八年级奥数：因式分解
解读课标
因式分解是整式乘法的逆向运用，它不仅体现了二种“化归”的思想，而且也是学习后续内容（如分式的化简、解方程）等普遍使用的恒等变形的基础，为数学交流提供有效途径． 提公因式、公式法是因式分解的基本方法．有公因式先提公因式、分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，这是因式分解的基本原则．
一些复杂的因式分解问题，常用到以下知识方法：
1．若 且则形如的多项式可分解为．
2．当多项式项数较多（4项或4项以上）时，通过恰当分组分解；
3．对结构较复杂的多项式，利用换元法分解．
问题解决
例1 分解因式_____________．
例2 要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以
有（ ）．
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．无数多个
例3 把下列各式分解因式
（1）；
（2）；
（3）．
例4 阅读理解
观察下列因式分解的过程：
（1） 原式=
（2）
原式= 第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
ab q =b a p +=q px x ++2))((b x a x ++=---+-333)(125)23()32(y x y x y x p x x +-5212)35)(25(22-++++x x x x 2
)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++)1)(1()2)((-+++++xy xy xy y x y x y x xy x 442-+-)4)(()(4)()44()(2+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x bc c b a 22
22+--))(()()2(22222c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-
（1）；
（2）．
例5 把下列各式分解因式
（1）；
（2）．
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知识技能广场
1．多项式与多项式的公因式是____________．
2．分解因式：（1）____________．
（2）____________． （3）____________．
3．分解因式：____________．
4．分解因式：____________． 5．多项式分解因式的结果是（ ）．
A .
B .
C .
D .
6．将多项式分解因式的结果是（ ）．
A .
B .
C .
D .
7．把多项式因式分解之后，正确的结果是（ ）．
A .
B .
C .
D .
8．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数bc ac ab a -+-2
yz z y x 44222+--611623+++x x x 8292234+--+x x x x a ax 42-442+-x x =-+b a ab a 2
232=-+++4)4)(2(2x x x =+--4422x y x =--+12432
3x x x =-+-+8)3(2)3(222x x x x 22b a bc ac -+-))((c b a b a ++-))((c b a b a -+-))((c b a b a -++))((c b a b a +-+322
4-+x x )1)(3(22-+x x )3)(1(22-+x x )1)(1)(3(2-++x x x )3)(3)(1(2-++x x x 34222----y x y x )1)(3(--++y x y x )3)(1(+--+y x y x )1)(3(+--+y x y x )3)(1(--++y x y x 122
-+ax x
是（ ）．
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
9．分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）； （5）；
（6）
10．在三个整式中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得
整式可以因式分解，并进行因式分解．
思想方法新天地
11．分解因式：=______________．
12．分解因式=_______________．
13．分解因式：=_______________．
14．已知可因式分解为，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =_______________．
15．分解因式的结果是（ ）．
16．实数，下列各数中不能整除m 的是（ ）
A ．2006
B ．2005
C 2004
D ．2003
17．任何一个正整数n 行都可以进行这样的分解：n =s ?t （s 、t 是正整数，且s ≤t ），如果p ?q 在行的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们称p ?q 是n 的最佳分解，并规定： ，例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有，给出下列关于F （n ）的说法： ；④若n 是一个完全平b a b a 36422-+-2
22449c bc b a -+-)2())((a b b c a c a -+-+12)2)(1(22-++++x x x x 13322)132(222-+-+-x x x x 12)5)(3)(1(2+++-x x x 222,2,2x xy y xy x ++)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x 333)()2()2(y x y x -----346922-+--y y x x )2311)(1713()1713)(3119(------x x x x ++x b ax 8)(()c 44
+a )22)(22.(22+--+a a a a A )22)(22.(22---+a a a a B )22)(22.(22--++a a a a C )22)(22.(22+-++a a a a D 200520053-=m q
p n F =)(2163)18(==F 3)27(;8
3)24(;21)2(===F F F ③②①
方数，则F （n ）=1，其中正确说法的个数是（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
18．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足，则此三角形
是（ ）．
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定
19．分解因式：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）；
（5）．
0)(22222=+-++c a b c b a 344422-+--y y x x 2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 153143+-x x 9352
3-++x x x 4242410)13)(14(x x x x x ++++-
应用探究乐园
20．已知在△ABC 中，三边长a 、b 、c 满足等式 求证：
21．下金蛋的鸡 法国数学家费马（1601—1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程x n +y n = z n （n 为大于2的整数）没有正整数解．直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯于1994年证明．德国数学家希尔伯特（1862—1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展．这些远比证明定理本身更重要! 不过费马的猜想并不总是正确的．他考察了发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，+1（即+1）都是素数．
瑞士数学家欧拉（1707—1783）指出，+1并不是素数．我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设n =27，b =5，可算得，可见必有除1和本身以外的约数_______（填较简单的一个，用含a 、b 的式子表示），即能被_________整除（填入具体数值），所以不是素数．
.010616222=++--bc ab c b a .2b c a =+,6553712,25712,1712,51213212222=+=+=+=+n 22)2(2n 52244121)1(125b a a ab -++=+125
2+1252+
例1．分解因式： ⑴a6?b6； ⑵a2＋b2＋c2?2bc＋2ca?2ab； ⑶a7?a5b2＋a2b5?b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3?3abc；⑵x3＋y3＋3xy?1. 例3．分解因式：(x?1)3＋(x?2) 3＋(3?2x) 3例4．分解因式：x3?5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2?1)2十(x?1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2 A卷
一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a?b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 () 2 22 200220012003 2002200220012001 -? -?+ 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x?3)(x2十3x＋4)?8=_________。 05.将多项式x2?4y2?9z2?12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1? x2)(1? y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x?1是多项式x3?3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2?1)(x4＋x2＋1)? (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x?2y)x3?(y?2x) y3=_________。 二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3?3abc. 12.已知x y ≠，且x3?x=7，y3?y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷 一、填空题 01．分解因式ab(c2?d2)?cd(a2?b2)＝_________。
))(()()()()(1 22122by ay x b a b a y b a x a b y b a x n n n n +--=---=-+-++2 22212222)31(31)9132(319227131--=+--=+--++x x x x x x x x n n n n n ))(()()(22)()(222222 22222222 222222222222 22222y x c b a y c b a x c b a x c y c abxy x b y a abxy y b x a x c y c ay bx by ax +++=+++++=++-++++=++-++322a a -22129 b a ab c -a ab a -+2ab a 75.0432+a a a 24646-+-ax x a x a +-2233242566816y x y x y x -+-21---+m m m a a a ) ()()(b a a b y b a x ---+-) ()(3223x y y x y x y x -+-) 3)(()35)((y x b a y x b a -+--+因式分解的方法： 1提公因式法 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例：（1）-am+bm+cm=-m(a-b-c)； （2）a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b) （3） （4） （5） （6）2n(m-2n)(3m-2n)-3m(2n-3m)(2n-m) =2n(m-2n)(3m-2n)-3m(3m-2n)(m-2n) =(m-2n)(3m-2n)(2n-3m) 专项练习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
14.3 因式分解 1．因式分解 (1)定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． (2)因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如： (a＋b)(a－b)a2－b2. 即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性． 谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底． 【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()． A．a(x＋y)＝ax＋ay B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4 C．10a2－5a＝5a(2a－1) D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y 2．公因式 (1)定义 多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． (2)确定多项式的公因式的方法 确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数． 解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号． 【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()． A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3D．3a2b2 3．提公因式法 (1)定义 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． (2)提公因式的步骤 ①确定应提取的公因式； ②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”． 【例3】用提公因式法分解因式： (1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；
初二年级奥数因式分解测试题及答案1．下列式子是因式分解的是(C) A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1) 2．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)则a，b的值分别是(B) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3 知识点2 提公因式法因式分解 3．多项式8m2n＋2mn的公因式是(A) A．2mn B．mn C．2 D．8m2n 4．多项式a2－4a分解因式，结果准确的是(A) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4 5．把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果准确的是(C) A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1) C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1) 6．用提公因式法因式分解： (1)3x3＋6x4；
解：原式＝3x3(1＋2x)． (2)4a3b2－10ab3c； 解：原式＝2ab2(2a2－5bc)． (3)－3ma3＋6ma2－12ma； 解：原式＝－3ma(a2－2a＋4)． (4)6p(p＋q)－4q(p＋q)． 解：原式＝2(p＋q)(3p－2q)． 7．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(A) A．3 B．2 C．1 D．－1 8．小玉同学在计算34.3×17.1＋82.5×17.1－26.8×17.1＋ 10×17.1＝17.1×(34.3＋82.5－26.8＋10)＝1_710． 9．把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝6，n＝1． 10．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一 次项系数而分解成(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解 成(x－2)(x－4)，则这个二次三项式为x2－6x＋9． 11．将下列各式分解因式： (1)x4＋x3＋x； 解：原式＝x(x3＋x2＋1)． (2)x(x－y)＋y(y－x)； 解：原式＝x(x－y)－y(x－y) ＝(x－y)(x－y) ＝(x－y)2.
初中因式分解的（例题详解） 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ))((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例1．分解因式： ⑴a6-b6； ⑵a2＋b2＋c2-2bc＋2ca-2ab； ⑶a7-a5b2＋a2b5-b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3-3abc；⑵x3＋y3＋3xy-1. 例3．分解因式：(x-1)3＋(x-2) 3＋(3-2x) 3例4．分解因式：x3-5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2-1)2十(x-1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2 A卷
一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a-b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 2 22 200220012003 2002200220012001 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x-3)(x2十3x＋4)-8=_________。 05.将多项式x2-4y2-9z2-12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1- x2)(1- y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x-1是多项式x3-3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2-1)(x4＋x2＋1)- (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x-2y)x3-(y-2x) y3=_________。 二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3-3abc. 12.已知x y，且x3-x=7，y3-y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷 一、填空题 01．分解因式ab(c2-d2)-cd(a2-b2)＝_________。
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
初二年级奥数因式分解练习题 性质： 1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二 次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上能够证明，对于 一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式能够求解。仅仅因为 公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式 和四次多项式也有固定的分解方法，仅仅比较复杂。对于五次以上的 一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元 方程也没有固定解法。 2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都能够因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都能够因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定能够因式分解。如果有兴趣，你也能够用待定系数法将其分解，仅仅分解出来的 式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是 有n个根，也就是说，n次一元多项式总是能够分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每 对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，能够得到二次的实系数因式， 从而这条结论也就成立了。) 3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固 定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式能够用 辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高， 但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式 的除法也能够但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。 概念：
因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。例如：(m+n)(m-n)=m2-n2 【方法】 因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、使用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 注意四原则： 1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式) 2.最后结果只有小括号 3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x2+x=x(-3x+1))不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z) 归纳方法： 1.提公因式法。 2.使用公式法。 3.拼凑法。 提取公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式能够是单项式，也能够是多项式。 如果一个多项式的各项有公因式，能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
学习资料收集于网络，仅供参考 因式分解方法技巧 专题一 分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 ［例题］把下列各式因式分解： 1 2 x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 5 2. a -a 2 2 3. 3(x -4x) -48 ［点拨］看出其中所含的公式是关键练习 3 1、3x -12x 2 2 2 2、2a(x 1) -2ax 2 3、3a 6a 5、一4a3+ 16a2b—26ab2 4 4 6、m -16 n
学习资料收集于网络，仅供参考 专题二 二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法2平方差公 式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中 a,b 所代表的整式，将 一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 ［例题］分解因式：3(x+y)2-27 ［点拨］先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习 2 1 2 2 4)9a — b . 5) 25 — 16x ; 4 专题三 三项式的分解因式：如果一个能分解因式, 公 式法。先观察三项式中是否含有公因式, 或者a 2-2ab+b 2的形式 完全平方公式运用时注意点： A. 多项式为三项多项式式； B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数(或代数式)的平方; C. 第三项为B 中这两个数(或代数式)的积的 2倍，或积的2倍的相反数。 1)x 5— x 3 2)m 4 -16 n 4 2 3)25 — 16x 6) 9a 2— - b 2. 4 「般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方 然后再看三项式是否是完全平方式， 即a 2+2ab+b 2
第 讲 因式分解1 知识点睛 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。分解因式最基本方法有： （1）提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。 （2）运用公式法： 平方差：22 ()()a b a b a b -=+- 完全平方：2222()a ab b a b ±+=± 立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ 2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++--- （3）分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法。 （4）十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成 12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解 系数a ，b ，c ，使得： 12a a a = 12c c c = 1221a c a c b += 分解因式的步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其他方法。 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，结果一定是乘积的形式，每一个因式都是整式，相同的因式的积要写成幂的形式。 经典例题 【例 1】 提取公因数法 1． 2． 3．
因式分解练习题 一、选择题 1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（） A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（） A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）2 C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）2 4．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（） A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D（x+y）2（x-y）2 二、填空题 5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________． 6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________． 三、解答题 9．把下列各式分解因式： ①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2 ③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2
10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值． 11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值． 四、探究题 12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，?若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，?从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解． 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？ ①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）
人教版八年级上册数学因式分解专项练习一、填空题： x 2 y 2y 2 ； 1、 2、 3 a 2 6 a3 3、 2x2－ 4xy －2x =(x－ 2y－ 1) 4、 4a3b2－ 10a2b3 = 2a 2b2 () 5、 (1 － a)mn＋a－ 1=()(mn－ 1) 6、 m(m－ n) 2－ (n － m)2=()() 7、 x2－ ()＋ 16y2 =()2 8、 a2－ 4(a － b) 2=()· () 9、 16(x － y) 2－9(x ＋ y) 2 =()·() 10、 (a ＋ b) 3－ (a ＋ b)=(a＋ b) · ()·() 11、 x 2＋ 3x ＋2=()() 12、已知 x2＋ px＋ 12=(x － 2)(x － 6) ，则 p= a 2 b 2 2 b 1 0，则 a， b ＝。 13、若 14、若 x 2mx16x42，那么 m= 15、如果x y0 ,xy7 , 则 x 2 y xy 2 ， x 2 y 2 。a13 a 21 16、已知a，则 a 2的值是 17、如果 2a+3b=1, 那么 3-4a-6b= 18、若 x 2mx n 是一个完全平方式，则 m 、 n 的关系是 19、分解因式：a 2 1 b 2 2 ab 20、如果 2a 2b 1 2a 2b 163 ，那么 a b 的值为 二、选择题： 21、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为............（） A、 x( a b ) ax bx B、x2 1 y 2( x 1)( x 1) y 2 C、 x 2 1 ( x 1)( x 1) D、 ax bx c x( a b) c 22、一个多项式分解因式的结果是(b 3 2)(2b 3 ) ，那么这个多项式 是 ................................................. （）A、b64 B 、4 b6 C 、b64D、b64
八年级奥数专题 第一讲：勾股定理及应用----李 第二讲：实数的性质-------李 第三讲：二次根式（1） 第四讲：二次根式（2） 第五讲：一次函数的图像和性质 第六讲：待定系数法------李 第七讲：一次函数的应用- 第八讲：二元一次方程组和不定方程 第九讲：三元一次方程组与不定方程组 第十讲：二元一次方程组的应用 第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方 第十二讲：线段的垂直平分线 第十三讲：角平分线 第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组 第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1） 第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗第十七讲：因式分解（1） 第十八讲：因式分解（2） 第十九讲：因式分解（3） 第二十讲：因式分解（4） 第二十一讲：因式分解（5）-----刘 第二十二讲：分式 第二十三讲：分式的运算 第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程 第二十五讲：分式方程的应用 第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁 第二十七讲：矩形 第二十八讲：菱形 第二十九讲：正方形 第三十讲：三角形的中位线 第三十一讲：梯形 第三十二讲：梯形的中位线------张皓 注意：文字用宋体五号字
第一讲 勾股定理及应用 1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠?a 2＋b 2=c 2 2、勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a 的2，3， 5……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2 ，那么这三个正整数a,b,c 叫做 一组勾股数. 4勾股数的推算公式 a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2 是一组勾股数。 b) 如果k 是大于1的奇数，那么k, 2 12-k ,21 2 +k 是一组勾股数。 c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122 -??? ??K ,122 +?? ? ??K 是一组勾股数。 d) 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 5、 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 【例1】.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知，AB=8cm ，BC=10cm,求 CF 和 EC . 【巩固】.如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 。 拓展与提升 知识梳理
因式分解专题练习 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是 A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于 A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2)
C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是 A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是 A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得 A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为 A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为 A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得 A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得
第十四讲 因式分解2 第一部分：知识要点 以下的几种方法是因式分解中常用的： 1、 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母代替它，从 而简化运算过程，分解以后要注意将新字母还原。 2、 双十字相乘法：对于某些二元二次六项式2 2 ax bxy cy dx ey f +++++可以看作关于x 的多项式2 2 ()()ax by d x cy ey f +++++，先用十字相乘法将“常数项”2 cy ey f ++分解，再次利用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 3、 待定系数法：若能断定多项式可分解为某几个确定次数因式的乘积，而这几个因式中的 某些系数尚未确定，就可以用一些字母来表示待定的系数。将这几个因式相乘以后，与多项式的系数进行比较，就可以求出待定的系数。 4、 利用因式定理分解 因式定理：如果x=a 时，多项式1 110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的值为0，那么 x-a 是该多项式的一个因式。 【余数定理】n 次多项式()f x 除以x a -，其商式()q x 为x 的1n -次多项式，余数记为r ，并且有恒等式：()()()f x x a q x r =-?+ 5、 在上式中，当x a =时，得()f a r =，由此可得余数定理。 6、 添项、拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相 反的项。使得便于用分组分解法进行分解因式。 6. 因式分解这一章在整个初中代数中占有重要的地位及作用，应该注意以下几点： ①因式分解的对象是多项式，如果不是多项式，即使写成乘积的形式也不是因式分解。 ②结果一定是乘积的形式。 ③每个因式必须是整式。 ④分解要彻底。 ⑤一般而言，把一个多项式分解因式时，可按下列步骤进行： 多项式各项有公因式时，因先提取公因式； 各项没有公因式时，看能否用公式法分解； 对于二次三项式可考虑用完全平方公式或十字相乘法分解； 如果运用上述方法不能分解时，再看能否用分组分解法分解。
因式分解方法技巧 专题一 分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解： 1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2 2. a5-a 3.3(x 2-4x) 2-48 [点拨 ]看出其中所含的公式是关键 练习 1、3x 12 x3 2 、2a( x21) 22ax2 3、3a26a 4、56x3yz+14x 2y2z－21xy 2z2 5、－ 4a3＋ 16a2b－ 26ab2 6、m416n 4
二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1 提公因式法 2 平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、两项的符号相反； C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 [例题 ]分解因式： 3(x+y) 2-27 [点拨 ]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习 1)x 5－ x32) m416n43)25－ 16x2 2122212 4)9a －4b .5）25－ 16x ;6） 9a －4b . 专题三 三项式的分解因式 : 如果一个能分解因式，一般用到下面 2 种方法： 1 提公因式法 2 完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即 a2+2ab+b2或者 a2-2ab+b2的形式 完全平方公式运用时注意点： A.多项式为三项多项式式； B.其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方； C. 第三项为 B 中这两个数（或代数式）的积的 2 倍，或积的 2 倍的相反数。 【例题】将下列各式因式分解： 2242
一、常用公式： 二、常用因式分解方法 1、提取公因式法 2、运用公式法 3、分组分解法 4、十字相乘法 5、拆项、添项法
三、例题讲解 1、提取公因式法 例1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1 解：原式=(a-b)2n[x-y(a-b)]=(a-b)2n(x-ay+by) 例2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项 解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开） =(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项） =(a2+b2+c2)(x2+y2) （提取公因式） 2、运用公式 例1 x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6) （提取公因式） =xy[(x3)2-(y3)2] （公式2：平方差公式） =xy(x3-y3)(x3+y3) （公式6：立方和/差公式） =xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2) 例2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和 原式=(a+2b+c)3-[(a+b)3+(b+c)3] （添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2] （应用立方和公式展开） =(a+2b+c){[(a+2b+c)2-(a+b)2]+(a+b)(b+c)- (b+c)2} （提取公因式a+2b+c形成平方差公式）=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2] （提取公因式b+c） =(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)] （合并化简） = 3(a+b) (b+c) (a+2b+c) 例3 若x=，y=，则x6+y6的值是： 解：x6+y6=(x2)3+(y2)3 =(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2] （应用立方和公式） =(x2+y2)[(x2+y2)2-3x2y2] （应用完全平方公式） ∵x2+y2=()2+()2=4, 3x2y2=3×()2×()2=6 ∴x6+y6=4×(42－6)=40 3、分组分解法 提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。 1)按系数分组 例2ax-10ay+5by-bx = (2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b) (x-5y) 2)按字母分组 例x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1) =ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括号） =[ ax3 -axy(x-y)]+[bxy(x-y)+by3]+[x3+y3] （适当分组） =(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) （去括号化简） =ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2) （提取公因式及应用立方和公式）
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+-