解直角三角形教案
主备：
【教学目标】
一、知识目标
1、 巩固直角三角形中的三角函数定义。
2、 选取多样性的问题，引导学生合理地选择关系式（可以用不同的三角函数关系解决问题）。
二、能力目标
1. 应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯 。
2. 将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，培养学生合情推理、数学说理及转化思想。
三、情感态度目标
经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。
【重点难点】
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯
难点：灵活地运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
疑点：一题多解时多种方法中的灵活选择与运用。
【教学过程】
1.情境导入
大屏幕展示课本第112页例1。
2、课前热身
分组练习，互问互答巩固上节课的内容。
3、合作探究
（1）整体感知
从复习直角三角形的相关性质和锐角三角函数入手，让学生对解直角三角形的必备知识做一个必要的回顾；从例1的一棵大树的高度引出利用勾股定理解直角三角形；从战争的需要引出利用锐角三角函数解直角三角形；最后归纳总结解直角三角形的两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（2）四边互动
互动1：
展示如图19-4-1的所示的图形，根据图填空： sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。
∠A= － , 2
c ＋
学生独立思考，交流。
明确：sin A=
斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦, cos A=斜边的邻边
A ∠叫∠A 的余弦, tan A=的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切, cot A= 的对边的邻边
A A ∠∠叫∠A 的余切
一般地，在直角三角形ABC 中，当∠C=090时，sinA=c a ，c b A =cos ，tanA=b a ，cotA=a b 。 互动2：
例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
展示课本中第112页例1(图24.4.1）．我们在遇到实际问题时，总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究．那么，怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢？
学生动手尝试，分组交流后，举手回答。
师生共同画图转化为直角三角形。
明确：对于现实总是通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想。
解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
26241022=+
26＋10＝36（米）.
所以，大树在折断之前高为36米.
互动3：
通过例1，我们知道在直角三角形中已知一些元素，求另一些未知元素的方法.像这样的过程我们称之为解直角三角形.你知道了吗？
学生分组讨论得出解直角三角形的两种情况：
（1）已知两条边长；
（2）已知一条边长和一锐角.
明确：什么叫解直角三角形；解直角三角形的两种情况。
互动4：
展示例2，你会画方向角吗？动手操作将例2转化为数学模型。
学生画图并尝试解题。
明确：会用锐角三角函数关系式解直角三角形。
图
19.4.1
解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求
边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角
高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作
已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在
在线分享文档地提升自我 By ：麦群超 解直角三角形 一、教育目标 (一)知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程 (一)明确目标 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a b A A A A c c b a ==== 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．
28.2.1 解直角三角形 教学目标： 知识与技能： 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 过程与方法： 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感态度与价值观： 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 重难点、关键： 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题 见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m． sin= 5.2 54.5 BC AB ≈0.0954． 所以∠A≈5°28′．
二、探索新知、分类应用 【活动一】理解直角三角形的元素 【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？ 总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 【活动二】直角三角形的边角关系 直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． 【活动三】解直角三角形 例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2，6，解这个三角形． 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
1.1 正弦定理和余弦定理 【知识要点】 1. 正弦定理：在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 是三 角 形ABC 的外接圆的半径，则有===2sin sin sin a b c R A B C 。文字语言表述为：在一 个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 2.余弦定理：在三角形ABC 中，有： 222222222=+-2cos ;=a +-2cos ;=+-2cos a b c bc A b c ac B c a b ab C ； 变形后：222222222 +-+-+-cos =,cos =,cos =222b c a a c b a b c A B C bc ac ab 。 3. 解三角形的基本类型及解法 a. 一般的，把三角形的三个内角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角 形的元素。已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 b. 解三角形有一下几种类型： （1）已知一边和两角 （2）两边和夹角 （3）三边 （4）两边和其中一边对角 4. 判断三角形的形状 常见结论：（1）若222+=a b c ，则C=90? （2）若2 2 2 +a b c >，则C <90? （3）若2 2 2 +a b c <，则C 90>? （4）sin 2sin 2,+= 2 A B π =若则A=B,或A B 5. 三角形的综合问题 【知识应用】 1. 研究三角形问题的一般有两种思路：一是边化角，二是角化边。在解题时要结合题设，发现题设结构，再结合正弦定理解决。 【J 】例1 （1）三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。若c=2,6,120b B ==?，则a=______。 （2）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 (3)cos cos , cos b c A a C A -=则=________。
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
中考复习锐角三角函数及解直角三角形教学设计 吉林省白山市靖宇县景山学校高芝红 义务教育课程标准人教版教科书《数学》九年级下《锐角三角函数及解直角三角形》专题复习。 根据数学新课标及吉林省中考数学考纲制定以下教学目标： 教学目标 知识与技能使学生掌握特殊角三角函数值，理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形。 过程与方法在学生经历“回顾—应用—归纳”直角三角形相关知识过程中，体会数形结合、转化、化归、抽象的思想。 情感态度与价值观通过运用直角三角形相关知识解决问题,培养学生的综合运 用知识解决问题的能力，体验运用数学知识解决一些简单的 实际问题，培养学生用数学的意识。 重点特殊角的三角函数值及选择正确关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。 难点将实际问题抽象为数学问题，选择正确关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。 教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，九年级学生具备一定的探究能力，因此我采用学生独立思考、阐述解题思路、 合作探究、引导启发等方法突破难点。 学法通过学生独立思考、师生合作等方法认识到数与形相结合的意义和作用，提高学生将千变万化的实际问题转化为数学问题解决的能力， 体验到学好知识，能应用于社会实践，从而培养学生用数学的意识。教具课件三角板 教学过程设计 师生通过回忆与直角三角形有关的知识引出课题——设计意图 锐角三角函数及解直角三角形专题复习充分利用学生知活动1 【知识梳理】识最近发展区进1.锐角三角函数的定义：入主题。 若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，则sinA＝___，cosA＝___，tanA＝ ___，cotA=___. 2.特殊角的三角函数值：
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形， 直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3 3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）.
在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A
《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的
3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m
第九章解直角三角形单元备课 陈光双 一、地位和作用 锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一． 二、教学内容 本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用．研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想．因此本章还包含了数形结合的思想． 本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示： 角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系．（2）锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦（sin A）、余弦（cos A）和正切（tan A）三种．（3）三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30°、45°和60°这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算．
（4）锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形． 二、教学目标 三、教法学法建议 1．边角之间的关系用函数来定义，学生理解有困难，教学时应引导学生适当回顾函数的概念，使学生体会三角函数的定义的合理性． 2．注意创设学生熟悉的问题情境．如引入锐角三角函数时，若农村学生没有见过电梯，可以用山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境．使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．3．注意引导学生进行合作交流．如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关；当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数．
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本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 第1课时 教学目标 【知识与技能】 理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合思想，在解决问题过程中，感受成功的快乐，树立良好的学习习惯. 教学重难点 【教学重点】 运用直角三角形的边角关系解直角三角形. 【教学难点】 灵活运用锐角三角函数解直角三角形. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图（2），在Rt△ABC 中，ZC =90，BC =5.2m，AB= 54.5m，你能根据上述条件求出图（2）中∠A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流.
【教学说明】运用锐角三角函数来解决生活中趣味性问题的过程，可激发学生的学习兴趣，增强运用所学过知识解决问题的信心，教师 适时予以点拨. 二、思考探究，获取新知 在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函数可求出它的锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，求出另一个锐角度数，也可以利用勾股定理得到另一条直角边. 一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三形 思考（1）直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？ （2）知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？ 【教学说明】学生相互交流获得结论，教师再与学生一道进行系统的总结，完善知识体系. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C 外的5个元素之间有如下关系： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2 （2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系：
高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
第2章 解三角形 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c A C = （思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==.
28．2．1 解直角三角形 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，
∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝3 7，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37 ，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，
第一章直角三角形的边角关系 《解直角三角形》教学设计 一、教材分析 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值.本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务?培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧?把勾股定理和锐角三角函数的询期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用. 二.学情分析 1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sina、cos a tana值. 2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解?有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件. 3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养. 三、教学任务分析 本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形?所以教学U标如下: 知识技自出初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化. 解决问题？解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化?通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力