函数与多伽马函数
定义
函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：
对复数，我们要求。
Γ函数还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：
这样定义的Γ函数在全平面除了以外的地方解析。
Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示：
这样定义的Γ函数在全平面解析
[编辑] 无穷乘积
函数可以用无穷乘积表示：
其中是欧拉-马歇罗尼常数。
[编辑] Gamma积分
[编辑] 递推公式
函数的递推公式为：，
对于正整数，有
，
可以说函数是阶乘的推广。
[编辑] 递推公式的推导
我们用分部积分法来计算这个积分：
当时，。当趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：
.
因此第一项变成了零，所以：
等式的右面正好是。因此，递推公式为：
。
[编辑] 重要性质
Γ函数在实轴上的函数图形
•当时，
•欧拉反射公式：
由此可知当时，。
•乘法定理：
。
。
•补充：
此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、分布概率密度函数等的累计概率。
[编辑] 特殊值
[编辑] 导数
[编辑] 复数值
[编辑] 斯特灵公式
斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。
[编辑] 解析延拓
Γ函数的绝对值函数图形
注意到在Γ函数的积分定义中若取为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程
并注意到函数在整个复平面上有解析延拓，我们可以在时设
从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在有单极点，留数为
多伽玛函数
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阶多伽玛函数是伽玛函数的第个对数导数。
在这里
是双伽玛函数，是伽玛函数。函数有时称为三伽玛函数。
伽玛函数的
对数，以及最
初几个多伽
玛函数
积分表示法
多伽玛函数可以表示为：
当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。[编辑] 递推关系
多伽玛函数具有以下的递推关系：
[编辑] 乘法定理
乘法定理给出：
其中。对于，则是双伽玛函数：
[编辑] 级数表示法
多伽玛函数有以下的级数表示法：
对m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示：
[编辑] 泰勒级数
z = 1时，泰勒级数为：
当|z| < 1时收敛。在这里，ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数。
