随机变量及其概率分布、超几何分布
沙市五中高三数学组
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．设X
则q的值为________
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为________．
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
2k
，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)
＝________.
5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X
表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，若P(X＝k)＝C4
7
C6
8
C10
15
，则k＝________.
6
7．某电子管正品率为34，次品率为1
4
，现对该批电子管有放回地进行测试，
设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝______.
8.如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝_______.
二、解答题(共42分)
9．(12分)袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求随机变量ξ的概率分布．
10．(14分)设离散型随机变量ξ的分布列P ?
?
???ξ＝k 5＝ak ，k ＝1,2，3,4,5.
(1)求常数a 的值；(2)求P ?
?
???ξ≥35；
(3)求P ? ????1
10
<ξ<710.
11．(16分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的概率分布；
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率．
1．1－
22
解析 由分布列的性质，有 ?????
1－2q ≥0，q 2
≥0，12＋1－2q ＋q 2
＝1，
解得q ＝1－2
2
.
2．7
解析 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
3.15
解析 ∵a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1，∴a ＝16
15
.
∴P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4) ＝16158＋161516＝215＋115＝15. 4.13
9 解析 P (ξ＝10)＝1－23×?
?
??
?1－1391－13
＝139.
5．4
解析 X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8
C 1015
，故k ＝4.
6．0.88
解析 环数X ≥7的概率是：
0．09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 7.364
解析 P (ξ＝3)＝14×14×34＝3
64
.
8.45
解析 方法一 由已知，ξ的取值为7,8,9,10，
∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12
C 3
5＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11
C 35＝25，
P (ξ＝10)＝C 22C 11
C 35＝110
，
∴ξ的概率分布为
∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝310＋25＋110＝45
. 方法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12
C 35＝45
.
9．解 随机变量ξ可取的值为2,3,4， (2分)
P (ξ＝2)＝C 12C 13C 12
C 15C 14＝35；
P (ξ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12
C 15C 14C 13＝310；
P (ξ＝4)＝A 33C 12
C 15C 14C 13C 12＝110
， (10分)
所以随机变量ξ
10．解 (1)由离散型随机变量的性质，得 a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1，
解得a ＝1
15
. (3分)
(2)由(1)，得P ? ?
???ξ＝k 5＝115k ，k ＝1,2,3,4,5.
方法一 P ?
?
???ξ≥35
＝P ? ????ξ＝35＋P ? ?
???ξ＝45＋P (ξ＝1)
＝315＋415＋515＝4
5
. (7分)
方法二 P ? ????ξ≥35＝1－P ? ?
???ξ<35
＝1－??????P ? ????ξ＝15＋P ?
?
???ξ＝25
＝1－? ????115＋215＝4
5.(7分)
(3)∵110<ξ<710，∴ξ＝15，25，35
，
∴P ? ????1
10<ξ<710
＝P ? ????ξ＝15＋P ? ????ξ＝25＋P ? ?
???ξ＝35
＝115＋215＋315＝2
5
. (14分) 11．解 (1)ξ的可能取值为0,1,2,3. (1分)
P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23
C 25＝18100＝950
， (3分)
P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 23·C 1
2
C 25＝1225
， (6分)
P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 1
2C 25＋C 24C 25·C 22
C 25＝310. (9分)
P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22
C 25＝125
. (12分)
故ξ的概率分布为
(2)所求的概率为P ＝P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝310＋125＝17
50
.(16分)