高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列a n 的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即a n f (n) .
3.递推公式：如果已知数列a n 的第一项(或前几项) ，且任何一项a n与它的前一项a n 1 (或前几
项)间的关系可以用一个式子来表示，即列a n 的递推公式. 如数列
a n 中，公式.
4. 数列的前n 项和与通项的公式
a n f (a n 1) 或a n f (a n 1,a n 2) ，那么这个式子叫做数
a1 1,a n 2a n 1，其中a n 2a n 1是数列a n 的递推
① S n a1 a2
a n ；
S1(n 1)
② a n1.
S S(n 2)
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界
数列，无界数列.
①递增数列:对于任何n N ,均有a n 1 a n.
②递减数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n.
③摆动数列: 例如: 1,1, 1,1, 1, .
④常数数列: 例如:6,6,6,6, ??.
⑤有界数列: 存在正数M 使a n M,n N .
⑥无界数列: 对于任何正数M , 总有项a n使得a n M .
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.
2.通项公式与前n 项和公式
⑴通项公式a n a1 (n 1)d ，a1为首项，d 为公差.
n(a a ) 1
⑵前n项和公式S n 1 n或S n na1 n(n 1)d .
22
3.等差中项
如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
即：A是a与b的等差中项2A a b a，A ，b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：a n 1 a n d ( n N ，d 是常数) a n 是等差数列；
⑵中项法：2a n 1 a n a n 2( n N ) a n 是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列a n 是等差数列，则数列a n p 、pa n ( p 是常数)都是等差数列；
⑵在等差数列a n 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n,a n k ,a n 2k,a n 3k ,
为等
差数列，公差为kd .
2
⑶a n a m (n m)d ；a n an b( a, b是常数)；S n an2 bn( a,b是常数，a 0)
⑷若
m n p q(m, n, p,q N )，则 a m a n a p a q ；
⑸若等差数列 a n 的前 n 项和 S n ，则
Sn
是等差数列； n
⑹当项数为
2n(n N ) ，则 S 偶
S 奇
nd,
偶 奇
S 奇 a n
等比数列
1. 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它
前一项的比等于同一个常数 列，常数 q 称为等比数列的公比 .
2. 通项公式与前 n 项和公式
⑴通项公式： a n a 1q
n 1
， a 1为首项， q 为公比 .
⑵前 n 项和公式：①当 q 1时， S n na 1
②当 q 1时， Sn
a 1(1 q ) a
1 a n
q
.
1 q 1 q
3. 等比中项
如果 a, G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与b 的等比中项 . 即： G 是a 与b 的等差中项
a ， A ，
b 成等差数列 G 2 a b .
4. 等比数列的判定方法
⑴定义法： an 1
q ( n N ， q 0是常数)
a n 是等比数
列；
⑵中项法： a n 1
2
a n a n 2( n N )且 a n 0
a n 是等比数列 .
5. 等比数列的常用性质
⑴数列
a n 是等比数列，则数列 pa n 、 pa n ( q 0是常数)都是等比数列；
⑵在等比数列 a n 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 a n ,a n k ,a n 2k ,a n 3k ,
为等
比数列，公比为 q k
.
⑶ a n a m q n m
(n,m N ) ⑷若
m n p q(m, n, p,q N )，则 a m a n a p a q ；
⑸若等比数列
a n 的前 n 项和 S n ，则 S k 、S 2k S k
、
S
3k S 2k 、 S 4k
S
3k
是等比数列 .
二、典型例题
A 、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1) 根据基本量求解(方程的思想)
1、 已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， a 4 9,a 9 6,S n 63，求 n ；
2、等差数列 a n 中， a 4 10且a 3，a 6， a 10成等比数列，求数列 a n 前 20 项的和 S 20．
当项数为
2n 1(n N ) ，则 S 奇 S 偶 a n ,
n1 n
q(q 0) ，这个数列叫做等比数
3、设 a n 是公比为正数的等比数列，若 a 1 1,a 5 16 ，求数列 a n 前 7 项的和 .
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37 ，中间
两数之和为 36 ，求这四个数 .
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， a 6 100 ，则 S 11
；
S
7n 2 a 2、设 S n 、 T n 分别是等差数列 a n 、 a n 的前 n 项和， Sn 7n 2 ，则 a5
.
T n n 3 b 5
3、设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若
a5 5,则 S9
（ ）
a 3 9 S 5
4、等差数列 {a n } ,{b n }的前 n 项和分别为 S n ,T n ,若
Sn
2n
,则 an =（
）
n n n n
T n 3n 1 b n 5、已知
S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， S n m,S m n （n m ） ，则 S m n .
6、在正项等比数列
a n 中， a 1a 5 2a 3a 5 a 3a 7 25 ，则 a 3 a 5 _______________________________ __。
7、已知数列 a n 是等差数列，若
a 4 a 7 a 10 17, a 4 a 5 a 6
a 12 a 13 a 14 77且 a k 13, 则 k ______
8、已知 S n 为等比数列 a n 前n 项和， S n 54， S 2n 60，则 S 3n
9、在等差数列 a n 中，若 S 4 1,S 8 4 ，则 10、在等比数列中，已知 a 9 a 10 a （a 0） ， 已知
a n 为等差数列， a 15 8,a 60 20 ， 等差数列 a n 中，已知
S4 1
,求 S8
.
n
S 8 3
S 16
11、 12、
B 、
求数列通项公式 a 17 a 18 a 19 a
20 的值为（
） a 19 a 20 b ，则 a 99 a 100 .
则
a 75
1）
1,0,1,0,??
1,3,6,10,15,21, ,
3，-33,333 ，-3333,33333
2)给出前 n 项和求通项公式
1、⑴ S n 2n2 3n；⑵ S n 3n1.
2、设数列a n 满足a1 3a2 32a3 ?+3n-1a n n3(n N*)，求数列a n 的通项公式
3)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式a n 1 a n f (n) ，可利用迭加法或迭代法；
a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2 ) (a n 2 a n 3) (a2 a1) a1
例：已知数列a n 中，a1 2,a n a n 1 2n 1(n 2) ，求数列a n 的通项公式；
b、已知关系式a n 1a n f (n) ，可利用迭乘法 . a n an an 1 an 2 a3 a2a1
a
n 1 a
n 2
a
n 3
a
2
a
1
例、已知数列a n 满足：an n 1(n 2),a1 2 ，求求数列a n 的通项公式；
a n 1 n 1
c、构造新数列
1°递推关系形如“ a n 1 pa n q ”，利用待定系数法求解
例、已知数列a n 中，a1 1,a n 1 2a n 3，求数列a n 的通项公式 .
2°递推关系形如“，两边同除p n 1或待定系数法求解例、a1 1,a n 1 2a n 3 ，求数列a n的通项公式
3°递推已知数列a n 中，关系形如“ a n 2 p a n 1 q a n ”，利用待定系数法求解例、已知数列a n 中，a1 1,a2 2,a n 2 3a n 1 2a n ，求数列a n 的通项公式
给出前几项，求通项公式
4°递推关系形如 " a n pa n 1 qa n a n(1 p,q 0), 两边同除以a n a n 1
例1、已知数列a n 中，a n a n 1 2a n a n(1 n 2),a 1 2 ，求数列a n 的通项公式
例 2、数列 a n 中， a 1 2,a n 1 2an
(n N ) ，求数列 a n 的通项公式 4 a n
d 、给出关于 S n 和 a m 的关系 例 1、设数列 a n 的前 n 项和为
S n ，已知 a 1 a,a n 1 S n 3n (n
N )，设
b n
S n 3n
，
求数列 b n 的通项公式．
1
1
2 (n 2) . ⑴求 a n 的通项；
⑵设 b n Sn
，求数列 b n 的
前 n 项和 T n .
2n 1
C 、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例 1、已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，b n Sn
(n N ). 求证：数列 b n 是等差数
列 n
例 2、已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，
1
求证： { S 1
n }是等差数列；
2）证明数列等比
例 2、设 S n 是数列 a n 的前 n 项和， a 1 1， S n 2
a n 1 a 1= . 12
1a n
例 1、设 {a n} 是等差数列， b n＝，求证：数列 { b n}是等比数列；
n n
2
n
例2、数列 {a n}的前 n 项和为 S n，数列 { b n}中，若 a n+S n=n.设 c n=a n－1，求证：数列 {c n}是等比数列；
例 3、已知S n为数列a n 的前n 项和，a1 1，S n 4a n 2.
⑴设数列b n 中，b n a n 1 2a n ，求证：b n 是等比数列；
⑵设数列c n中，c n a n n，求证：c n是等差数列；⑶求数列a n的通项公式及
前2n
n 项和 .
例4
、设
S
n 为数列a n 的前n 项和，已知ba n 2 b 1 S n
⑴证明：当b 2 时，a n n 2n 1是等比数列；
⑵求a n 的通项公式
例 5、已知数列 a n 满足 a 1 1,a 2 3,a n 2 3a n 1
2a n (n N *
).
⑴证明：数列 a n 1 a n 是等比数列； ⑵求数列 a n 的通项公式； ⑶若数列 b n 满足 4
b1 1
4b2 1...4bn 1 (a n 1)bn (n N *
), 证明 b n 是等差数列
D 、求数列的前 n 项和
基本方法： 1)公式法，
2)拆解求和法 . 例 1、求数列 {2n
2n 3}的前n 项和 S n .
1 1 1 1
例 2、求数列 1 ，2 ，3 ， ，(n n )， 的前 n 项和 S n .
2 4 8 2
n n
例 3、求和： 2× 5+3× 6+4× 7+? +n(n+3)
例 1、求和： S=1+
1 2 1 2 3
例 3、 求和： .
2 1
3 2
4 3 n 1 n
3)倒序相加法，
2
)裂项
相消法，数列的常见拆项有：
n(n k) k
1(1n 1
) ；
kn nk
x
例、设f (x) 2，求：
1x
⑴ f(14) f (13) f(12) f(2) f(3) f (4)；
⑵ f ( 20110 ) f ( 20109 ) f (31) f (12) f(2) f (2009) f ( 2010).
4)错位相减法，
例、若数列a n 的通项a n (2n 1) 3n，求此数列的前n 项和S n .
5)对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列｛a n｝的前n项和S n=12n－n2，求数列｛| a n|｝的前n项和T n.
E、数列单调性最值问题
例 1、数列a n 中，a n 2n 49 ，当数列a n 的前n项和S n 取得最小值时，n . 例 2、已知S n为等差数列a n 的前n项和，a1 25,a4 16.当n为何值时，S n取得最大值；
例4、数列a n中，a n 3n2 28n 1，求a n取最小值时n 的值.
例5、数列a n 中，a n n n2 2 ，求数列a n 的最大项和最小项
例 5、设数列a n的前n 项和为S n ．已知a1 a ，a n 1 S n 3n，n N (Ⅰ)设b n S n 3n，求数列b n 的通项公式；
*
(Ⅱ)若a n 1≥ a n，n N*，求a的取值范围．
例 6、已知S n为数列a n 的前n项和，a1 3，S n S n 1 2a n(n 2).
⑴求数列a n 的通项公式；
⑵数列a n 中是否存在正整数k ，使得不等式a k a k 1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由 .
12
例 7、非等比数列{a n} 中，前 n 项和S n 1(a n 1)2，
4
(1)求数列{a n} 的通项公式；
1
(2
)设b n (n N*) ，T n b1 b2 b n ，是否存在最大的整数 m，使得对
任意
n(3 a n)
的 n 均有T n m总成立？若存在，求
出
32
m；若不存在，请说明理由。
F、有关数列的实际问题
例 1、用砖砌墙 ,第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块 , 第二层用去了剩下的一半多一块 , ?
依次类推 ,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块, 到第十层恰好把砖块用完，问共用
了多少块 ?
例 2、2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从 2003 年开始 , 计划每年将非绿化
面积的
8％绿化 , 由于修路和盖房等用地 , 原有绿化面积的 2％被非绿化 . 4
⑴设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为a1, 经过n 年后绿化的面积为a n ,试用
1
10
a n 表示
a
n 1 ；
⑵求数列a n 的第n 1项a n 1 ；
⑶至少需要多少年的努力 , 才能使绿化率超过 60%（参考数据 : lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）