专题一导数公式及四则运算
1、下列结论不正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
2、下列各式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3、已知,若,则的值为( )
A.-6
B.6
C.±6
D.不确定
4、已知函数的导函数为,且满足关系式,
则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
5、已知函数,则等于( )
A.
B.
C.
D.
6、若,则的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7、函数的导函数是,则;
8、已知,则____________
9、对任意实数,都有,,那么.
10、函数在处的导数是.
11、求下列函数的导数:
1.;
2.;
3..
12、求下列函数的导数:
1.;
2.;
3..
13、设,求.
14、求下列函数的导数.
1.;
2..
15、求下列函数的导数:
1.;
2.;
3..
参考答案
1.答案：B
解析：对于B,,故选项B不正确.
2.答案：D
3.答案：B
4.答案：D
解析：∵,∴,
令,则,即,∴.故选D.
5.答案：C
解析：∵,∴,应注意的是
,不要忘记负号,故应选C.
6.答案：A
解析：∵, ∴函数的定义域为,则
,由,得
,即
7.答案：
解析：
首先对原函数,求导得:,所
以:,所以答案为:.
8.答案：
解析：
∵
∴
令
得:
解得:
故答案为:.
9.答案：
解析：由可知,中最高次.结合,可设
,又∵,∴,∴,∴.
10.答案：
解析：,
∴.
11.答案：1. ;
2. ;
3..
解析：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函
数的模式,如可以写成,等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
12.答案：1.
.
2. ∵.
∴.
3. ∵,
∴.
13.答案：令,
∴.
两边求导,得
.
∴.
即.
解析：求,应先求,考虑将多个因式之积看成两个因式之积,便可应用积的求导法则进行.
14.答案：1. ∵,两边取对数,得
,
两边求导,得,
∴
.
2. ∵,两边取对数,得
,
两边求导,得,
∴
.
15.答案：1. .
2.
.
3.
.
解析：正确求出各部分的函数的导数,根据导数的加法与减法法则计算即可.
【点评】这些函数是由基本初等函数经过加、减运算得到的简单函数,求导时,可直接利用函数的加法和减法法则进行求导.解题的关键是熟记常见基本初等函数的导数公式,尤其注意某些符号的变化.
§4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2 g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函 数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。函数是Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n展开（按n为正整数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。展开式中，第一项是X^n，最末项是（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数是1，3，3，1；等等。注意，n是几，第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[n X^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时也是成立的。） (X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需加的括号太多，就显得麻烦了。第一项系数是1，第二项系数是n, 第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10～12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'＝secx*tanx。 (secx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝secx*tanx 13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。 如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。
导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则 主讲：陈晓林时间：2012-2-23 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处附近有定义，如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫函数的平均变化率）有极限即?Skip Record If...?无限趋近于某个常
数，我们把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的导数，记作?Skip Record If...?，即?Skip Record If...? 2. 导数的几何意义：是曲线?Skip Record If...?上点（?Skip Record If...?）处的切线的斜率因此，如果?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?可导，则曲线 ?Skip Record If...?在点（?Skip Record If...?）处的切线方程为?Skip Record If...?3. 导函数(导数):如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每点处都有导数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导数 ?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?, 称这个函数 ?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数?Skip Record If...?的导数的一般方法： （1）求函数的改变量?Skip Record If...?2）求平均变化率?Skip Record If...?（3）取极限，得导数?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?5.常见函数的导数公式：?Skip Record If...?；?Skip Record If...? （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 ?Skip Record If...? 证明：令?Skip Record If...?， ?Skip Record If...??Skip Record If...?， ∴?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?． 例1：求下列函数的导数：
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=
（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）
§4 导数的四则运算法则 主讲：陈晓林 时间：2012-2-23 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算 的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法， 给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两 个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象 的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比 )(x f y =0x x =0→?x y ?x ?（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫x y ??x y ??做函数在处的导数，记作，即 )(x f y =0x x →0 / x x y =x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/2. 导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果 )(x f y =)(,00x f x 在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 )(x f y =0x )(x f y =)(,00x f x )(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个 )(x f y =),(b a 后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有
1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。 2掌握导数的四则运算法则； 3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。 教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学安排：两课时 教学过程： 引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。 且 知识讲解： 一：基本初等函数的导数公式 为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：
关于表特别说明：1 常数函数 的导 数是 0； 2幂函数 导数是以对应幂函数的指数为系数 3 余弦函 数的导数是正弦函数的相反 数。 从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正， 和余弦函数在该区间的正负是一致的， 余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负， 和正弦函数在该区间的正负是相反的，故 有一个负号。 4
的导数是它自身。 5 例1计算下列函数的导数 强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的 位置是在底数上还是在指数上。 2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。 例 2．（课本P14例1）假设某国家在20 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约 是多少（精确到0.01 ）？ /年） 在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
提出问题： 10个年头，这种 0.01）？ 二导数的计算法则 推论1 导数不变） 2 （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数 的导数） 3 解决问题： 公式和求导法则，有 /年） 0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计 高中数学人教A版选修1-1 3、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算 一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学 课时：1课时 二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则 运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数． 三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用 五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求 能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中，适量的 联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的 形式化的运算联系。 六、教学方法及教学思路： 运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分： 1、回顾公式、寻找技巧 2、自主探究、合作学习 3、成果展示，汇报交流
4、归纳总结，提升拓展 5、反馈训练，巩固落实 6、总结本节复习要点及课后作业的布置 七、教学过程 1、回顾公式、寻找技巧 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则： 函数的和、差、积、商的求导法则：
简单复合函数的求导： 函数 其中 和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习 针对性训练：求下列函数的导数 3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。 4、归纳总结，提升拓展 总结反思： 1、先观察函数是由哪些子函数组成。 2、再观察有哪些运算法则。 3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员x x y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（) 32sin(8π+=x y ）（ )(x g u =x u x u f y '''?=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx
16导数公式及四则运 算 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2 导数公式及四则运算 【使用说明及学法指导】 1.自学课本P14-P21，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA 完成所有题目，BB 完成除（**）外所有题目，CC 完成不带（*）题目。 2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 3.预习指导：理解幂函数导数的推导过程，熟记常用初等函数的导函数，并能应用导数的四则运算法则求导。 【学习目标】 1．理解并记忆基本初等函数的导函数，掌握导数的运算法则; 2．自主学习、合作交流，归纳出求导公式应用的规律与方法； 3．激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质。 一、课前预习 问题1.结合函数3)(x x f =的求导过程总结求导导函数的步骤.. 设 3)(x x f y ==， △y= )()(x f x x f -?+=3)(x x ?+-3x =322 )()(33x x x x x ?+??+?? ∴x y ??=22)(33x x x x ?+??+ ∴x y x ??→?0lim =2 3x 即2'3)(x x f =. 问题2：什么样的函数是幂函数 由2' 33)(x x =，x x 2)('2=， 2'1)(---=x x 归纳幂函数的导数表达式是怎 样的 问题3.结合课本p17“基本初等函数导数公式表”书写出这组导数公式并分析特点，这组公式可分为几类如何记忆秀秀你的高招. 问题4. 两个函数和、差、积、商的导数是否等于这两个函数导数的和、差、积、商写出函数求导的四则运算法则并分析这组公式的特点，看看谁记忆地既准又快！ 问题5.当 ()1≡x f 时，你能否运用商的求导法则确定函数 ()x g x f )(即() x g 1 的导数 二、学始于疑---我思考、我收获 1.判断正误：(1))()(])()([x g x f x g x f ''='. (2)c 是常数，则)()]([''x f c x f c ?=? . 2.(1) 若x e x f =)(，则)('x f = . (2) 若 x x f ln )(=，则)('x f = . 3.求下列函数的导数： (1)=++-+='2223y e x x x y x （2）x y x lg 2-= ='y
导数的四则运算法则 3.2.3 导数的四则运算法则教学目的: 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数( 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点: 用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点: 函数的积、商的求导法则的推导( 教学过程: 一、复习引入: 常见函数的导数公式: nn,1xxC',0;(k,b为常数) ; ()'kxbk，,()'ln(0,0)aaaaa,,,且(x)',nx 111xxxeaa,,,,且(ln)'x, (log)'log(0,0)()'ee,aaxxxaln ; (sinx)',cosx(cosx)',,sinx 二、讲解新课: 2引例求的导数. yxx,， 法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即fxgxfxgx()()''()'(),,,,, cfxcfx()'()',法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数( ,,法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以 fxgxfxgxfxgx()()''()()()'(),，第二个函数的导数，即 ,,
证明:令yfxgx,()()，则 ,y,fxx()，,gxx()，,-fxgx()() ,，,fxx()gxx()，,fx()gxx()，,fx()gxx()，,fxgx()()-+-， - 1 - fxxfx()()，,,gxxgx()()，,,,y + ,gxx()，,fx(),x,x,x ,x,0因为在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当时，， gx()gxxgx()()，,, fxxfx()()，,,gxxgx()()，,,,ylimlimlim从而 + ,gxx()，,fx(),x,0,x,0,x,0,x,x,x ， ,，fxgxfxgx'()()()'() 法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 ',,fxfxgxfxgx()'()()()'(),,,(()0)gx ,,2gxgx()(),, 三、讲解范例: 例1 求下列函数的导数: 5432(1)求多项式函数f(x)=2x+3x-4x+5x-6x+7的导数; 2 (2)求的导数. yxx,，,(23)(32) 2t，1例2 求下列函数的导数: ?st(), ? hxxx()sin,t 例3 求函数(1)y=sin2x;(2)y=tanx的导数。 四、课堂练习:课本练习 五、小结 :由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数
基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。
§4 导数的四则运算法则 第二课时 导数的乘法与除法法则 一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 二、教学重点：函数积、商导数公式的应用 教学难点：函数积、商导数公式 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：两个函数的和、差的求导公式 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此， 如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?2）求平均变化率 x x y ?= ??
导数公式及四则运算 【使用说明及学法指导】 1.自学课本P14-P21，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA 完成所有题目，BB 完成除（**）外所有题目，CC 完成不带（*）题目。 2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 3.预习指导：理解幂函数导数的推导过程，熟记常用初等函数的导函数，并能应用导数的四则运算法则求导。 【学习目标】 1．理解并记忆基本初等函数的导函数，掌握导数的运算法则; 2．自主学习、合作交流，归纳出求导公式应用的规律与方法； 3．激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质。 一、课前预习 问题1.结合函数3)(x x f =的求导过程总结求导导函数的步骤.. 设 3)(x x f y ==， △y= )()(x f x x f -?+=3)(x x ?+-3x =322 )()(33x x x x x ?+??+?? ∴x y ??=22)(33x x x x ?+??+ ∴x y x ??→?0lim =2 3x 即2'3)(x x f =. 问题2：什么样的函数是幂函数 由2' 33)(x x =，x x 2)('2=， 2'1)(---=x x 归纳幂函数的导数表达式是怎 样的 问题3.结合课本p17“基本初等函数导数公式表”书写出这组导数公式并分析特点，这组公式可分为几类如何记忆秀秀你的高招. 问题4. 两个函数和、差、积、商的导数是否等于这两个函数导数的和、差、积、商写出函数求导的四则运算法则并分析这组公式的特点，看看谁记忆地既准又快！ 问题5.当 ()1≡x f 时，你能否运用商的求导法则确定函数 ()x g x f )(即() x g 1 的导数 二、学始于疑---我思考、我收获 1.判断正误：(1))()(])()([x g x f x g x f ''='. (2)c 是常数，则)()]([''x f c x f c ?=? . 2.(1) 若x e x f =)(，则)('x f = . (2) 若 x x f ln )(=，则)('x f = . 3.求下列函数的导数： (1)=++-+='222 3 y e x x x y x （2）x y x lg 2-= ='y
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(0 0y x P 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(0 =y x F ，, ),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(0 y x 的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件) (00 x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求 导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 ))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续，且0),(0 ≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个
体验高考 1.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f′(1)= . 2.(09辽宁文15)若函数 2 () 1 x a f x x + = + 在1 x=处取极值，则 a= . 本题是导数部分的基础,考察的知识点是导数的求值,熟练掌握导数的基本求导公式和四则运算法则是求解这类题目的敲门砖.若单独出题，本部分题目以填空、选择的形式出现, 另外，本部分作为一切导数题的必备基础，贯穿出现在所有的导数题型中。 解题基本思路：题1：用换元法求函数解析式——求) ('x f——求)1('f 题2：由题意知：)1('f=0，解a 知识铺垫 一、大纲要求 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如) (b ax f+的复合函数）的导数。 二、知识点回顾 1基本初等函数的导数公式：
2导数的四则运算法则： 3简单复合函数的求导：函数))((x g f 是复合函数,且)(x f 和)(x g 都可导,则='))((x g f ? 三、典型例题 4.(山东省实验中学2013届高三适应训练)已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 思路分析：先求)1('f ——则)1('2)0('f f = 解：)1('22)('f x x f +=Θ )1('22)1('f f +=∴ 即：2)1('=-f 2)1('-=f 4)1('2)0('-==∴f f 四、方法指导 熟练掌握求导公式和四则运算法则，并会灵活运用即可 5、近几年热点
1．(2014·黄石模拟(文))已知x x x f ln )(=，若2)('0=x f ，则=0x ( ) A ．2e B ．e 1 D ．ln 2 2．（2011江西，5分）若x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) 训练 1.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知1()cos ,f x x x =则()()2 f f ππ'+= A ．2π - B ．3π C ．1π- D ．3π- 2. (山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文) 函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，2)(/>x f ,则()24f x x >+的解集为 ( ) A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-l) D.(-∞,+∞) 3.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)已知 )1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 4．（山东省潍坊市寿光现代中学2012届高三12月段检测）已知 ()()2f x x 3xf 1'=+为 A.—2 B.—1 5．(山东潍坊诸城一中2012届高三10月阶段测试文）函数cosx x y 2=的导数为
导数四则运算（1）加法与减法法则说课稿 一、 说教材 （一） 地位和作用 1. 导数的四则运算是本章的导数计算的一部分，是本章的重点，为后 面的学习做铺垫。 2. 教材中对于导数计算及计算法则，均从导数定义出发进行相应的推 到。导数的加法与减法法则均是通过具体实例的计算，归纳出相应的法则。 3. 通过计算法则的学习，要淡化导数计算的技巧，重视导数运算的意 义，重视绘图识图的能力及识别导数的几何意义。 （二） 说学情分析 1. 学生理解导数的加减法则，掌握求导法则的应用。 2. 学生在已有的知识基础上，借助导数定义，对具体两个函数和的求 导结果与两个函数导数的对比，归纳出结论。 3. 学生层次参差不齐，个体差异比较明显。 （三） 说教学目标 1. 知识与技能：了解两函数的和差求导法则，会用求导公式求含有和、 差综合运算的函数的导数；能运用导数几何意义求过曲线上一点的切线。 2. 规程与方法：经历有两个函数和、炸运算法则的求导过程，注意培 养学生的归纳、类比能力。 3. 情感、态度价值观：通过本节课的学习，提高学生对导数重要性的 认识，体会导数在解决问题中的作用。 （四） 教学重点：函数和、差导数公式的应用 （五） 教学难点：函数和、差导数公式的应用 （六） 教学方法：问题探究、讲练结合 二、 说教法 通过复习基本初等函数导数公式及倒数的定义，推到两个简单函数和的导数，对比结果和两个简单函数导数的关系，归纳出结论。重在学生发现规律，形成结论。 通过例题学习，使学生更好的掌握加、减法求导法则，提高求导及应用导数公式的能力。 三、 说学法 1. 通过已学知识，推出具体两个简单函数和的导数，引出课题，激发 学生学习的动机。 2. 通过推到导数的加法减法法则，归纳结论，在例、习题训练中巩固 求导公式的应用。 3. 解决与切线和切点有关的问题时，要先根据题目要求画出简图，然 后求解。 四、 说教学过程 （一） 复习回顾及问题引入 1. ()n x '= ()2x '= x '= 2.导数的定义：()f x '=0lim x y x →=()()0lim x f x x f x x →+-
第1页共11页 导数的四则运算法则 基本初等函数的导数公式表 导数的运算法则 (1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则： ①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′. ②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )． ③商的求导法则： ???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)， 特别地：??????1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 思考：商的导数???? ??f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？
第2页共11页 [提示] 先对f (x )求导，即f′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )． 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1 2x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x D [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．] 2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x ) D [y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．] 3．已知函数f (x )＝ln x x ，则f′(1)＝________. 1 [∵f′(x )＝1 x ×x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2，∴f′(1)＝1.] 用导数的求导法则求导数 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝2x 2＋1x －3x 3； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； (4)y ＝x 3＋lg x . [思路探究] 观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解． [解] (1)∵y ＝2x 2＋x －1－3·x －3， ∴y ′＝4x －x －2－3·(－3)x －4＝4x －1x 2＋9x 4. (2)y ′＝1·(x 2＋3)－2x (x ＋3)(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2 . (3)y ′＝(e x cos x ＋sin x )′＝(e x cos x )′ ＋(sin x )′
§4导数的四则运算法则 教学目的： 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数． 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点： 用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点： 函数的积、商的求导法则的推导． 授课类型：新授课 教学过程： 一、复习引入： 常见函数的导数公式： 0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a ==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= 二、讲解新课： 例1.求2y x x =+的导数. 法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=± 法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函
数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 三、讲解范例： 例1 求下列函数的导数 (1)y =x 2+sin x (2) 323622 y x x x =--+ (3)2 (23)(32)y x x =+- (两种方法) 例2 求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t += (3)tan y x = (4) y = x 1·cos x 四、课堂练习： 1.求下列函数的导数： (1)2cos y x x =+ (2)22ln x y x =- (3)y =232x x + (4)y =x a x a +- (5)y = x cos 11- (6)(21)(3)y x x =-+ 五.课堂小结 六、课后作业：
专题一导数公式及四则运算 1、下列结论不正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2、下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 3、已知,若,则的值为( ) A.-6 B.6 C.±6 D.不确定 4、已知函数的导函数为,且满足关系式, 则的值等于( ) A. B. C. D. 5、已知函数,则等于( ) A. B. C. D. 6、若,则的解集为( )
A. B. C. D. 7、函数的导函数是,则; 8、已知,则____________ 9、对任意实数,都有,,那么. 10、函数在处的导数是. 11、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3.. 12、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3.. 13、设,求. 14、求下列函数的导数. 1.; 2.. 15、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3..
参考答案 1.答案：B 解析：对于B,,故选项B不正确. 2.答案：D 3.答案：B 4.答案：D 解析：∵,∴, 令,则,即,∴.故选D. 5.答案：C 解析：∵,∴,应注意的是 ,不要忘记负号,故应选C. 6.答案：A 解析：∵, ∴函数的定义域为,则 ,由,得 ,即 7.答案： 解析： 首先对原函数,求导得:,所 以:,所以答案为:. 8.答案： 解析： ∵
∴ 令 得: 解得: 故答案为:. 9.答案： 解析：由可知,中最高次.结合,可设 ,又∵,∴,∴,∴. 10.答案： 解析：, ∴. 11.答案：1. ; 2. ; 3.. 解析：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函 数的模式,如可以写成,等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 12.答案：1. . 2. ∵.
第1页共8页 导数的四则运算法则 基本初等函数的导数公式表 导数的运算法则 (1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则： ①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′. ②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )． ③商的求导法则： ???? ?? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)， 特别地：?????? 1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 思考：商的导数?????? f (x ) g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？
[提示]先对f(x)求导，即f′(x)g(x)，再对g(x)求导，即f(x)g′(x)． 1．下列结论不正确的是() A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 C．若y＝－x＋x，则y′＝－ 1 2x ＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 2．设y＝－2e x sin x，则y′等于() A．－2e x cos x B．－2e x sin x C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x) 3．已知函数f(x)＝ln x x，则f′(1)＝________. 用导数的求导法则求导数 【例1】求下列函数的导数： (1)y＝2x2＋1 x－ 3 x3；(2)y＝ x＋3 x2＋3； (3)y＝e x cos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x. 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问 题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及 其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导. 第2页共8页