有限元法原理
有限元法是一种数值分析方法，用于求解复杂的工程问题。它将一个大的问题分解成许多小的部分，每个部分都可以用简单的数学模型来描述。这些小的部分被称为有限元，它们的行为可以被计算机程序模拟。通过将这些小的部分组合在一起，可以得到整个系统的行为。
有限元法的原理是基于弹性力学的基本原理。它假设物体是由许多小的部分组成的，每个部分都可以看作是一个弹性体。这些小的部分被称为有限元。有限元法的目的是通过计算每个有限元的行为来预测整个系统的行为。
有限元法的基本步骤是将物体分解成许多小的部分，每个部分都可以用简单的数学模型来描述。这些小的部分被称为有限元。每个有限元都有一组节点，这些节点可以用来描述有限元的形状和大小。有限元法的目的是通过计算每个有限元的行为来预测整个系统的行为。
有限元法的计算过程可以分为三个步骤：建立有限元模型、求解有限元模型、分析结果。建立有限元模型是指将物体分解成许多小的部分，并将每个部分用数学模型来描述。求解有限元模型是指计算每个有限元的行为，并将它们组合在一起来预测整个系统的行为。分析结果是指对计算结果进行评估和解释。
有限元法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，可以考虑材料的非线性和非均匀性，可以处理多物理场耦合问题。有限元法的缺点是需要大量的计算资源和时间，需要对模型进行验证和校准，需要对计算结果进行解释和评估。
有限元法在工程领域中有广泛的应用，例如结构分析、流体力学、热传导、电磁场等。它可以用于设计新产品、优化现有产品、解决工程问题等。有限元法的发展和应用将会对工程领域产生深远的影响。
有限元法的原理及应用 1. 引言 有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域，用于解决复杂的物理问题。本文将介绍有限元法的基本原理和其在不同领域的应用。 2. 原理 有限元法基于数学原理和工程实践，将复杂的连续体分割为许多小的有限元，然后使用离散化的方法对每个有限元进行数值计算。具体原理如下： 2.1 有限元离散化 有限元法将连续问题离散化为离散的有限元问题。首先，将连续域划分为有限个互不重叠的有限元。每个有限元由一个或多个节点和连接节点的单元组成。节点是问题的离散点，而单元是问题的局部区域。 2.2 描述方程 在每个有限元内，使用形函数来近似描述问题的解。形函数是定义在某个节点上的函数，它可以以节点为中心表示整个有限元的解。然后，在每个有限元内，建立描述问题的偏微分方程，通常是通过泛函求解所得。 2.3 组装方程组 将每个有限元的形函数和描述方程组装成整个问题的方程组。通过施加边界条件和合理选择形函数的类型和数量，可以得到与原问题相对应的离散化方程组。 2.4 求解方程组 将离散化的方程组转化为代数方程组，并应用数值方法求解。通常采用矩阵运算等技术，利用计算机进行求解。 3. 应用 有限元法在多个领域有重要的应用，以下列举了一些常见的应用： 3.1 结构力学 有限元法在结构力学领域广泛应用，用于分析和优化结构的强度、稳定性和刚度。通过建立合适的有限元模型，可以计算结构的应力、应变和变形等重要参数。有限元法在建筑、航空航天和汽车等工程领域具有广泛应用。
3.2 流体力学 有限元法在流体力学领域用于模拟流动的行为，如气体和液体的流动、湍流和传热等。通过将流体领域离散为小的有限元，可以计算流体的速度、压力和温度分布等参数。有限元法在船舶设计、空气动力学和燃烧等领域得到了广泛应用。 3.3 热传导 有限元法可应用于热传导问题，用于分析材料内部的温度分布和热流。通过建立材料的有限元模型，可以计算材料的温度变化、热传导和热辐射等参数。有限元法在热工学、能源和材料研究等领域发挥重要作用。 3.4 电磁场 有限元法在电磁场领域用于解决电磁现象和电磁装置的问题。通过建立适当的有限元模型，可以计算电场、磁场和电磁感应等参数。有限元法在电力系统、无线通信和电子设备等领域得到了广泛应用。 3.5 地下水流 有限元法在地下水流领域用于模拟地下水的流动和污染传播。通过将地下区域离散为小的有限元，可以计算地下水的流速、压力和污染物的分布等参数。有限元法在环境工程和水资源管理等领域发挥重要作用。 4. 总结 有限元法是一种强大而灵活的数值计算方法，它将复杂的连续问题离散为离散的有限元问题，并利用计算机进行求解。它在结构力学、流体力学、热传导、电磁场和地下水流等领域有广泛应用。通过合理选择有限元模型和数值方法，可以获得准确的结果，并帮助工程师和科学家解决实际问题。
有限元法基本原理与应用 有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。 有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤： 1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。 2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。整个问题区域被划分为许多单元。 3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。 4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。 5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。 6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。
7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。 有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。 有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。 总结起来，有限元法是一种非常重要的工程分析方法，通过将连续的物理问题离散化为有限元的问题，通过数值计算求解得到问题的近似解。它的应用范围广泛，可以用于结构分析、流体力学、热传导等领域。有限元法的研究和应用将有助于解决各种工程问题，提高工程设计和分析的效率和精度。
有限元计算原理与方法 有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂 的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。它是目前工程界最常用的一种数 值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。 有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系 统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。每个有限元内只需要考 虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。有限元 法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。 有限元法的基本步骤包括以下几个方面： 1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几 何单元，如线段、三角形、四边形单元等。 2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。有限元网格的 划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。 3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点 对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。 4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质， 建立单元刚度矩阵和载荷向量。单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间 的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。 5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩 阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通 常为位移或载荷。 7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的 位移和应力等解。 8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行 分析和可视化显示。 有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。随着计 算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的 应用将会更加广泛和深入。
第二章有限单元法的基本原理 作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。 从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。 通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。4）有限元的收敛性和误差估计。 由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。 §2.1 弹性力学基本方程 有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。2-1-1、平衡方程 对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程
工程有限元法的基本原理 有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，用于求解工程结构的力学问题。它将连续介质的力学问题离散化成有限个简单的几何单元，通过数值方法来近似描述其物理行为，然后利用数值计算的手段求解得到结构的应力、应变、位移等结果。有限元法基于以下几个基本原理。 第一个基本原理是连续介质力学原理。根据连续介质力学原理，工程结构的行为可以通过各个位置上的应力、应变之间的关系来描述。有限元法将结构划分为有限个单元，每个单元内的应力、应变满足线性关系，在整个结构内满足刚体平衡和位移连续性条件。 第二个基本原理是虚功原理。根据虚功原理，结构在平衡状态下任意位移的虚功等于系统外力对应的虚功。在有限元法中，通过引入虚位移，可以将结构力学问题转化为解决某虚位移下的能量平衡问题。对于每个单元来说，其虚功相互之和等于外力对应的虚功。 第三个基本原理是有限元离散化原理。有限元法将结构离散化为有限个几何形状简单的单元，如三角形、四边形单元。每个单元内的位移场可以用简单的插值函数表示。然后将整个结构的位移场表示为各个单元位移场的线性组合。利用这种离散化的表示方法，可以通过求解一个线性代数方程组来获得结构的位移、应力等结果。
第四个基本原理是有限元单元刚度矩阵推导原理。在有限元法中，每个单元都有其特定的刚度矩阵，该刚度矩阵与单元内力学性能和几何形状有关。通过对单元的单元刚度矩阵的推导，可以获得整个结构的刚度矩阵。然后通过组装所有单元的刚度矩阵，得到整个结构的刚度矩阵。 第五个基本原理是有限元方程求解原理。通过将结构的位移场表达为有限元插值函数的线性组合，结构的位移、应力、应变等物理量可以表示为有限元插值函数的线性组合。将虚功原理应用到每个单元上，可以得到有限元法的强格式线性方程组。然后通过求解这个线性方程组，可以获得结构的位移、应力、应变等结果。 在实际应用中，有限元法通过划分结构为有限单元网格，将复杂的结构计算问题转化为简单的局部计算问题。通过选择合适的单元类型和网格密度，可以在一定误差范围内获得准确的结构应力、位移等结果。有限元法已广泛应用于各个领域，如结构力学、流体力学、热传导等问题的数值计算和优化设计。
有限元的原理 有限元分析是一种工程数值分析方法，它利用数学原理和计算机技术，对工程 结构的力学行为进行模拟和分析。有限元分析的原理是将复杂的结构分割成许多小的单元，通过对每个单元的力学行为进行精确描述，最终得到整个结构的力学响应。本文将从有限元分析的基本原理、步骤和应用进行介绍。 有限元分析的基本原理是离散化方法，它将一个连续的结构分解成有限个单元，每个单元都是一个简单的几何形状，如三角形、四边形等。然后对每个单元进行力学建模，建立单元的位移场和应力场的数学模型。通过组合所有单元的数学模型，得到整个结构的位移场和应力场的近似解。有限元分析的基本原理是基于弹性力学理论，它假设结构在受力作用下是弹性变形，即满足胡克定律。有限元分析的数学模型通常是一个大型的代数方程组，通过求解这个方程组，得到结构的位移场和应力场。 有限元分析的步骤包括建立有限元模型、施加边界条件、求解代数方程组和后 处理结果。首先，需要对结构进行几何建模，将结构分解成有限个单元，并确定每个单元的材料性质和几何尺寸。然后，需要施加边界条件，即给定结构的约束条件和外载荷。接下来，需要将结构的力学行为建立成代数方程组，通常采用有限元法中的单元法则和变分原理。最后，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场，并进行后处理，如应力分布、位移云图等。 有限元分析在工程领域有着广泛的应用，如结构分析、热传导分析、流体力学 分析等。在结构分析中，有限元分析可以用于预测结构的强度、刚度和稳定性，为结构设计提供理论依据。在热传导分析中，有限元分析可以用于预测结构的温度分布和热传导性能，为热工设计提供支持。在流体力学分析中，有限元分析可以用于模拟流体在结构内部的流动行为，为流体工程设计提供参考。 总之，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化方法和数学 建模，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。有限元分析的原理是基于弹性力学
有限元法基本原理及应用教学设计 一、引言 有限元法作为结构力学、流体力学、热力学等学科中最常用的数值分析方法之一，已经广泛地用于工程领域。本文将介绍有限元法的基本原理，并结合教学实践，提出一些应用场景下的教学方法。 二、有限元法基本原理 有限元法是一种通过将连续体分割成一系列互相联系的单元，再在每个单元内 进行局部近似的方法。其基本步骤如下： 1.确定问题的几何形状，将其离散化为有限数量的单元。 2.寻找适当的函数形式，用于单元内的场函数近似。 3.根据边界条件、本构关系等确定模型中所需的参数。 4.利用有限元法求解离散模型中的场函数，获得结果。 其中，第一步和第二步是离散化的过程，第三步是确定问题的物理参数，第四 步是利用有限元方法来求解局部近似的结果。 三、教学设计 3.1 教学目标 通过本教学，学生应该能够： 1.理解有限元法的基本原理。 2.能够根据问题特点选择有限元法模型，熟练掌握其求解方法。 3.能够独立地完成一定的有限元法计算，掌握基本的讨论和分析技巧。
3.2 教学内容 教学内容的设计应该以让学生掌握有限元法的基本原理和中小型有限元法计算 实验为主。具体包括： 1.有限元法基本概念和基本原理。 2.有限元法求解流程。 3.有限元法中力学问题的处理方法。 4.有限元法计算程序的操作实践及其调试过程。 3.3 教学方法 教学方法应该根据教学目标和教学内容来选择。具体而言，可以采用以下教学 方法： 1.讲授法：介绍有限元法的基本理论、公式、步骤等。 2.组织实践：每个学生都可以应用所学的有限元法计算流程，通过校内 实践检验所得结果，加深学习效果。 3.讨论演示法：引导学生根据教材内容和实践结果展开讨论，举一反三， 形成总结性的详细讨论分享现象，并进行比较，以及某些特殊情况的讨论。 4.自学法：学生在自习时间用充足的学习资料在当地的工程和计算机实 验室研读，掌握有限元法的道理和方法。 3.4 教学评估 教学评估应包括考试成绩和实际计算结果。在学年末进行考试，考试的内容应 该包括基本理论和实践的实际应用以及进行有限元法计算产生结果的分析。
有限元法的基本原理 有限元法（Finite Element Method）是一种用于求解工程和物理问 题的数值计算方法。它将复杂的结构或物理系统分割成若干个小的、简单 的部分，这些部分被称为有限元。通过对每个有限元进行数学建模和描述，再根据各个有限元之间的相互关系，最终得到整个系统的数学模型，并通 过求解模型得到所需的结果。 有限元法的基本原理可以总结为以下几个步骤： 1.离散化：将需要分析的实际物体或系统划分为多个小的部分，每个 小部分称为有限元。每个有限元都有自己的几何形状和物理特性。 2.建立方程：对每个有限元进行数学建模，设定适当的假设和方程， 并将其转化为一个或多个待求解的方程。这些方程描述了物体各点之间的 关系和行为。 3.组装和边界条件：将所有有限元的方程组合起来形成整个系统的方程。在这个过程中，考虑到边界条件，如约束和加载，以使系统模型更接 近实际情况。 4.求解方程：通过数值解法或迭代算法，对系统方程进行求解。常用 的方法有直接法、迭代法、矢量或矩阵求逆等。 5.后处理：根据求解结果，得到所需的物理量和信息，并进行数据分 析和可视化，以获得更深入的认识。 有限元法的最大优点之一是其适用性广泛。它可以应用于各种复杂的 结构和物理系统，包括静力学、动力学、热传导、电磁学等。通过适当的 选择有限元类型和参数，可以对各种材料和结构进行准确的分析和预测。
此外，有限元法对于学术和工程研究的意义也非常重大。它提供了一种理论和实践相结合的方法，可以对实际问题进行数值模拟和优化设计。通过对有限元模型的分析，可以预测物体或系统的行为和响应，从而为实际工程项目的决策提供有力的支持。 然而，有限元法也存在一些局限性和挑战。首先，有限元法在建立数学模型和求解方程时需要一定的理论基础和数值计算技术。其次，模型的精确性和结果的准确性依赖于有限元的选择和划分，以及材料参数和边界条件的准确性。最后，有限元法的计算量通常很大，特别是对于复杂的结构和多物理场问题，需要高性能计算和有效的算法来提高计算效率。 总之，有限元法作为一种数值计算方法，已经被广泛应用于工程和科学研究的领域。通过将复杂的问题分解为简单的有限元，通过数学建模和迭代求解，它可以提供准确、高效且经济的工程分析和设计方法。通过不断改进和发展，有限元法在实践中的应用范围和效果将会得到进一步的扩展和提高。
第二章有限元法的基本原理 有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核， 又继承了变分计算中选择试探函数并对 区域积分的合理方法。 有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理， 因此这里首先介绍加 权余量法和变分原理。 2.1 等效积分形式与加权余量法 加权余量法的原理是基于 方程近似解的一种有效方法。 加权余量法本身又是一种独立的数值求 解方法。 2.1.1 微分方程的等效 积分形式 工程或物理学中的许多问题， 提出来的，可以一般地表示为未知 函数 A 1（u ） A （u ） A 2（u ） M 域 可以是体积域、面积域等，如图 B 1（u ） B （u ） B 2（u ） M 要求解的未知函数 u 可以是标量场（例如压力或温度） ，也可以是几个变量组成的向量 场（例如位移、应变、应力等） 。 A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等） 的微分算子。 微分方程数目应和未知场函数的数目相对应， 因此， 上述微分方程可以是单个 的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。 以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下： 微分方程等效积分 的提法，同时它也是求解线性和非线性微分 在有限元分析中， 加权余量法可以被用于建立有限元方程， 但 通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式 u 应满足微分方程组 0 （在 内） （ 2-1） 2-1 所示。同时未知函数 u 还应满足边界条件 （在 内） （ 2-2） A( ) x (k x ) y (k y ) q 0 在 内） 2-3)
应流度 K / ）； 和 q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压 力和边界上的流速） ；n 是有关边界 的外法线方向； q 是源密度（在渗流问题中对应井的 产量）。 在上述问题中，若 k 和 q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。若 k 和 q 是 及其导 数的函数时，问题则是非线性的。 由于微分方程组（ 2-1）在域 中每一点都必须为零，因此就有 V T A(u)d (v 1A 1(u) v 2A 2 (u) L )d 0 （2-5） 其中 v 1 V v 2 （2-6） M 其中 V 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。 式（ 2-5）是与微分方程组（ 2-1）完全等效的积分形式。我们可以说， 若积分方程对于 任意的 V 都能成立，则微分方程（ 2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条 件（ 2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立 VB （u ）d （v 1B 1（u ） v 2B 2（u ） L ）d 0 因此积分形式 V T A （u ）d V T B （u ）d 0 对于所有的 V 和 V 都成立是等效于满足微分方程 （2-1）和边界条件 （ 2-2）。我们把（ 2-7） 式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式 在一般情况下，对（ 2-7）式进行分部积分得到另一种形式： C T （v ） D （u ）d E T （v ） F （u ）d 0 （2-8） 其中 C ， D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（ 2-7）式的低，这样 对函数 u 只需要求较低阶的连续性就可以了。 在（ 2-8）式中降低连续性要求是以提高 V 和V 的连续性要求为代价的，由于原来对 V 和 V （在（ 2-7）式中）并无连续性要求，但是适当 提高对其连续性的要求并不困难， 因为它们是可以选择的已知函数。 这种降低对函数 u 连续 性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。 （ 2-8）式称为微分方程 （2-1）和边界条件（ 2-2）式的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形 式对函数 u 的连续性要求降低了， 但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正 解，因为原始微分方程往往对解提出B( ) q0 在 上） 在 q 上） 2-4) 这里 表示温度（在渗流问题中对应压力） ；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对