有限元法讲义（上）
一绪论：工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法，变分法，有限元法。
有限元定义：有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。
有限元指导思想：化整为零，裁弯取直，变难为易，先拆后搭。
单元：在有限元法中，单元用一组节点间相互作用的数值和矩阵（刚度系数矩阵）来描述。节点：单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。
数学问题的数值求解方法——里兹法（Ritz method)基本思想：
（1）先根据描述问题的微分方程和相应定解条件构造等价的泛函表达式；
（2）然后在整个求解区域上假设一个满足边界条件的试探函数（或近似函数）；
（3）通过直接求解泛函极值来获得原问题的近似解。
提高有限元分析的精度：1，减小单元尺寸2：提高单元插值函数阶数。
有限元特点：（1）理论基础简明，物理概念清晰。它解决问题的途径是物理模型的近似，而在数学上则不作近似处理。
（2）灵活性和适用性兼备。
（3）在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法。
（5）边界适应性强，精度可控。
（6）计算方法通用，易于程序化，应用范围广。
二有限元法基本理论：1，离散（剖分）结构为若干单元；2，单元分析,(构造位移函数，建立单元刚度矩阵[k]e，形成单元等价节点力)；3，系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K],形成等价节点荷载{P} )；4，解综合方程[K]{⊿}= {P},求结构节点位移{⊿}，计算结构内力和应力。
三平面弹性问题有限元法：
单元形函数的特性：（1）正交性：形函数在本节点的值等于1，在其它节点的值等于0。（2）正规性：单元内任一点的形函数之和等于1。
总体刚度矩阵K的特性：对称性，奇异性，稀疏性，非零元素带状分布。
整体刚度矩阵具有以下几个显著的特点：1. K是对称矩阵，2. K中主对角元素总是正的；
3. K是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布；
4. K是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵；带宽：带状刚度矩阵的带宽取决于单元网格中相邻节点号码的最大差值D。把半个斜带形区域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包括主对角元），用B表示，如下B=2(D+1) ；通常的有限元程序，一般都利用刚度矩阵的对称和稀疏带状的特点，在计算求解中，只存储上半带的元素，即所谓的半带存储。因此，在划分完有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中相邻两节点的号码差尽可能小，以便节省存储空间、提高计算效率。
K是奇异矩阵：无约束的弹性体（或结构物）的整体刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵，即关于位移的解不唯一。这是因为弹性体在外力的作用下处于平衡，外力的分量应该满足三个静力平衡方程。这反映在整体刚度矩阵中就意味着存在三个线性相关的行或列，所以是个奇异阵，不存在逆矩阵。例如：设弹性体在外力的作用下处于平衡，这时相应的解为，然后在给予弹性体以刚体位移而相应的节点位移，这时，仍是问题的解，因
为刚体位移不会破坏平衡。
为什么要约束处理 ? 1，总体平衡方程组是奇异的；2. 消除无限制的刚体运动 ；3.
使总体平衡方程组存在唯一一组解；
力(载荷)边界条件：集中载荷力 ；自重力；表面分布力 ；热交换引起的温度载荷 位移边界条件 ：固定位移约束 ；强制位移约束 ； 引入位移边界约束条件的方法：代入法；乘大数法。
计算结果整理： 对于三节点三角形单元，单元内各点的应力值相等，算出的应力一般作为单元形心处的应力。由于单元应力为常数，整个结构的应力场呈阶梯状，在单元之间不连续。而工程上往往更加关心边界和节点上的受力情况，因此，必须对所得到的应力再次进行处理，得到更加合理的应力场，并得到所需点上的应力值。这里介绍两种简单的方法，一种方法称为节点平均法，即把环绕某一节点的各单元的应力加以平均作为该节点的应力值。 边界节点处的应力不宜直接由单元应力平均来获得，而要根据内节点的应力构造插值函数推算出来。如常用的抛物线插值公式如下：
另一种方法称为单元平均法，即把两相邻单元的应力加以平均，用以表示公共边界中点的应力。为了由这样平均所得到的应力具有较好的精度，两相邻单元的面积不应相差太大。 应力的精度主要依赖于单元的尺寸、单元的类型（位移模式）。 收敛准则：对于有限元这种数值计算方法，一般总是希望随着网格的逐步细分所得到的解能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，可知在有限元分析中，一旦确定了单元的形状之后，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立等等，都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，那么就很难获得良好的数值解。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即 1）位移模式必须包含单元的刚体位移。 2）位移模式必须包含单元的常应变。
3）位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。
例： 如图所示有限元模型，弹性模量为 ，厚度为 ，为简化计算取 ，求整体刚度矩阵。
解：该模型中共有6个节点，4个单元，各单元的信息如表所示。 各单元信息
()()()()()()()()()()()()3424231234
232432344243
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第4章空间问题有限元分析——空间轴对称问题
轴对称应力分析问题：当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题。
空间与平面问题的差异：1，轴对称问题采用极座标r , θ, z, 2，虽然物体上任一点用三个座标r, θ，z 描述，但物体中无论应力σ、位移δ都与θ无关，所以它只是r, z的函数。几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。
常采用三种办法进行计算：1、显式积分；2、数值积分；3、简单的近似积分。一般采用第3种简单的积分，它不仅在程序上简单，而且还回避了节点在极轴上时带来的奇异问题。实践证明，在精度方面它并不比精确的积分公式法差。
五等参单元与数值积分
有限元分析与应用----------习题课