指数与对数运算
1、根式
（1）概念：若n
x a =（*
∈>N n n 且1），则称x 为a 的n 次方根，
是方根的记号。
（2）a 的n 次方根的性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。
①
n
a =
② n 为奇数，n n a =a ； n 为偶数，n n a =|a |=??
?<-≥.
0,,0,
a a a a
2、有理数指数幂
（1）分数指数幂的意义：
①
)0(10R a a a ∈≠=且 （注：00无意义）
② )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m ；
③ )1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
（2）有理数指数幂的运算性质
① (0,,)r
s
r s
a a a a r s R +?=>∈； ② (0,,)r s r s a a a a r s R -÷=>∈
③ ()
(0,,)s
r rs a
a a r s R =>∈； ④ ()(,0,)r
r r ab a b a b r R =?>∈
（二）对数
1、对数的基本概念
（1）一般地，如果a （1,0≠>a a
）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a
【知识梳理】 （一）指数
为底N 的对数， 记作b N a
=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式
（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .
（3）指数式与对数式的关系：log x
a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >）
（4）对数恒等式：
2、对数的性质
（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a
3、对数的运算性质
（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么
①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N
M
a a a
log log log -=； ③M n M a n a
log log =
（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =
； ② ； ③
1log log =?a b b a
【典型例题】
题型一、根式的化简、指数幂的运算 例题1：化简 （1）
7
7)2(-； （2）
4
4)3(π- .
（3）
4
4)2(-a ；
()010log >≠>=N a a N a
N
a ，且b
N
N a a b log log log =
b m
n b a n
a m log log =
例题2：计算 （1
）(10
1
130.2561022---??
??-- ???
； （2）
3·33·63；
题型一变式、分数指数幂与根式的运算
变式1：化简（1）)3
1()3)((65
61
3
12
12
13
2b a b a b a ÷-；
（2）14623
)(
---÷?y x y x )0,0(>>y x .
变式2：若103x =，104y =，则210x y -=________ . 题型二、对数式的运算 例题1：填空
（1）
[])81(log log log 346＝_____ ___； （2）
1
9lg 3lg 2+-＝ ；
（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 31
6
161+＝_____ ___；
（5）=???4log 5log 7log 3log 7
352
例题2：若a y x =-lg lg ，则=??
?
??-??? ??3
3
2lg 2lg y x （ ）
.A a 3 .B
a 23 .C a .D 2
a 题型二变式、对数运算性质运用 变式1：计算
变式2：3128x y ==，则11
x y
-= .
2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+
题型三、解指数式、对数式方程
例题1：已知216log =x ，则=x （ ）
.A 2 .B 4 .C 8 .D 32
例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，
求x 的值。
题型三变式、类一元二次方程
变式：解方程：
（1）273291=?---x x ； （2）4)10lg()10(lg 3
2=+-+x x 【方法与技巧总结】
（一）在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为：
① 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，再由里往外依次进行； ② 有分式的把转化为负数指数幂； ③ 底数尽量化为一致；
④ 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂
的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。
（二）对数运算应注意：
① 对数运算是基于底数一致的情况下，底数不同时用换底公式使底数一致；
对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，注意几个常用的结论：
a
b b a log 1
log =
（底真互换，对数互倒）d d c b a c b a log log log log =??．
② 常数化对数式时，用n a a n log =转化，常用1log 0a =，a a log 1=
【巩固练习】
1、下列各式中正确的是( )
A.
4
4a =a B.
6
2)2(-=32- C. a 0=1 D.
10
5)12(-=
)12(-.
2、设3643==b a ，则
b
a 1
2+的值为 3、若122+a -a = a -1，则a 的取值范围为 4、① 方程1)3lg(lg =++x x 的解=x __ _____； ② 方程04lg 3lg
2
=-+x x 的解=x __ _____
5、计算 （1）(125253-)÷425； （2）log 6112－2log 63＋1
3log 627 6、已知y x y x y x lg lg 2lg )lg()2lg(++=-++，求y
x
的值
【课后作业】
1、下列各式中成立的一项 （ ）
A ．71
7
7)(m n m
n = B ．
312
4
3)3(-=- C ．
4
34
3
3)(y x y x +=+
D ． 33
39=
2、5log 2
1
122
+的值等于 ( )
A ．2＋ 5
B ．2 5
C ．2＋
52 D ．1＋52
3、已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )
A ．a －2
B ．5a －2
C ．3a －(1＋a )2
D ．3a －a 2－1
4、化简
3
2
2a
a a ?(a ＞0）的结果是__________.
5、设5x =4，5y =2，则52x -y =______ __
6、①方程814
=x 的解=x __ _____；②方程08417214=+?-+x x 的解=x __
_____；
7、计算 （1）1054
32)(0625.08
33416--+++π （2）lg40 · 5lg + lg250 · 2lg 22
8、设a 、b 、c 为正数，且c
b a 643==，求证：b
a c 1
22+=