上海市卢湾区高三上学期期末考试
数学试卷 .1
（本卷完成时间为120分钟，满分为150分 审核：刘瑞兰）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数()sin(f x x =π+1)的最小正周期T =_______．
2
．函数()f x =的定义域为 ．
3．若12i
i a ++为实数（i 为虚数单位），则实数a =_________． 4．计算：2(1)(13)
lim
(2)(1)
n n n n n n →∞+-=
-++________．
5．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ．
6．在二项式
12n
x x ??- ?
??的展开式中，若第5项是常数项，则n =
7．在△ABC 中，E 为AC 上一点，BC a =，BA b =，12AE EC
=若用向量a 、b 表示BE ，则BE =_________．
8．右图中，程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，图中①处
应填入 ．
9．若实数a 、b 、c 、d 满足矩阵等式11240202a b c d ??????= ??? ???????，则
行列式a
b c
d
的值为_________．
10．若关于x 、y 的二元一次方程组1,2mx y m x my m +=+??
+=?无解，则m =_____．
11．已知数列{}n a 共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条 件的数列共有 个．
12．若集合
0,1,2A π?
?=??
??，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则A B =_______．
13．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，集合2lim ,1,
n n n S M x x q S →∞??
==≠-??? q ?
∈?
?R ，则用列举法表示M = ．
14．方程2
cos 0x x -=的解可视为函数cos y x =的图像与函数2
y x =的图像交点的
横坐标．方程
210sin
102x
x x π-+=实数解的个数为 ．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15
．若复数
12ω=
+（i 为虚数单位），则1ω-等于（ ）.
A. 2
ω B. 2ω- C.ω- D.1ω-
16
．设函数()f x 的反函数为
1
()f x -，对于[0,1]内的所有x 的值，下列关系式 中一定成立的是（ ）．
A ．1()()f x f x -=
B ．1()()f x f x -≠
C ．1()()f x f x -≤
D ．
1
()()f x f x -≥ 17．对于函数1(1)()2n
f n +-=（*
n ∈N ），我们可以发现()f n 有许多性质，如：
(2)1f k =（*k ∈N ）等，下列关于()f n 的性质中一定成立的是（ ）．
A ．(1)()1f n f n +-=
B ．()()f n k f n +=（*
k ∈N ）；
C ．()(1)()f n f n f n αα=++（0α≠）
D ．(1)
(1)()f n f n ααα+=-+（0α≠）；
18．若a ，b 是实数，则||||||a b b a ->-成立的充要条件是（ ）．
A ．1b a <
B ．1a b <
C ．a b <
D ．a b >
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
3B π=
，4
cos 5A =
，b
求sin C 的值及△ABC 的面积S ．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2
()24f x x ax =-+（1a ≥），
2()1x g x x =
+．
（1）求函数()y f x =的最小值()m a ；
（2）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个
球，取到的都是红球的概率为413．
（1）试问：袋中的红、白球各有多少个？
（2）（理）现从袋中逐次取球，每次从袋中任取1个球，若取到白球，则停止取球，若取到红球，则继续下一次取球．试求：取球不超过3次便停止的概率．
（文）从袋中任取3个球，若取到一个红球，则记2分，若取到一个白球,则记1分．试求：所取出球的总分不超过5分的概率．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
将奇函数的图像关于原点（即(0,0)）对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
① 函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=的充要条件是()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称．
② 函数()y f x =满足()()()F x f x a f a =+-为奇函数的充要条件是()y f x =的图像关于点
(,())a f a 成中心对称（注：若a 不属于x 的定义域时，则()f a 不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m （1m ≠-）为实数，试问函数
()1x m
f x x +=
-的图像是否关于某一点成中心对称？
若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数()2()|||3|43f x x x t x ?
?=-++-- ???的图像关于点22,33f
???? ?
????
?成中心对称，求t 的
值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3
小题满分6分．
在等差数列{}n a 中，公差为d ，前n 项和为n S ．在等比数列{}n b 中，公比为q ，前n 项和为
n S '（*n ∈N ）．
（1）在等差数列{}n a 中，已知1030S =，20100S =，求30S ．
（2）在等差数列{}n a 中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中m 、1m 、
2m 、*n ∈N ）．
用m S 表示2m S 222m m S S m d =+
用
1
m S 、
2
m S 表示
12
m m S +
12m m S +=
①
用m S 表示nm S nm S = ②
（3）在下列各题中，任选一题进行解答，不必证明，解答正确得到相应的分数（若选做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）： (ⅰ) （解答本题，最多得4分）类比（2）中①式，在等比数列{}n b 中，写出相应的结论． (ⅱ) （解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列{}n b 中，写出相应的结论． (ⅲ) （解答本题，最多得6分）在等差数列{}n a 中，将（2）中的①推广到一般情况． (ⅳ) （解答本题，最多得6分）在等比数列{}n b 中，将（2）中的①推广到一般情况．
卢湾区第一学期高三年级期末考试
数学参考答案及评分标准 .1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分．
1．2 2．(1,1)- 3．1
2 4．0 5．150 6．8 7．123
3a b
+ 8．x y ← 9．8 10．1- 11．60 12．{0,1} 13．10,,12????
?? 14．12
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．
15．A 16．D 17．C 18．A
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 因为,,A B C 为△ABC 的内角，且
3B π=
，4cos 5A =，所以23C A π=-，
3
sin 5A =
，得2sin sin 3C A π??=-=
???
． …6分 在△ABC 中，由正弦定理，得
sin 6
sin 5b A a B =
=
， …10分
故△ABC
的面积116336sin 2251050S ab C ++==?=
． …14分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）由222
()24()4f x x ax x a a =-+=-+-，得
2412,
()84 2.a a m a a a ?-<=?-?≤≥ …6分 （2）
1
()(1)21g x x x =++
-+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]x +∈，
又()g x 在区间[0,2]上单调递增（证明略），故
4()0,3g x ??
∈??
??． …9分 由题设，得2min
1max ()()f x g x >，故2
12,443a a ??
≤或2,
484,3a a ??
?->??≥ …12分
解得
1a <
≤为所求的范围． …14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）设袋中有红球4k 个，白球3k 个，由题设2
427413
k
k C C =，解得2k =， …4分
因此，袋中有红球8个，白球6个． …6分 （2）（理）记A 为“取球不超过3次便停止”；i B （1,2,3i =）为“第i 次取到红球”， 则i B 为“第i 次取到白球”．
由题设112123A B B B B B B =++，且1B 、12B B 、123B B B 为互不相容事件，1B 、1B 、2B 、2B 、
3B 为互相独立事件， …10分
故
11212368687611
()()()()()()()14141314131213P A P B P B P B P B P B P B =++=
+?+??=
．
…14分 （文）从袋中14个球中取出3个球，其可能出现的取法有3
14C 种，即所有的基本事
件有314C 个． …8分 若把“取出球的总分不超过5分”的事件记作E ，则E 所包含的基本事件有
32112
66868C C C C C ++个， …12分
因此，E 出现的概率
32112
668683
1411
()13
C C C C C P E C ++==． …14分
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标为,02k π?? ???（*k ∈N ）． …2分
当2k n =（*
n ∈N ）时，
tan tan tan tan 022k k x x x x ππ????
++-=-= ? ?????；
当21k n =+（*
n ∈N ）时，
tan tan cot cot 022k k x x x x ππ????++-=-+= ? ?????，得证． …6分
（2）由
1
()111x m m f x x x ++=
=+--，得()f x 的图像的对称中心的坐标为(1,1)．…9分
1111(1)(1)2
1111x m x m x m x m
f x f x x x x x ++-+++-++++-=
+=+=+----，由结论①得，对实数m (1m ≠-)，函数
()1x m
f x x +=
-的图像关于点(1,1)成中心对称． …12分
（3）由结论②
2227()3333F x f x f x x t x ??
?
???
=+-
=+++-
?
? ??????
?为奇函数，…14分
其中()g x x =为奇函数，故
27
()33h x x t x =+
++-为偶函数（证明略），
于是，由()()h x h x =-可得
27273333x t x x t x ??
+
++-=-+++ ???， …16分
因此，273
3t +=，解得5
3t =
为所求． …18分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
（1）由1030S =，20100S =，得1104530a d +=，120190100a d +=，
解得
165a =
，2
5d =， …2分
故30210S =． …4分 （2）①121212m m m m S S S m m d
+=++． …6分
可知
1221m m m a a m d
+=+，
1211112
12m m m m m m m S S a a a ++++=++++
1211211()()()m m S a m d a m d a m d =+++++++1212m m S S m m d
=++． …8分
②
2
(1)2nm m n n S nS m d -=+
（或写成22
nm m n S nS C m d =+，2n ≥）． …10分 可知
1(1)
2m m m S ma d -=+
，
1(1)(1)(1)
222nm m nm nm nm m nm nm S nma d nS d d ---=+=-+
(11)()22m m nm nm nS d nm m nS d nm m =+
--+=+-2
(1)2m n n nS m d -=+． …12分
（3）(ⅰ)
11212m m
m m m S S q S +'''=+． …16分
(ⅱ)
1,1,1, 1.nm
m m
nm
m q S q S q nS q ?-'≠?'=-??'=? …17分
(ⅲ)
12121213123[()(n
n m m m m m m n S S S S m m m m m m m m ++
+=++++++
+++
21)]n n n m m m m d -++
+，（2n ≥）．
（或写成1
1
1()n i i i n
m i j m i i j n S S m m d
==<=+∑∑∑≤≤，（2n ≥））． …18分
(ⅳ)121
11212123n n
n m m m m m m m
m m m m m m
S S S q S q S q -+++++++'''''=++++，（2n ≥）． …18分