圆的有关概念练习题（一）
练习1 圆
【练习题】
1. 要确定一个圆，需要知道_________和___________.
2．到定点Ｏ的距离等于２cm 的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆． 3. 在同圆中，如果B A =2D C
，那么弦AB 、CD 的关系为AB____2CD.
4.正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，1为半径做⊙A ，则点B 在⊙A ________,C 点在⊙A ________,D 点在⊙A ________.
5、 Ａ、Ｂ是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是_________
6、圆是轴对称图形，它有____条对称轴，是_________直线；圆还是中心对称图形，对称中心是_____
7、 弧分为_________，_________，_________
8、 一个圆的最长弦长为１０cm ，则此圆的半径是_________ 9、 判断：
（１）直径是弦．（ ） （２）弦是直径．（ ） （３）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（ ）
（４）半径相等的两个半圆是等弧．（ ） （５）长度相等的两条弧是等弧．（ ） （６）周长相等的圆是等圆．（ ） （７）面积相等的圆是等圆．（ ）。 （8）优弧一定比劣弧长。（ ）
10.如图，半圆的直径AB ＝___ ．
第10题 0 1
2
-1
-2
1
A B
11.如图(1)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______， ∠ABC =______．
12．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，
则∠C=______，∠AOC=______．
13．已知⊙O 的半径为5厘米,A 为线段OP 的中点,当OP ＝6厘米时,点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点A 在⊙O 内 B.点A 在⊙O 上 C.点A 在⊙O 外
D.不能确定
14．过⊙
内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）
（A ）3cm （B ）6cm （C ）
cm （D ）9cm
15．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、A
B ⊥CD B 、∠AOB ＝4∠ACD
C 、
D 、PO ＝PD
16．如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C ,若AB =3,BC =1,则与圆环的面积最接近的整数是( ) A.9
B.10
C.15
D.13
D
C
B
A
O
P
D B A
O
25
E D
B
A
O
30
(第13题) (第14题) (第15题)
的度数是（）
17．下图中BOD
A、550
B、1100
C、1250
D、1500 18．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)求证：∠AOC=∠BOD；
(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
19、如图：AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC。求证：∠1=∠
2。
20、如图：在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，
试说明点A、B、C、D在同一个圆上，并画出这个圆。
练习2 垂直于弦的直径
【练习题】
1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．2．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
3．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．
4．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，
则OA=______，O点到AB的距离=______．
2，圆内一条弦长23cm，则弦的中点与弦所5. 圆的半径等于cm
对弧的中点的距离等于_____________；
6．如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA =6，PB =2， ⊙O 的半径为5，则OP =______．
7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE =1， AE =5，
∠AEC =30°，则CD =______．
8． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,
“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”
E
D
C
B
A O
9、已知：如图，30PAC ，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ， 以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．
O
A
D
B
E
F
P
10. 如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？
图24-1-2-7
11. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)
已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.
图24-1-2-8
练习3 弧、弦、圆心角
【练习题】
1．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．
A．AB>2AM B．AB=2AM
C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定
2.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶
OF 等于(
)
A.2∶1
B.3∶2
C.2∶3
D.0 3．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA 、OB 在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8个单位，OF ＝6个单位，则圆的直径为 ( ) A ．12个单位 B ．10个单位 C ．4个单位 D ．15个单
位
C
B A
O
(第3题) (第6题) (第7题) 4.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.
5.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 6．如图，⊙O 的半径OA=6,以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C ，则BC= . 7．如图，矩形ABCD 中，86AB AD ，，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动的每秒转动90o
，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．
8．如图，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF= cm .
(第8题)
9．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，则∠ACO=______．
10. 如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.
(1)求证：AC=DB；
(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.
图24-1-3-2
11.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD. 求证：OC=OD.
图24-1-3-3 12、如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？
图24-1-3-6
13．已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB于D,
求的度数.
D
C
B
A 14.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
图24-1-3-8 15.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)
图24-1-3-9 16.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.
图24-1-3-10 17.⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.
18. 如图所示，已知O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆心角的两边分别交于点A 、B 、C 、D 求证：PB=PD ，若角的顶点P 在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。
P
C
A
B
D
O
P
E
19. 如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?
图24-1-3-5
练习4 圆周角
一、选择题
1．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°
2．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°
3．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，
则∠AOD等于( )．
A．64°B．48°C．32°D．76°
4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，
则∠AOD等于( )．
A．37°B．74°
C．54°D．64°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，
则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69°B．42°
C．48°D．38°
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．
A．70°B．90°
C ．110°
D ．120°
7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°
D
D
C
B
A
(7) (8) (9) (10)
8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 角中,相等的角有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
9.如图9,D 是?
AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°
11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )
A.40°
B.50°
C.70°
D.110° 13.下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90o
的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤
14. 下列说法中，正确的是（）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内
B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半
D. 等弧所对的圆心角相等
15.下列说法正确的是( )
A.顶点在圆上的角是圆周角
B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍
D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
16.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.都不对
17.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有( )
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
图24-1-4-1 图24-1-4-2
18.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )
图24-1-4-8
19、如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤
,正确结论的个数是（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
20. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5
B. 4≤OM ≤5
C. 3＜OM ＜5
D. 4＜OM ＜5
21. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 270°
22．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）
A. (45) cm
B. 9 cm
C. 45
D. 6223．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为
（第19题图）
A ．22
B ．2
C ．1
D ．2
24、如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12， ∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）
A ．19
B ．16
C ．18
D ．20
二、填空题
1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是?
AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.
D
C
B
A
O
E D
C
B
A
O
D
C
B
A
O
(1) (2) (3)
2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
D C
B
A
O （第23图）
（第24题图）
（第22题图）
C
B A
O D
C
B
A
O
E D C
B
A
O
(4) (5) (6)
5.如图5,AB 是⊙O 的直径, ??BC
BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
7．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B ；两点，点P 的坐标为（4，2）,点A 的坐标为（23，0）则点B 的坐标为 ．
8． 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 是?BC 的中点，已知∠AOB =98°，∠COB =120°．则
∠ABD 的度数是 ．
9．如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 2,1cm cm ，则弦AC 、BD 所夹的
锐角 ＝ ．
10．如图，扇形OAB 中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C 是线段AB 的中点，CD//OA ，交
弧AB 于点D ，则CD= .
11．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2, OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在?
13
AC 上，点P 是半径OC 上一个动点，那么 AP ＋ DP 的最小值等于
12.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为
23，
、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且A
C
D
O
（第8题图）
（第7题图）
（第9题图）
∠AOP=45°，则点P 的坐标为
．
13. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 14. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ， ∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
15.如图24-1-4-2,已知A 、B 、C 、D 均在⊙O 上,且AC 为⊙O 的直径,则∠A+∠B+∠C=________。 三、解答题
1．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC =12cm ，∠A =60°．求⊙O 的直径．
2．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ． 求DB 长．
3．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．
4.如图24-1-4-10(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、
E.(1)求证：△DOE是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2)，若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
图24-1-4-10
5.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
30
D
C
B
A O
6.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
D
C
B
A
O
7、如图24-1-4-15所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4 cm.
(1)求证：AC⊥OD；
(2)求OD的长；
(3)若∠A=30°，求⊙O的直径.
图24-1-4-15
8.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果
保留根号) (3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
图24-1-2-9
9.如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC ⌒ =DE ⌒ ． （1）求证：AC = AE ；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线， 两线交于点F （保留作图痕迹，不写作法），求证：EF 平分∠CEN ．
10.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB 内有暗礁，在A 、B 两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？
A
B
C
D
E M N
圆的有关概念和性质 知识考点: 1、理解圆的定义,掌握点与圆的位置关系； 2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念; 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。 圆的形成性描述:在一个平面内,线段ＯA绕它固定的O一端旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OＡ叫做半径。 以点O为圆心的圆记作“” 1.圆是定点的距离等于定长的点的集合 ２、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 4、同圆或等圆的半径相等 5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 7、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 8、不在通一条直线上的三点确定一个圆 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 １3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 1４、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
圆心角定义：顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角 圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 推论: 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。 圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理： 同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。 定理证明 已知在⊙Ｏ中,∠ＢOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC＝２∠BAＣ. 证明： 情况１: 如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图1 ∵OA、ＯC是半径 解：∴ＯA=OC ∴∠ＢＡC＝∠ACO(等边对等角） ∵∠BＯC是△AＯC的外角 ∴∠BOC=∠ＢＡＣ+∠ACO=2∠BAC 情况２： 如图2,,当圆心O在∠ＢAC的内部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D
1 课时37 圆的有关概念与性质 【课前热身】 1.（08重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 2.（08湖州）如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ． 156 B ．78 C ．39 D ．12 3.（08梅州）如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ） A ．正方形 B.长方形 C ．菱形 D ．以上答案都不对 4.（08福州）如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =， 3cm OC =，则⊙O 的半径为 cm ． 5. (08荆门)如图，半圆的直径AB ＝___ ． 【考点链接】 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . 【典例精析】 例1 （08呼伦贝尔）如图：AC ⌒ =CB ⌒ ，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？ A C B O 第4题 第5题 0 1 2 -1 -2 1 A B C B O E D A 第2题 第3题 第1题
圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析
圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160°
5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
圆的有关概念与性质 教学目标：复习与圆有关的概念与性质。 教学重点：巩固垂径定理、圆心角、圆周角定理。并能运用这些定理进行正确的证明。 教学难点：灵活地运用这些定理进行有关的证明。 一、知识回顾 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又 是对称图形，是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一 组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例题精讲 例1、如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l ，求弦AB的长． 对应练习1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
例2、已知：如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，BC，AC分别交⊙O于D、E两点，，连接AD，求证：△ABD≌△ACD． 对应练习2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上的一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC； (2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD. 例3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取、、 三根木柱，使得、之间的距离与、之间的距离相等，并测得长为120米，到 的距离为4米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径． 对应练习3、
总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条
件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径． 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外?d＞r； 点P在圆上?d＝r； 点P在圆内?d＜r． 要点进阶：圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点A、B的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．
圆的有关性质 【中考考纲解读】 1．课标要求 ①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系． ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ③掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题． 2．考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看，本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理，垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大．题型以选择题和填空题为主，难度不大，所占分值一般在3～5分． 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1：圆的有关概念 1． 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．其中，定点为圆心，定长为半径 2． 弦：连接圆上任意两点的线段． 3． 直径：经过圆心的弦． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 5． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6． 优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示，如ABC ． 7． 劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示，如AC ． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的圆形． 9． 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆． 10．等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆． 11．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． 12．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 13．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 14．圆周角：顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论
学科：数学 专题：圆的有关概念与性质 主讲教师：黄炜北京四中数学教师 重难点易错点辨析 1、等弧的概念，区别于长度相等的弧. 2、利用圆周角定理求角时，注意分类讨论. 例题2.1： 题面：∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为（）A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130° 3、在应用垂径定理的计算中，注意分类讨论. 例题3.1： 题面：已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD 之间的距离是多少？
金题精讲 题一 题面：已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°. 求⊙O的直径． 题二 题面：已知，如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是弧AD的中点． (1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短； (2)若CD=4cm，求AP+PB的最小值． 满分冲刺 题一 题面：如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a﹥2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）
A. 23 B.2+ 2 C. 22 D. 2+ 3 题二 题面：如图，在⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D 与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E． (1)求证：AE=BF； (2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由 A
讲义参考答案 重难点辨析 例题2.1 答案：D 例题3.1 答案：1cm 或7cm 金题精讲 题一 答案：83cm 题二 答案：(1)提示：作A 点或者B点关于直径CD的对称点A’或者B’，然后连接A’B或者B’A。 (2) 最小值23cm 满分冲刺
圆的有关概念与性质 ◆课前热身 1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误 ．．的是（） D．OD＝DE 2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（） A． B． C． D． 3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（） A．2 B．3 C．4 D．5 3，则弦CD 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm 的长为（）
A ． 3 cm 2 B ．3cm C ． D ．9cm 【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题． 常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 —知识讲解（提高） 【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系 设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有： 点P 在圆外?d ＞r ； 点P 在圆上?d ＝r ； 点P 在圆内?d ＜r ． 要点诠释：圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．
B C 鸣 人 教 育 学 科 教 师 讲 义 【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念， 知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。 【知识梳理】 1.圆的基本概念 定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性： (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 5.圆弧： (1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ,读作“弧AB ”.
(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: （1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； （2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半； （2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 【经典例题】 【例1】下列判断中正确的是（ ） A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对 【例3】如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠ E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______． 【例4】（08山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图
圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质： 1、圆的定义： ⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的叫做弦 弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类 3、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径； 3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。 2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角 有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。 性质：圆内接四边形的对角。 【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】
作业帮一课初中独家资料之【初三数学】 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者 缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点 的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对 称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何 一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”， 而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~ 核心知识点二：与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦. 2.弧
圆的有关概念和性质教案 谷城县石花镇三中杨建国 教学目的：圆的有关概念和性质 教学重点：理解圆的有关概念和性质 教学难点：掌握圆的有关概念和性质，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相关联系和知识之间的相互转化。 教学方法：启发式教学 教学过程： 首先学生阅读教材，然后学生之间相互讨论圆的有关概念和性质，最后教师板书归纳。(学生通过阅读教材，能够梳理知识的形成过程。回归教材使学生更好理解概念好，性质) 考点1 圆的有关概念 弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦叫直径。 弧：圆上任意两点的部分。圆的任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫半圆。等圆；能够重合的两个圆。 等弧：（在同圆或等圆中）能够重合的弧 考点2圆的对称性 圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形，圆还具有旋转不变性． 考点：圆心角、弧、弦之间的关系（典型例题） 如图⊙O 中AB.CD是两条弦, 若∠AOB= ∠COD则＿，＿ 若AB=CD则＿，＿ 若AB=CD则＿，＿ 若⊙O 半径为2cm,弦AB=2√3cm则∠AOB=_________ 考点5圆周角
归类探究 探究一圆的有关概念 （命题角度分析：1．弦和直径，弧和半圆区别与联系；2．等弧的概念应用．学生容易把概念弄混淆） 有下列四个命题；（1）直径是弦（2）弦是直径（3）长度相等的弧是等弧（4）半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有＿＿ 探究二垂径定理及其推论 （命题角度分析：1．垂径定理的应用；2．垂径定理的推论的应用.） 例2：【2014中山】如图26—1，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的跑离为_______________ 方法点析 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的半径(直径)，构造直角三角形 探究三圆心角、弧、弦之间的关系 命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系。 例3【2014黄石改编】如图，A、B是⊙O上的两点∠AOB=120，C是AB的中点，连接AB、AC、BC.求证：AB平分∠OAC。 探究四圆周角定理及推论 命题角度： 利用圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数． 例4 如图26—3，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70，A O∥DC，则∠B的度数为（） A 、40 B 、45 C 、50 D、55
圆的基本概念和性质—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性； 2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.
圆的有关概念和性质（教案） 一、教材分析 本节课主要复习圆的第一部分内容，包括圆的弧、弦、圆心角、圆周角等的概念和性质，垂径定理及其有关的计算，圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系，利用圆心角定理和圆周角定理及其推论进行解题。垂径定理、圆心角定理和圆周角定理是圆中基础且重要的定理，是圆中相关计算和证明的重要依据。本节课的内容在圆的整个知识体系中是基础，也是关键。 二、教学目标 1.知识技能： (1)复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质. (2)理解圆的对称性，掌握圆的四个定理. (3)会运用圆的基性质定理进行推理和计算. 2.过程与方法：通过互学、精讲、训练等数学活动，感受小组互助互学的乐趣，培养合作交流的意识. 3.情感态度与价值观：深入理解“转化”、“分类讨论”的数学思想，并培养自主探究积极参与的学习习惯。 三、教学重点：掌握垂径定理，圆心角、弧、弦之间相等关系定理 以及圆周角和圆心角关系定理 四、教学难点：理解体会研究图形性质的各种方法 五、教法与学法：本节课采用“学生为主体，老师为主导”的探索 归纳式教学模式。在教师的组织引导下，学生采用“个人自主探
究，小组合作交流”的学习方法，让学生先回顾和获取知识，再通过解题过程，掌握解题方法，提炼数学思想，进而培养学生动手、动脑、动口的综合能力。 六、教学过程： （一）.【知识梳理】 1.引导学生总结头天处理过的学案，得出本节课教学内容的思维导图。 2.让学生对“一组概念”进行同桌之间互查。 3.与学生一起完成“两个特性”的复习。 4.课件展示“四个定理”并辅以教学例子讲解。 （1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆；能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性，了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系；知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数， 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系；了解切线的 概念，理解切线与过 切点的半径之间的 关系；会过圆上一点 画圆的切线；了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系；会根据切 线长的知识解决简 单的问题；能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用； 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 中考考点分析