第八章：空间解析几何与向量代数
一、重点与难点
1、重点
①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；
②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；
③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；
④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；
⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），
两直线的夹角、直线与平面的夹角；
2、难点
①向量积（方向）、混合积（计算）；
②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；
③空间曲线在坐标面上的投影；
④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）
⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；
⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；
二、基本知识
1、向量及其线性运算
①向量的基本概念：
向量:既有大小,又有方向的量；
向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.；
向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作
→
AB.向量可用粗体字母
表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F；向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、||→a、|
|→AB.
单位向量:模等于1的向量叫做单位向量；
向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b 平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共
线.
零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.
共面向量：设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面；
两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过π的夹
角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^
) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值.；
②向量的线性运算
向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此
时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . :
平行四边形法则: 向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一
平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .
向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ; (2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).
负向量: 设a 为一向量, 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量, 记为-a . 向量的减法: 把向量a 与b 移到同一起点O , 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→
AB 便是向量b 与a 的差b -a .
向量与数的乘法： 向量a 与实数λ的乘积记作规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的
方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. 当λ=0时, |λa |=0, 即λa 为零向量, 这时它的方向可以是任意的.
运算规律: (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb . 向量的单位化: 设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a . ，于是a =|a |e a .
定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b =
λa .
③空间直角坐标系
在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.
注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;
(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则.
坐标面: 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.
卦限: 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做
第一卦限, 它位于xOy 面的上方. 在xOy 面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy 面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式: 任给向量r , 对应有点M , 使→
r =OM . 以OM 为对角线、三条坐标轴为
棱作长方体, 有 →
→
→
→
→
→
→
OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,
设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 则 →
k j i r z y x OM ++==.
上式称为向量r 的坐标分解式, x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量. 点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系 →
) , ,(z y x z y x OM M ?++==?k j i r .
有序数x 、y 、z 称为向量r (在坐标系Oxyz )中的坐标, 记作r =(x , y , z ); 向量→
OM =r 称为点M 关于原点O 的向径. ④利用坐标作向量的线性运算 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )
a +
b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ). λa =(λa x , λa y , λa z ).
利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ?b =λa ,
即b //a ?(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是
z
z
y y x x a b a b a b ==. ⑤向量的模、方向角、投影 设向量r =(x , y , z ), 作→
r =OM , 则 向量的模长公式
222||z y x ++=r . 设有点A (x 1, y 1, z 1)、B (x 2, y 2, z 2),
→
→
→
OA OB AB -==(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1),
A 、
B 两点间的距离公式为：→
212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==. 方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角. 设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.
||cos r x =α, ||cos r y
=β, |
|cos r z =γ.
从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα. cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.
投影的性质:
性质1 (a )u =|a |cos ? (即Prj u a =|a |cos ?), 其中?为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );
2、数量积、向量积、混合积
①两向量的数量积
数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的
余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ?b , 即
a ·
b =|a | |b | cos θ .
数量积的性质:
(1) a·a = |a | 2.
(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b ;
反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.
如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ? a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:
设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有
222222||||cos z
y x z y x z
z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=?=b a b a θ.
数量积的坐标表示:
设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z ), 则 a·b =a x b x +a y b y +a z b z . 数量积的运算律: (1)交换律: a·b = b·a ;
(2)分配律: (a +b )?c =a ?c +b ?c .
(3) (λa )·b = a·(λb ) = λ(a·b ), (λa )·(μb ) = λμ(a·b ), λ、μ为数.
②两向量的向量积
向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出: c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角;
c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定. 那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ?b , 即
c = a ?b .
向量积的性质:
(1) a ?a = 0 ;
(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a ?b = 0, 则a //b ; 反之, 如果a //b , 则a ?b = 0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a //b ? a ?b = 0. 数量积的运算律:
(1) 交换律a ?b = -b ?a ;
(2) 分配律: (a +b )?c = a ?c + b ?c .
(3) (λa )?b = a ?(λb ) = λ(a ?b ) (λ为数). 数量积的坐标表示: 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )
a ?
b = ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k .
为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成
z
y x z y x b b b a a a k
j i b a =?=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i
= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . ③三向量的混合积
混合积：先作两向量a 和b 的向量积b a ?,把所得到的向量与第三个向量c 再作数量积
c b a ??)(，这样得到的数量叫做三个向量a 、b 、c 的混合积，记作[abc]
[abc]= c b a ??)(=z
y
x
z y x
c c c b b b z y x
a a a 混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、
b 、
c 为棱的平
行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
三个向量a 、b 、c 共面的充分必要条件事他们的混合积[abc]=0即
z
y
x
z y x c c c b b b z y x a a a =0
3、曲面及其方程
①曲面方程的概念
如果曲面S 与三元方程 F (x , y , z )=0 有下述关系:
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F (x , y , z )=0; (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F (x , y , z )=0,
那么, 方程F (x , y , z )=0就叫做曲面S 的方程, 而曲面S 就叫做方程F (x , y , z )=0的图形. 例如：方程 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2. 表示球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面 ②旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.
设在yO z 坐标面上有一已知曲线C , 它的方程为
f (y , z ) =0,
把这曲线绕z 轴旋转一周, 就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面. 它的方程为
0) ,(22=+±z y x f ,
这就是所求旋转曲面的方程.
在曲线C 的方程f (y , z )=0中将y 改成22y x +±, 便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0) ,(22=+±z y x f .
同理, 曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
0) ,(22=+±z x y f .
③柱面
柱面: 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的
准线, 动直线L 叫做柱面的母线.
例如方程x 2+y 2=R 2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2. 一般地, 只含x 、y 而缺z 的方程F (x , y )=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C : F (x , y )=0.
类似地, 只含x 、z 而缺y 的方程G (x , z )=0和只含y 、z 而缺x 的方程H (y , z )=0分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面. ④二次曲面
三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. (1)椭圆锥面
由方程222
22z b
y a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面.
(2)椭球面
由方程1222222=++c
z b y a x 所表示的曲面称为椭球面. (3)单叶双曲面
由方程122
2222=-+c
z b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面.
(4)双叶双曲面
由方程1222222=--c
z b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面. (5)椭圆抛物面
由方程z b
y a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面. (6)双曲抛物面.
由方程z b
y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面又称马鞍面.
方程 12222=+b y a x , 122
22=-b
y a x , ay x =2,
依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.
4 空间曲线及其方程
①空间曲线的一般方程
设 F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C 所以C 应满足方程组
?
??==0),,(0),,(z y x G z y x F 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程. ②空间曲线的参数方程
空间曲线C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数: ???
??===)
()()(t z z t y y t x x (2)
当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程
组(2)叫做空间曲线的参数方程. ③空间曲线在坐标面上的投影
以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).
设空间曲线C 的一般方程为???==0
),,(0
),,(z y x G z y x F .
设方程组消去变量z 后所得的方程
H (x , y )=0 , 这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为:
?
??==0
),(z y x H 5 平面及其方程
①平面的点法式方程
法线向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量. 已知平面∏上的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及它的一个法线向量n =(A , B , C )， 平面的点法式方程.为：A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z - z 0)=0 ②平面的一般方程 平面的一般方程为：Ax +By +Cz +D =0， 其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 特殊位置的平面方程： D =0, 平面过原点.
n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.
n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面. 求这平面的方程
③平面的截距式方程为： 1=++c z b y
a x .(其中a ≠0,
b ≠0,
c ≠0).该平面与x 、y 、z 轴的交点依次
为P (a , 0, 0)、Q (0, b , 0)、R (0, 0, c )三点, 而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距.
④平面的三点式方程为：1
31
31
312121
2 z z y y x x z z y y x x ------1
11
z -z y -y x -x =0其中M(111,,z y x )，N(222,,z y x )
P(333,,z y x )是平面上的三点。
⑤两平面的夹角
两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^
12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 2
2
22222121212121212^
1|
||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++?++++=
=n n θ
平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0; 也即21n n 垂直于 平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于
2
1
2121C C B B A A ==.也即21n n 平行于
设P 0(x 0, y 0, z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点, P 0到这平面的距离公式为.
d 2
2
2
000|
|C
B A D Cz By Ax +++++=
6 空间直线及其方程 ①空间直线的一般方程
空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.
如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 满足方程组
???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A . (1)
上述方程组叫做空间直线的一般方程.
②空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.
已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 则直线L 的方程为： p z z n y y m x x 000-=-=- 叫做直线的对称式方程或点向式方程. 注: 当m , n , p 中有一个为零, 例如m =0, 而n , p ≠0时, 这方程组应理解为
???
??-=-=p z z n
y y x x 000;
当m , n , p 中有两个为零, 例如m =n =0, 而p ≠0时, 这方程组应理解为
???=-=-00
00y y x x .
设
t p
z z n y y m x x =-=-=-000, 得方程组
???
??+=+=+=pt
z z nt y y mt x x 000.
此方程组就是直线L 的参数方程.
③两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1=(m 1, n 1, p 1)和s 2=(m 2, n 2, p 2), 那么L 1和L 2的夹角?就是) ,(2^1s s 和) ,() ,(2^
12^1s s s s -=-π两者中的锐角, 因此|) ,cos(|cos 2^
1s s =?
|) ,cos(|cos 2^
1s s =?2
2
222221
2121212121|
|p n m p n m p p n n m m ++?
++++=
设有两直线L 1:
111111p z z n y y m x x -=-=-, L 2:2
2
2222p z z n y y m x x -=
-=-, 则 L 1⊥L 2?m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0;
l 1II L 2?2
12121p p
n n m m ==
④直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角?称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为
2
π. 设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为? , 那么
|) , (2
|^n s -=π?, 因此|) , cos(|sin ^
n s =?
2
22222|
|sin p n m C B A Cp Bn Am ++?++++=
?.
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行, 所以, 直线与平面垂直相当于 p
C n B m A ==.
因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直, 所以, 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am +Bn +Cp =0. 设直线L 的方向向量为(m , n , p ), 平面∏的法线向量为(A , B , C ) , 则 L ⊥∏ ?p C n B m A ==;
L / / ∏ ? Am +Bn +Cp =0.
三、疑难点解析
（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？
答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量 构成的平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。
数量积：a ·b =|a | |b | cos θ . =a x b x +a y b y +a z b z . 向量积c = a ?b . ， |c |=|a ||b |sin θ , z
y x z y x b b b a a a k
j i b a =?=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i
混合积： [abc]= c b a ??)(=z
y
x
z y x
c c c b b b z y x
a a a
（2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？
答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：：“绕谁（如x ）旋转谁不变，另外
一个字母变成）平方和（如2
2z y +±”。
（3）同一个方程在空间和在平面中表示的图形为何不一样？
答：例如：6422=+y x ，在平面上只有两个坐标，所以表示的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当),(00y x 满足上述方程，则对任意的z,
),,(00z y x 也满足这个方程。
（4）求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？ 答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量，也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。
（5）解与直线和平面相关的题时如何分析？
答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。然后在根据具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。
四、考点分析
（一）向量的的基本概念的相关知识
例1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.
解： ?
?
????
-±116,117,116 例2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 解、21M M =（-1，-2，1）
21M M =2,2
1
cos ,22cos ,21cos ==
-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 例3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x
轴上的投影，及在y 轴上的分向量.
解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 例4、 在空间直角坐标系{O ;k j i
,,}下，求M (a , b , c )关于
(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，
M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ).
M (a , b , c )关于原点对称的对称点的坐标为(－a ,－b , —c ).
（二）向量的数量积、向量积、混合积的计算
例5、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.
解：（1）3)1()2(2)1(13=-?-+?-+?=?b a
k j i k
j i
b a 751
21213
++=---=?
（2）18)(63)2(-=?-=?-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=?=?
（3）21
23
),cos(^
=
??=
b a b a b a 例6、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 解：}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M M
k j i k
j i M M M M a 4462
201423221--=--=?=
}17
24,1724,1726{--±=±
a a 即为所求单位向量。
例7、已知k j k i 3,3+=+=，求OAB ?的面积
解：思路：||21
S OAB ?=
?=21答案：
2
19 其中k j i k
j i
1333
10301
+--==?，|OA OB ?|=19
例8、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .
解：取i b =，则b n a n ⊥⊥,。 c =b a ?=8j-6k,|c |=10,n =|
|c c ±,答案：)68(101
k j n -±=
例9、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=?=?求
解：),sin(b a b a b a =?=3,),cos(b a b a b a =?。tan 3
3),(=
∠b a ,答案：∠6),(π
=b a
例10．已知矢量b a ,互相垂直，矢量c 与b a ,的夹角都是?
60321===计算：
22)2)(4();3).(23)(3();)()(2(;))(1(-+---++
解：
11
32460cos 32460cos 3214424)2)(4(;
27
60cos 32660cos .398.6.92.3)3).(23)(3(;321))()(2(;52021.2))(1(222
2
2
2
22
2
22
22
=+?+??-?-=++--+=-+-=??+?--=+--=---=-=+=-+=+?+=++=+????c b c b c a b a a c b a c b c a b b a c b b a b b a a b a
例11、已知平行四边形以=a ﹛1，2，-1﹜，=b ﹛1，-2，1﹜为两边
(1)求它的边长和内角 (2)求它的两对角线的长和夹角
解：
(1)221a =+
=212b =+=
cos a b
a b
θ?=
?1
=-6 ∴1arccos 6θ=或1arccos 6π-
(2)110c a b =+=，214c a b =-=
1212
cos c c c c α?=
?=0 ∴2
π
α=
例12、已知1a =,5,b = 3.a b ?=试求: (1)a b ? (2)2
()()a b a b ??+?-??
(3)2
(2)(2)a b b a ??-?-??
解:
(1) sin (,)a b ∠
=4
5
==
∴sin (,)a b a b a b ?=??∠=4.
(2)原式= 2
()()a b a a b b ??+?-+??? 2(2)a b =-? 2
4a b =? 64=.
(3)原式=2
224a b b b a a b a ???-?-?+?=??
2(3)a b -?=924144?= 例13、已知直角坐标系内矢量,,a b c 的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. (1){}3,4,5a =, {}1,2,2b =, {}9,14,16c =.
(2)
{}
3,0,1a =-,
{}
2,4,3b =-,
{}
1,2,2c =--.
解: (1)共面 ∵(,,)a b c =016149221
5
43
= ∴向量,,a b c 共面
(2)不共面 ∵(,,)a b c =22
2134
21
3
=---- ∴向量,,a b c 不共面 以其为邻边作成的平行六面体体积2=V
（三）求平面的曲线与曲面
例14.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？
解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2
1
=。设M 的坐标),(y x 有
2222)6(2
1
)3(y x y x ++=
+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2
2
=+-y x 此轨迹为椭圆
例15、 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴3
2x y =; ⑵ ()0,2
12
121
>=+a a y
x ; ⑶()0,0333>=-+a axy y x .
解:⑴???
??==t
y t x 32
令θ4
cos a x =,代入方程2
12121
a y x =+
得θθθ422
12212121sin ,sin cos a y a a a y ==-=
∴参数方程为?????==θ
θ
4
4
sin cos a y a x . ⑶令,tx y =代入方程033
3=-+axy y x
得(
)
0312
33
=-+atx x t
()[]
03132=-+?at x t x
3
130t at x x +=
=?或
当0=x 时,;0=y 当313t at x +=时,3
2
13t at y +=
故参数方程为???
????
+=+=32
3
1313t at y t at x .
(四)空间的曲线与曲面方程及投影
例15、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，
则z C
z y x M =?
∈),,(
亦即z z
y x =++-2
2
2
)4(
0)4(22=+-∴y x
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(2
2
=+-y x
例16、 求下列各球面的方程： （1）中心)3,1,2(-，半径为；6=R （2）中心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与 （4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(-
（5）求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程。 . 解：（1）所求的球面方程为：
36)3()1()2(222=-+++-z y x
（2）球面半径73)2(6222=+-+=
R
所以类似上题，得球面方程为
49222=++z y x
（3）球面的球心坐标12
3
5,1213,3242=-=-=+-==+=
c b a ，球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以
????
??
?=-=++=+=0
8160621008160
k h g g l （1） 解（1）有
????
??
?=-=-==2
210
k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x
（5）球面的半径为C 到平面π：01132=+--z y x 的距离，它为：
14214
2814
11
6532==
+++?=
R ，
所以，要求的球面的方程为：
56)2()5()3(222=++++-z y x .
即：01841062
2
2
=-++-++z y x z y x
例17、（1)将xOy 坐标面上的x y 22
=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __
_____________，曲面名称为___________________.
2)将xOy 坐标面上的x y x 222
=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.
3)将xOy 坐标面上的36942
2
=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方
程为_____________，曲面名称为_____________________.
4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中
2x y =表示______________图形.
解：求旋转曲面方程的口诀：“绕谁（如x ）旋转谁不变，另外一个字母变成
）平方和（如22z y +±”
（1) x z y 222=+,旋转抛物面
（x z y x 2)2222=++,球面
（3)绕x 轴：36994222=--z y x 旋转双叶双曲面
绕y 轴：36944222=-+y z x 旋转单叶双曲面
（4）、抛物线，抛物柱面
5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42
2
2
y x z +=
解：
(2))(42
2
y x z += 解
例18、（1）、指出方程组??
???==+
319
y 4x 2
2y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间= 析几何中表示______________图形.
（2）、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. （3）、求上半球2220y x a z --≤
≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在
xOy 面及xOz 面上的投影.
（4）、求曲线?
??==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么
曲线？
解：（1）、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。
（2）、?
??==+-08
2222z y x x
（3）、在xoy 面的投影为：???
??=≤+-0
)2()2(22
2z a y a x ，
在x O z 面的投影为（？）：?
??=≤+02
22y a z x
(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy 面上的投影曲线方程为
?
?
?==+-00
922z x y 。原曲线是由旋转抛物面0222=-+x z y 被3=z 平面所截的抛物线。
例19、已知柱面的准线为：
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 母线平行于x 轴，求该柱面方程； 解：从方程
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z
即：02
3
562
2=-
---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
例20、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz 面与yoz 面，且过点)6,2,1(和)1,1,3
1(-，求这个椭圆抛物面的方程。
解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
z b y a x 22
2
22=+ 令确定a 与b
)6,2,1( 和)1,1,3
1
(-均在该曲面上。
∴有：
??????
?=+=+21911241222
2b a
b a 从而
561,536122
==b a 所以要求的椭圆抛物面的方程为：z y x 25
65362
2=+ 即：z y x 53182
2
=+
（五）求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找到平面过的点和平面的法向量） 注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。
例21（1）、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.
解：平面过点为（3,0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量为
)5,7,3(-=,再由平面方程的点法式方程知所求方程为：04573=-+-z y x
（2）、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.
解：因为所求平面平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)，根据向量的叉乘知)3,1,1(-=?=，在由点法式方程知所求平面为：0)1(3)1(1)1(1=+--?+-?z y x 。
（3）、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.
解：所求平面平行于xOz 面，所以垂直y 轴，所以可以用z 轴上的单位向量（0,1,0）为法向量，再由点法式方程知所求平面为：05=+y （4）、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.
解：因为平面过两点M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以过向量=（1,1，9）,由因为所求平面平行于x 轴，所以平面平行于x 轴上的单位向量i=（1,0,0），从而)1,9,0(-=?=,再由点法式方程知所求平面方程为：029=--z y
（5）、求过点(2,0,-3)且与直线?
??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.
解：直线??
?=+-+=-+-0
12530
742z y x z y x 的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以
)11,14,16()2,5,3()4,2,1(-=-?-=，在由平面的点法式方程知所求平面为：
065111416=---z y x
（6）、求过点(3,1,-2)且通过直线
1
2354z
y x =+=-的平面方程.
解：因为平面过直线，所以过直线上的点A （4，-3,0），已知过点B(3,1,-2),从而过向量
)2,4,1(--=及直线的方向向量),1,2,5(=因此平面的法向量可求出
)22,9,8(--=?=，再由平面的点法式方程知所求平面为：0592298=---z y x 。
（7）、求过点），，（302-且与直线?
?
?=+-+=-+-.01253,
07422z y x z y x 垂直的平面方程。
解：)1,1,1(162
53422
---=--=k
j i
s
所求平面方程为0)3()0()2(=+----z y x 即05=---z y x
（8）、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )
(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）
第七章空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空 间解析几何的意义和目的。 教学重点： 1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系 （三维）如图7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指 从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组 一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为： d 2 222 M1M 2M1NNM 2 222 M 1 p pNNM 2
而 M 1 P x 2 x 1 PN y 2 y 1 NM 2 z 2 z 1 所以 d M 1M 2 (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2 特殊地：若两点分别为 M ( x, y, z) ， o(0,0,0) d oM x 2 y 2 z 2 例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。 2 ( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14 证明 : M 1M 2 M 2M 3 2 7) 2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5 2 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 3M 1(5 由于 M 2M 3 M 3 M 1 ，原结论成立。 例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0, 2 ,3) 的距离为到点 P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍， 1 求点 P 的坐标。 解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0) PP 1 x 2 2 PP 2 x 2 1 2 x 2 11 32 2 x 2 2 12 PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2 2 x 1
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一 周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1
第六章.向量代数与空间解析几何 本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。 向量。 向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。 由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。 我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。 首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。 注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。 在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。 空间直角坐标系以及向量代数。 在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。 能够满足上面这两个基本要求的坐标系可以有很多的形式，我们经常使用的坐标系就是直角坐标系。 我们已经强调了一个向量的大小与方向是与它所处的空间位置没有关系的，换一个说法，就是一个向量在空间进行平移时，不影响它的大小与方向。那么在空间中，对任意一个向量的度量，都可以通过把这个向量平移到以坐标系的原点为起点的位置，再用它的终点的坐标来表征这个向量的大小与方向。显然，任意的一个向量，只要是通过平移而处于这种方式，就只会唯一的，而空间中的任意一点在一个这样的直角坐标系里的标度也是唯一的。因此这样决定的一个向量的坐标也就是唯一的。 本课程我们主要只考虑三维的情况，因此一个向量可以用一个唯一的坐标来表示，在直角坐标系里，也就是由三个实数组成的三元组：（a ，b ，c ）。 基于上面对于唯一性的分析，可以得到坐标表示的向量的相等的含义，就是坐标三元组的分别相等。 进一步，为了更为方便地度量一般的向量，我们引入单位向量的概念，就是在坐标轴方向上具有单位 长度的向量，在直角坐标系当中，习惯的写法，就是 ，，，分别表示在X ，Y ，Z 轴上的单位向量。 按照坐标三元组的写法，就是 =（1，0，0）； i r j r k r i r
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4
2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。 图 图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
解析几何与向量的结合问题专题 1.教学目标 1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用 2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力； 3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。 2.教学重点、难点 2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力； 2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。 3.教学过程 喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。 试卷上刚做过得一题： 例1：已知双曲线C ：),0,0(12 2 >>=-n m n y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与 双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐 标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r ，求直线l 的斜率； 3.1学生分析题目 站在学生角度分析： （1）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，两个动M B 和， 无法下手。 （2）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ， B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y 然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2 2 1x y -=联立，用韦达定理
《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题
1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为
空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平 行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种: → a 、→ AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模. 向量→ a 、→ AB 的模分别记为||→ a 、||→ AB . 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量： 模等于0的向量叫做零向量, 记作→0.规定：→ 0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.记作a // b .规定： 零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的减法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 → → → → → A O O B OB O A AB -=+=, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb . 例1 在平行四边形ABCD 中, 设?→ ?AB =a , ?→ ?AD =b .
高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）
6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l
10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)