专题14 整体思想在整式加减中的应用
【专题说明】
整式化简时，经常把个别多项式作为一个整体(当作单项式)进行合并；整式的化简求值，当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化．
一、应用整体思想合并同类项
1．化简：4(x ＋y ＋z)－3(x －y －z)＋2(x －y －z)－7(x ＋y ＋z)－(x －y －z)．
解：原式＝－3(x ＋y ＋z)－2(x －y －z)
＝－3x －3y －3z －2x ＋2y ＋2z
＝－5x －y －z.
二、应用整体思想去括号
2．计算：3x 2y －[2x 2z －(2xyz －x 2z ＋4x 2
y)]．
解：原式＝3x 2y －2x 2z ＋(2xyz －x 2z ＋4x 2y)
＝3x 2y －2x 2z ＋2xyz －x 2z ＋4x 2y
＝7x 2y －3x 2z ＋2xyz.
三、直接整体代入
3．设M ＝2a －3b ，N ＝－2a －3b ，则M ＋N 等于( ) A ．4a －6b B ．4a
C ．－6b
D ．4a ＋6b
【答案】C
4．若x ＋y ＝－1，xy ＝－2，则x －xy ＋y 的值是________．
【答案】1
5．已知A ＝2a 2
－a ，B ＝－5a ＋1.
(1)化简：3A －2B ＋2；
(2)当a ＝－12
时，求3A －2B ＋2的值． 解：(1)3A －2B ＋2
＝3(2a 2－a)－2(－5a ＋1)＋2
＝6a 2－3a ＋10a －2＋2
＝6a 2
＋7a.
(2)当a ＝－12时，原式＝6a 2＋7a ＝6×? ????－122＋7×? ??
??－12＝－2.
四、变形后再整体代入
6．若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1
【答案】A 点拨：原式＝(m －n)2－2(m －n)＝(－1)2
－2×(－1)＝3.
7．已知3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为( ) A ．7 B ．18 C ．12 D ．9
【答案】A
8．已知－2a ＋3b 2＝－7，则代数式9b 2
－6a ＋4的值是________．
【答案】－17 点拨：9b 2－6a ＋4＝3(3b 2－2a)＋4＝3×(－7)＋4＝－17.
9．已知a ＋b ＝7，ab ＝10，则代数式(5ab ＋4a ＋7b)－(4ab －3a)的值为________．
【答案】59
10．已知14x ＋5－21x 2＝－2，求代数式6x 2－4x ＋5的值．
解：因为14x ＋5－21x 2＝－2，
所以14x －21x 2＝－7.
所以3x 2－2x ＝1.
所以6x 2－4x ＋5＝2(3x 2－2x)＋5＝7.
11．当x ＝2时，多项式ax 3－bx ＋5的值是4，求当x ＝－2时，多项式ax 3－bx ＋5的值．
解：当x ＝2时，23a －2b ＋5＝4，
即8a －2b ＝－1.
当x ＝－2时，
ax 3－bx ＋5
＝(－2)3·a－(－2)·b＋5
＝－8a ＋2b ＋5
＝－(8a －2b)＋5
＝－(－1)＋5
＝6.
五、特殊值法代入(特殊值法)
12．已知(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；
(2)a0－a1＋a2－a3＋a4的值；
(3)a0＋a2＋a4的值．
解：(1)将x＝1代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，
得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4＝625.
(2)将x＝－1，代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，
得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4＝1.
(3)因为(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＋(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝2(a0＋a2＋a4)，
所以625＋1＝2(a0＋a2＋a4)，
所以a0＋a2＋a4＝313.