小伟遇到这样一个问题：如图 1,在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别为 DC 、BC 边上的点, / EAF =45° ，连结 EF ，求证: DE+BF=EF . 小伟是这样思考的： 要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段
△ ADE 绕点A 顺时针旋转 90得到△ ABG （如图2）,此时GF 即是DE + BF .
请回答：在图2中，/ GAF 的度数是 参
参考小伟得到的结论和思考问题的方法，
解决下列问题：D （1）如图3C 在直角梯形 ABCD E 中, A
?内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型
探究：（1）如图1,在正方形 ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且/ EAF = 45 ° 试判断 BE 、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 果： ；
（2） 如图2,若把（1）问中的条件变为 在四边形ABCD 中，AB = AD , / B + Z D = 180° E 、
1
F 分别是边BC 、CD 上的点，且/ EAF= — / BAD ，则（1）问中的结论是否仍然成立？若
2
成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3） 在（2）问中，若将△ AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别 E 、F 运动到BC 、CD 延长 线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予 以证明..
R E C B
图1 O C
B x 图3 B 图
4 上?他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题?他的方法是将 图3
AD // BC (AD >BC ),
/ D=90° AD=CD=10, E 是 CD 上一点，若/ BAE=45° DE=4，贝U
BE= _________________ .
(2)如图4,在平面直角坐标系 xOy 中，点B 是x 轴上一 动点，且点
A ( _3，2)，连结A
B 和AO ,并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若
C ( x ，y )，试用含x 的代数式表示y ， 贝 y y= .
已知：正方形 ABCD 中, .MAN =45；，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB 、DC (或它们的延长线)于点
M 、N .
(1)如图1,当.MAN (2)当.MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段
BM , DN 和MN 之间有怎样的等
量关系？请写出你的猜想, 并证明. 绕点A 旋转到BM 二DN 时，有BM DN 二MN ?当.MAN
绕点A 旋转到BM = DN 时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，
请 给予证明，如果不成立，请说明理由;
24.如图1,在等腰直角 △ ABC 中，/ BAC=90 ° AB=AC=2，点E 是BC 边上一点，/ DEF =45 ° 且角的两边分别与边 AB ，射线CA 交于点P, Q.
(1) 如图2,若点E 为BC 中点，将/ DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P,
EF 与CA 的延长线交于点 Q.设BP 为x, CQ 为y,试求y 与x 的函数关系式，并写 出自变量x 的取值范围；
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似） 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型（90°含45°） 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF； ②△CEF的周长是正方形周长的一半； ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD； ③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的 是．
2.在Rt△ABC中，AB=AC，D?E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°； ③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是． 5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交
第4讲 倍角、半角公式 北京四中 苗金利 考纲导读 1． 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的 内在联系。 2． 解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点 复习和差角的三角函数公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 典型例题分析 例1、求证下列等式成立： （1）sin 22sin cos ααα=?； （2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． （3）22tan tan 21tan ααα = -； （4）21cos sin 22 αα-=； （5）21cos cos 22 αα+=； （6）21cos tan 21cos ααα -=+； （7）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； （8）sin sin )a A b A A ?++， 其中 cos ?=sin ?． 例2、求值： （2）已知3sin()1225π θ-=，求cos()6πθ-． （3）已知sin()4 m π α+=，求sin 2α． 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间． 例4、当3[,]44 x ππ∈时，求下列函数的值域 （1）cos2sin y x x =+； （2）sin cos sin cos y x x x x =+-； （3）3sin 4cos y x x =+．
半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2 2EF （可由相似得到） 结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明： 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣1 2x ﹣1 2y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣12xy 所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论6的证明：
将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形： △AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明： 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9的证明：
.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= 2 1 ∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45° ，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ）， F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①： （1）∠2=2 1 ∠AOB ；（2）OA=OB 。 如图②： 连接 FB ，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1．（2019秋?九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD 中，∠B +∠ADC ＝180°，AB ＝AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =1 2 ∠BAD ，求证：EF ＝BE ﹣FD ． 【点睛】在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，根据∠EAF =1 2∠BAD ，可知∠GAE ＝∠EAF ，可证明△AEG ≌△AEF ，EG ＝EF ，那么EF ＝
GE ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ． 【解析】证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ． ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． 在△ABG 和△ADF 中， {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF ， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ． ∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF =1 2∠BAD ． ∴∠GAE ＝∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE ， ∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG ＝EF ，
两角和与差的三角函数 1．若cos 4，且 5 2 ．（本小题满分12 分）（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．3．在非等腰△ ABC中， 0, ，则tg 2 已知函数的最 小正周期为，且． a，b，c 分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4 ， C=2A． （Ⅰ）求cosA 及 b 的 值； Ⅱ)求cos( 3 2A）的值． 4．已知sin( 6 A ．1 ，则cos2（）的值是（）33 ．1 ．3 5．若cos 是第三象限的 角 1 ,则 1 tan 2= ( tan 2 A ． D ．-2 6．己知R,sin 3cosa 5 ，则tan 2a= 7．已知cos( ) 4 8．已知cos( ) 4 4 ,则sin2 5 4 ,则sin2 5 9．在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c且a b，已知cosC 2B 2 A sin Acos sin Bcos 22 (Ⅰ)求 a 和b的值；(Ⅱ)求cos(B C) 的值．2 1sin C ．2 10．已知函数f （x）2sin( 6）（0,x R）的最小正周期为 1）求的值； 2 2）若f （）2 3 (0, )，求cos2 的值. 8 11．已知函数f （x） 2 2sin xcosx 2sin x 1(x R) ． 1）求函数f （x）的最小正周期和单调递增区 间； 2）若在ABC中，角A，B ，C的对边分别为a，b，c， A 为锐角， 且f (A 2，求ABC面积S的最大值．3
12．已知函数 y log a （x 1） 3，（a 0且 a 1）的图象恒过点 P ，若角 的终边经 过点 P ，则 sin 2 sin2 的值等于 ________ 又是偶函数； 23． y 2sin 2 x 的值域是（ 13．已知 (0, ) ，且 sin cos 1 ，则 cos2 的值为（ ） 2 A ． 14．已知函数 f x Asin( x )(x R, A 0, 0,| | ） 的部分图象如图所 示． 1）试确定函数 f x 的解析式； （2） 若 f ( 2 15 ． 已知 sin( 16 ． 已知 sin( 17 ． 已知 18 ． 已知 19 ． 设 sin2 20 ． 设 f ( ) 21 ． ①存在 sin 0； 1 ，求 3 cos(2 3 ）的值． 45 ) 45 ) 2 10 2 10 2 ,0),cos( 2 ,0),cos( sin 2cos 3 sin 2(2 且0 且0 4 5 4 5 90 ， 90 ， ，则 tan2 ，则 tan2 则 cos2 则 cos2 ）,则 tan2 的值是 ) sin(2 2 2 2cos 2 ( ) (0, ) 使 sina cosa 2 的值为 的值为 cos( ) 3 ，求 f （3）的值。 1 ；②存在区间 （a,b ）使 y cos x 为减函数而 3 ③ y tanx 在其定义域内为增函数；④ y cos2x sin （ x ） 既有最大、最小值， 2 ⑤ y sin |2x | 最小正周期为 6 22 ．在△ ABC 中，若 sin （ A ）等腰三角形 （ C ）等腰或直角三角形 以上命题错误的为 A+B-C ) =sin (B ) (D ) A-B+C ），则△ ABC 必是（ ） 直角三角形 等腰直角三角形 A ．[ －2，2] B ．[0，2] ．[ － 2，0] D ． R 24 ． 已 知 sin 是 方 程 5x 2 7x 6 0 的 根 ， 且 是 第 三 象 限 角 ， 求 ) ( (
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
半角模型专题专练
半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2 2EF （可由相似得到） 结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明： 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论6的证明： 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形：
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明： 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9的证明： 因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角） 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且?=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF . 一、全等关系 （1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 （2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ?=2；⑤HG BG AG ?=2；⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 （4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE AB HCF =∠tan . （5)、和差关系 求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.
倍角半角公式 题型一:化简与求值 例 1求值:0 01000 1cos 20sin10(tan5tan 5 2sin 20 -+-- 2 = 3. 化简 tan 70cos10201 - 4.化简下列各式: (1 ???? ???????∈+-ππαα2232cos 21212121 , (2 ?? ? ??-?????--απαπα α4cos 4tan 2sin cos 222。 5 .求值:(1 0
00078sin 66sin 42sin 6sin ; (2 0 0020250cos 20sin 50cos 20sin ++ (3 log 92cos log 9 cos log 222ππ ++ 6. 已知函数 2 sin( 2cos(21 (π + - += x x x f . (1求 (x f 的定义域; (2若角α在第一象限且 5 3 cos =α,求(αf 的值 . 1已知 (,0 2
x π ∈- , 4 cos 5 x = ,则 =x 2tan ( A 247 B247-7 24 D724- 2 已知 cos 23 θ= ,则 44 sin cos θθ+的值为( A 1813 B18 11 C97 D 1- 3. 函数 221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是 (
A 4π B 2 π Cπ D2π 4已知 3 sin( , 45x π -=则 sin 2x 的值为( A 1925 B1625 C1425725 5 函数 x x y 2 4cos sin +=的最小正周期为( A 4π B2π C π D2π 6. 函数 1cos sin x y x -=的周期是( A. 2 π B. π C . 2π D. 4π 7. 若 2 2 4
倍半角模型巩固练习（提优） 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且∠FDE＝45o，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，点D在CB的延长线上，连接AD，EA ⊥AD，∠ACE＝∠ABD. （1）求证：AD＝AE； （2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求∠AGE的度数. 3.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G
为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2. （1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长； （2）求证：∠CEG＝∠AGE. 4.如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD. （1）求证：点F是CD边上的中点； （2）求证：∠MBC＝2∠ABE. 5. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF， 垂足为点M，BE＝3，，求MF的长.
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD ＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD. 倍半角模型巩固练习（提优） 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且∠FDE＝45o，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 【解答】EF＝AF＋CE，证明见解析 【解析】如图，将△DCE绕着点D顺时针旋转90o得到△DGA.
∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90o，∠FDE＝45o，∴∠EDC＋∠ADF＝45o， 又∵旋转，∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45o， 在△DGF与△DEF中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE，∴△DGF≌△DEF，∴EF＝GF＝GA＋AF， ∵旋转，∴GA＝CE，∴EF＝AF＋CE. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，点D在CB的延长线上，连接AD，EA ⊥AD，∠ACE＝∠ABD. （1）求证：AD＝AE； （2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求∠AGE的度数. 【解答】（1）见解析；（2）∠AGE＝90o 【解析】（1）证明：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝∠90o，∴∠DAB＋∠BAE＝90o， ∵∠BAC＝90o，∴∠CAE＋∠BAE＝90o，∴∠DAB＝∠CAE， ∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，∴△ADB≌△ACE，∴AD＝AE； （2）如图，延长AG至点H，使得FH＝FA.
《旋转的应用—半角模型》教学设计 一、教学目标： 1、 知识与技能：理解掌握“半角”模型，明确符合旋转类型题的两个特征； 2、 过程与方法：用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想，发展学生观察、比较、分析、推理能力； 3、 情感、态度与价值观：通过自我学习与合作交流，明确辅助线的构造原理，进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。教 学重点、难点： 重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。 难点: ：辅助线的添加及说明能力。 二、教学流程： （一）常规积累： 如图将AC ，AE 顺时针旋转90o ，∠BAC=900，∠EAF=450 将会得到哪些相等的角？请写出来 ： 设计意图：半角模型, ∠BAC=900，∠EAF=450 通过旋转，将另一个半角的的两部分拼在一起，即∠DAF= ∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角，即∠DAF=∠EAF 为本节 课的学习奠定了基础。
（二）典例解析 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：DE+BF=EF 1、先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论， 2、让学生讲解思路，互相补充，用多种方法解答。 3、让学生择优选择一种方法整理证明过程，找一名中等生板演证明 过程。其他同学点评错误。 （三）变式训练 1、如图，在四边形ABCD中，2∠EAF=∠BAD AB=AD，∠B=∠D＝90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系 是否仍然成立,请证明 本题是对典例解析题目的变式，由旋转角是90度变为任意∠DAB 先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论，找一名同学板演解 题过程。师生共同点评纠错。
半角模型例题 已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦ 45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF 结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3：AH﹦ AD 结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小 22 2 结论 6：BM﹢DN﹦MN 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论 11： MN﹦EF（可由相似得到） 结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到） 结论 5 的证明： 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小 结论 6 的证明： 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中，由勾股定理可得： 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形： △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明： 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3＝∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3＝∠ 4 ∴∠ 2＝∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1＝∠ 4 ∴∠ 1＝∠ 2 结论 9 的证明： 因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角） 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF. 一、全等关系 （）求证：① 2 2 2 平分，平分 DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 （2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG . （3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 （4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB . （5) 、和差关系 BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ； ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第三章 三角恒等变换 3.2.2半角公式 教学目标： 要求学生能较熟练地运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：半角公式的应用 教学过程 一、复习引入 二倍角公式：αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC 1cos 22-=αα2sin 21-= α αα2tan 1tan 22tan -= ；)(2αT 二、讲解新课 1、半角公式 α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan 证：1?在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α， 2 α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2?在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2 α代α 即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3?以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2
4? 2tan 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2sin 21(1sin cos 12αααα α==--=- 2tan 2cos 2sin 12cos 212cos 2sin 2cos 1sin 2ααα ααα α α==-+=+ 2、例子 1如果｜cos θ｜＝ 51，25π＜θ＜3π,则sin 2 θ的值等于 2设5π＜θ＜6π且cos 2θ＝a ,则sin 4 θ等于 3．tan 12π－cot 12π的值等于 4．设25sin 2ｘ＋sin ｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan 2 x 小结：运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 课堂练习：第154页练习A 、B 课后作业：第155页习题B 3
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=?， 将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+ 2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=?，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?，BD CD =，60MDN ∠=?．求AMN △的周长．
解 延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ． 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=?，连接MC ,NC ,MN ． （1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示） （2）求MCN ∠的度数； （3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．
一 ) 弦图模型 基本图形】已知正方形 ABCD,过 B,D 两点分别向过点 C 的直线作垂线 , 垂足分别为点 E,F, 则△ BCE ≌△ CDF h, 正方形 ABCD 的四 个顶点分 (1) 当 a=45 °时, 求△EAD 的面积 (2) 当 a=30 °时, 求△EAD 的面积 (3) 当0° 变式训练 】如图，分别以 ABC 的AC 和BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l 于点P. 求证:2EP+AD=2CD 二）半角模型 半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】基本结论：在正方形ABCD中，若M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，则有以下基本结论（需记忆）：① . ∠MAN4=5°；② . C CMN 2AB；③ . AM、AN分别平分 ∠BMN和∠DNM. 同样，在正方形ABCD中,若已知∠MAN4=5°，则会有：① . MN=B+MD N; ②C CMN 2AB;③.AM、AN分别平分∠BMN 和∠DNM④; 若继续作AH⊥MN于点H, 则有AH=AB. F 三 角 函 数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题： 例1． 已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ， 例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2． 已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 ￥ 例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。 倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形. 2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90o. 【解答】见解析 【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D. 则∠ACE＝∠A，AE＝CE， ∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC， 又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90o； 【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE. 由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90o， ∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D， ∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD， 又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90o. 【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E， 又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90o. 二、倍半角综合 1. 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可. 如图，若，则（） 2. 由“半”造“倍” 专题15 角含半角模型 破题策略 1． 等腰直角三角形角含半角 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA （2）BD 2＋CE 2＝DE 2 ． 45° E A B C D 证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ． （2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ． 45° F E A B C D 则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ． 而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°， 所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2 ． 方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ． 45° E A B C D 因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ， 则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ． 而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°， 所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2 ． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的 延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2 ． E D 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： E A D F E A D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在 BC 上，且∠DAE ＝1 2 ∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180° －∠BA C ． B 可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图： B C E B D 倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与， 与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：． 2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在 于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴ ∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点． 两倍角公式、半角公式、万能公式 ① sin( ) sin cos cos sin ; ② cos( ) cos cos sin sin ; ③ tan( ) tan tan 令1 tan tan 二倍角公式： ① sin 2 2sin cos ； ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2 ； ③ tan 2 2 tan 1 tan 2 两倍角公式中 sin 2 2 sin cos 是两个函数之积，可在(sincos ) 2 中产生。两倍角是“相对的” ，应该广义地理解。 如 cos4 cos2 2 sin 2 2 2 cos2 2 1 1 2 sin 2 2 tan( ) 2tan 2 等等tan 2 1 2 升次公式： sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 ； 2 2 见到平方就降次，降次角加倍 降次公式： 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 sin 2 2 见到 1 cos 、 1 cos 就升次，升次角减半并项公式 : 1 sin 2 = (sin cos ) 2 半角公式： sin =±1 cos , 2 2 cos =±1 cos , 2 2 1 tg =± 1 cos = sin = 1 cos . 2 1 cos 1 cos sin 半角公式中的正负号如何选取？依照左边的函数值而定。 2 如果给你象限角，如I ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你区间角，如 3 ,4 ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你三角比值，如sin cos 0 的终边在第几象限？公式前的号如何选取？tan cos ， 0 2 半角的正切公式中的后两个tg = sin =1 cos 前面没有正负号， 2 1 cos sin 万能公式：（并非万能，仅是用tan 可将 sin 、 cos 、 tan 都表示出来的含义） 2 sin α = 2 tan 2 ， 1 tan2 2 1 tan 2 cos α = 2 , 1 tan2 2 2 tan tan α = 2 1 tan2 2 题型一、求值问题 补充问题 已知 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，且 4 2 ， 4 2 9 2 3 4 求 cos( ) 的值 解：考虑目标角和已知角的关系：（）—（）= 22 2 再运用两倍角公式求值 题型二、化简问题 2和差公式二倍角公式及半角公式
倍半角模型知识精讲
中考数学压轴题专项汇编专题角含半角模型
倍角公式和半角公式一
(完整版)两倍角与半角公式与万能公式.doc
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