关于行程问题 一、为什么小学生行程问题普遍学不好？ 1 、行程问题的题型多，综合变化多。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综合起来考察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船中的相遇追及问题要注意跟水速无关等等。 2 、行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数线段问题，学生掌握了方法，依葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理解了，就能容易做出来。行程问题难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运动，整个过程来回跑。学生对文字题描述的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的学生会用手指，用橡皮模拟，转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别说找出解题所需要的数量关系了。 二、行程问题“九大题型”与“五大方法” 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。 1 、九大题型： ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。 2、五大方法： ⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相 遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps ：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！ ⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps ：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。 ⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸ 方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps ：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 ⑹假设法：在速度发生变化、或提前（晚）出发等数值发生变化的的行程问题中，假设速度没变或时间统一，往往非常起到意想不到的效果，极其有利于解决行程问题。 三、怎样才能学好行程问题？ 因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界：第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。
第十讲：行程问题分类例析 主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用 (如环形跑道). 相遇问题是相向而行 .相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢 快S S S .顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆 流. 一、相遇问题例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往 B 地，每小时行 72km ；甲车出发25分 钟后，乙车从 B 地出发开往 A 地，每小时行使 48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行 使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了 xh ，则乙车行使了 h x )(60 25.（如图1） 依题意，有72x+48)(6025x =360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体 会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行 ,在静风中的速度 是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回 ? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速逆风中的速度=静风中速度-风速解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有 6 425 57525 575.x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出 1320km 就应返回. 解法二:设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出 1320km 就应返回. 图1
小升初之行程问题的解法---比例法 根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按 12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有1 8道是行程问题），分值为21分。行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。 小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因： 一、行程分类较细，变化较多。 行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问 题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。 二、要求对动态过程进行演绎和推理。 行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。 三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。 很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。 因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解 题关键点。 下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识： 速度一定，时间和路程成正比； 时间一定，速度和路程成正比； 路程一定，速度和时间成反比。 分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 能用比例法解决的行程问题的特点： 能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比
例1:甲、乙两车的速度比是4: 7,两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 边讲边练： 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5,相遇时距中点12千米，AB 两地相距多少千米？ 例2:两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的3。求两城之间的距离。 边讲边练： 1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。AB两地相距多少千米？（420） 2、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 例3:甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3,甲车行完全程需多少小时？
综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧 教学目标： 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点； 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”； 4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题． 知识精讲： 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过 的路程之比就等于他们的速度之比。 s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙 ，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体 所用的时间之比等于他们速度的反比。 s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙 ，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次
行程问题解题技巧 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公
行程问题“九大题型”与“五大方法”。 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。 1、九大题型： ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题； ⑻接送问题；⑼时钟问题。 2 、五大方法： ⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！ ⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等) 往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。
⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 四、怎样才能学好行程问题？ 因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界： 第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。 第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。 第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。 其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到），能够达到第三种境界的学生考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则要求学生达到第四种境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学习行程的四个阶段，或者说是好的方法。
奥数行程问题 一、多人行程的要点及解题技巧 行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”： 这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t) 三个关系： 1.简单行程：路程=速度×时间 2.相遇问题：路程和=速度和×时间 3.追击问题：路程差=速度差×时间 牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。 如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程” 例：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？ 分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米） 第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟） 第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程 所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米） 我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。 总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！ 二、奥数行程：追及问题的要点及解题技巧 1、多人相遇追及问题的概念及公式 多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 2、多次相遇追及问题的解题思路
比较复杂的行程问题 多人行程例题 多人行程这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。 例1.甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回。在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？ 例2.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 例3、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前来迎接，每小时比李华多走1.2千米，又经过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：张明每小时行驶多少千米？
例4：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？ 例5、AB两地相距30千米，甲乙丙三人同时从A到B，而且要求同时到达。现在有两辆自行车，但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已知骑自行车的平均速度为每小时20千米，甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙每小时4千米，那么三人需要多少小时可以同时到达？ 例6、有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？
第五讲较复杂行程问题 知识要点： 复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系：路程、速度和时间。只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动，有时是运动过程中出现多次相遇。它常用的基本数量关系式是：速度×时间=路程。但有时运动过程中多次相遇时，可根据运动物体行驶的路程关系，灵活运用比例来解答。 人在环形路上行走，计算行走距离常常与环形路的周长有关。 ①从同一地点背向而行 速度和×相遇时间=环形跑道的周长 ②从同一地点同向而行 速度差×追及时间=环形跑道的周长 例题： 例1.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。 求甲追上乙需多少时间？ 思路提示：先求出甲、乙两人不停地跑，甲追上乙的时间，再求甲跑完500米，一共停留了几次，共停留时间。 例2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？ 思路提示：先求出小明和爸爸的速度比，观察图可知，爸爸从8点16分到第一次追上小明。爸爸共走的路，就可求出这段时间小明走了的路，继而求出小明在前8分钟走的路，小明的速度，及走8千米用的时间。
例3. 甲用40秒钟跑完跑道一圈。乙反向跑，每15秒钟与甲相遇一次。问乙跑一圈要几秒钟？ 思路提示：甲乙两人可看成从圆圈上同一地点，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根据甲跑一圈的时间可求甲速，继而可求乙速（用工程问题思维解题）。 例4. 甲、乙、丙三人跑步锻炼，都从A 地同时出发，分别跑到B 、C 、D 三地，然后立即往回 跑，跑回A 地再分别跑到B 、C 、D ，再立刻跑回A 地，这样不停地来回跑，B 与A 相距10 1千米，C 与A 相距 81千米，D 与A 相距16 3千米。甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。问：若这样来回跑，三人第一次同时回到出发点需用多少小时？ 思路提示：分别求出甲、乙、丙往返一次的时间，然后求出他们所用时间的最小公倍数，就可以求出同时回到出发点的时间。 例5.李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行 去公司，路上遇到按时来接他的车，他乘车去公司，结果比平时早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车？汽车速度是步行速度的几倍？ 思路提示：如图，A 点代表家，B 点代表公司，设李经理在C 点上车，从图中看出，汽车比平时 少行两个AC ，知汽车行一个AC 的时间：5÷2=2.5（分钟），汽车比平时早2.5分钟接到李经理， 即可解决问题。
一、行程问题学习方法综述 1. 学习行程问题时有哪些坏毛病会阻碍你进步？ （1）不画线段图学习行程问题最重要的当属画图！很多同学不喜欢画图、没习惯画图，甚至懒得画图，这是阻碍一个人学习行程问题最普遍的问题。很多同学在处理行程问题时，往往是简单题目不屑于画，难题却又不会画，结果学了半天也没有机会用上线段图，而这恰恰是行程问题的基本功。试想一下，连线段图都不去用，怎么可能学好行程问题？！ 那么为什么很多同学在画图时，感觉难以下笔、不知所措呢？这就涉及到了下一个问题。 （2）缺乏对机械运动的想象力行程问题无一例外都是考察一系列物体的机械运动，因此对整个运动过程的想象和把握就显得格外重要。在读题过程中，很多人仅仅只是把题目像流水账一样的过目一遍，很少有在脑子里想象运动场景的习惯，即使会去想象的，也往往没怎么想清楚就草草了事。这样一来，看似读了半天题，其实也还是一头雾水。就凭这样的读题效果，怎么可能下手画图？就算画出来，也不是线段图，而是"鬼画符"！ 相反，有想象力的人在读题时，往往能像放电影一样在脑子里想象整个行程过程，在读完题目后就对整个行程过程有了一个大致的把握，再下手画图自然能组织好图形的结构，画得比较到位。 机械运动想象力的重要性从另一个侧面也体现得很明显，通常男生做行程问题要比女生强，其实就在于男生对于机械运动的兴致高于女生。平常喜欢的车、船、炮、球等等事物都和机械运动有关，因此男孩子在处理行程问题时会比女孩子更能想象。从某种程度上说，男孩子对机械运动的想象力是在平时生活中"玩"儿出来的，而至于女孩子，那就必须加强在机械运动方面的想象力才行。 （3）缺乏耐性很多同学在面对过程有点儿复杂的行程问题时，不是静下心来好好想，而是满脑子只想尽快把问题搞定。为了能尽快解决问题，稀里糊涂地在那里乱凑一通——这样的解题习惯极具破坏性。不仅破坏了自己的解题品味，也破坏自己的做事习惯。无论从学习数学的角度讲，还是从学习做事的角度讲都是百害而无一利。 （4）缺乏勇气由于在行程问题的学习上屡遭挫败，很多同学已经认定自己在行程问题上不可能有所作为。只要一遇到行程问题，主观上就在退却，结果明明能做的题目也给放弃了。经常听有人在感慨："早知道这道行程问题那么简单，我就多想想了。"正是由于缺乏面对问题的勇气，才使得很多得分机会与自己失之交臂。可以说，克服对行程问题的恐惧是攻克行程问题这座堡垒必须迈出的第一步！ 2. 如何学好行程问题 （1）鼓起勇气，树立信心要想学好行程问题，首先得相信自己能学好！行程问题不是尝试着学一下，看能不能学好的问题，而是必须学好的问题！它太重要了，如果你没有信心和勇气攻克它，就意味着你的小升初已经输掉了一半。难道你愿意接受自己作为半个失败者吗？！如果不愿意，那就鼓起勇气，相信自己能行！ 行程问题由不得你对自己没信心！一定要勇敢些，不要怕！
8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1 2 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+ 12＝3 2 圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为3 2 圈，所以此圆形场地的周长为480米． 行程问题分类例析 河北 欧阳庆红 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程.
解答：设甲车共行使了xh ，则乙车行使了h x )(60 25 - .（如图1） 依题意，有72x+48)(60 25 - x =360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有 6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有645752.=x ,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是 )/(h km v v v v v x v x x 574550 600550 600222≈+??= +?=+逆 顺逆顺逆 顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km ，甲、乙两人的速度分别为21 km/h 、14 km/h. (1) 如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇? (2) 如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的行程问题. 解答:(1)设经过xh 两人首次相遇. 依题意,得(21+14)x=42, 解得:x=1.2. 因此,经过1.2小时两人首次相遇. (3) 设经过xh 两人第二次相遇. 依题意,得21x-14x=42× 2, 图1
第五讲行程问题中的追及问题（） 要点：有两个人同时同方向行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的人在前，走得快的人过了一段时间就能追上他，这就产生了追及问题。走得慢的人 在走得快的人的前面的距离，就是走得快的人要追及的距离，被称为追及距离。速度差×追及时间=追及距离追及距离÷速度差=追及时间追及距离÷追及时间=速度差 这类问题的规律是：追赶者所用的时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。 例一:一辆面包车的速度是每小时60千米，在面包车开出30分钟后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿同一行驶路线去追赶面包车，多长时间能赶上？ 分析：小轿车出发时，面包车已经行驶了30分钟。这段路程就是小轿车要追及的距离，而 小轿车和面包车的速度都知道，可以求出速度差，追及距离÷速度差=追及时间 1、姐姐步行的速度是每分75米，妹妹步行的速度是每分65米。在妹妹出发20分钟后， 姐姐出发沿同一条路线去追赶妹妹。问多长时间能追上？ 2、一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行18 千米，摩托车每小时行45千米。自行车先出发1.5小时，摩托车沿同一条路线去追赶自行车，追上自行车时，摩托车行了多少千米？ 3、甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，每小时行35千米。 途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。两地间的路程是 多少千米？ 4、红星小学组织学生步行去郊游，步行的速度是每分钟60米，队尾的老师以每分150米 的速度赶到排头，然后立即返回共用了10分钟，求队伍的长度。
5、一辆卡车以每小时30千米的速度从A地开往B地，出发1小时后，一辆轿车以每小时 50千米的速度也从A地开往B地，比卡车早半小时到达B地，求A、B两地的路程。 6、兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹相遇，他们家离学校 多远？ 7、小红每分钟走80米，小英每分钟走60米，两人在同一地点同时相背而行，走了3 分钟后，小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？ 8、好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？ 9、一架飞机从甲地飞往乙地，原计划每分钟行9千米，现在按每分钟12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 10、一支队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一个战士因事需从排尾赶到排头，并 立即返回排尾。如果他的速度是每秒3米，那么这位战士往返共需要多少时间？ 11、当甲在60米赛跑中冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米.如果乙和丙按原来 的速度继续冲向终点，那乙到终点时将比丙领先多少米？
第七讲行程问题（一） 今天，我说课的课题是：xx教育内部教材六年级《行程问题》。 一、首先我们来进行教材分析。 本节课的主要内容有：让学生理解并掌握路程、速度和时间三者之间的联系，正确的分析出题目中的数量关系；判断出题目是属于哪类行程问题，利用线段图求出对应时间、速度或者AB两地之间的距离，本节课贯穿了行程问题以后的整个教学，是学生进一步顺利掌握解答行程问题的基础，是行程问题领域的基础知识，是小升初考试的必考知识点。 二、学生分析（说学情） 从认知状况来说，学生在此之前已经学习了简单的相遇问题，会根据路程和速度，求出相遇时间，对于行程问题已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于较为复杂的行程问题的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应引导学生发现问题，解决问题。 三、教学目标 1、教学目标： 知识目标： 1、使学生理解相遇问题的意义，正确的分析出相遇问题中的路程、速度和时间之间的数量关系。 2、能借助线段图数形结合来理解题意，说出解题步骤，并灵活运用各种方法解答应用题。能力目标： 1、通过讲练结合，培养学生逻辑思维能力、解决问题的能力。 2、通过设置问题情境，提高学生分析和解决问题的能力。 情感目标： 1、培养学生认真、细致的学习态度。 2、通过发现问题、解决问题的过程，培养学生合作精神，增强学生的求知欲。 2、教学重点： 学会分析、解答相遇问题的策略，灵活运用各种方法解答相遇问题。 教学难点： 相遇问题的数量关系的理解和解题思路的分析。 四、教具、学具准备： 为实现以上教学目标，突出重点，解决难点，充分发挥现代技术的作用，本节课运用多媒体辅助教学，为学生提供生动、形象、直观的材料，激发学生学习的积极性和主动性。五、教法和学法分析 教法： 1、范例、结合引导探索的方法，例题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现出让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念，激发学生的学习兴趣。 2、教师精讲、学生多练，体现了以学生为主体、教师为主导的教学原则。 学法： 1、主动学习法：举出例子，提出问题，让学生在获得感性认识的同时，教师层层深入，启发学生积极思维，主动探索知识，培养学生思维想象的综合能力。 2、反馈补救法：在练习中，注意观察学生对学习的反馈情况，以实现“培优补差，满足不同的需求。” 六、教学过程（说过程） 我将本节课分为三个部分。用约3分钟时间进行导入部分，主要是复习和引入新课。用约10分钟时间进行正体部分。主要是通过讲练结合的方式完成前三道例题的学习。最后，用
小升初数学冲刺---较复杂的行程问题 基础达标 1.一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行52千米，经过3.5小时两车相遇。求两地之间的距离。 2.两列火车相对行驶，在两地间的中点相遇，甲车每小时行76千米，相遇是行了5小时。乙车每小时行95千米，他比甲车迟出发了几小时？ 3.甲、乙二人在一个长400米的环形跑道上从同一点，同时反向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走35米。多少分钟后两人第一次相遇？ 4.同一条公路上依次排列着A、B、C、D四个车站，B、C两站相距32千米，从B站开出一辆客车，开向A站，每小时行48千米，同时从C站开出一辆货车开向D站，每小时行45千米。经过2小时后，两车相距多少千米？ 5.兄妹两人由家到学校，妹妹步行每分钟走45米，哥哥骑车每分钟行195米。妹妹走20分钟后，哥哥骑车离家，几分钟后追上妹妹？ 6.客、货车两车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，如果两车都按原定速度行驶，那么4小时相遇；现在两车都比原计划每小时少走15千米，结果5小时相遇。甲乙两地相距多少千米？ 能力达标 1.甲、乙两车同时从两地相向而行，甲每小时行83千米，乙每小时95千米，两车在距中点24千米处相遇。求两地间的距离。 2.甲、乙两人骑自行车同时从东、西两地相向而行，经过8小时相遇。如果甲每小时少行1千米，乙每小时多行3千米，这样经过7小时就能相遇。东、西两地相距是多少千米？ 3.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，40分钟后相遇。相遇后以原速继续前进，乙车又经过5分钟到达A，B两地之间的中点。甲车行完全程共需要多少分钟？ 4.甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地相向而行。第一次两车在距B地7千米处相遇。相遇后，两车继续向前行驶，当两车到达目的地后立即返回，返回时在距离A地4千米处相遇。A，B两地相距多少千米？ 5.甲、乙、丙三个小分队都从A地到B地进行野外训练，上午6时，甲、乙两个小队一起从A地出发，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，丙队上午8时才从A地出发，傍晚6时甲、丙两队同时到达B地。那么丙队追上乙队的时间是上午几时？ 6.王明从A城步行到B城，同时刘洋从B城骑车到A城，1.2小时后两人相遇。相遇后继续前进，刘洋到A城立即返回，在第一次相遇后45分钟又追上了王明，两人再继续前进，当刘洋到达B城后立即返回。两人第二次相遇后多长时间第三次相遇？ 趣题荟萃 1.快、慢两车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。两车分别用了6分钟、10分钟追上骑车人。已知快车每分钟行400米，慢车每分钟行320米。骑车人每分钟行多少米？ 2.两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距中点东侧9千米处相遇。。两站相距多少千米？ 3.甲、乙二人同时从某地出发驾车行驶，甲每天行100千米，乙第一天行70千米，以后每天比前一天多行3千米。乙出发后第几天追上甲？
一、甲、乙两地相距1800千米，一列快车和一列慢车同时从两地开出，相向而行，15小时相遇。已知快车每小时比慢车多行10千米，慢车每小时行多少千米？ 二、大、小两辆汽车同时从甲地开往乙地，小车行4.5小时到达乙地后立即原路返回，在离乙地31.5千米处与大车相遇，已知小车每小时比大车多行12千米，求小车每小时行多少千米？ 三、甲、乙两车从相距737千米的东西两市同时相向而行，甲车每小时行75千米，乙车比甲车每小时慢10千米，途中甲车修车用1小时，两车从出发到相遇用了多少小时？ 四、甲、乙两船从大连开往青岛。甲船每小时行60千米，乙船每小时行80千米。甲船开出1小时后乙船才出发，乙船经过几小时才追上甲船？ 五、甲、乙两运动员练习长跑，同时同地绕环形跑道同
向出发，甲每分跑120米，乙每分钟跑100米，已知甲第一次追上乙时用了20分钟，求跑道的一圈长多少米？ 六、一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒。这列火车每秒行多少米？ 七、甲火车200米长，以每秒25米的速度行驶，车上一人向窗外看风景，对面驶过180米长的乙火车，已知4秒后此人又看到风景，乙火车每秒行多少米？ 八、一只船在一条河中顺水用了6小时行了108千米到达目的地，返回原处用了9小时，水流速度是多少？ 九、两地相距240千米，一艘慢船顺水用4小时，返回时用6小时，一艘快船顺水航行用3小时，返回时用多少小时？ 十、甲、乙两辆旅游车同时从东、西两个景点出发，相
向而行，20分钟相遇，相遇后，甲车继续行驶15分钟到达西面景点。乙车每分钟行2400米。东、西两个景点之间的公路长多少米？ 十一、小明从爷爷家出来2小时后，爸爸从相距24千米的家里出来接小明，又经过2.25小时相遇；如果爸爸从家里出发2小时后，小明再从爷爷家回来，又经过1.75小时相遇。小明和爸爸的速度各是多少？ 十二、李顺、李利结伴去春游，每分钟走50米，出发12分钟时，李顺回家取照相机，然后骑自行车以每分钟200米的速度赶李利。骑车多少分钟追上？ 十三、小明坐在公共汽车上看到姐姐向相反的方向走，90秒后小明下车向姐姐追去。如果他的速度比姐姐快1倍，汽车速度是小明步行的5倍。小明多长时间追上姐姐？ 1、甲、乙两人从两地同时相向而行，5小时相遇，如果两人每小时都多行5
较复杂的行程问题 例1：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？ 例2：两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相遇。此时他们距十字路口多少米？ 例3：猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？ 例4：小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。
例5: 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。 例6: 张三、李四、王五骑自行车都从甲地到乙地，上午8时张三、李四两人一起先从甲地出发，张三每小时行9千米，李四每小时行8千米，王五上午9时才从甲地出发，中午12时张三与王五同时到达乙地；那么王五追上李四的时间(时刻)是？ 例7: 小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？
例8：沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分钟走90米，乙每分钟走70米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？ 例9：小刘从A地翻过山顶到B地一共行了6千米，用了2.4小时。他上山速度为2千米每小时，下山速度为3千米每小时。用不变的上山、下山速度由B地返回A地要用多少小时？ 例10：体育课上小快和小慢进行100米赛跑，当小快跑完100米时，小慢离终点10米；第二次，他们以原来的速度重新来过，
四年级第18讲行程问题二 兴趣篇 1.小高站在火车轨道旁,一辆长200米的火车以每秒钟10米的速度开过.请问:火车从他身边经过需要多少秒? 2.(1)王老师沿着一条与铁路平行的公路散步,每分钟走60米,迎面开过来一列长300米的火车.从火车头与王老师相遇到火车尾离开他共用了20秒,求火车的速度. (2)萱萱沿着一条与铁路平行的公路散步,她散步的速度是每秒2米.这时从萱萱的背后开来一列火车,从车头追上她到车尾离开她共用了18秒.已知火车的速度是每秒17米,求火车的长度. 3.(1)一列火车长180米,每秒行20米,这列火车通过320米的大桥,需要多长时间? (2)一列火车以每秒20的速度通过一座长200米的大桥,共用21秒,这列火车长多少米? 4.一列火车长180米,每秒行20米;另一列火车长200米，每秒行18米.两车相向而行,它们从车头相遇到车尾想离要经过多长时间? 5.甲火车长370米,每秒行15米;乙火车长350米,每秒行21米.两车同向行驶,乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间? 6.许三多所在的钢七连队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进.许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?然后从队头返回队尾,又需要多长时间? 7.甲、乙两列火车相向而行,甲车每小时行48千米,乙车每小时行60千米.坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时,到车尾经过他的车窗为止共用13秒.问:乙车全长多少
米? 8.早上6:00.甲、乙两人分别从相距240千米的A、B两城同时出发同向而行,甲在前,乙在后.甲每小时行40千米,乙每小时行60千米.如果丙以每小时72千米的速度前进,同时追上甲、乙两人,丙应该在几点从B城出发? 9.有甲、乙、丙三人,甲每分钟走40米,乙每分钟走50米,丙每分钟走60米.A、B两地相距2700米.甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行,他们出发15分钟后,丙从B地出发去追赶乙.请问:甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?又过了多少分钟丙才追上乙? 10.东西两城相距75千米,小明从东向西走,每小时走6.5千米;小强从西向东走,每小时走6千米;小辉骑自行车从东向西走,每小时行15千米.三人同时动身,途中小辉遇见小强即折回向东骑,遇见小明又折回向西骑,再遇见小强又折回向东骑……这样往返,直到三人在途中相遇为止.请问:小辉共骑了多少千米? 拓展篇 1.(1)一列火车长400米,以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道,需要多长时间? (2)一列火车长720米,每秒行驶15米,全车通过一个山洞用了64秒.这个山洞多少米? 2.一列火车通过一座长1000米的桥,从火车车头上桥,到车尾离开桥共用120秒,而火车完全在桥上的时间是80秒.你知道火车有多长吗?它的速度是多少? 3.有一列客车和一列火车,客车长400米,每秒行驶20米;货车长800米,每秒行驶10米.试问:如果两车相向而行,它们从相遇到错开需要多长时间?如果两车同向而行,客车赶超货车(从追上到完全超过)需要多长时间?