一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点、、、对应的数分别是，且 .
（1）那么 ________， ________：
（2）点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点到达点处立刻返回，与点在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；
（3）如果、两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点从图上的位置出发
也向数轴的负方向运动，且始终保持，当点运动到时，点对应的数是多少？
【答案】（1）-6；-8
（2）解：由（1）可知：，，，，
点运动到点所花的时间为，
设运动的时间为秒，
则对应的数为，
对应的数为： .
当、两点相遇时，，，
∴ .
答：这个点对应的数为；
（3）解：设运动的时间为
对应的数为：
对应的数为：
∴
∵
∴
∵对应的数为
∴
①当，；
②当，，不符合实际情况，
∴
∴
答：点对应的数为
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∵，
∴，
解得，
则；
【分析】（1）由a、d在数轴上的位置可得d=a+8，代入已知的等式可求得a的值，再根据数轴可确定原点的位置；
（2）根据相遇问题可求得相遇时间，然后结合题意可求解；
（3）根据AB=AC列方程，解含绝对值的方程可求解.
2．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；
（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；
（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.
【答案】（1）2；6
（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.
（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;
（4）1；9
（5）1；2n2+3n
【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n
=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）
=
= 2n2+3n
故：答案为1， 2n2+3n ．
【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；
（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；
（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；
（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。
3．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.
（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.
（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线
段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或
（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；
若P在A点、B中间.
∵AB=7，∴不存在这样的点P；
若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=
（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则
5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；
②当A为BP中点时，则
2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；
③当B为AP中点时，则
2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .
答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分
点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；
（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。
4．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：
现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，……，N，M这26个字母依次对应
1，2，3，……，25，26这26个自然数(见下表)．
Q W E R T Y U I O P A S D
12345678910111213
F G H J K L Z X C V B N M
14151617181920212223242526
将明文转成密文，如：，即R变为L；，即A 变为S．
将密文转换成明文，如：，即X变为P；13 3×(13－8)－1＝14，即D变为F．
（1）按上述方法将明文NE T译为密文．
（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．
【答案】（1）解：
即NET密文为MQP．
（2）解：
即密文DWN的明文为FYC ．
【解析】【分析】（1）由图表找出N、E、T对应的自然数，再根据变换公式变成密文即可；（2）由图表找出D、W、N对应的自然数，再根据变换公式变成明文即可.
5．如图，数轴上两点分别表示有理数-2和5,我们用来表示两点之间的距离.
（1）直接写出的值=________；
（2）若数轴上一点表示有理数m，则的值是________；
（3）当代数式∣n +2∣+∣n -5∣的值取最小值时，写出表示n的点所在的位置；
（4）若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运
动，求经过多少秒后，点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.
【答案】（1）7
（2）
（3）解：n点位于线段AB上（包括A、B两点），即时有最小值7；即：
（4）解：设经过x秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，
第一种情况：2+2x=2（5-3x），解得：x=1
第二种情况：2+2x=2（3x-5），解得：x=3
答：经过1秒或3秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍.
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：7（2）
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；（2）根据两点间距离公式求解即可；（3）根据n+2和n-5以及两点间距离公式，即可得出n的取值范围；（4）设经过x秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，利用两点间距离公式分两种情况列出方程，求解即可.
6．观察下列两个等式：2﹣＝2× +1，5﹣＝5× +1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，
），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是________；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
【答案】（1）
（2）是
（3）（0.-1）等
（4）解：∵（a，3）是“共生有理数对”，
∴a-3=3a+1
解之：a=-2.
【解析】【解答】（1）数对（﹣2，1）
∴-2×1+1=-1，-2-1=-3
-1≠-3
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
数对（3，）
∴，
∴数对（3，）是“共生有理数对”；
故答案为：（3，）；
（2）∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n-（-m）=m-n
-n（-m）+1=mn+1
∴-n-（-m）=-n（-m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”
故答案为：是.
（3）∵0×（-1）+1=1
0-（-1）=1
∴（0，-1）是“共生有理数对”.
【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义：若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。
（2）若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。
（3）利用“共生有理数对”的定义，写出符合题意的“共生有理数对”即可。
（4）根据（a，3）是“共生有理数对”，建立关于a的方程，解方程求出a的值。
7．把具有某种规律的一列数：1,－2,3,－4,5,－6，...，排列成下面的阵形：
........
探索下列事件：
（1）第10行的第1个数是什么数？
（2）数字2019前面是负号还是正号?在第几行?第几列?
【答案】（1）解：∵第1行第1个数1=（-1）2×（02+1）；
第2行第1个数-2=（-1）3×（12+1）；
第3行第1个数5=（-1）4×（22+1）；
第4行第1个数-10=（-1）5×（32+1）；
…
∴第10行第1个数为（-1）11×（92+1）=-82，
（2）解：由以上数列可知，绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负，
∴2019前面是正号；
∵第45行第1个数为（-1）46×（442+1）=1937，
第46行第1个数为（-1）47×（452+1）=-2026，
且2019-1937+1=83，
∴2019在第45行，第83列
【解析】【分析】（1）由每行的第一个数可知，第n行第一个数为（-1）n+1×[（n-1）2+1]，据此可得；（2）根据题意知绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负；求出第45行第1个数为1937，第46行第1个数为-2026知2021在第45行，再由每行中每个数的绝对值依次加1可得列数．
8．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值,即：点A、B表示的数分别为a、b,这两点之间的距离为AB= ，如:表示数1与5的两点之间的距离可表示为，表示数-2与3的两点之间的距离可表示为 .
（借助数轴，画出图形，写出过程）
（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是________,数轴上表示3和-6的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是________,如果|MN|，则x为________；
（3）当式子： |x+2|+|x-3|+|x-4| 取最小值时，x的值为________,最小值为________.
【答案】（1）｜2-7｜＝5；｜3-（-6）｜＝9
（2）｜x+2｜；-8或4
（3）3；6
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是：|2-7|=5；
数轴上表示-3和-6的两点之间的距离是：|3-（-6）| =9；
故答案为：5，9；
（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是：|x+2|，
如果|MN|=6，则|x+2|=6，
∴x+2=±6，
解得：x=4或x=-8，
故答案为：|x+2|，4或-8；
（3）|x+2|+|x-3|+|x-4|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示-2、3、4的三
点的距离之和，
显然只有当x=3时，取到最小值；
∴当x=3时，
最小值为：；
【分析】（1）和（2）主要是根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算；（3）结合数轴和两点间的距离进行分析.
9．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为点的运动速度为，运动时间为 .
（1）点对应的数为________，点对应的数为________；
（2）若，试求为多少时，两点的距离为；
（3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11
（2）解：∵，且 ,
∴，
①
即
解得：
②
即
解得： ,
（3）解：①当点H在点B的左侧时，如图：
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点H在点B的右侧时，如图：
∵，
而
∴
∴，
故答案为：或
【解析】【解答】（1）∵，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可；
10．已知数轴上有A．B． C三点，分别表示有理数?26，?10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒。
（1）PA=________，PC=________（用含t的代数式表示）
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止，
①当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离；
②求当t为何值时P、Q两点恰好在途中相遇.
【答案】（1）t；36－t
（2）解：①由数轴可知：BC=10－（﹣10）=20个单位长度，
∴P从B运动到C的时间为：20÷1=20s
∵当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动
∴当P从B运动到C时，Q的运动时间也是20s
∴Q的运动路程为：20×3=60个单位长度，
∵此时P在C处
∴QP=QC=60－AC=60－36=24.
②由数轴可知：AB=（﹣10）－（﹣26）=16个单位长度，
∵当点P运动到B点时，点Q从A点出发，
∴Q比P晚出发了：16÷1=16s
故Q的运动时间为（t－16）s，
由图可知：P和Q运动总路程等于两个AC的长度
∴t＋3（t－16）=2×36
解得：t=30
答：当t等于30时，P、Q两点恰好在途中相遇
【解析】【解答】解：（1）由数轴可知：AC=10－（﹣26）=36个单位长度
∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动
PA＝t，PC=36－t；
【分析】（1）利用数轴上两点的距离公式求出AC的长度，根据路程＝速度×时间，用t表示出AP，再利用PC=AC－AP即可；（2）①先利用数轴上两点的距离公式求出BC的长度，再利用时间=路程÷速度算出P从B运动到C的时间，算出Q的运动路程，最后减去AC即可；②先利用AB的长度算出Q比P晚出发的时间，再利用P和Q运动总路程等于两个AC的长度列方程即可.
11．在数轴上，点A，点B分别表示数，则线段AB的长度可以用表示.
例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段AB的长表示为 .（1）若线段AB的长表示为6， ,则ab的值等于________；
（2）已知数轴上的任意一点P表示的数是x，且的最小值是4，若，则b=________；
（3）已知点A在点B的右边，且，若，，试判断的符号，说明理由．
【答案】（1）-9
（2）5或-3
（3）解：为负号，
理由如下：
∵点在点的右边且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为负号.
【解析】【解答】解：(1)∵线段AB的长表示为6，
∴，
∵，
∴，
∴
∴ =-9；（2）∵的最小值是4，
∴ AB=4，
∴，
∵，
∴，
∴或－3；
【分析】(1)根据线段的长表示为6，可以得出，再结合可得互为相反数，即得到答案 =-9；（2）根据的含义为点P到点，点的距离和，其取最小值4，故P在点，之间，即PA+PB=AB=4，再根据和可以求出的值；（3）根据点在点的右边且可以判定出，由可知，即，根据可以判断的符号.
12．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度由运动，当点Q到达点A时P、Q两点停止运动，设运动时间为单位：秒．
（1）求时，求点P和点Q表示的有理数；
（2）求点P与点Q第一次重合时的t值；
（3）当t的值为多少时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度？【答案】（1）解：当时，
点P表示的数为：，
点Q表示的数为：
（2）解：
答：点P与点Q第一次重合时的t值为4
（3）解：点P和点Q第一相遇前，
，
解得，；
当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，
，
解得，；
当点P从点B向点A运动时，
，
解得，；
由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．
【解析】【分析】(1）根据题意可以得到当时，点P和点Q表示的有理数；(2)根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；(3)根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．