答】解：双曲线2C 的渐近线方程是22
026
x y -
=
，即y =． 因为抛物线的焦点(0,)(0)2
p
F p >
0y -=的距离为2，
2=，即8p =， 所以1C 的标准方程是216x y =，
故选：D ．
7．（3分）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息( )（参考数据：20.301lg ≈，130.477)g ≈
A ．4.1小时
B ．4.2小时
C ．4.3小时
D ．4.4小时
【解答】解：设经过x 小时，血液中的酒精含量为y ， 则0.3(125%)0.30.75x x y =?-=?， 由0.30.750.09x ?，得0.750.3x ， 则0.750.3xlg lg ， 因为0.750lg <，所以0.3310.4771523
4.184 4.20.75340.4770.602125
lg lg x
lg lg lg --=≈==≈--， 所以开车前至少要休息4.2小时， 故选：B ．
8．（3分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )
A B C D 【解答】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ， 平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ?平面ABC BC =， AC ?平面ABC ，AC BC ⊥， AC ∴⊥平面PBC ，
设点A 到平面PBC 的距离为2h AC x ==，
2PC BC ==，2PB x =，(02)x <<，M 为PB 的中点，
CM PB ∴⊥，CM =，
解得1
22
PBC S x ?=?
1(23A PBC
V x -=??=，
设t =(02)t <<，则224x t =-，