2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2020?新课标Ⅰ）若z ＝1+i ，则|z 2﹣2z |＝（ ） A ．0
B ．1
C ．√2
D ．2
2．（5分）（2020?新课标Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，则a ＝（ ） A ．﹣4
B ．﹣2
C ．2
D ．4
3．（5分）（2020?新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A ．
√5?1
4
B ．
√5?1
2
C ．
√5+1
4
D ．
√5+1
2
4．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
5．（5分）（2020?新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20）得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y ＝a +bx
B ．y ＝a +bx 2
C ．y ＝a +be x
D ．y ＝a +blnx
6．（5分）（2020?新课标Ⅰ）函数f （x ）＝x 4﹣2x 3的图象在点（1，f （1））处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣2x ﹣1
B ．y ＝﹣2x +1
C ．y ＝2x ﹣3
D ．y ＝2x +1
7．（5分）（2020?新课标Ⅰ）设函数f （x ）＝cos （ωx +π
6）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f （x ）的最小正周期为（ ）
A ．
10π9
B ．
7π6
C ．
4π3
D ．
3π2
8．（5分）（2020?新课标Ⅰ）（x +y 2x
）（x +y ）5的展开式中x 3y 3的系数为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
9．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin α＝（ ） A ．
√5
3
B ．2
3
C ．1
3
D ．
√59
10．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为（ ） A ．64π
B ．48π
C ．36π
D ．32π
11．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |?|AB |最小时，直线AB
的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0
B ．2x +y ﹣1＝0
C ．2x ﹣y +1＝0
D ．2x +y +1＝0
12．（5分）（2020?新课标Ⅰ）若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（ ） A ．a ＞2b
B ．a ＜2b
C ．a ＞b 2
D ．a ＜b 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2020?新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件{2x +y ?2≤0，
x ?y ?1≥0，y +1≥0，
则z ＝x +7y 的最大值
为 ．
14．（5分）（2020?新课标Ⅰ）设a →
，b →
为单位向量，且|a →
+b →
|＝1，则|a →
?b →
|＝ ． 15．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知F 为双曲线C ：
x 2a 2
?
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，
A 为C 的右顶点，
B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ．
16．（5分）（2020?新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P ﹣ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2020?新课标Ⅰ）设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． （1）求{a n }的公比；
（2）若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．
18．（12分）（2020?新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面
直径，AE ＝AD ．△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =√6
6
DO ．
（1）证明：P A ⊥平面PBC ； （2）求二面角B ﹣PC ﹣E 的余弦值．
19．（12分）（2020?新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1
2．
（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．
20．（12分）（2020?新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：
x 2a 2
+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，
G 为E 的上顶点，AG →
?GB →
=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点．
21．（12分）（2020?新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝e x +ax 2﹣x ． （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；
（2）当x ≥0时，f （x ）≥1
2x 3+1，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2020?新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k t，y=sin k t
（t
为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0．
（1）当k＝1时，C1是什么曲线？
（2）当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2020?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2020?新课标Ⅰ）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）
A．0B．1C．√2D．2
【考点】A8：复数的模．
【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值．
【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，
则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题．
2．（5分）（2020?新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤?1
2a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得?1
2a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
3．（5分）（2020?新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
A ．
√5?1
4
B ．
√5?1
2
C ．
√5+1
4
D ．
√5+1
2
【考点】LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
【解答】解：设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为h ′，
则依题意有：{
?2
=1
2a?′
?2
=?′2
?(a 2)
2，
因此有h ′2﹣（a 2
）2=1
2ah ′?4（?′a
）2﹣2（?′a
）﹣1＝0??′a
=
√5+1
4
（负值舍去）； 故选：C ．
【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．
4．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
【考点】K8：抛物线的性质．
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】解：A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 故有：9+p
2
=12?p ＝6； 故选：C ．
【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．
5．（5分）（2020?新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20）得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．
故选：D．
【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．
6．（5分）（2020?新课标Ⅰ）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）
A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，
∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，
又f（1）＝1﹣2＝﹣1，
∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．
7．（5分）（2020?新课标Ⅰ）设函数f （x ）＝cos （ωx +π
6
）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f （x ）的最小正周期为（ ）
A ．
10π9
B ．
7π6
C ．
4π3
D ．
3π2
【考点】H1：三角函数的周期性． 【分析】由图象观察可得最小正周期小于
13π9
，大于
10π
9
，排除A ，D ；再由f （?4π
9）＝0，求得ω，对照选项B ，C ，代入计算，即可得到结论．
【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（?4π9）=13π9，大于2×（π?4π9）=10π
9，排除A ，D ；
由图象可得f （?4π9）＝cos （?4π9ω+π
6）＝0， 即为?
4π9ω+π6=k π+π
2
，k ∈Z ，（*） 若选B ，即有ω=2π
7π
6
=127，由?4π9×127+π6=k π+π
2，可得k 不为整数，排除B ； 若选C ，即有ω=2π
4π3
=3
2，由?4π
9×3
2+π
6=k π+π
2，可得k ＝﹣1，成立．
故选：C ．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题． 8．（5分）（2020?新课标Ⅰ）（x +y 2
x
）（x +y ）5的展开式中x 3y 3的系数为（ ） A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
【考点】DA ：二项式定理．
【分析】先把条件整理转化为求（x 2+y 2）（x +y ）5展开式中x 4y 3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．
【解答】解：因为（x +y 2x ）（x +y ）5=(x 2+y 2)(x+y)5
x
； 要求展开式中x 3y 3的系数即为求（x 2+y 2）（x +y ）5展开式中x 4y 3的系数；
展开式含x 4y 3的项为：x 2?C 52x 2?y 3+y 2?C 54x 4
?y ＝15x 4y 3；
故（x +
y 2
x
）（x +y ）5的展开式中x 3y 3的系数为15； 故选：C ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
9．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin α＝（ ） A ．
√5
3
B ．2
3
C ．1
3
D ．
√59
【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；GS ：二倍角的三角函数．
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cos α的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sin α的值．
【解答】解：由3cos2α﹣8cos α＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cos α﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cos α﹣4＝0，解得cos α＝2（舍去），或cos α=?2
3． ∵α∈（0，π），∴α∈（π
2，π），
则sin α=2α=√1?(?23)2=√5
3． 故选：A ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．
10．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为（ ） A ．64π
B ．48π
C ．36π
D ．32π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】画出图形，利用已知条件求出OO 1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积． 【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π，可得O 1A ＝2，则
32
AO 1＝AB sin60°，3
2
AO 1=
√3
2
AB ， ∴AB ＝BC ＝AC ＝OO 1＝2√3，
外接球的半径为：R =√AO 12+OO 12=4， 球O 的表面积：4×π×42＝64π．
故选：A ．
【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键． 11．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |?|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0
B ．2x +y ﹣1＝0
C ．2x ﹣y +1＝0
D ．2x +y +1＝0
【考点】J7：圆的切线方程．
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM |?|AB |=2√|PM|2?4，说明要使|PM |?|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直．写出PM 所在直线方程，与直线l 的方程联立，求得P 点坐标，然后写出以PM 为直径的圆的方程，再与圆M 的方程联立可得AB 所在直线方程．
【解答】解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．
∵S 四边形PAMB =1
2|PM|?|AB|=2S △P AM ＝|P A |?|AM |＝2|P A |=2√|PM|2?4． ∴要使|PM |?|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12
， 联立{y =12x +1
22x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．
则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y ?12)2=5
4．
联立{x 2+y 2?2x ?2y ?2=0x 2+y 2?y ?1=0，可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．
故选：D ．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直
线方程的求法，是中档题．
12．（5分）（2020?新课标Ⅰ）若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（ ） A ．a ＞2b
B ．a ＜2b
C ．a ＞b 2
D ．a ＜b 2
【考点】49：指数函数的图象与性质；4N ：对数函数的图象与性质．
【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a +log 2a ＜22b +log 22b ；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【解答】解：因为2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ；
因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +log 2b +1即2a +log 2a ＜22b +log 22b ；
令f （x ）＝2x +log 2x ，由指对数函数的单调性可得f （x ）在（0，+∞）内单调递增； 且f （a ）＜f （2b ）?a ＜2b ； 故选：B ．
【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2020?新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件{2x +y ?2≤0，
x ?y ?1≥0，y +1≥0，
则z ＝x +7y 的最大值
为 1 ．
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．
【解答】解：x ，y 满足约束条件{2x +y ?2≤0，
x ?y ?1≥0，y +1≥0，
，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由{2x +y ?2=0x ?y ?1=0，可得A （1，0）时，目标函数z ＝x +7y ，可得y =?17x +17z ，
当直线y =?1
7
x +17
z 过点A 时，在y 轴上截距最大， 此时z 取得最大值：1+7×0＝1． 故答案为：1．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 14．（5分）（2020?新课标Ⅰ）设a →
，b →
为单位向量，且|a →
+b →
|＝1，则|a →
?b →
|＝ √3 ． 【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可． 【解答】解：a →
，b →
为单位向量，且|a →
+b →
|＝1， |a →
+b →
|2＝1，
可得a →
2+2a →
?b →
+b →
2=1， 1+2a →
?b →+1＝1， 所以2a →?b →=?1，
则|a →
?b →
|=√a →
2?2a →?b →
+b →
2=√3． 故答案为：√3．
【点评】本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力． 15．（5分）（2020?新课标Ⅰ）已知F 为双曲线C ：
x 2a 2
?
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，
A 为C 的右顶点，
B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 2 ．
【考点】KC ：双曲线的性质．
【分析】利用已知条件求出A ，B 的坐标，通过AB 的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：F 为双曲线C ：x 2a 2
?
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点（c ，0），A 为C 的右
顶点（a ，0），
B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．所以B （c ，
b 2a
），
若AB 的斜率为3，可得：
b 2
a
?0c?a
=3，
b 2＝
c 2﹣a 2，代入上式化简可得c 2＝3ac ﹣2a 2，e =c a
， 可得e 2﹣3e +2＝0，e ＞1， 解得e ＝2． 故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．
16．（5分）（2020?新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P ﹣ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝ ?1
4 ．
【考点】%N ：表面展开图；L3：棱锥的结构特征．
【分析】根据条件可知D 、E 、F 三点重合，分别求得BC 、CF 、BF 即可． 【解答】解：由已知得BD =√2AB =√6，BC ＝2，
因为D 、E 、F 三点重合，所以AE ＝AD =√3，BF ＝BD =√2AB =√6，
则在△ACE 中，由余弦定理可得CE 2＝AC 2+AE 2﹣2AC ?AE ?cos ∠CAE ＝1+3﹣2√3×√3
2=1， 所以CE ＝CF ＝1，
则在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠FCB =BC 2
+CF 2?BF 22BC?CF =1+4?62×1×2=?1
4
， 故答案为：?1
4
．
【点评】本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2020?新课标Ⅰ）设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． （1）求{a n }的公比；
（2）若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．
【考点】8E ：数列的求和；8M ：等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）设{a n }是公比q 不为1的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ；
（2）求得a n ，na n ，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理，可得所求和．
【解答】解：（1）设{a n }是公比q 不为1的等比数列， a 1为a 2，a 3的等差中项，可得2a 1＝a 2+a 3， 即2a 1＝a 1q +a 1q 2， 即为q 2+q ﹣2＝0， 解得q ＝﹣2（1舍去）， 所以{a n }的公比为﹣2；
（2）若a 1＝1，则a n ＝（﹣2）n ﹣
1，
na n ＝n ?（﹣2）n ﹣
1，
则数列{na n }的前n 项和为S n ＝1?1+2?（﹣2）+3?（﹣2）2+…+n ?（﹣2）n ﹣
1，
﹣2S n ＝1?（﹣2）+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n ?（﹣2）n ，
两式相减可得3S n ＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n ﹣
1﹣n ?（﹣2）n
=1?(?2)
n
1?(?2)?n ?（﹣2）n ， 化简可得S n =1?(1+3n)?(?2)n
9
，
所以数列{na n }的前n 项和为
1?(1+3n)?(?2)n
9
．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考查数列的错位相减法求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 18．（12分）（2020?新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE ＝AD ．△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =√6
6DO ． （1）证明：P A ⊥平面PBC ； （2）求二面角B ﹣PC ﹣E 的余弦值．
【考点】LW ：直线与平面垂直；MJ ：二面角的平面角及求法．
【分析】（1）设圆O 的半径为1，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到P A ⊥PC ，P A ⊥PB ，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC 及平面PCE 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）不妨设圆O 的半径为1，OA ＝OB ＝OC ＝1，AE ＝AD ＝2，AB =BC =AC =√3，DO =√DA 2?OA 2=√3，PO =√6
6DO =√2
2， PA =PB =PC =√PO 2+AO 2=√6
2， 在△P AC 中，P A 2+PC 2＝AC 2，故P A ⊥PC ， 同理可得P A ⊥PB ，又PB ∩PC ＝P ， 故P A ⊥平面PBC ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有B(√3
2，12，0)，C(?√32，1
2，0)，P(0，0，
√2
2
)，E （0，1，0），
故BC →
=(?√3，0，0)，CE →
=(√3
2，12，0)，CP →=(√32，?12，√22)，
设平面PBC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →
?BC →
=?√3x =0m →?CP →=√32x ?1
2y +√22z =0，可取m →
=(0，√2，1)，
同理可求得平面PCE 的法向量为n →
=(√2，?√6，?2√3)，
故cosθ=|m →?n →
||m →||n →|
=2√5
5，即二面角B ﹣PC ﹣E 的余弦值为2√55．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角，考查推理能力及计算能力，属于基础题．
19．（12分）（2020?新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1
2．
（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率． （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率．
（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率．
【解答】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P ＝（1
2）4=1
16．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， 比赛四场结束，共有三种情况， 甲连胜四场的概率为
116
，乙连胜四场比赛的概率为
1
16
，
丙上场后连胜三场的概率为18
， ∴需要进行五场比赛的概率为： P ＝1?
116?116?18=3
4
． （3）丙最终获胜，有两种情况， 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1
8，
比赛五场结束丙最终获胜，
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况： 胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116
，18
，1
8
，
∴丙最终获胜的概率P =
18+116+18+18=716
． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．（12分）（2020?新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：
x 2a +y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，
G 为E 的上顶点，AG →
?GB →
=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL ：直线与椭圆的综合．
【分析】（1）求出AG →
?GB →
=a 2﹣1＝8，解出a ，求出E 的方程即可；
（2）联立直线和椭圆的方程求出C ，D 的坐标，求出直线CD 的方程，判断即可．
【解答】解：如图示：
（1）由题意A （﹣a ，0），B （a ，0），G （0，1），
∴AG →
=（a ，1），GB →
=（a ，﹣1），AG →
?GB →
=a 2﹣1＝8，解得：a ＝3， 故椭圆E 的方程是
x 29
+y 2＝1；
（2）由（1）知A （﹣3，0），B （3，0），设P （6，m ）， 则直线P A 的方程是y =
m
9
（x +3）， 联立{x 29+y 2
=1
y =m 9(x +3)?（9+m 2）x 2+6m 2x +9m 2﹣81＝0，
由韦达定理﹣3x c =9m 2
?819+m 2?x c =?3m 2
+27
9+m 2
， 代入直线P A 的方程为y =
m
9
（x +3）得： y c =6m
9+m 2
，即C （?3m 2+279+m 2，6m 9+m 2），
直线PB 的方程是y =m
3（x ﹣3），
联立方程{x 2
9+y 2=1y =m
3(x ?3)
?（1+m 2）x 2﹣6m 2x +9m 2﹣9＝0， 由韦达定理3x D =9m 2
?91+m 2?x D
=3m 2
?3
1+m 2
， 代入直线PB 的方程为y =m 3（x ﹣3）得y D =?2m
1+m 2
， 即D （
3m 2?31+m 2
，
?2m 1+m 2
），
∴直线CD 的斜率K CD =y C ?y D x C ?x D
=4m
3(3?m 2)，
∴直线CD 的方程是y ??2m 1+m 2=4m 3(3?m 2)（x ?3m 2
?3
1+m 2
），整理得： y =
4m 3(3?m 2)
（x ?3
2），
故直线CD 过定点（3
2
，0）．
【点评】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线方程问题，是一道综合题．
21．（12分）（2020?新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝e x +ax 2﹣x ． （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；
（2）当x ≥0时，f （x ）≥1
2x 3+1，求a 的取值范围．
【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值．
【分析】（1）求得a ＝1时，f （x ）的解析式，两次对x 求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；
（2）讨论x ＝0，不等式恒成立；x ＞0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．
【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e x +x 2﹣x ， f ′（x ）＝e x +2x ﹣1，设g （x ）＝f ′（x ），
因为g ′（x ）＝e x +2＞0，可得g （x ）在R 上递增，即f ′（x ）在R 上递增， 因为f ′（0）＝0，所以当x ＞0时，f ′（x ）＞0；当x ＜0时，f ′（x ）＜0， 所以f （x ）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）； （2）当x ≥0时，f （x ）≥1
2x 3+1恒成立， ①当x ＝0时，不等式恒成立，可得a ∈R ； ②当x ＞0时，可得a ≥12x 3+x+1?e x
x 2
恒成立，
设h （x ）=
12x 3+x+1?e x x 2
，则
h ′（x ）=(2?x)(e x ?12x 2?x?1)x 3
， 可设m （x ）＝e x ?1
2x 2﹣x ﹣1，可得m ′（x ）＝e x ﹣x ﹣1，m ″（x ）＝e x ﹣1， 由x ≥0，可得m ″（x ）≥0恒成立，可得m ′（x ）在（0，+∞）递增， 所以m ′（x ）min ＝m ′（0）＝0，
即m ′（x ）≥0恒成立，即m （x ）在（0，+∞）递增，所以m （x ）min ＝m （0）＝0， 再令h ′（x ）＝0，可得x ＝2，当0＜x ＜2时，h ′（x ）＞0，h （x ）在（0，2）递增； x ＞2时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（2，+∞）递减，所以h （x ）max ＝h （2）=7?e 2
4
， 所以a ≥
7?e 2
4
，
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{} 5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A.? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902 cm B. 1292 cm C. 1322cm D. 1382 cm 4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数 x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移 4π个单位 B.向左平移4π 个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12 π 个单位 5. 在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为 ),(n m f ，则 =+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 6. 已知函数则且,3)3()2()1(0,)(2 3 ≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2018年6月1日15:00绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 理科数学（全国III 卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ∈R |x 2?2x ≥0}，B ={?1 2，1}，则(C R A )∩B =（ ） A. ? B. {?1 2 } C. {1} D. {?1 2 ，1} 2．设复数z = 1 1+i ，则z ?z =（ ） A. 1 2 B. √2 2 C. 1 2i D. √2 2i 3已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（） A. 31 B. 63 C. 16 D. 127 4．设,x y 满足约束条件202020x y x y x y -≥??+-≥??--≤? ，则2 2y x ++的最大值为（ ） A. 1 B. 45 C. 12 D. 23 5．函数f(x)=sin(ωx +φ)+1（ω>0，|φ|<π2 ）的最小正周期是π，若其图象向左平移π3 个单位后得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（ ） A.关于点(?π 12?，1)对称 B.关于直线x =π 12对称 C.关于点(?π 6?， 0)对称 D.关于直线x =π 3对称 6. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为12,A A ，…14,A ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知A(?3?,?0)，B(0?,?4)，点C 在圆(x ?m)2+y 2=1上运动， 若△ABC 的面积的最小值为5 2，则实数m 的值为 A. 1 2或11 2 B. ?11 2或?1 2 C. ?1 2或11 2 D. ?11 2或1 2
2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．
9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={}，，则 ▲ . 2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数与(0≤),zxxk 它们的图象有一个横坐 标为 的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分 别为，，若它们的侧面积相等，且，则 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系中,直线被圆 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的 取值围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数) zxxk 过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形中，已知，， 4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A 2)i 25(+=z z n x y cos =)2sin(?+=x y π?<3 π ?}{n a , 12=a 4682a a a +=6a 1S 2S 1V 2V 4 921=S S 2 1 V V xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)( 1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则() (A)k 1 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2 2014年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2 63 个单位长度向右平行移动 ． ＞＜C ＞ D． ＜ 5．（5分）（2014?四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（） 7．（5分）（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角， 8．（5分）（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（） ，[[，[ 9．（5分）（2014?四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f（﹣x）=﹣f（x）； ②f（）=2f（x） ③|f（x）|≥2|x| 10．（5分）（2014?四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014?四川）复数=_________． 12．（5分）（2014?四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x） =，则f（）=_________． 13．（5分）（2014?四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73） 14．（5分）（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是_________． 15．（5分）（2014?四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ） 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ?u u u v u u u v = A . -3 B. -2 C. 2 D. 3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A. B. C. D. 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A. {0,1} B. {1,0,2}- C. {1,0,1,2}- D. {1,0,1}- 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A. 34i -+ B. 34i -- C. 34i + D. 34i - 3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤?? +≤=+??≥-? 且的最大值和最小值分别为m 和n ，则 m n -= A.5 B.6 C.7 D.8 4．若实数k 满足09k <<，则曲线 221259x y k -=-与曲线22 1259 x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60?夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系 不确定 8．设集合(){}1 2 3 4 5 = ,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 小学 初中 高中 年级 O 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科)试题及参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位，则=+-2 )11( i i A. 1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7 )2(x a x +的展开式中 31 x 的系数是84，则实数=a A.2 B. 5 4 C. 1 D. 4 2 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ??,是“?=B A ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.根据如下样本数据 A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0> 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ．1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C {|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+99全国高考理科数学试题
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