解直角三角形的知识点总
结
The latest revision on November 22, 2020
解直角三角形
一、锐角三角函数
（一）、锐角三角函数定义
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：
(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即
a,
sinA=
c
（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即
b,
cosA=
c
（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即
a，
tanA=
b
(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即
锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系
注意:锐角三角函数的定义应明确(1)c a ，c b ，b a ，a
b
四个比值的大小同
△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；
（2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；
（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系：12
2
sin =?+COS α (2)倒数关系：tan ａcota=1 (3)商数关系：?
?
=???=
sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们
的变形公式。 (2)()??sin sin 2
2
是
的简写，读作“?sin 的平方”，不能将
??2
2
sin 写成sin
前者是a 的正弦值的平方，后者无意义；
（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12
2
3030cos
sin
2
2
=?=?
+? ，而1cos
sin
2
2
=+
?β就不一定成立。
（4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即
sinA=cos(90°-A)cosA=sin(90°-A)
tanA=cot（90°-A）cotA=tan(90°-A)
注意：此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，其主要作用就是改变函数名称。
（四）特殊角的三角函数值
（五）三角函数值的变化规律及范围
1.当角度在0°~90°之间变化时：
正弦值岁角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
2、当0°≤a≤90°时，0≤sina≤1，0≤cona≤1，
3.遇到求锐角余切值时，可利用关系式cotA=tan(90°-A)
或tanａcota=1
二、解直角三角形
（一）三角函数的概念RT △ABC 中，
sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b
a ，a A A A
b 的对边的邻边cot =∠∠=
（二）解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形
（三）解直角三角形的依据
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a,b,c 1. 三边之间的关系：222c b a =+ 2. 锐角之间的关系：∠A +∠B =90°
3.边角关系：sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b
a
，a
A
b
cot =
4.面积关系：ch ab S ABC 2
1
21△==
（四）直角三角形的可解条件 1.已知两边可解直角三角形 2.已知一边及一锐角可解直角三角形
说明：已知两个角不能接直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等，因此起边的大小不确定。 （五）解直角三角形的基本类型
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。