凸函数及其在不等式证明中的应用_尚亚东

第4卷 第1期

2005年 2月

广州大学学报(自然科学版)

Journal of Guangzhou University(Natural Science Edi tion)

Vol.4 No.1Feb. 2005

收稿日期:2004-04-12

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034)

作者简介:尚亚东(1963-),男,教授,博士,主要从事非线性偏微分方程研究.

文章编号:1671-4229(2005)01-0001-06

凸函数及其在不等式证明中的应用

尚亚东,游淑军

(广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510405)

摘 要:凸性是一种重要的几何性质,凸函数是一种性质特殊的函数,凸集和凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域都有着广泛的应用.借助凸集引入凸函数概念,介绍了凸函数的基本性质,特别研究了凸函数的Jensen 不等式在不等式证明中的应用.关键词:凸性;凸集;凸函数;Jensen 不等式中图分类号:O 174.13;O 178 文献标识码:A

凸性是一种几何性质,也是一种代数性质.凸函数则是一类性质独特的函数.凸性和凸函数在不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数理经济学等应用数学领域都有很多应用.本文首先借助于凸集概念引出凸函数定义,揭示凸函数概念与凸性这一几何性质的联系.随后介绍凸函数的几何直观描述、解析定义和凸函数的重要性质.在此基础上,利用凸函数的Jensen 不等式,证明了一些应用初等数学知识难以证明的初等不等式,显示出凸函数在不等式证明中的重要性.最后进一步研究了凸函数在泛函分析中的应用.

1 凸函数的定义及性质

为了从较高的起点来给出凸函数的定义,清晰地看出凸函数与凸性的联系,先给出凸集的两个定义.

定义1[1]

某集合称为凸集,是指连接该集合

中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合

中.

定义2

[1] 设X 是一个线性空间,x 1,x 2I X

为任意两点,称[x 1,x 2]={x K I X |x K =K x 1+(1-K )x 2,K I [0,1]}为连接x 1,x 2的闭线段.

定义3

[1]

设X 是一个线性空间,子集A

称为凸集,是指对P x 1,x 2I A 及K I [0,1],有

K x 1+(1-K )x 2I A 或

P x 1,x 2I A,[x 1,x 2]

从代数上看,凸集是子空间概念的推广.定义4[1] 设f B (a,b)y R 为定义在R 中的开区间(a,b )B ={x I R |a

epi f ={(x ,A )I R 2|x I (a,b ),f (x )[A }(1)称为函数f 的上图(epigraph ).

图1 f (x )的上图Fig.1 Epi graph of f (x )

由图1可以看出,函数的上图就是函数的图像再并上图像上方的所有点.

定义5

[1]

如果函数f B (a,b )y R 的上图

epi f 是凸集,则f 称为(a ,b )上的凸函数.f 称为(a,b )上的凹函数则是指-f 是(a,b)上的凸函数.

由凸函数的定义可知:函数图像上的两点的连接线段使图像的连接该两点的部分在其下侧(如图2).

图2凸函数的几何直观图

Fig.2Geometric graph of convex function

从几何直观上讲,也可采用如下直观描述性定义:

(1)如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方,则相应的函数称为凸函数.

(2)如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方,则相应的函数是凸函数.

下面命题说明凸函数也可用解析式来定义.

命题1(a,b)上的函数f是凸函数的充分必要条件为

P x1,x2I(a,b),x1X x2,P K I(0,1),

f(K x1+(1-K)x2)[K f(x1)+(1-K)f(x2)(2)证明设f是凸函数,即epi f凸集,则对于任何K I(0,1),(x1,A1),(x2,A2)I epi f,有

(K x1+(1-K)x2,K A1+(1-K)A1)I epi f,

即

f(K x1+(1-K)x2)[K A1+(1-K)A2.

由于(x1,f(x1)),(x2,f(x2))I epi f,因此,上式对A1=f(x1),A2=f(x2)成立,于是有(2)式成立.

反之,若对P x1,x2I(a,b),x1X x2,P K I (0,1),有f满足(2)式,对任意K I(0,1),(x1, A1),(x2,A2)I epi f,令

y=K x1+(1-K)x2,B=K A1+(1-K)A2,

则由(2)式和图2的定义,有

f(y)=f(K x1+(1-K)x2)[K f(x1)+

(1-K)f(x2)[K A1+(1-K)A2=B.

于是(y,B)I epi f,即(K x1+(1-K)x2,K A1+(1-K)A2)I epi f.从而epi f为凸集,即f是凸函数.

利用凸函数的解析定义和数学归纳法,易证对于(a,b)上的凸函数f,有更强的不等式成立:对P x1,x2,,,x n I(a,b),P K1,K2,,,K n>0,

E n i=1K i=1,f(E n

i=1

K i x i)[E n

i=1

K i f(x i)(3)

对于凸函数的不等式(3),通常称为Jensen不等式.

对于连续函数,有下面凸函数的判据.

命题2设f B(a,b)y R为连续函数.如果

P x1,x2I(a,b),

f(

x1+x2

2

)[

f(x1)+f(x2)

2

,

那么f是(a,b)上的凸函数.

关于凸函数的导数性质,有如下结果.

命题3[2]f(x)为区间(a,b)上的凸函数等价于下列条件之一:

i)P x1,x2I(a,b),x1

f(x1)-f(x0)

x1-x0

[f(x2)-f(x0)

x2-x0

,

即对于任何x0I(a,b)来说,f在x0处的左差商不大于右差商.

ii)P x1,x2I(a,b),x1

x2-x1

[f(x0)-f(x1)

x0-x1

,

即对于任何x1I(a,b),f在x1处的右差商当自变量差分减小时不增.

iii)P x1,x2I(a,b),x1

x1-x2

[

f(x0)-f(x2)

x0-x2,

即对于任何x2I(a,b),f在x2处的左差商当自变量差分减小时不减.

iv)

f(y)-f(x)

y-x

,y X x,对x和y都是不减函数.

v)f(x)在区间(a,b)上处处左右可导,从而处处连续.同时,其左、右导数f c-、f c+满足

P x1,x2I(a,b),x1

f c-(x1)[f c+(x1)[

f(x2)-f(x1)

x2-x1

[

f c-(x2)[f c+(x2).

在实际应用中,常常用下面的较弱结果.

定理1设f为(a,b)上的可导函数,那么f 为(a,b)上的凸函数的充要条件为其导数f c在(a,b)上不减.特别是,当f二阶可导时,f为(a, b)上的凸函数的充要条件为其二阶导数f d(x)\0在(a,b)上总成立.

2凸函数在不等式证明中的应用

Jensen不等式是凸函数的一个重要性质,利用其证明一些重要不等式可以更简捷,凸函数构造也有其妙处.

在初等数学中,调和平均值不大于几何平均值,几何平均值不大于算术平均值,算术平均值不大于平方平均值,而证明用到数学归纳法.其实这

2广州大学学报(自然科学版)第4卷

些不等式可在凸函数框架下统一证明.

例1设x i>0,(i=1,2,,,n),证n

1 x1+

1

x2

+,+

1

x n

[n x1x2,x n[x1+x2+,+x n

n

当且仅当所有x i(1[i[n)全部相等时,等号成立.

证明要利用Jensen不等式来证明,关键是找出合适的凸函数.观察不等式n x1x2,x n[ x1+x2+,+x n

n

的形式,易知两边取对数变成

ln x1+ln x2+,+ln x n

n [ln x1+x2+,+x n

n

,

这就很容易找到合适的凸函数了.首先考察f(x)

=-ln x(x>0)的凸性.因为f d(x)=1

x2

>0,由定

理1知,f(x)是(0,])上的严格凸函数.

由Jensen不等式知,当x i>0,(i=1,2,,,n)不全相等时有

-ln x1+x2+,+x n

n

<-

ln x1+ln x2+,+ln x n

n

及

-ln 1

x1+,+

1

x n

n

<-

1

n

(ln

1

x1

+,+ln

1

x n

),

所以有

n

1 x1+1

x2+,+

1

x n

[n x1x2,x n[x1+x2+,+x n

n

成立

例2[3]证明P x1,x2,,,x n I R+,P\1,有

x1+x2+,+x n

n [x

p

1

+x p2+,+x p n

n

1/p

,

上式称为算术平均不大于p(p\1)次平均,特别,当p=2,得到算术平均值不大于平方平均值.

证明考虑函数f(x)=x p(p\1),由于有f d(x)=p(p-1)x p-2>0,P x>0,所以f(x)= x p(p\1)为凸函数,从而P x1,x2,,,x n I R+,

P K1,K2,,,K n I(0,1),E n i=1K i=1,有

(K1x1+K2x2+,+K n x x)p[K1x p1+K2x p2+,+K n x p n.在上式中,令K1=K2=,=K n=1/n,即得

x1+x2+,+x n

n [x

p

1

+x p2+,+x p n

n

1/p

.

例3证明Cauchy-Hêlder不等式.设a1,a2, a n,b1,b2,b n为两组非负实数,p>1,q>1,p+q =

1,则

E a i b i[(E a p i)1p(E a q i)1q.

证明同样地,可考虑函数f(x)=x p(p>1),由前例知,f(x)=x p(p>1)为凸函数,从而P x1,

x2,,,x n I R+,P K1,K2,,,K n I(0,1),E n i=1K i= 1,有

(K1x1+K2x2+,+K n x x)p[K1x p1+K2x p2+,+K n x p n.

在上式中,令x i=

a i

b1/p-1

i

,b i>0,K i=

b q i

E n

i=1

b q i

,i= 1,2,,,n.而q=p/(1-p)可得

E n

i=1

a i

b i[E

n

i

a p i1/p E

n

i=1

b q i1/q.

在上式中特别取p=q=2,得到著名的Cauchy-Schwartz不等式

E n

i=1

a i

b i[E n i a2i1/2E n i=1b2i1/2.

Hêlder不等式的变形为

E x A i y B i[E x i A E y i B,

这里x i,y i>0,i=1,2,,,n,A,B>0,A+B=1.

例4若a>0,b>0,p>0,q>0,E>0且

1

p +

1

q

=1,求证:

Young不等式a#b[

E a p

p

+

b q

q E q/p

.

证明从所求证的不等式的形式来看,不容易直接找到合适的凸函数.因此,我们要对它进行一定的变形.不妨不等式两边同取自然对数,则有ln(a#b)

E a p

p+

b q

q E q/p

,由此很容易找到合适的凸函数.考虑函数f(x)=-ln x(x>0),因为f d(x)=

1

x2

>0.由定理1知,f(x)在x>0时为凸函数.因为有p>0,q>0,

1

p

+

1

q

=1,所以

-ln

E a p

p

+

b q

q E q/p

[-

1

p

ln(E

1

p a)p-

1

q

ln(E

-1

p b)q= -ln(E

1

p a)-ln(E

-1

p b)=-ln(ab).

于是

ln(a#b)[ln

E a p

p

+b

q

q E q/p

,

即a#b[

E a p

p

+

b q

q E q/p

.

特别地,当E=1,p=q=2时,此不等式就是前面例1的结果,即平均值不等式.Young不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广.

3

第1期尚亚东等:凸函数及其在不等式证明中的应用

凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下.

例5[4]设p i I R+,x i I[0,P],证明:

sin p1x1+p2x2+,+p n x n p1+p2+,+p n

\

p1sin x1+p2sin x2+,+p n sin x n

p1+p2+,+p n

.

证明取f(x)=-sin x,它是[0,P]上的凸函数,由Jensen不等式,得

-sin p1x1+p2x2+,+p n x n p1+p2+,+p n

[

-p1sin x1+p2sin x2+,+p n sin x n

p1+p2+,+p n

,

所以sin

p1x1+p2x2+,+p n x n

p1+p2+,+p n

\

p1sin x1+p2sin x2+,+p n sin x n

p1+p2+,+p n

.

特别地:1如果在这个不等式中,令p i=1(i=1, 2,,,n)则得

n sin x1+x2+,+x n

n

\sin x1+sin x2+,+sin x n;o对于三角形的三个内角A、B、C,有

sin A+sin B+sin C[3sin A+B+C

3=

33

2.

例6设x I0,P

2

,证明:(sin x)1-c os2x+

(cos x)1+cos2x\2.

证明先将原不等式化为(sin2x)sin2x+ (cos2x)cos2x\2,因为f(x)=x x为(0,])上的凸函数,故当a>0,b>0时,有

f a+b

2

[1

2

[f(a)+f(b)],

令a=sin2x,b=cos2x,则

f

a+b

2

=f

sin2x+cos2x

2

=f

1

2

=

1

2

1

2

=

2

2

,

而

1

2[f(a)+f(b)]=

1

2[(sin

2x)]sin2x+

(cos2x)cos2x],

所以

(sin x)1-cos2x+(cos x)1+cos2x\2.

这道题目很难用初等知识证明,但通过构造凸函

数f(x)=x x,巧妙地令a=sin2x,b=cos2x,便可

很方便地证得.

对于数学分析、泛函分析中一些重要不等式,

利用凸函数也可以建立统一框架,简捷方便地进

行证明.

例7设f(x)在[a,b]上可积,m[f(x)[

M,U(t)是[m,M]上的凸函数,则

U1

b-a Q

b

a

f(x)d x[

1

b-a Q

b

a

U(f(x))d x.

证明由Jensen不等式,有U

1

n

E n

k=1

t k[

1

n

E n

k=1

U(t k),令t k=f(a+k b-a

n

),则有

U1

b-a

E n

k=1

f(a+k

b-a

n

)#

b-a

n

[

1

b-a

E n

k=1

U f(a+k b-a

n

)b-a

n

.

由于f(x)可积,U(t)为凸函数,故U(f(x))可积.

上式中令n y],取极限,即得到

U1

b-a Q

b

a

f(x)d x[1

b-a Q

b

a

U(f(x))d x.

特别地,若f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,

取U(t)=-ln t,则有

ln

1

b-a Q

b

a

f(x)d x\

1

b-a Q

b

a

ln f(x)d x.

前例结合凸函数的定义,可得Hadamard不等式:

设U(t)是区间[m,M]上的凸函数,P t1,t2I

[m,M],则

U t1+t2

2

[1

t2-t1Q

t

2

t

1

U(t)d t[

U(t1)+U(t2)

2

.

前面例5的结果可以进一步推广为所谓的加

权Jensen不等式,即对于连续的凸函数f(x),有:

f(x)是[a,b]内的一个连续的凸函数,p1,p2,,,

p n是n个正实数,a=x0

f

E p i x i

E p i[

1

E p i(E p i f(x i)).

加权的Jensen不等式还有如下积分形式:

例8设<(x)是[m,M]上的有界凸函数,

f(x)与p(x)在[a,b]上可积,m[f(x)[M,

p(x)\0,Q b a p(x)d x>0,则有不等式

<

Q b a p(x)f(x)d x

Q b a p(x)d x[

Q b a p(x)<(f(x))d x

Q b a p(x)d x.

证明以a=x0

分成n等分,任取N i I[x i-1,x i],i=1,2,,,n,则

E n

i=1

f(N i)p(N i)

b-a

n

E n

i=1

p(N i)

b-a

n

=

E n

i=1

f(N i)p(N i)

E n

i=1

p(N i)

.

4广州大学学报(自然科学版)第4卷

由于<(x )为凸函数,且p (N i )>0,由加权Jensen 不等式:

f

E p i x i

E p i

[

1

E p i

(

E p i f (x i ))

有<

E n

i =1

f (N

i )p (N i )E n

i=1

p (N i )

[

1

E n

i=1

p (N i )

E n

i =1

p (N

i )<(f (N i )),于是<

b -a n b -a n

E n

i =1

f (N i )p (N i )

E n

i=1

p (N

i )[

1

E n

i=1

p (N i )b -a n E n

i=

1

p (N i )<(f (N i )

b -a

n

).在上式中令n y ],取极限则得所要证明的

不等式.

特别有:设F(x )定义于(-],+]),F d (x )>0,f (x )为[0,P

2]上的连续函数.

F

Q P

2

f (x )sin x d x [Q P 2

F(f (x ))sin x d x.

对于H êlder 不等式,也有积分形式:

例9 设p ,q >0,1p +1

q =1,若f 和g 是定

义在[a ,b]上的实函数,使|f |p 和|g |q

在[a,b ]上可积,则

Q

b a

f (x )

g (x )d x [

Q

b a f(x)

p

d x

1p

Q

b a

g(x )

q

d x

1q

.

证明 若

Q

b a

f (x )

p

d x

1p

或

Q

b a

g(x)

q

d x

1q

其中之一为零,则f (x )或g(x )在[a,b ]上几乎处处为零.于是f (x )g(x )在[a,b]上几乎处处为零.从而

Q

b a

f (x )g(x )d x 为零.当

Q

b

a

f (x )

p

d x

1

p

Q b

a

g (x )

q

d x 1

q

X 0,令

a =

f

Q

B

A

f

p

d x

1p

,b =

g

Q

B

A

g

q

d x

1q

,代入ab [a p p +b q q ,其中,a >0,b >0,p ,q >0,

1

p

+1

q =1,得到

f

Q

B

A

f

p

d x

1p

#

g

Q

B

A g

q

d x

1q

[

f

p

p #

Q B

A

f

p

d x

+

g

q q #

Q B

A

g

q

d x

.两边从A 到B 积分,由

1p +1

q

=1,可知Q

B

A

f (x )

g (x )d x [

Q

B

A

f (x )p

d x

1

p

Q

B

A

g (x)

q

d x

1q

.

特别地,当p =q =2时则得H êlder 不等式:

Q

B

A

f (x )g(x )d x [

Q

B

A

f (x )

2

d x

12

Q

B

A

g (x)

2

d x

12

.

Young 不等式也有如下积分形式:

设f (x ),g(x )在[a,b ]有定义,且

1p +1q

=1,Q b a f (x )

p

d x ,

Q

b a g(x )

q

d x 存在,则

Q

b

a f (x)g (x )d x [E p Q

b

a

f (x )p

d x +1q #E -q p Q

b

a

g (x)

q

d x.

特别地,若f (x )在[a,b ]上有一阶连续导数,则有

Q

b

a f 2

(x )d x +14Q

b a f

c 2(x )

d x \f 2(b)-f 2(a)2

.证明 在积分形式的Young 不等式中,令p =q =2,E =

12,即得14Q

b a f

c 2(x )

d x +Q

b

a f 2(x )d x \Q

b a

f (x )f c (x )d x =f 2

(b )-f 2(a)

2.例10 若f (x )在[a,b ]上有一阶连续导数,则当f (x )X 0时,对p >1有

Q

b

a f (x )

p

d x +(p -1)

p p 1-p

Q

b

a

f (x )p

1-p d x \b - a.

证明 由积分形式的Young 不等式

Q

b a

f (x )g(x )d x [

E p Q

b a

f (x )p

d x +1q #E -q p Q

b

a

g(x )

q

d x ,

令E =p ,

p 1-p =-q ,则1p +1q =1,E

p =1,且1q #E -q p

=p -1p

p 11-p =(p -1)p p

1-p ,

Q b

a

f (x )p

d x +(p -1)p p

1-p

Q b a

f (x )

p

1-p d x

=

E p Q b

a

f (x )p

d x +1

q E -q p

Q

b

a

f (x )-q

d x \Q b a

f (x )#1

f (x )d x =b - a.

致谢:衷心感谢袁文俊教授的热情鼓励和支持帮助.

5 第1期尚亚东等:凸函数及其在不等式证明中的应用

6广州大学学报(自然科学版)第4卷

参考文献:

[1]史树中.凸分析[M].上海:上海科学技术出版社,1990.

SHI Shu-zhong.Convex analysis[M].Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1990.

[2]史树中.凸性[M].长沙:湖南教育出版社,1991.

SHI Shu-zhong.Convexity[M].Changsha:Hunan Educati on Press,1991.

[3]黄宣国.凸函数与琴生不等式[M].上海:上海教育出版社,1991.

HUANG Xuan-guo.Convex functi ons and Jensen.s inequali ties[M].Shanghai:Shanghai Education Press,1991.

[4]D S密特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社,1987.

Mitrinovic D S.Analytic inequalities[M].Beijing:Science Press,1987.

[5]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004.

KUANG J-i chang.On general inequalities[M].Jinan:Shandong Science and Technology Press,2004.

Convex function and its application in proving inequalities

SHANG Ya-do ng,YOU Shu-jun

(School of Mathematics and Information Science,Guangz hou Universi ty,Guangzhou510405,China)

Abstract:Convexity is an important geometric property.The convex function is a kind of function with special prop-erties.Convexity and convex func tion have e xtensive applications in functional analysis,optimal theory,and mathe-matical economy.In this paper,we introduce the definition of convex function by the aid of convex set.We discuss some foundational properties of the convex function.Especially,we study the applications of Jensen inequality of c on-vex function in proving inequalities.

Key words:convexity;conve x set;convex function;Jensen inequality

=责任编辑:周全>

裴定一教授主持的国家自然科学基金重点项目通过验收

国家自然科学基金委员会数理学部于12月22日在我校组织召开交叉学科重点项目验收会,我校信息安全研究所所长裴定一教授主持完成的项目/电子商务系统信息安全的理论

和技术研究0通过验收.裴定一教授在验收会上作了项目总结报告.参加验收会的专家们一

致认为该项目在密码基础理论研究、密码算法研究及实现技术、电子商务应用系统研究等方

面全面完成了计划,研究工作取得突出成果.

(科技处提供)

构造函数法解不等式问题(学生版)

专题2.3构造函数法解不等式问题（小题） 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x =，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????

积分在不等式证明中的应用

积分在不等式证明中的应用 摘 要：本文是根据积分的有关概念与性质，采用举例的方法归纳并总结了积分在不等式证明中的几种比较常见的技术和手法，同时重点突出了积分在不等式证明中的基本的思想与方法。 关键词：积分 不等式 应用 Application of integral in proving inequality Abstract:This article is based on concepts and properties about integral, several common techniques and practices of the integral in the proving inequalities are concluded and summarized using the example of the way, while highlighting the integral in the proving inequalities of basic ideas and methods. Keywords:integral; inequality; application 不等式证明不但是初等数学的重要课题，同时也是解决其他相关数学问题的基础知识。在初等数学领域中有许多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、放缩法、归纳法、函数法、几何法等，但用这些初等方法证明不等式时证明过程比较繁琐，而常用的高等方法如微分法，则往往忽略了积分在不等式证明中的重要作用，本文着重从积分的一些定理和相关性质的方面来说明不等式证明的几种技术和手法，以便于从整体上更好地掌握证明不等式基本的思想方法。 1. 积分的定义在不等式证明中的应用 从积分的定义出发来证明不等式，是很容易被忽略的一种方法，但是这种比较原始的证明方法有时却是一种很有效的证明方法。 例题1：设）（x ψ是[]a ,0上的连续函数，)(x f 二阶可导，0)(≥''x f ，试证： ))(1()]([100dt t a f dt t f a a a ??≥ψψ. 证明：由题意知，0)(≥''x f ，故对于[]a x x x n ,0,,,21∈? ，有

构造函数证明不等式

构造函数证明不等式 构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的(4n-4)/6n+3)次方不等式两边取自然对数(严格递增)有: ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n +3) 不等式左边=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1) =ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln[n^2/(n+1)] 构造函数f(x)=ln[x^2/(x+1)]-(4x-4)/(6x+3) 对f(x)求导,有:f'(x)=[(x+2)/x(x+1)]+[1/(x+1/2)]^2 当x>2时,有f'(x)>0有f(x)在x>2时严格递增从而有 f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0 即有ln[n^2/(n+1)]>(4n-4)/(6n+3) 原不等式等证 【解】： ∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] > e^((4n-4)/(6n+3)) ∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1) ∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1) 原式可化简为：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3)) 构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))

其一阶导数F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2 ∵e^((4n-4)/(6n+3)) ∴F’(n)>0 [n≥2] 而F[2]=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0 所以F(n)>0 [n≥2] 即：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3)) 故得证。 一、结合勘根定理，利用判别式“△”的特点构造函数证明不等式例1 若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c>0，a-3b+c求证：9b2>4ac. 证明构造函数f(x),设f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)， 由f(2)=4a+6b+c>0， f(-1)=a-3b+c根据勘根定理可知：f(x)在区间(-1,2)内必有零点. 又f(x)为二次函数，由勘根定理结合可知： f(x)必有两个不同的零点. 令ax2+3bx+c=0可知△=(3b)2-4ac>0, 所以可得：9b2>4ac.命题得证. 评析本题合理变换思维角度，抓住问题本质，通过构造二次函数,将所要证明的结论转化成判别式“△”的问题,再结合勘根定理和二次函数知识，从而使问题获得解决. 二、结合构造函数的单调性证明不等式 例2 (2005年人教A版《选修4-5不等式选讲》例题改编)已知a,b,c 是实数，求证：

3 用导数证明函数不等式的四种常用方法

用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈.

数形结合在不等式证明中的应用

数形结合在不等式证明中的应用 摘要主要研究“初等数学研究教程”教学,简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,有助于高等师范学校数学教育专业学生提高思维能力和中学数学教育能力。 关键词数形结合;不等式;证明 1引言 “初等数学研究教程”是高等师范学校数学教育专业的一门重要的专业基础课程,是从事中学数学教育必须掌握的基础理论。本文在“初等数学研究教程”教学中简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,以提高高等师范学校数学教育专业学生思维能力和中学数学教育能力。 数形结合的思想方法是中学数学的一大特点,而在中学数学教学中,不等式的证明历来是教学的一个重点和难点。合理、灵活地运用数形结合思想来证明不等式往往可以收到事半功倍的效果。我们首先看下面一道例题: 例1:若锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证: 。 证明思路:借助已知条件可构造一长 方体,使它的三边分别为a、b、c,且 记相交一点的三条棱a、b、c分别与AC’ 交成α、β、γ角。于是原有的三角证式就变成代数证式: 2利用数形结合证明不等式 由上例可见利用数形结合证明不等式的确可以使复杂问题简单化、形象化。在数学上,数和形是中学数学的两块基石,是研究数学的最基本方法之一。它体现了抽象思维与形象思维的结合,数学问题大体上都是围绕着“数”和“形”提炼、演变,发展而展开的。在中学数学中数形结合应用于证明不等式主要有三方面:用平面几何或立体几何的性质证明不等式,用解析几何的性质和方法证明不等式,用三角函数的性质和方法证明不等式。 2.1利用平面几何或立体几何的方法证明不等式 由于许多数量关系源于平面几何(或立体几何),诸如三角形的边长关系、边角

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法

利用导数构造函数解不等式

构造函数解不等式 1.(2015全国2理科)．设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （A ） （B ）（C ） （D ） 2若定义在R 上的函数()f x 是奇函数, ()02=f ,当x ＞0时，()()2x x f x f x -'＜0,恒成立，则不等式()x f x 2＞0的解集 A ()2,-∞-?()+∞,2 B ()0,2- ? ()+∞,2 C ()2,-∞-?()2,0 D ．()0,2-?()2,0 3定义在R 上的函数()f x 满足：()()1(0)4f x f x f '+>=，， 则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A .()0,+∞ B . ()(),03,-∞+∞U C .()(),00,-∞+∞U D .()3,+∞ 4. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞U C ．()(),01,-∞+∞U D ．()3,+∞ 5.定义在R 上的函数()f x 满足 则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为

6．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为'()f x ，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1

构造函数法证明导数不等式的八种方法(新)

构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤- +x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

中值定理在不等式证明中的应用

摘要 本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍. 关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式 Abstract This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数 [典例](2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解](1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．[对点演练] 已知函数f(x)＝x e x，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线， 求证：f(x)≤g(x)．

【高考数学】构造函数法证明导数不等式的八种方法

第 1 页 共 6 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方；

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明 【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ， 求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 2 x . 求不等式0)2(4)2015()2015(2 >--++f x f x 的解集. 2、移项法构造函数 【例2】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11 1 )1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。 3、作差法构造函数证明 【例3】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2 )(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f + 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令 x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2 3 ++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

函数的凹凸性在不等式证明中的应用

学年论文 题目凹凸函数及其在证明不等式中的应用学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 级别10级 姓名洪玉茹 学号101301040

摘 要 首先给出了凸函数的定义，．接着给出了凸函数的一个判定定理 以及Jesen 不等式．通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用． 关键词 凸函数，凸函数判定定理Jensen 不等式。 下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。 一、 凸函数的等价定义 定义1 若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有 []1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的 线总在曲线之上． 定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有 []12121 ( )()()22 x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上． 定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ， 恒有 000()()()()f x f x f x x x '≥+-， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．

高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立及能成立问题练习

专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立 及能成立问题练习 一、选择题 1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ? ?? ??－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A.??????x ? ??x ＜12 B.?????? x ? ??0＜x ＜12 C.?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12 D.?????? x ???－12 ≤x ≤0或x ≥12 解析 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12. 答案 C 2.若不等式2x ln x ≥－x 2 ＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.(－∞，4] C.(0，＋∞) D.[4，＋∞) 解析 条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3 x 恒成立. 设f (x )＝2ln x ＋x ＋3 x ， 则f ′(x )＝（x ＋3）（x －1） x 2 (x ＞0). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4.所以a ≤4. 答案 B 3.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －12 x .

令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案 D 4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时， xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析 令F (x )＝ f （x ） x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2 ，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F (x )＝f （x ） x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝ f （x ） x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A. 答案 A 5.(2016·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 解析 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝ f （x ） e x ，则F ′(x )＝ f ′（x ）－f （x ） e x ＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减. 又f (x )＜e x 等价于f （x ） e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0. 答案 B 二、填空题 6.已知不等式e x －x ＞ax 的解集为P ，若[0，2]?P ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意知不等式e x －x ＞ax 在x ∈[0，2]上恒成立. 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立. 当x ∈(0，2]时，原不等式即a ＜e x x －1，令g (x )＝e x x －1，则g ′(x )＝e x （x －1）x 2 ，当0＜x

常见构造函数解不等式归纳

常见构造函数解不等式归纳 1． 对于不等式()(0)f x k k '>≠，构造函数()()g x f x kx b =-+ 2． 对于不等式()()0xf x f x '+>，构造函数()()g x xf x = 3． 对于不等式()()0xf x f x '->，构造函数()()(0)f x g x x x = ≠ 4． 对于不等式()()0xf x nf x '+>，构造函数()()n g x x f x = 5． 对于不等式()()0xf x nf x '->，构造函数()()(0)n f x g x x x = ≠ 6． 对于不等式()()0f x f x '+>，构造函数()()x g x e f x = 7． 对于不等式()()0f x f x '->，构造函数()()x f x g x e = 8． 对于不等式()()0f x kf x '+>，构造函数()()kx g x e f x = 9． 对于不等式()2()0f x xf x '+>，构造函数2()()x g x e f x = 10. 对于不等式0)(ln )('>+x af x f a x ，构造函数()()x g x a f x = 11. 对于不等式()()tan 0f x f x x '+>，构造函数()()sin g x f x x = 12. 对于不等式()()tan 0f x f x x '->，构造函数()()cos g x f x x = 13. 对于不等式：0cos )(sin )(' >-x x f x x f ，构造 x x f x h sin )()(= 14.对于不等式：0sin )(cos )('>+x x f x x f ，构造 x x f x h cos )()(= 15. 对于不等式()0() f x f x '>，构造函数()ln () g x f x = 16．对于不等式()()ln 0f x f x x x '+ >，构造函数()()ln g x f x x = 17.对于不等式：0)()()()(''>+x g x f x g x f ，构造 )()()(x g x f x h = 18.对于不等式：0)()()()(''>-x g x f x g x f ，构造 )()()(x g x f x h =