拉姆齐模型
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第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）
一、问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当
gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优
消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当
gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权
衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响 c* c gold
s 低 s gold s 高 s
c 动态无效区 c
c gold
s 上升 s 下降 t
那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定
1．完全竞争市场结构
2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）
3．家庭和个人完全同质
4．忽略资本的折旧
5．暂不考虑政府行为
在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
租让资本，获取利息
提供劳动，赚取工资
购买产品，进行消费
家庭厂商
相互拥有
销售产品，获得利润
雇佣劳动，支付工资
租用资本，支付利息
三、厂商行为
沿用新古典生产函数),(AL K F Y =
根据欧拉定理，AL AL Y
K K Y Y )
(??+??=
其中，资本的边际产品为：r k f K
Y
==??)('（真实利
率）
有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y
=-=??)(')()
(（工资率）
四、家庭行为
1.一些假定和符号
总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；
资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。
2. 家庭效用函数和即期效用函数
定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：
dt H
L t C u dt H t L t C u U o t t
n o t t
e e )0()]([)()]
([)(??∞=--∞
=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(?u 为即期效用
函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
注意：)]([t C u e t
ρ-表示将第t 期的消费的效用按照ρ贴
现
到
第
期
，
即
t t t e C u C u t C u ρρ)]0([)1)](0([lim )]([=+=∞
→，
。 即期效用函数的形式为：
θ
θ
-=-1)()]([1t C t C u ，0>θ，0)1(>---g n θρ
该函数具有以下三个特点：
（1）
边际效用弹性不变，为θ-。
定义边际效用弹性θξ-=-=-
='
''''u C
u u C dC du 。 （2）跨期替代弹性不变，为1/θ，表示相对风险回避系数不变。
【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：
)
2/1/()2/1()2/1(/)2/1(P P C C P P d C C d -=σ
由消费者均衡条件得：λ==2
1
)2(')1('P P C u C u
代入得，2
/1)
2('/)1(')]2('/)1('[)2/1(C C C u C u C u C u d C C d -
=σ
其中，MRS C u C u =)2('/)1('（边际替代率） 图解： C2
MRS
C1
可见，2
/1)
2/1(C C C C d 是射线比率的变化率，)2('/)1(')]2('/)1('[C u C u C u C u d 是切
线斜率的变化率。
令时间1趋近于2，得到瞬时弹性C
C u C u )('')
('-
=σ（常数相对风险
回避系数）
根据θ
θ
-=-1)()]([1t C t C u 有：
θ-=C C u )('，1)(''---=θθC C u ，则θσ/1=
例如：一个两期的效用函数为
θ
ρθθθ-++
-=--111112
11C C U ，可以证明θσ/1=（思考：为什么？）。
常数替代弹性意味着与C 无关，因此在消费选择上没有不确定性。但θ决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，θ越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。
（3）边际效用)('C u 为正；当θ<1时，边际效用随C 增加而增加，当θ>1时，边际效用随C 增加而减少。
（4）0)1(>---g n θρ是为保证效用不发散（受到
约束）。
3．考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数 考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：
gt e A t A )0()(= )()()(t c t A t C =
[注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得：
θ
θθ
θ-=-=--1)]()([1)()]([11t c t A t C t C u
θθθ-=--1)(])0([11t c e A gt θ
θ
θθ-=---1)()]0([1)1(1t c e A gt
再代入家庭效用函数，得：
dt H
L t C u dt H t L t C u U o t t
n o t t
e e )0()]([)()]([)(??∞=--∞
=-==ρρ dt H
L t c e A gt
o t t
n e
)
0(}1)()]0({[1)1(1)(θθθθρ-=---∞
=--? dt t c e H L A gt o t t n e θθθρθ-=--∞=---?1)()0()]0([1)1()(1 dt t c H L A o t gt n e θθ
θρθ
-=-∞=-----?1)()0()]
0([1)]1()[(1 dt t c B o t t
e
θ
θ
β-=-∞
=-?1)(1 其中，H
L A B )
0()]0([1θ-≡，0)1(>---≡g n θρβ（收敛条件）
4．家庭的跨期预算约束
家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r 和工资w ，均为外生变量）。
定义?
==t
o
d r R τττ)(，因此在0期投资的1单位产品
在t 期产生)(t R e 单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。)
(t R e
-为现值因子。当r 不变为-
r 时，
则R=-
r t 。（思考：如果r 是变动的，平均r 怎样表示？）
家庭t 期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H ，消费支出是C(t)L(t)/H ，则家庭的跨期预算约束为：
??∞=-∞
=-+≤0)(0)
()
()()()0()()(t t R t t R dt H
t L t w t A e H K dt H t L t C e
类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有：
gt e A t A )0()(=
C(t)= A(t)c(t) K(0)= k(0)A(0)L(0)/H 代入得：
??∞=-∞
=-+≤0)(0)
()
()()()0()0()0()()()(t t R t t R dt H
t L t A t w e H L A k dt H t L t A t c e
再考虑有效劳动的增长，t g n e L A t L t A )()0()0()()(+=，
代入，并在两边消去A(0)L(0)/H ，得：
??∞
=+-+∞=-+≤0
)()()(0)()()0()(t t g n t R t g n t t R dt t w e e k dt e t c e 5．横截面条件
利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。
已知
0)()()()()()0(0)(0)(≥-+??∞=-∞=-dt H
t L t C e dt H t L t w t A e H K t t R t t R ，故
0)
()()]()([)0(0)(≥-+?∞=-dt H
t L t A t c t w e H K t t R 将积分改写成为极限形式，有：
0})()()]()([)0({lim 0)(≥-+?=-∞→dt H
t L t A t c t w e H K v t t R v 定义第v 期的家庭资本持有量的总和为：
dt H
t L t A t c t w e H K e H v K v t t R v R v R )
()()]()([)0()(0)()()(?=--+= 右式第一项表示第v 期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。
整理有：
})()()]()([)0({)(0)
()(dt H
t L t A t c t w e H K e H v K v t t R v R ?=--+= H
v K e dt H t L t A t c t w e H K v R v t t R )()()()]()([)0()(0)(-=-=-+? 代入极限形式的预算约束得：
0)
(lim )
(≥-∞
→H
v K e
v R v ，表示家庭持有资产的现值的极