/ 12 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）abba（对称性） （2）cacbba,（传递性） （3）cbcaba（加法单调性） （4）dbcadcba,（同向不等式相加） （5）dbcadcba,（异向不等式相减） （6）bcaccba0,. （7）bcaccba0,（乘法单调性） （8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘） (9)0,0ababcdcd（异向不等式相除） 11(10),0ababab（倒数关系） （11）)1,(0nZnbabann且（平方法则） （12）)1,(0nZnbabann且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2aaRa则若 （2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 .2abab（当仅当a=b时取等号） 极值定理：若,,,,xyRxySxyP则： ○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
/ 12 3,3abcabcRabc(4)若、、则（当仅当a=b=c时取等号） 0,2baabab(5)若则（当仅当a=b时取等号） 2222(6)0||;||axaxaxaxaxaxaaxa时，或 （7）||||||||||||,bababaRba则、若 4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 222.1122abababab（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 特别地，222()22ababab（当a = b时，222()22ababab） ),,,(332222时取等cbaRcbacbacba 幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa 注：例如：22222()()()acbdabcd. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nnnnnnnnnnpp ②11111(1)121nnnnnnnnnnpp （2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有 12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或 则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法
（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
/ 12 ()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域 ○20)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或 ○32)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf （4）.指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab （5）对数不等式：转化为代数不等式 ()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx （6）含绝对值不等式 ○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 )()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327xxxxx ②2222232(1)(1)12423(1)()223279xxxyxxyy 类似于22sincossin(1sin)yxxxx，③111||||||()2xxxxxx与同号，故取等 三、利用均值不等式求最值的方法 均值不等式ababab200(，，当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04x时，求yxx()82的最大值。
/ 12 解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系数即可。 yxxxxxx()[()]()821228212282282· 当且仅当282xx，即x＝2时取等号。 所以当x＝2时，yxx()82的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2. 已知x54，求函数fxxx()42145的最大值。 解析：由题意知450x，首先要调整符号，又()42145xx·不是定值，故需对42x进行凑项才能得到定值。 ∵xx54540， ∴fxxxxx()()421455415432541543231()xx· 当且仅当54154xx，即x1时等号成立。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离 例3. 求yxxxx271011()≠的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 yxxxxxxxx227101151411415()()() 当x10，即x1时
/ 12 yxx214159()·（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当x10，即x1时 yxx521411()·（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴yxxxx271011()≠－的值域为(][)，，19。 评注：分式函数求最值，通常化成ymgxAgxBAm()()()00，，g(x)恒
正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例4. 已知abab0021，，，求tab11的最小值。 解法1：不妨将11ab乘以1，而1用a＋2b代换。 ()()()111112ababab·· 12232322322baabbaabbaab· 当且仅当2baab时取等号，由22121122baababab，得 即ab21122时，tab11的最小值为322。 解法2：将11ab分子中的1用ab2代换。
/ 12 abaabbbaabbaab2212232322 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到tbaab32，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得tab11的最小值。 三、换元 例5. 求函数yxx225的最大值。 解析：变量代换，令tx2，则xttytt222021()，则 当t＝0时，y＝0 当t0时，ytttt121122124· 当且仅当21tt，即t22时取等号。 故xy3224时，max。 评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方 例6. 求函数yxxx21521252()的最大值。 解析：注意到2152xx与的和为定值。 yxxxxxx222152422152421528()()()()() 又y0，所以022y 当且仅当2152xx，即x32时取等号。
/ 12 故ymax22。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式 一、选择题 1．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是( ) A.14 B．1 C．4 D．8 解析：由a＞0，b＞0，ln(a＋b)＝0，得 a＋b＝1，a＞0，b＞0. 故1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥1a＋b22＝1122＝4. 当且仅当a＝b＝12时，上式取等号. 答案：C 2．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A．2 B．4 C．9 D．16 解析：(x＋y)1x＋ay＝1＋xy·a＋yx＋a. ∵x＞0，y＞0，a＞0， ∴1＋axy＋yx＋a≥1＋a＋2a. 由9≤1＋a＋2a，得a＋2a－8≥0， ∴(a＋4)(a－2)≥0. ∵a＞0，∴a≥2，∴a≥4，∴a的最小值为4. 答案：B
/ 12 3．已知函数f(x)＝lg5x＋45x＋m的值域为R，则m的取值范围是( ) A．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－∞，－4] 解析：设g(x)＝5x＋45x＋m，由题意g(x)的图像与x轴有交点，而5x＋45x≥4，故m≤－4，故选D. 答案：D 4．当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为( ) A．3 B．5 C．1 D．7 解析：方法一：由x＋3y－2＝0，得3y＝－x＋2. ∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1 ＝3x＋93x＋1 ≥2 3x·93x＋1＝7. 当且仅当3x＝93x，即3x＝3，即x＝1时取得等号． 方法二：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥23x·33y＋1＝232＋1＝7. 答案：D 5．已知x＞0，y＞0
，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( ) A．3 B．4 C.92 D.112 解析：∵2xy＝x·(2y)≤x＋2y22， ∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. 又∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号． 答案：B 6．(2013·苍山调研)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋13y的最小值是( ) A．2 B．22 C．4 D．23 解析：由lg2x＋lg8y＝lg2，得lg2x＋3y＝lg2.
/ 12 ∴x＋3y＝1，1x＋13y＝1x＋13y(x＋3y)＝2＋x3y＋3yx≥4. 答案：C 二、填空题 7．设x、y∈R，且xy≠0，则x2＋1y21x2＋4y2的最小值为__________． 解析：x2＋1y21x2＋4y2＝1＋4＋4x2y2＋1x2y2≥1＋4＋24＝9. 当且仅当4x2y2＝1x2y2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立. 答案：9 8．(2013·台州调研)若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为__________． 解析：∵ab－4a－b＋1＝0， ∴b＝4a－1a－1，ab＝4a＋b－1. ∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1 ＝6a＋4a－1a－1·2＋1 ＝6a＋[4a－1＋3]×2a－1＋1 ＝6a＋8＋6a－1＋1 ＝6(a－1)＋6a－1＋15. ∵a＞1，∴a－1＞0. ∴原式＝6(a－1)＋6a－1＋15≥26×6＋15＝27. 当且仅当(a－1)2＝1，即a＝2时等号成立． ∴最小值为27. 答案：27 9．(2013·聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝920vv2＋3v＋1 600(v＞0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v＝__________千米/小时． 解析：∵v＞0，
/ 12 ∴y＝920v＋1 600v＋3≤9202 v·1 600v＋3＝92080＋3≈11.08， 当且仅当v＝1 600v，即v＝40千米/小时时取等号. 答案：40 三、解答题 10．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1. 求证：1x＋4y＋9z≥36. 解析：∵x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1， ∴1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z＝14＋yx＋4xy＋zx＋9xz＋4zy＋9yz≥14＋2 yx·4xy＋2 zx·9xz＋2·4zy·9yz＝14＋4＋6＋12＝36. 当且仅当x2＝14y2＝19z2， 即x＝16，y＝13，z＝12时等号成立． ∴1x＋4y＋9z≥36. 11．某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽． 解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m， 中间的矩形区域面积为S m2， 则半圆的周长为πy2 m. ∵操场周长为400 m，所以2x＋2×πy2＝400， 即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜400π)． ∴S＝xy＝12π·(2x)·(πy)≤12π·2x＋πy22＝20 000π.
/ 12 由 2x＝πy，2x＋πy＝400，解得 x＝100，y＝200π. ∴当且仅当 x＝100，y＝200π时等号成立． 即把矩形的长和宽分别设计为100 m和200π m时，矩形区域面积最大． 12．已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0. (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解析
：(1)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy. ∴2xy＋5≤x＋y＋5＝3xy. ∴3xy－2xy－5≥0. ∴(xy＋1)(3xy－5)≥0. ∴xy≥53，即xy≥259，等号成立的条件是x＝y. 此时x＝y＝53，故xy的最小值是259. (2)方法一：∵x＋y＋5＝3xy≤3·x＋y22＝34(x＋y)2， ∴34(x＋y)2－(x＋y)－5≥0. 即3(x＋y)2－4(x＋y)－20≥0. 即[(x＋y)＋2][3(x＋y)－10]≥0. ∴x＋y≥103. 等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝53时取得． 故x＋y的最小值为103. 方法二：由(1)知，x＋y＋5＝3xy，且(xy)min＝259， ∴3(xy)min＝253. ∴(x＋y)min＝253－5＝103，此时x＝y＝53.
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