2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{1}
B ．{0，1}
C ．{0，1，2，3}
D ．{1-，0，1，2，3}
2．（5分）已知复数13
2i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为( ) A ．1
B ．
12
C ．3-
D ．12
-
3．（5分）已知锐角α满足3
sin()2πα+=，则tan 2(α= )
A ．2-
B ．22-
C ．22
D ．2
4．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )
A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐
B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐
C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐
D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐
5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <…”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则
()log ()a g x x k =+的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（5分）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线
左支上的动点，且PQF ?周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2
B ．
4
3
C ．
32
D ．
52
8．（5分）已知51
log 2
a =，52log 2
b =，7log 3
c =，则( )
A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 以π为周期且在()2
k x k Z π
=∈处取得最大值
B ．函数()f x 以
2π为周期且在区间(,)42
ππ
单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42
ππ
单调递减
D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+
10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到
()()lny g x lnf x =g ，然后两边同时求导得
()
()()()
()
y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()
()[()]
[()()()]()
g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+g ，用此法探求1
1
(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为( )
A ．(0,)e
B ．(0,1)e -
C ．(1,)e -+∞
D ．(,)e +∞
11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序）
A ．648
B ．1728
C ．864
D ．324
12．（5分）已知等差数列{}n a 满足225
910a a +?，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A ．55 B ．20 C ．25 D ．100
二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）
13．（5分）在边长为2的正ABC ?中，D 为BC 中点，则AB AD =u u u r u u u r
g ．
14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ?的面积为 ．
15．（5分）设函数2019,0()2020,0
x e x f x x -?+=?>??，则满足2(3)(2)f x f x --?的x 取值范围是 ．
16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120?，则球O 的表面积等于 ．
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ?的面积为S ，且AB AC S =u u u r u u u r g ．
（1）求2
2sin cos 5sin 222
A A
A --的值； （2）若角A ，
B ，
C 成等差数列，||4CB CA -=u u u r u u u r
，求ABC ?的面积S ．．
18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=?，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，
M 为线段AD 中点．将ABC ?沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD
-（如图2)．
（1）求证：CD ⊥平面ABC ；
（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．
19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且
34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2
11
n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m …对一切*
n N ∈成立，求实数m 的最大值．
20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标
a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ…
则为一级；若23λ剟则为二级；若01λ剟则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果： 种植园编号
A B C
D E F
(a ，b ，)c (1，0，0) (2，2，1) (0，1，1) (2，0，2) (1，1，1) (1，1，2)
种植园编号
G
H I J K L
(a ，b ，)c (2，2，2) (0，0，1) (2，2，1) (0，2，1) (1，2，0) (0，0，2)
（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；
（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，
ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b
Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2
．
（1）求Γ的方程；
（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．
22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数．
（1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42
ππ
上单调递增，求a 的取值范围；
（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π
-内存在唯一极大值点．
2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{1}
B ．{0，1}
C ．{0，1，2，3}
D ．{1-，0，1，2，3}
【解答】解：{1A =Q ，2，3}，{|12B x x =-<<，}{0x Z ∈=，1}， {1}A B ∴=I ．
故选：A ．
2．（5分）已知复数12ω=，i 为虚数单位，则2ω的实部为( )
A ．1
B ．
12
C ．
D ．12
-
【解答】解：由12ω=
，得221131()2442ω=+=-=-+， 2ω∴的实部为1
2
-．
故选：D ．
3．（5分）已知锐角α满足sin()2πα+，则tan 2(α= )
A ．
B ．-
C ．D
【解答】解：Q 锐角α满足sin()2πα+=，
cos α∴=
sin α==，sin tan cos α
αα
==，
22tan tan 21tan α
αα
∴==--
故选：B ．
4．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )
A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐
B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐
C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐
D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 【解答】解：通过茎叶图数据可知： 甲品种的平均高度为：19202123252937333231
2710x +++++++++==甲，
乙品种的平均高度为：10141026273044464647
3010
x +++++++++=
=乙，
所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，
但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右， 故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐． 故选：D ．
5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：圆222:(0)C x y r r +=>，直线:2l x =，C 上恰有两个不同的点到l 的离为1，则13r <<．
∴ “13r
故选：C ．
6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则
()log ()a g x x k =+的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：Q 函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上是奇函数，
(0)0f ∴=
2k ∴=，
又()x x f x a a -=-Q 为减函数， 所以10a >>， 所以()log (2)a g x x =+ 定义域为2x >-，且递减， 故选：A ．
7．（5分）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线
左支上的动点，且PQF ?周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2
B ．
4
3
C ．
32
D ．
52
【解答】解：双曲线的右焦点为(4,0)F ，4c =，
点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ?周长的最小值为16， 因为P 在双曲线上，所以||2||PF a PF =+'， 则||||||||2||29PQ PF PQ PF a QF a +=+++=…， 因为(0,3)Q ，(4,0)F ，
所以||5QF =，则24a =，即2a =， 所以双曲线的离心率为：2e =． 故选：A ．
8．（5分）已知
1
2
a =，52log
b =，7log 3
c =，则( )
A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
【解答】解：55
1
log 32log log 22a b ==>=Q ，
5512log log 22
b log ==<=，
71log 32
c log =>，
57
1
log 3log 32a c ==>=，
a c
b ∴>>．
故选：A ．
9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 以π为周期且在()2
k x k Z π
=∈处取得最大值
B ．函数()f x 以
2π为周期且在区间(,)42
ππ
单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42
ππ
单调递减
D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【解答】解：22()|cos sin |1|cos2|1f x x x x =-+=+，
()f x ∴的周期为
2π，且在(,)42
ππ
上单调递增，B ∴正确， 将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(22)|1g x x =-+，D ∴错误． 故选：B ．
10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到
()()lny g x lnf x =g ，然后两边同时求导得
()
()()()
()
y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()
()[()]
[()()()]()
g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+g ，用此法探求1
1
(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为( )
A ．(0,)e
B ．(0,1)e -
C ．(1,)e -+∞
D ．(,)e +∞
【解答】解：因为11
(1)(0)x y x x +=+>，
所以11
(1)
(1)
1
x ln x lny ln x x ++=+=
+，
两边同时求导可得，
2
1(1)
(1)y ln x y x '-+=
+， 则1
1
2
1(1)(1)(1)x ln x y x x +-+'=
++g ， 令0y '<可得(1)1ln x +>， 解可得，1x e >-，
故函数的单调递减区间为(1,)e -+∞． 故选：C ．
11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648
B ．1728
C ．864
D ．324
【解答】解：先对六科进行分组，共有22
22
6434
22
27C C C C A -=种，再把这四组分到四个半天共有4424A =种分法，
由分步乘法计数原理得，此次考试不同安排方案的种数2724648?=， 故选：A ．
12．（5分）已知等差数列{}n a 满足225
910a a +?，则12345a a a a a ++++的最大值为( )
A ．
B ．20
C ．25
D ．100
【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由22
5
910a a +?， 得2233(2)(6)10a d a d +++?， 即223320850d a d a ++-?；
由△2233(8)420(5)0a a =-??-…
， 化简得2325a ?， 解得355a -剟，
所以123453525a a a a a a ++++=?，
即12345a a a a a ++++的最大值为25． 故选：C ．
二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）
13．（5分）在边长为2的正ABC ?中，D 为BC 中点，则AB AD =u u u
r u u u r
g 3 ．
【解答】解：如图，Q 边长为2的正ABC ?中，D 为BC 中点，3AD ∴=，30BAD ∠=?．
∴3
cos30233AB AD AB AD =?=??
=u u u r u u u r
g g g ． 故答案为：3．
14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ?的面积为 10 ．
【解答】解：抛物线24y x =中2p =，设0(P x ，0)y ，则0||2
p PM x =+，即051x =+，得04x =，所以04y =±，所以01
||||102
PFM S PM y ?==． 故答案为：10．
15．（5分）设函数2019,0()2020,0
x e x f x x -?+=?>??，则满足2(3)(2)f x f x --?的x 取值范围是
(,3][1,)-∞-+∞U ．
【解答】解：当0x ?时，1
()2019()2019x x f x e e -=+=+，
此时()f x 单调递减，∴01
()(0)()20192020f x f e
=+=…，
∴当2(3)(2)f x f x --?时，2220
3032x x x x -??
-??--?
??…或22030x x -??->?
?或22030x x -??-?……，
∴13x 剟3x >3x ?，
x
∴的取值范围为(,3][1,)
-∞-+∞
U．
故答案为：(,3][1,)
-∞-+∞
U．
16．（5分）已知直线m与球O有且只有一个公共点，从直线m出发的两个半平面α、β截球O所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m
αβ
--的平面角为120?，则球O的表面积等于
112
3
π．
【解答】解：过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，如图
设球的半径为r，作OE QP
⊥，OF PM
⊥，则1
EP=，2
PF=，
设OPEα
∠=，
2
3
OPF
π
α
∠=-，
所以
cos1
22
cos()
3
r
r
α
π
α
=
-
，
即sin33cos
αα
=，22
sin cos1
αα
+=解得
2
1
cos
28
α=
所以2
28
3
r=；
所以球的表面积为：2
28112
44
33
r
πππ
=?=．
故答案为
112
3
π
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知ABC
?的面积为S，且AB AC S
=
u u u r u u u r
g．
（1）求22
sin cos52
22
A A
A
-的值；
（2）若角A，B，C成等差数列，||4
CB CA
-=
u u u r u u u r
，求ABC
?的面积S．．
【解答】解：（1）Q
cos
1
sin
2
AB AC bc A S
S bc A
?==
?
?
=
?
?
u u u r u u u r
g
．∴
1
cos sin
2
bc A bc A
=．
sin 2cos 0A A ∴=>．可得A 为锐角，
结合22sin cos 1A A +=，可得5cos A =，25sin A =． 则2
25
sin cos 5sin 2cos 52sin cos 522A A A A A A --=--?=--=- （2）Q 角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，3A B C B π∴++==，可得060B =． 251532515
sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B +=+=+=
?+?=
． 由正弦定理可得
sin sin b c
B C =
?sin 203sin 2515
c B b C ==+g ． ABC ?的面积1120325
sin 432348222515S bc A ==?
??=-+． 18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=?，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，
M 为线段AD 中点．将ABC ?沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD
-（如图2)．
（1）求证：CD ⊥平面ABC ；
（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．
【解答】解：（1）由90ABC ∠=?，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==， 所以42AC =42CD =，8AD =， 所以222AD CD AC =+，CD AC ⊥，
又平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ?平面ACD AC =， 所以CD ⊥平面ABC ；
（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点， 以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则(0A ，22-0)，(0B ，0，22)，(0C ，20)，(22M 0，0)，
所以(0CB =u u u r ，22-，22)
，(22CM =u u u u r ，22-，0)，(0BA =u u u r
，22-，22)-，
设平面BCM 的法向量为(,,)m x y z =r
，
2222022220m CB y z m CM x y ?=-+=??=-=??u u u r r g
u u u u
r r g
，得(1,1,1)m =r ， 所以|2222|26sin |cos ,|433
m BA θ--=<>===u u u r r g ．
19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2
1
1
n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m …对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．
【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+， 可得1n =时，112a S ==，
2n …时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，对1n =也成立，
则2n a n =，*n N ∈；
等比数列{}n b 的公比(1)q q >，由34528b b b ++=，可得23411128b q b q b q ++=， 由42b +是3b 和5b 的等差中项，可得43542(2)28b b b b +=+=-，即3418b b q ==， 解得11b =，2q =，
则12n n b -=，*n N ∈； （2）111
2
2111111222()141(21)(21)22121
n n n n n n c b a n n n n n ---=+
=+=+=+----+-+， 1
111111121111
(122)(1)(1)22335212112221242
n n n n T n n n n --=++?++-+-+?++-=+-=--
-+-++， 由11{2}242n n -
-+为自然数集上的增函数，可得1n =时，112242n n --
+取得最小值4
3
， 若2n T m …对一切*n N ∈成立，可得8
3
m ?， 则实数m 的最大值为83
．
20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标
a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ…
则为一级；若23λ剟则为二级；若01λ剟则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：
（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；
（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，
ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）计算12块种植地的综合指标，如下表所示： 由表可知，等级为一级的有5个，其频率为
5
12
，
用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的石榴种植园的数量为5
1205012
?
=． （2）所取样本中二级和三级石榴种植园共有527+
=块，三级石榴种植园有2块，则ξ的所有可能取值为0，1，2，
02252
710
(0)21
C C P C ξ===； 11252710
(1)21
C C P C ξ===；
2025271
(2)21
C C P C ξ===．
所以随机变量ξ的分布列如表所示： ξ 0
1
2
P
1021 1021 121
数学期望101014
()0122121217
E ξ=?
+?+?=． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b
Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2
2．
（1）求Γ的方程；
（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．
【解答】解：（1）由题意，22
22
2
1
112a b c a a b c ?+=??
?=??=+???
，解得223
3,2a b ==．
∴椭圆Γ的方程为22
2133
x y +=；
（2）Q 菱形ABCD 内接于椭圆Γ，
由对称性可设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．
联立22123x y y k x
?+=??=??，得方程221(21)30k x +-=，
∴222
1
321
A C x x k ==
+，
||||OA OC ∴==．
同理，||||OB OD ==
又AC BD ⊥Q
，||||OB OD ∴==10k ≠． 从而菱形ABCD 的面积S 为：
2||||S OA OB ==g
整理得4S =，其中10k ≠．
当且仅当
11
1
k k =时取“=”
， ∴当11k =或11k =-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为4．
22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42
ππ
上单调递增，求a 的取值范围；
（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π
-内存在唯一极大值点．
【解答】解：（1）当2a =，2
()cos 1
f x x x '=-
+，(0)1f '=-，又(0)0f =， 所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=； （2）由()cos 01
a f x x x '=-+…， 所以(1)cos a x x +?，
令()(1)cos h x x x =+，[,]42
x ππ
∈，则()cos (1)sin h x x x x '=-+，
因为cos x ?
(1)sin )4x x π++>，所以()0h x '<， ()h x 在[,]42ππ递减，所以()()02
h x h π
=…，0a ?；
（3）因为()cos 1
a
f x x x '=-+， 令()cos 1
a
g x x x =-
+，x ∈，2()sin (1)a g x x x '=-++，
显然()g x '单调递减，又20(1)2
a π
<<+，
得2()102(1)2
a
g ππ'=-+
<+，
取01x =
-
，则000()sin 4sin 0g x x x '=-+=->，
故存在(1,)2
m π
∈-，使得()0g m '=，
(1x ∈-，)()m g x 单调递增，(,)2
x m π
∈单调递减，
m 为()g x 的唯一极大值点，故命题成立．
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) (2)若a 实数，且 =+=++a i i ai 则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700 260025002400210020001900 ) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 （4）已知向量=?+-=-=则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和， 的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 6 1 D. 51 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ?外接圆的 圆心到原点的距离为
A. 35 B. 321 C. 3 5 2 D. 34 (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执 行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列{}=-== 24531),1(4,41 a a a a a a n 则满足 C A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 81 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记 的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠ x P O D C B A
2015年安徽省高考数学试卷（理科） 一.选择题（每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的）1．（5分）设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．（5分）下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（） A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1 3．（5分）设p:1＜x＜2,q:2x＞1,则p是q成立的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1 5．（5分）已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是（） A．若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B．若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C．若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D．若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 6．（5分）若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为（） A．8 B．15 C．16 D．32 7．（5分）一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（）
A．1+B．2+C．1+2D．2 8．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 9．（5分）函数f（x）=的图象如图所示,则下列结论成立的是（） A．a＞0,b＞0,c＜0 B．a＜0,b＞0,c＞0 C．a＜0,b＞0,c＜0 D．a＜0,b＜0,c＜0 10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A,ω,φ均为正的常数）的最小正周期为π,当x=时,函数f（x）取得最小值,则下列结论正确的是（） A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2） 二.填空题（每小题5分,共25分） 11．（5分）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
（5）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是 （A ）（ （B ）（ （C ）（3-，3 ） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈
2015年高考文科数学试卷全国卷2（解析版） 1．已知集合{}|12A x x =-<<, {} |03B x x =<<,则A B =（ ） A ． ()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A 【解析】 因为 {}|12A x x =-<<, {} |03B x x =<<,所以 {}|13. A B x x =-<<故选A. 考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．若为a 实数,且2i 3i 1i a +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】由题意可得 ()()2i 1i 3i 24i 4 a a +=++=+?= ,故选D. 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ） A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D. 考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．已知 ()1,1=-a , () 1,2=-b ,则(2)+?=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意可得2 112=+=a ,123,?=--=-a b 所 以
2015年高考理科数学试卷全国1卷 1．设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 3．设命题p ：2 ,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈ 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（ （B ）（ （C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =- + （B ）1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC = + （D ）4133 AD AB AC =-
2015年省高考数学试卷（理科） 一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015?）设i是虚数单位，则复数在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．（5分）（2015?）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1 3．（5分）（2015?）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）（2015?）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（） A． x2﹣=1 B． ﹣y2=1 C． ﹣x2=1 D． y2﹣=1 5．（5分）（2015?）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（） A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 6．（5分）（2015?）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（） A．8B．15 C．16 D．32 7．（5分）（2015?）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
A．1+B．2+C．1+2D．2 8．（5分）（2015?）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A． ||=1 B． ⊥ C． ?=1 D．（4+）⊥ 9．（5分）（2015?）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 10．（5分）（2015?）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（） A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f （﹣2） C．f（﹣2）＜f（0） ＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f （﹣2） 二.填空题（每小题5分，共25分）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）3 （B 3 （C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n
【答案】C 【解析】 试题分析：p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C. 考点：特称命题的否定 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦 点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223- ，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程