学习二次根式概念“四注意”
一、注意：二次根式的定义
a≥0）叫做二次根式，理解这个概念时，要抓住三个要点：
（1）从形式上看而次根式必须有二次根号3
=，3显然就不是二次根式，因此，二次根式是指某种式子的“外在形态”．
（2）被开方数a可以是数，也可以是但是，若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代
a≥0
被开方数a是非负数，即a≥0；
②．
（3）二次根式是一种代数式，二次根式是由于开平方运算得到的，当被开方数为常数时，它是一个实数，能开得尽方的为有理数，不能开得尽方的为无理数。当被开方数中含有字母时，它就是我们以后将要接触到的无理式，因此，虽说二次根式为代数式，但其可能为有理式，也可能为无理式，它是代数式中的一部分．
二、注意：定义是判断一个式子是否为二次根式的依据，判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
（1）带二次根号；（2）被开方数大于等于0，只要同时民主这两个7，它就是二次根
x≥1）
（x＜0＝就不是二次根式．
三、注意：怎么确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
由二次根式的定义可知，当a≥0a＜0
方数中字母的取值范围问题，或无意义的条件，列出不等式，
在实数范围内有意义，必须使3x-1≥0，即x≥1
3
．
确定自变量的取值范围是本节的重点也是难点，所以一定要高度重视，我们学过的内容不外乎以下几种类型：
根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑：
① 整式型：若函数解析式是整式时，则自变量取值范围为一切实数； ② 分式型：若函数解析式是分式时，则分母不为零；
③ 二次根式型：若函数解析式是二次根式时，则被开方数为非负数； ④ 指数型：若函数解析式用零次幂表示时，则应考虑底数不为零；
⑤ 综合型：若函数解析式是整式型、分式型、二次根式型、指数型的综合，则自变量
取值范围是它们各自取值范围的公共部分． 四、注意：二次根式的简单性质
由二次根式的定义可得a ≥0）是一个非负数，又因为开平方运算与平方运算是互
逆运算，因而有：2a =（a ≥0），由此可得二次根式的两个简单性质：
（1a ≥0）是一个非负数；
（2）2a =（a ≥0）．
3的算术平方根，3的平方根，而222,(3==．
二次根式的乘法运算应注意的问题
(1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机
a ≥0，
b ≥0)，盲目地把被开方数相乘．
×3×3．
(2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式．
例如，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，
1
5
3
?
=．
用乘法法则运算来得简便．
2
3
=
1
2
(3)如果被开方数中含有小数，应把小数化成分数，然后再进行乘法运算，切不可直接就进行小数的乘法运算．
(4)进行二次根式的乘法运算时，对于类似于多项式与多项式相乘的题型，要认真观察题目的结构特点，充分利用乘法公式简化计算过程．
学习二次根式注意挖掘隐含条件
0)
a≥的式子叫二次根式，这里a≥0是二次根式的隐含条件，不可忽视．一、应用隐含条件确定字母的取值范围：
例1．
=a的取值范围是（）
A．0
a≤B．0
a a <≤D．0 a> 解析： ，成立的条件是：0,0 a b> ≥，而且当0 a≥ a = ；所以a == 10 a a - ? ? ? ≥ ＞ ，即01 a <≤，故此应选C． 温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约． 二 0)a ≥非负性的应用 例2． 若20x y -=，则2()xy -的值为（ ） A ．64 B ．64- C ．16 D ．16- 解析： 0)a ≥可以认为表示的是a 2x y -表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即2x y -＝0 0=，所以2y =，24x y ==，因此2()xy -＝2(42)-?＝64，故选A ． 温馨提示 0、a 0≥、2 a 0≥，当这 三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0． 0)a ≥，隐含条件a ≥0的应用． 例3．已知x 、y 为实数，且满足12 y = 求521x y +- 解析：因为x 为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数． 依题意得1 0210.2 x x ?-????-??≥，≥解得：12x =，所以110022y =++=，又因为22 211y y y -+-＝（） 所以521x y +- 1152122?+?- 2 温馨提示 a ＝0． 例4．已知a 解析： 由于a 为实数，被开方数均为非负数，所以220 8400a a a ?+?-??-? ≥≥≥，由2 0a -≥可得a ＝0， 温馨提示：因为2 0a ≥，若要2 0a -≥，则a ＝0．在解这类问题时一定要深入的挖掘题目 中字母的内在含义． 二次根式的运算“四注意” 二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点： 一、注意运算顺序问题 二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． 例1(2． =．解：原式===33 =+就说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，(21错了． 二、注意运算法则问题 在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2．计算：（2+3―6）（2―3―6）． 解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2 =8―23―3=5―23． 三、注意熟练进行二次根式计算和化简 在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到 熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧． １．因式分解法 例４．化简： y y ++χχ+ χ χχy y y +2 解：原式= y y ++χχ+ ( ) y y y +χχχ2= y y y +++χχχ2= y y ++χχ2 )(= χ+y ２．观察法 例５． 设等式y a a x a y a a x a -+-=-+-)()(在实数范围内成立，其中 a ,x ,y 实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值为（ ）． 解：由二次根式定义知：a －y ≥0,x －a ≥0,a (x －a )≥0,a (y －a )≥0, ∴a ≥0且a ≤0∴a =0∴已知等 式可化为o y x =-，∴x = -y . ∴222222)()(3y y y y y y ++----=2 23y y =3 1． ３．凑零法 例６． 已知χ= 1 32- 求2χ+1+χ的值． 解：由 χ= 1 32-=13+，得31=-χ，两边平方后整理得0222=--χχ, ∴原式=34313003)22(2=+++==-+--χχχ． ４．倒数法 例７． 当32-=χ时，求代数式3)32()347(2++++χχ的值． 解：由32-=χ，得 321 +=χ ，∴原式 =3231131 1 3)32()32(22 2 2+=++=+?+ ?=+++?+χχ χχχχ． ５．整体代入法 例８． 已知2 323-+= χ，2 323+-= y ，求代数式 2 2) ()(y y y y +-++χχχχ的值． 解：由已知得625+=χ，625-=y ，∴10=+y χ，1=y χ， ∴原式= 99 101 1011012 2- =-+． ６．换元法 例９．已知11122=-+-a b b a ，求2 2 b a +的值． 解：设=-21a χ＞0，则122χ=-a ，由已知得χb b a -=-112两边平方得 222221χχb b b a a +-=-，)(212222χχ++--a b b a =0， 0222=+-∴b b χχ，0)(2=-χb ，b =χ,b a =-∴21,122=+∴b a ． 四、探索与思考： １．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”． ①322 322=+ （ ） ②83 3833=+（ ） ③15441544=+ （ ） ④24 5 5 2455=+（ ） （2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n 的式子将其规律表示出来，并注明n 的取值范围： ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． ２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差． ３．细心观察如图２，认真分析各式， 然后解答问题． 21)1(2=+ S 1= 21 ； 31)2(2=+ S 2= 2 2； 41)3(2=+ S 3= 2 3 (1) A 2 A 4 A 6 1 图１ （1）请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长． （3）求出2 102 32 22 1S S S S ++++ 的值． ４．先将 2 3 222x x x x x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值． 答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。２．1－2π；３．4 55 ； ４．原式＝x ，取x ＝４，原式＝２． 12．6二次根式的乘除法 知识回顾:： 1、（1） 94?= = ； 9 4?= = ； （2）169?= = ； 16 9?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 81 4=_________;（3） = b a （a ≥0， b ＞0）． 目标解读:： 1.理解并掌握二次根式乘法和除法法则，并会进行简单的二次根式的乘除法运算. 2.理解最简二次根式的意义及条件，把所给的二次根式化为最简二次根式. 3.理解分母有理化的意义，并会进行分母有理化. 基础训练: 一、选择题 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） 2. == ==，以下判断正确的是（ ） Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确 Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确 Ｃ．甲、乙的解法都正确 Ｄ．甲、乙的解法都不正确 3. 已知 a b ==的值为（ ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．3 Ｄ．4 4. = ） Ａ．1x <且0x ≠ Ｂ．0x >且1x ≠ Ｃ．01x <≤ Ｄ．01x << 5. =x y ，满足的条件为（ ） Ａ． x y ? ? < ? ≥ Ｂ． x y ? ? > ? ≤ Ｃ． x y ? ? < ? ≤ Ｄ． x y ? ? > ? ≥ 6. ；结果为（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. 给出下列四道算式： （1 ）4 =-（2 ） 1 1 4 =（3 ）=（4 ） ) a b => 其中正确的算式是（） Ａ．（1）（3）Ｂ．（2）（4）Ｃ．（1）（4）Ｄ．（2）（3） 8. ） Ａ．- Ｂ． Ｃ．±Ｄ．30 9. 下列各组二次根式中，同类二次根式是（） ， Ｂ． Ｄ ． ，10. 下列各式中不成立的是（） 2x = 32 == 54 1 99 =-=- Ｄ．4 = 11. 下列各式中化简正确的是（） ab = = 1 3 2 = b = 12. 给出四个算式： （1 ）=2 ）=3 ）6 =（4） 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2 )4( (2) （3）2)5.0( （4）2 )3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若 x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 （四）达标测试 (一)填空题： 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。 3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3( 二次根式乘除法 1·一般地，对于二次根式的乘法有：=?b a 2·化简：（1 ；（2= 3·计算：=?y xy 82 ，=?2712 = 2b a 2 ·a b 8= 4·对于b a b a ?= ?成立的条件是 5·下列计算正确的是（ ）A 、563224=? B 、653525=? 6C 、363332=? D 、15153553=? 7用含a,b ,则下列表示正确的是( ) (A)0.3ab. (B)3ab. (C)0.1ab 2. (D)0.1a 2b. 8·对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+ B. a b =+ C. 22 a b =+ D. a b =+ 9·计算：（1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ （4） 10·如果 )3(3-?=-?x x x x ，那么x 的取值围是（ ） A 、x 0≥ B 、3≥x C 、03≤≤x D 、x 为一切实数 11·下列计算正确的是（ ） A 、2122423=? B 、632)3(323 2=?-=- C 、 259)25()9(-?-=-?-)3(-=15)5(=-? D 、 5)1213)(1213(12132 2=-+=- 12·若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3 cm 。 13·下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 14·化简：7 7 7-= ； =>>÷)0,0(43b a a b a 15·下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 二次根式 知识点精析 二次根式 1、定义：形如a ）（0≥a 的式子，称为二次根式。 )0(≥a a 12+a 2、最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式 ②被开方数中不能含开得尽方的因数或因式 ③分母中不含 如：12 18 4.6 32 32 2a 23a a + 3、二次根式的化简 如： 16 81 1 42b a 24-）（ ② ）（0)(2≥=a a a （2）乘法法则逆应用 b a b a ?=? （0,0≥≥b a ） 如：b a 2（a ＞0） 8 32 512 （3）除法法则逆应用 b a b a = （0,0≥≥b a ） 如： a 1 4 3 （4）分母有理化 常用公式： ）（0)(2≥=a a a 22))((b a b a b a -=+- 如： a 1 3-21 321+ 5323+ 5 -323 4、同类二次根式 ①几个根式化成最简二次根式后，被开方数相同 如：812与 4 312与 520与 ②同类二次根式的加减 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并， 合并方法为系数相加减，根式不变． 5、二次根式的运算法则 加减法： m b a m b m a )(±=± 乘法： b a b a ?=? （a ≥0，b ≥0） 除法： b a b a = （0,0＞b a ≥） m m a a =)( （0≥a ） 若0b ＞＞a ，则0b ＞＞a 乘法公式推广： ① n 321321a a a a a a a a n ?????=???? （ 0000n 321≥??≥≥≥a a a a ，，，） ②b ab a b a ++=±22）（ ③ b a b a b a -=-+))(( 例题解析 【例1】判断下列各式是不是最简二次根式 6 8 12 15 18 20 24 48 500 21 81 43 322 2.1 2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 二次根式 ◆知识讲解 1．二次根式 a≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 4．二次根式的性质 2=a（a≥0）； │a│= (0) 0(0) (0) a a a a a > ? ? = ? ?-< ? ； （a≥0，b≥0）； =b≥0，a>0）． 5．分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． 6．二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． ◆例题解析 例1 填空题： （1-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． （2 x 的取值范围是_______． （3）实数a ，b ，c a －b │． o 【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)． （2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │ －a ，－│a －b │=a －b a － b │． 例2 选择题： （1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A B C （2）在根式1) ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) （3）已知a>b>0，的值为（ ） A ．2 B ．2 C D ．1 2 【解答】（1A 错． 二次根式(1) 学习目标： 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考：16 ， π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”为什么 3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3 ≥a a （ ），12+x （ ） 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)3 1(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ） 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3( 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A 2=± B 3=- C ．(25= D ．(23=- 2．下列计算正确的是（ ） A = B = C = D =3．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A B C D 4．)5=（ ） A ．5+ B ．5+ C ．5+ D ． 5．估计( （ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 6．下列运算正确的是（ ） A ．32-=﹣6 B 12- C =±2 D ．= 7．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-； ③3；④5=-58>．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4 C ．x ≥1 D ． x ≤4 9．以下运算错误的是（ ） A = B ．2= C D 2=a ＞0） 10．2的结果是（ ） A ．±3 B ．﹣3 C ．3 D ．9 二、填空题 11．若m m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 12．==________． 13．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____． 14．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 15．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝1332＝_____. 16．若0xy >，则二次根式2 y x -________． 17．已知x ，y 为实数，y 22991x x -+-+求5x +6y 的值________. 18．如果332y x x --，那么y x =_______________________． 19．函数y 4x -中，自变量x 的取值范围是____________． 20．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________． 三、解答题 21．先观察下列等式，再回答问题： 2211+2+()1 =1+1=2； 2212+2+()212=2 12； 221 3+2+()3=3+13=313 ；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式； （2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明． 【答案】（12 21424++=（）144+=144；（22212n n ++=（）211n n n n ++=，证明见解析． 【分析】 （1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”， 221 424（）++=414+=414 ； 二次根式乘除法练习 题63617 二次根式的乘除法练习题 一、选择题 1．下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．8 B ．12+x C ．3y D ．2 1 2==== ） A ．①②③④ B ．①② C ．3y ③④ D ．①②③ 3．下列各式中不成立的是（ ） 2x = 32= 54199=-=- Ｄ．4= 4. 当x ≤2时，下列等式成立的是（ ） A ．2)2(2-=-x x ． B ．3)3(2-=-x x ． C ．x x x x -?-=--32)3)(2(． D ．x x x x --=--2323． 5 ．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，算一算，能放入的细木条的最大长度是( ) A 、cm 41 B 、cm 34 C 、cm 25 D 、cm 35 二、填空题 6. 2.449== （精确到0.01）． 7．若｜a －21｜+(b +1)2=0，则a 3×b -2÷ab -的值是 ． 8= ，计算：= ． 9=x y ，满足的条件为 ． 10．把根号外的因式移到根号内:当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11)1(＝ ． 三、解答题 11．计算：（1）12506?÷ （2）641449169? 12．计算：（1） 11904032÷ （2）42623x x x ?? 13 ．若x ,y 为实数，且134124312+-++-+= x x x x y ，求2x xy x y ++的值． 四、中考链接 14 ．(2008 湖北省鄂州市) 已知 211a a a --=，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．0a < C ．01a <≤ D ．0a > 15 . (2008 广东省广州市) 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示． 化简222()a b a b -+-． 1 1 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】 【活动一】知识（5分钟） 这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。） 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2，用式子表 示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（ 25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟） 完成 P2—思考中的容，阅读例1以上的容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？ 2 3，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。 4）下列各式一定是二次根式的是（ ） A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结：二次根式应满足的条件： 。 2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟） 自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③x --21 （2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课小结 (学生归纳总结) （3分钟） 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值围有限制：被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子 x x +-121中，x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________. 3、已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 2，33， x 1 ，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y ≥0） 2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数围有意义？ 3、若20a -+=，则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知：y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥ 二次根式乘除计算练习 一．选择题（共7小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A． B． C．D． 2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②?=1，③÷=﹣b，其中正确的是（） A．①②B．②③C．①③D．①②③ 3．下列等式不一定成立的是（） A．=（b≠0）B．a3?a﹣5=（a≠0） C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6 4．使式子成立的条件是（） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 5．若，且x+y=5，则x的取值范围是（） A．x＞B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7 6．下列计算正确的是（） A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5?2a3=6a6 7．化简的结果是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 8．若和都是最简二次根式，则m=，n=． 三．解答题（共32小题） 9．． 10．（1）÷3×5； （2）﹙﹣﹚÷（）． 11．． 12．2×÷5． 13．计算：． 14．（1） （2） （3）． 15．（1）化简：?（﹣4）÷ （2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值． 16．计算：2×． 17．计算：（2+4）× 18．． 19．计算：2÷?． 20．计算：4÷（﹣）×． 21．（1）计算：?（÷）； （2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值． 22．． 23．计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1． 24．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．25．计算：． 26．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”， 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 二次根式（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进 行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+? 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴， 解得x ≥0且x ≠1． 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三： 【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且 （2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（ ） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 4 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________ )(2=a 2)3( 5.4 二次根式的乘除法 第二课时 教学内容 a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化 简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计 算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1； =________； （2 ； （3 （4 =________． 3．利用计算器计算填空: （1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________． 。 （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． （2（3÷（4 例1．计算：（1 分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（1=2 （2== （3==2 （4 例2．化简： （1（2（3（4 （a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 解：（1= （2 8 3 b a = （3 8y = （4 13y = 三、巩固练习 教材P135 练习2． 四、应用拓展 例3．=，且x为偶数，求（1+x的值． 分析： a≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2） 中考数学一轮复习二次根式复习题附解析 一、选择题 1．下列运算错误的是（ ） A ．1832= B ．322366?= C ． ( ) 2 516+= D ． ()( ) 72 723+-= 2．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 3．下列计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．8=42 C ．32﹣2=3 D ．23?=6 4．下列计算正确的是（ ） A ．2510?= B ．623÷= C ．12315+= D ．241-= 5．下列各式是二次根式的是（ ） A ．3 B ．1- C ．35 D ．4π- 6．下列计算不正确的是 （ ） A ．35525-= B ．236?= C 77 4= D 363693=+== 7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323 )＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那 么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．下列运算正确的是（ ） A 235=B ．(2 28-= C 11 2222 = D ( ) 2 13 13-= 9．设0a >，0b >( 35a a b b a b =23ab a b ab ++的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 10．已知m ＝12n ＝12223m n mn +- （ ） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．9 二次根式(1)导学案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____。称为 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，3 4)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2 )3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解：72-x 4a 2 -11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中，x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 （四）达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。 3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解： （1）-=-229x x ( )2 =（x + ）(y - )（2）-=-2 23x x ( )2 =（x + ）(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3( 2017二次根式的乘除法练习题 1、（1） 94?= = ；9 4?= = ； （2）169?= = ； 16 9?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 81 4=_________;（3 ） = b a （a ≥0， b ＞0）． ． 4．下列运算不正确的是（ ） A ×0.6=1.2 B ×6=12 C == （a ≥0） 5．计算： （1 （ （2 （3） （4）-1 2（ 6．计算：（1）- 1 2 =_____; （2 =_____． 7．计算：（1 （2）1 3 ． 8．若)2)(1(21--=-?-x x x x ．则x 的取值范围是（ ） A ．x>1 B ．x ≥2 C ．x>2 D ．x ≥1 9 - 1 2 ; 二次根式的乘除法同步练习题 一. 填空题： 1. 成立的条件是 . 2. 计算：（1）25·16 ；（2 = .（3 = ； （4 ） = . 3. 化简：（1 ＝ ； （2 = . 4. 计算：（1 ）＝ ； （2 = . 二. 选择题： 5. ） C. 3 D. 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. = == 1317 4520=+= ==7. =-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0a ≥ B. 02a ≤≤ C. 20a -≤≤ D. 2a ≤- 8. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） 三. 解答题： 9. 计算：（1 （2 （3）4021·9031 （4）155 ·3 （5 ÷ （6） 1.133·7.2- 10. 化简： （1 ）（2 ） （3 （4 11. 已知： 1.69,x = 求 2x - 八年级数学二次根式加减练习题 计算：125455 1 5 20+-- 1827122+- 3 2+3－2 2 －33 505 11221832++ - ）+ 9654+ )27 1 31( 12-- 27–45–20+75 页脚内容1 16.1二次根式(1) 学习目标： 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考：16 ， π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。“”称为 。 1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”？为什么？ 3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3 ≥a a （ ）， 12+x （ ） 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 4 页脚内容2 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( = (2) （3）2)5.0( = （4）2)3 1(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ） 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= 0.35= 合 作 探 究 例1：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 练习1:x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ② ③ 2 例2：在式子x x +-121中，x 的取值范围是什么？ ________)(2=a 二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 . =÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-?(完整版)二次根式乘除法练习题
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