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傅里叶级数下连续小推力(译文)

傅里叶级数下连续小推力(译文)
傅里叶级数下连续小推力(译文)

Reduction of Low-Thrust Continuous Controls

for Trajectory Dynamics

前言摘要

A novel method to evaluate the trajectory dynamics of low-thrust spacecraft is developed. The thrust vectorcomponents are represented as Fourier series in eccentric anomaly, and Gauss’s variational equations are averaged over one orbit to define a set of secular equations.These secular equations are a function of only 14 of the thrust Fourier coefficients, regardless of the order of the original Fourier series, and are sufficient to accurately determine a low-thrust spiral trajectory with significantly reduced computational requirements as compared with integration of the full Newtonian problem. This method has applications to low-thrust spacecraft targeting and optimal control problems.

一种新的求解小推力轨道动力学的方法被开发出来了。推力向量的各坐标用偏近点角表示为傅里叶级数,并且将高斯变分方程平均到整个轨道上来提高久期方程组的精度。这些久期方程组仅仅是14个推力傅里叶系数的函数而忽略初始傅里叶级的次数,这些方程能够精确有效的解决小推力螺旋轨道问题,且与通常的牛顿问题的积分方法相比能大大减少计算量。这一方法应用在小推力航天器的目标确定和最优控制问题中。

I. Introduction 引言

LOW-THRUST propulsion systems offer an efficient option for many interplanetary and Earth-orbit missions. However, optimal control of these systems can pose a difficult design challenge. Analytical or approximate solutions exist for several special cases of optimal low-thrust orbit-transfer problems, but the general continuous-thrust problem requires full numerical integration of each initial condition and thrust profile. The trajectory is highly sensitive to these variables; thus, the optimal control law over tens or hundreds of orbits of a spiral trajectory is often difficult to determine.

小推力推进系统为许多星际航行和地球轨道任务提供了一种高效的新选择。但是这种系统却对最优化控制提出了新的挑战。对于几种特殊的小推力下的轨道转移的最优控制问题已经出现了解析法和数值近似解的方法,但是对于一般的连续推力问题需要对每一个初始条件和推力值进行完全的数值积分。轨道参数的确定往往对这些变量很敏感,因此,(普通的)最优控制法则对于确定螺旋轨道的数十甚至上百个轨道是十分困难的。

Analytical solutions have been developed for many special-case transfers, such as the logarithmic spiral [1–3], Forbes’s spiral [1], the exponential sinusoid [4,5], the case of constant radial or circumferential thrust [6–8], Markopoulos’s Keplerian thrust programs [9], Lawden’s spiral [10], and Bishop and Azimov’s spiral [11]. More

recent solutions have used the calculus of variations [12] or direct optimization methods [13] to determine optimal low-thrust control laws within certain constraints. Several methods for open-loop minimum-time transfers [14–16] and optimal transfers using Lyapunov feedback control [17,18] also exist. Averaging methods in combination with other approaches have proven to be effective at overcoming sensitivities to small variations in the initial orbit and thrust profile [19–22], yet all solutions remain limited to certain regions of the thrust and orbital parameter space.

在一些特殊情形的轨道转移中,数值解法已经得到了挖掘,如对数螺旋(上升/下降),福布斯螺旋(上升/下降),指数正弦曲线,常值径向/切向推进,马氏开普勒推进,劳登螺旋,毕-阿氏螺旋等。而最新的更多解法则应用变量/变差的微积分或直接优化法来来确定特定约束条件下的小推力最优控制律。一些求解开环(轨道)的时间最优轨道转移和李雅普诺夫反馈最优轨道转移法也早就出现。实践证明,把平均法和其它方法结合的思路在解决对初始轨道/推力变量预测敏感的问题上有很有效的,但所有这些方法都局限于由推力和轨道参数形成的空间区域中。

The focus of this study is a novel method to evaluate the effect of low-thrust propulsion on spacecraft orbit dynamics with minimal constraints. We represent each component of the thrust acceleration as a Fourier series in eccentric anomaly and then average G auss’s variational equations over one orbit to define a set of secular equations. The equations are a function of only 14 of the thrust Fourier coefficients, regardless of the order of the original Fourier series; thus, the full continuous control is reduced to a set of 14 parameters.

本文研究的重点是提出一种评估/解决带有最少约束的航天器轨道动力学的小推力推进效应/问题。我们将推进加速度向量的各坐标用偏近点角表示为傅里叶级数,并且将高斯变分方程平均到整个轨道上来提高久期方程组的精度。忽略初始傅里叶级的次数,这些久期方程组仅仅是14个推力傅里叶级系的函数,因而整个连续控制问题的参数减少为14个。

With the addition of a small correction term to eliminate offsets of the averaged trajectory due to initial conditions, the averaged secular equations are sufficient to determine a low-thrust trajectory with a high degree of accuracy. This is verified by comparison of the averaged trajectory dynamics with the fully integrated Newtonian equations of motion for a basic step-acceleration function and a randomly generated continuous-acceleration function.

我们用添加小的修正项的方法来消除由于初始条件造成的平均轨道的误差,这样,这个平均轨道就可以有足够的精度来解决小推力轨道(转移)问题。这个已经通过对比平均轨道动力法和基本分步加速度函数及随机连续加速度函数的牛顿运动方程全积分法证实。

The method has certain limits of applicability. First, the thrust acceleration must be able to be represented by a Fourier series, as is true for almost any physical system.

The acceleration must be periodic (not necessarily with a period of one orbit) with

sufficiently low magnitude that the orbit shape does not change significantly from

start to finish. The orbit may closely approach zero eccentricity, but the current

method cannot tolerate exactly circular orbits.

这个方法有其适用局限性。首先,跟其它的物理系统一样,加速度必须能够

表示成为傅里叶级数。加速度必须具有足够小的周期来使轨道形状从开始到结束

不发生大的改变。轨道的偏心率可以接近零,但目前的方法还不允许完全的圆轨

道。

The focus of the current paper is to introduce this methodology and present

numerical justification of the result in some limited settings. Subsequent work will

demonstrate the use of these secular equations in solving orbit-transfer problems for

low-thrust spacecraft and will study the results for near-circular orbits.

本文的重点是引入这一新的方法并且数值的方法来验证在某些限制情形下

的结果。后面的工作将论证和说明使用这种久期方程来解决小推力轨道转移问题

并且近圆轨道情况下的结果。

II. Variational Equations 变分方程

We consider a spacecraft of negligible mass in orbit about a central body, which

is assumed to be a point mass. The spacecraft is subject to a continuous thrust

acceleration of potentially varying magnitude and direction. The spacecraft trajectory

can be described by the Newtonian equations of motion:

我们考虑一个对于其环绕的中心体质量可以忽略不计的在轨航天器,它可以

认为是一个质点。航天器受一个连续可以大范围改变大小和方向的推力的作用。

其轨道可以用牛顿运动方程来表述:

v r

= (1) F r r

v +-=3μ (2) where r is the position vector, v is the velocity vector, and μis the standard

gravitational parameter of the central body. The thrust acceleration vector F can be

resolved along the radial, normal, and circumferential directions:

式中的r 为位置矢量,v 为速度矢量,μ为中心体的引力常数。推力加速度矢

量F 可以沿着径向、法向和切向分解:

()r w F w F r F F S W R ?????++= (3) where r r r

=? and v r r r w

??=?. The Newtonian equations can be decomposed into

the Lagrange planetary equations, which describe the time rate of change of the

classical orbit elements of a body subject to the R F , W F , and S F perturbations. The

Gaussian form of the Lagrange planetary equations is presented next [23]: 式中:r r r

=?,v r r r w

??=?。牛顿方程可以分解为拉格朗日行星方程,拉格朗日行

星方程把经典的轨道根数随时间的变化率描述为受R F ,W F 和S F 支配的扰动方

程。高斯形式的行星方程可以表示为:

where a is the semimajor axis, e is the eccentricity, i is the inclination, Ωis the

longitude of the ascending node, ωis the argument of periapsis, ν is the true

anomaly, E is the eccentric anomaly, and ?=+l ndt 1ε is the mean longitude. The

mean anomaly is the difference of the mean longitude and the longitude of periapsis:

这里式中的a 为半长轴,e 为偏心率,i 为轨道倾角,Ω为升交点赤经,ω为近地

点辐角,ν为真近点角,E 为偏近点角,而?=+l ndt 1ε为真黄经。平近点角是平

黄经和近心点经度的微分:

()ωε+Ω-+=?1ndt M (10)

In the modeling and simulation of low-thrust spacecraft orbits, both the

Newtonian equations and the Gauss equations provide identical results. The Gauss

equations are often preferred for clear visualization of the orbit over time.

在小推力航天器的轨道建模与模拟中,牛顿方程和高斯方程可以得到相同的

结果。但在轨道时间历程的可视化中,高斯方程要好一些。

III. Fourier Series Expansion of Control Law 控制律的傅里叶展开

According to Fourier’s theorem, any piecewise -smooth function ()θf with a

finite number of jump discontinuities on the interval (0,L )can be represented by a

Fourier series that converges to the periodic extension of the function itself [24]:

根据傅里叶理论,任何一个在(0,L )上只存在有限个第一类间断点的分段

光滑的函数()θf 都可以表示为一系列无限逼近与函数本身的傅里叶级数:

()∑∞

=????????? ??+??? ??=02sin 2cos k k k L k b L k a f θπθπθ (11) When jump discontinuities exist, the Fourier series converges to the average of the

two limits. For an interval of interest πm L =, the Fourier coefficients are found by

当跳跃间断点存在时,傅里叶级数将逼近于左右极限的平均值。对于长度为

πm L =的区间,傅里叶系数可以由下式给出:

()θθππd f m a m ?=0

01 (12)

()θπθπ

πd m k f m a m k ??? ??=?2cos 20 (13) ()θπθππd m k f m b m k ??? ??=?2sin 20

(14) Nearly all physical systems meet the conditions of piecewise smoothness and jump

discontinuities; thus, this representation can be applied to almost any general

low-thrust spacecraft control law. Given an arbitrary acceleration vector F , each

component can be represented as a Fourier series over an arbitrary time interval. The

Fourier series can be expanded in time or in a time-varying orbital parameter, such as

true anomaly, eccentric anomaly, or mean anomaly. Let θ represent this arbitrary

parameter:

几乎所有的物理系统都可以满足分段光滑和有限个第一类间断点这个条件;因

此,这种表示方法可以应用于任何一种普通的小推力航天器的控制律中。对于给

定的任意的加速度矢量F ,其各个分量都可以表示为在任意时间间隔上的傅里叶

级数。傅里叶级数可以按时间展开,也可以按随时间变化的轨道参数展开,如真

点近点角,偏心率或平近点角。以θ来表示这一任意的轨道参数:

∑∞

=????????? ??+??? ??=0,,2sin 2cos k R k R k R L k L k F θπβθπαθθ (15) ∑∞

=????????? ??+??? ??=0,,2sin 2cos k W k W k W L k L k F θπβθπαθθ (16) ∑∞

=????????? ??+??? ??=0,,2sin 2cos k S k S k S L k L k F θπβθπαθθ (17) The acceleration function is thus defined by the coefficients θα,D K and θβ,D K , where the

superscripts D and θindicate the acceleration direction and the expansion variable,

respectively.

因此加速度方程就可以由系数θα,D K 和θβ,D K 确定,这里的上标D 和θ分别代表加速

度的方向和展开变量。

IV. Averaged Variational Equations 平均变分方程

We begin our first-order averaging analysis by assuming an acceleration vector

that is to be specified over one orbit period (π2=L ) with a sufficiently low

magnitude that the size and shape of the orbit does not change significantly over one

revolution.Therefore, we may average the Gauss equations over one orbit period with

respect to mean anomaly to find equations for the mean orbit elements:

现在开始一阶平均化分析,先假设一个加速度矢量,它可以在一个轨道周期

(π2=L )中表示,这个加速度矢量足够小,以使轨道的在一圈中的改变不是很明

显。因此,我们可以将高斯方程用真近点角在一个轨道周期上平均来得到平均轨

道参数方程。

dM ?=πγπγ20

21 (18)

where γrepresents any orbit element. Our π2periodic-orbit assumption slightly

simplifies the Fourier series and coefficient definitions:

这里的γ代表任意的轨道参数,上面的对以π2为周期的轨道的假设,使得傅里

叶级数及其系数的描述得到稍许简化:

[]

∑∞=+=0,,sin cos k R k R k R k k F θβθαθθ (19)

[]

∑∞=+=0,,sin cos k W k W k W k k F θβθαθθ (20)

[]

∑∞=+=0,,sin cos k S k S k S k k F θβθαθθ (21)

()θθπ

απθ

d F D ?=20

,021 (22) ()()θθθπαπθd k F D k cos 120,?=

(23) ()()θθθπβ

πθd k F D k sin 120

,?= (24) At this point, the choice of orbital parameter for the thrust acceleration vector

components’ Fourier series expansion becomes significant. If the acceleration

components are expanded as Fourier series in true anomaly and the independent

parameter for the averaging is likewise shifted to true anomaly, the resulting secular

equations become quite lengthy and complex. For example, the equation for the

semimajor axis becomes :

由此可见,在对推力加速度矢量的傅里叶展开时,所使用的轨道参数的选择

是很重要的。如果加速度分量和其它用于平均化分析的参数都按真近点角展开成

傅里叶级数的话,则由此得出的久期方程将变得冗长而复杂。例如,半长轴方程

将变成:

()()()()()[]()[]

υυθβθαυυθβθαμπυυυυμπυυππ

πυυυυπππd e a k k e ae k k e a d e a F e ae F e a d e a e dM a a k S k S k k R k R k S R ?∑∑?????????+??? ??+++??? ??+?-=

??????+++-=

+-==∞=∞=200,,20

,,2202220223220cos 1sin cos cos 1sin sin cos 11cos 1cos 1sin 11cos 112121 (25) Note that the denominator ()k

e υcos 1+can be expanded as a cosine

series in its own right:

我们注意到分母可以展开成余弦级数:

()()∑∞==+0

cos 11i k i k coxi e b e υυ (26)

Thus, in the true anomaly expansion, each averaged equation contains integrals of products of the sine and cosine series. Resolved into secular equations, each equation will contain the full Fourier series for each relevant acceleration direction. Even more complicated results are found if the expansion and averaging are carried out in mean anomaly.

因此,在真近点角的展开中,每一个平均方程中都含有正/余弦乘积的所有项目。当方程转化为久期方程后,每一个方程都含有各个方向的加速度的所有傅里叶级数。如果展开和平均化是以平近点角进行的,那么会得到更加复杂的结果。

However, if the acceleration vector components are expanded as Fourier series in eccentric anomaly and the averaging is carried out with eccentric anomaly as the independent parameter, the problematic denominators are eliminated,

as ()dE E e dM cos 1-=:

但是,如果加速度向量的每一个分量都是按偏近点角展开的并且,平均化的各独立参数也是按偏近点角进行的,那么上述有问题的分母便可以消去,()dE E e dM cos 1-=:

()?-=πλ

πγ20

cos 121dE E e (27) Applying this, the averaged Gauss equations with respect to eccentric anomaly can be stated as

应用此式,关于偏近点角的高斯方程就可以表述为

[]?-+=πμπ

2023

1sin 1dE e F E e F a a S R (28) dE E e e E F E e F e a e s R ?????????? ??--+--=πμπ

20222cos 2123cos 2sin 1121 (29) ()

dE E e E e E e e E e F e a i W ]2sin sin 12

12cos cos 21sin sin 1cos 2

3cos cos 1[1121222202ωωωωωμππ-+----+?

-=? (30)

()

dE E e E e e E e E e F e i a W ]2cos sin 2

12sin cos 121cos 2

3cos sin 1sin cos 1[1csc 21222202ωωωωωμππ

----++-?

-=Ω? (31) ()

()

Ω-??? ??--+----=? i E e E e F e e E e F e a S R cos ]2sin 21sin 21cos 1[121

22220πμπω (32) ()()()

dE e e F E e a R ]21sin 1211cos 1[1

2222201Ω??? ??-+Ω+--+--=? ωμπεπ (33) Substituting the Fourier series for the thrust vector components into the averaged Gauss equations, we encounter the orthogonality conditions :

用傅里叶级数代替推力分量得到平均化的高斯方程,我们便遇到正交条件:

????????==≠=≠=L m n L m n L m n mxdx nx 00

02

0cos cos (34) ??????≠===≠=L

m n L m or n m n mxdx nx 002

0,0,0sin sin (35) This orthogonality eliminates all but the zeroth-, first-, and/or second-order coefficients of each thrust-acceleration Fourier series. Thus, the average rates of change of the orbital elements a, e, i,Ω , ω, and 1ε are only dependent on the 14

Fourier coefficients :E R ,0α ,E R ,1α,E R ,2α,E R ,1β,E S ,1α,E S ,2α,E S ,1β,E S ,2β,E W ,0α ,

E W ,1α,E W ,2

α,E W ,1β,and E W ,2β,regardless of the order of the original thrust Fourier series. Henceforth, we will drop the superscript E , as all thrust-acceleration Fourier series will be expanded in eccentric anomaly:

这个正交性消掉了推力加速度傅里叶展开级数中除了第一,第二和/或第三项系数外的所有系数。因此,不考虑初始推力加速度傅里叶级数的次/阶数,轨

道根数的平均变化率a, e, i,Ω , ω, 和1ε只与这14个傅里叶系数有关:E R ,0α ,

E R ,1α,E R ,2α,E R ,1β,E S ,1α,E S ,2

α,E S ,1β,E S ,2β,E W ,0α ,E W ,1α,E W ,2α,E W ,1β,和 E W ,2β。由于所有的推力加速度分量都是以偏近点角展开的,所以在以后的叙述中,我们将省略上标E :

??

????-+=S R e e a a 02131212αβμ (36) ??????--+--=S S S R e e e e a

e 20112241231211αααβμ (37) ()

???-+----+???-=W W W W W e e e e e e e a i 222120122sin 141cos 41sin 121cos 23cos 12111ωβωαωβωαωαμ (38) ()

???----++-???-=ΩW W W W W e e e e e e e i a

222002122sin 41cos 141sin 231sin 121cos 1211csc ωαωβωαωαωβμ (39)

()

Ω-??????--+-+--= i e e e e e e a S S R R cos 41221112112120212ββααμω (40) ()

()()Ω??

? ??-+Ω+--+??????-+--= 2sin 12112122222221021i e e e e e a R R R ωαααμε (41)

The assumption of a thrust-acceleration vector specified over only one orbit

period is not strictly necessary; the same averaging method can be used with

acceleration functions specified over arbitrary lengths, simply by substituting Eqs. (12–17) and averaging the Gauss equations over the full interval. An example of this is presented in Sec. V. In general, when πm L =, the zeroth, (m/2)th, and m th

coefficients will remain, with fractional indices required in the original Fourier series when m is not an even integer. However, the averaging assumption may become less valid for aperiodic control laws of long duration, for which the orbit changes

significantly from start to finish.

我们不一定要严格按照对推力加速度矢量只能在一个轨道周期中表示的假

设,这样的平均化分析的方法可以在任意长度的轨道段中进行,只需把方程(12–17)和高斯方程在整个区间上替换就行。第下面的第五部分中将给出这样的一个例子。通常的,当πm L =时,方程中只有第零次,(m/2)次和m 次傅里叶系数,如果m 不是偶数,那么将会出现分数指数的形式。但是如果是这样的话,这

种平均化假设在解决轨道始末两个状态改变量明显的控制律问题中有效性会大打折扣。

Equations (36–41) contain singularities in the case of zero eccentricity or

inclination, due to singularities in the Gauss equations. To avoid numerical difficulties when evaluating trajectories that closely approach circular or equatorial orbits, we substitute the variables.

由于高斯方程存在奇点的问题,方程(36–41)在偏心率为零和轨道倾角为零时也会出现奇点。为了能够解决在评估近圆和近赤道轨道时出现的数值计算问题,我们把变量作如下替换:

()ω+Ω=sin 1e h (42)

()ω+Ω=cos 1e k (43)

Ω=sin sin 2i h (44)

Ω=cos sin 2i k (45)

The averaged differential equations for the new variables can be derived using the preceding approach. These substitutions are effective for near-zero eccentricity and inclination; however, we find inaccuracies when integrating trajectories that pass through exactly circular orbits, indicating that our averaging analysis must be

reconsidered for this case. A deeper analysis of these singularities will be carried out in the future.

含有上述新变量的平均化的微分方程也可以用先前的方法推导得出。这一变量替换可以有效的解决近圆和近赤道轨道问题;但是我们发现即使这种替换变量的方程在解决完全圆轨道时,也会出再不准确,这就说明,针对于这种情况,我们前面所述的平均化分析要重新考虑。对于这种奇异点的情况,将来还要做更深入的研究和分析。

V. Agreement with Newtonian Equations 与牛顿方程的相容/一致性

In the following, we present several examples to indicate the veracity of our analytical result. These simulations and comparisons are to provide additional insight into this result. Additional numerical verifications of these results were made but are not reported here. To verify the averaged secular equations, we first consider a simple control law: a step-acceleration function in the circumferential direction only, with two burns and coast arcs, as shown in Fig. 1. The Fourier series for this step function is determined by Eqs. (22–24):

接下来我们用几个例子来说明上述分析结果的正确性。我们将用这些模拟和对比来更加深入的洞察和理解上述分析结果。我们做了更多的数值验证,但不在

这里一一举出。为了验证平均化的久期方程的正确性,我们先考虑一个切向分步加速度模式下的控制律问题,在机动过程中,包含有两个点火和两个滑行弧,过程如下图1所示。分段函数下的傅里叶级数由方程(22–24)给出:

()???????<≤<≤<≤<≤=πππππππ223,2

123,200E E E E E F S

Fig. 1 Step circumferential acceleration. 图1 分段切向加速度

()()∑∞

=+=0sin cos k s k s k S kE kE F βα (46)

2121200==

?ππαdE F S s (47) ()0cos 120==?π

παdE kE F S s k (48)

()?????=-==

?otherwise

k k dE kE F S s k 0,...10,6,24sin 120ππβπ (49) Figure 2 compares this Fourier series, numerically evaluated up to order 1000, to the series of only the five terms that appear in the averaged secular equations. Clearly, there is considerable variation between these two representations of the periodic step-acceleration control law. (All dimensions herein are normalized to a standard gravitational parameter 1=μ; thus, figure units are not stated.)

图2中,我们对久期方程中的1000项傅里叶级数和5项傅里叶级数的数值评估结果的精度作了对比。很明显,这种对周期性分段推力的控制律用不同的项数逼近(在精度上)会有很大的不同。(所有的量纲均规范化为标准的重力参数1=μ;因此在图中没有标注单位)

Fig. 2 Fourier series for step circumferential acceleration.

图2 分段切向加速度的傅里叶级数表示(对比)

Fig. 3 Osculating orbital elements of spacecraft subject to step circumferential acceleration.

图3 受分段切向推力(加速度)的航天器的吻切轨道根数

Another case of interest is acceleration with constant magnitude but varying direction, as on a spacecraft with one gimbaled thruster. As a simple example of this case, we consider an acceleration that oscillates sinusoidally between the radial and circumferential directions, as shown in Fig. 4. The Fourier series for the components

of this acceleration vector are immediate:11=R α, 10=S α, and 11-=S α, and all other

coefficients are zero.

我们所关注的另一种情况是航天器上载有可以改变推进方向的推进器,使航天器受到常值连续可变方向推力(加速度)。这种情况下的一个简单的例子就是加速度方向在径向和法向间按正弦规律变化,如图4所示。这种情形下的加速度

矢量分量的傅里叶表达式中的系数便为:11=R α, 10=S α,和11-=S α,而其它所

有的系数均为零。

Figure 5 shows the trajectory resulting from this acceleration, as determined by both the Newtonian equations and the averaged secular equations. Again, there is close agreement between the two methods.

由牛顿方程和平均久期方程算得的在这种加速度作用下的轨道如图5所示。同样,这两种方法之间也存在相容/一致性。

Next, we consider a more complex control law. Figures 6–8 describe the

trajectory of an example system for which the thrustacceleration Fourier coefficients were randomly selected up to order 10 within the range of -2.5e- 7 to 2.5e -7. Figure 6 compares the time histories of the osculating orbital elements as determined by both methods. We note that there is precise agreement between the Newtonian equations and the averaged secular equations for the first several orbits. In the later orbits, there is some drift, most noticeable in mean anomaly and argument of periapsis, due to higher-order effects not captured in the averaging process and to mismatch between the average initial conditions and the secular initial conditions. Correction of this drift will be addressed in Sec. VI.

下面,我们考虑一个更为复杂的控制律。图6-8所描述的实例中,加速度傅里叶展开系数是随机选取的,达到10阶精度,且范围在[-2.5e- 7 , 2.5e -7]。图6将两种方法算得的吻切轨道根数时程进行了对比。我注意到,在初始的几圈轨道中,牛顿方程和久期方程解具有极好的一致性。但在靠后几圈轨道中,解发生了一些漂移,其中平近点角和近地点辐角的变化最为明显,这是由于更高阶的影响因素没有在平均化分析中考虑到,且平均化的初始条件和久期方程的初始条件并不完全匹配/相容。我们将在本文第六部分中对这些漂移进行修正。

Figure 7 compares one component of this acceleration vector over three orbits with the first five terms of its Fourier series expansion (i.e., the terms that appear in the secular equations).

图7将三圈轨道中的法向加速度分量和只用前五项(即在久期方程中出现的项数)展开的傅里叶级数进行对比。

Figure 8 shows the eccentric anomaly over the 15-orbit time span. Note that the eccentric anomaly shifts slightly as the nominal orbit evolves. This implies that the original control law has a changing time variation as the orbit evolves, even though the coefficients may stay constant.

图8显示的是偏近点角在15个轨道时间范围内的变化。我们注意到,偏近点角随着标称轨道的变化发生了轻微的漂移。这说明尽管系数维持不变,但在原来的控制律中存在一个随轨道改变的时变参数。

Fig. 4 Constant-magnitude acceleration. 图4 常值加速度

Fig. 5 Osculating orbital elements of spacecraft subject to constantmagnitude acceleration.

图5受常值加推力(加速度)的航天器的吻切轨道根数

Fig. 6 Randomly generated acceleration. 图6 随机生成的加速度

Fig. 7 Normal component of the acceleration vector. 图7 法向加速度分量

Fig. 8 Eccentric anomaly vs time. 图8 偏近点角时程图

Figures 9 and 10 show an example of the same method applied to a control law with a period longer than π2. In this example, the acceleration function is defined on the interval ()π6,0, with randomly selected Fourier coefficients in the range of -2.5e - 7 to 2.5e -7 and dimensions normalized to 1=μ. The 14 coefficients that remain in the

averaged secular equations in this case are R 0α ,R 3α,R 6α,R 3β,S 0α,S 3α,S 6α,

S 3β,S 6β,W 0

α ,W 3α,W 6α,W 3β,and W 6β . Figure 9 shows the osculating orbital elements over 20 orbits. Figure 10 shows the normal component of the acceleration vector and the first five terms of its Fourier series over the first nine orbits or the first three cycles of the periodic acceleration.

图9和图10所示为用上述相同方法求解的周期大于π2的一个算例。在这一算例中,加速度函数定义在区间()π6,0上,在-2.5e – 7和 2.5e -7间随机地选择傅里叶系数,各量纲由1=μ进行标准化。在这一算例中,不为零的傅里叶系数为R 0α ,

R 3α,R 6α,R 3β,S 0α,S 3α,S 6α,S 3β,S 6β,W 0

α ,W 3α,W 6α,W 3β,和 W 6β。图9所示为20个轨道周期的吻切轨道的根数(时程)。图10为法向加速度分量在前9圈轨道或前三个加速度周期内的前五项展开。

Fig. 9 Randomly generated acceleration with period π6. 图9 π6周期下随机加速度

Fig. 10 Normal component of the π6periodic acceleration vector over nine orbits.

图10 π6周期下9个轨道的法向加速度

VI. Offset Correction

Average trajectories calculated using Eqs. (36–41) show the correct trends in the evolution of the osculating orbital elements and are good approximations of the true trajectories. However, they may be offset from the true averages and may diverge from true trajectories over many orbits. This may be partially due to higherorder effects not captured in the averaging method, but it may also be due to nontrivial periodic components, which can shift the mean value of the state from the initial

condition. This initial condition offset can be corrected by the addition of an averaged periodic term to the initial conditions of the secular equation for each orbital element. At any time t , the true value of any orbital element can be expressed as the sum of a secular term and a periodic term. The periodic term repeats itself over each orbit:

由方程(36–41)计算得出的平均轨道所显示的久期轨道根数变化趋势是正确的,并且能很好的逼近真实轨道。但是这些计算得到的值可能会偏离真实的平均值并且会偏离真实轨道好多轨道圈数。部分原因可能是由于更高阶的影响因素没有在平均化分析中考虑到,还有可能是由于非正常周期分量造成的,这些非正常周期分量可以使初始条件产生偏离。初始条件的偏差可以通过添加平均周期项来修正为久期方程中每个轨道根数的初始条件。在任意时刻t ,任何一下轨道参数的真实值都可以表示为一系列久期项和周期项的加和。周期项在每一个轨道圈数中会重复出现:

()()t t t p

γγγγ++= (50) The true average value of the orbital element over one orbit is thus

因此一圈轨道内的轨道根数平均值为

p T γγγγ++= 2

0 (51) where T represents the period, x represents a vector of the six orbitalelements, and ()x f =γ represents Eqs. (36–41).

这里的T 代表周期,x 代表六个轨道参数向量,而()x f =γ

则代表方程(36–41)。 The time derivative of Eq. (50) provides a differential equation for the periodic term:方程(50)对时间的导数提供了一个关于周期项的微分方程:

()()x f t x f p -=,γ

(52) We substitute the nominal initial condition 0x for the true orbital element vector, knowing that the corrections are of higher order, and perform the quadrature for p γ:

我们都知道这一修正有更高阶(的精度),现在用标称初始条件0x 来代替真实的轨道元素向量,并且对p γ进行积分:

()()t x f d x f t

p 000,-=?ττλ (53) This periodic term can be averaged over one orbit:

这一周期项可以在一圈轨道中进行平均:

()()????????-=πττπ

γ20000,21dM t x f d x f t p (54) For compatibility with the form of the preceding Gauss equations, the two integrals are shifted to eccentric anomaly:

为了与上述高斯方程保持一致性,这个两重积分转换为对偏近点角的积分:

()()()()0200cos 1,cos 1121

0x f n dE E e E d E x f E e n E E p ??--??

????'''-=π

ππγ (55) where 3a n μ=is the mean motion. Note that 2T n =π.This expression for p γcan be substituted into Eq. (51) to determine the average value of the orbital element over the first period: 这里的3a n μ=为平均速度。注意到2T n =π。这一表达式可以代入到式(51)中来计算第一周期中轨道参数的平均值:

()()()??-??

????'''-+=π

μπγγ20030cos 1,cos 11210dE E e E d E x f E e a n E E p (56) To correct the initial conditions for the averaged secular equations, Eq. (55) is substituted into Eq. (50) at t =0. The averaged secular equations, thus initialized, yield a more accurate average of the true periodic trajectory:

为了修正平均久期方程中的初始条件,将方程(55)代入到方程(50)中,并令t =0。则平均久期化方程被初始化,并由此产生一个更为精确的真实周期轨道的平均值:

()()()()()x f T dE E e E d E x f E e a n E E 2cos 1,cos 11210200300--??

????'''-+=??π

μπγγ (57) To calculate a value for the averaged periodic correction term, we substitute the Fourier series in eccentric anomaly for the acceleration component terms in the Gauss equations. To avoid infinite series in the solution, we include only the 14 terms of the Fourier series for which the coefficients appear in the averaged secular equations, as they have been shown to have the most significant effect on the trajectory dynamics. Assuming zero-eccentric-anomaly initial conditions, the correction terms are

为了计算平均周期修正项的值,我们在高斯方程中将加速度分量项替换为用偏近点角表示的傅里叶级数。为了避免在解中出现无穷级数,我们只用出现在平均久期方程中的傅里叶级数系数的14项,这14项在轨道动力学分析中起着最为显著的作用。假设初始条件的偏近点角为零,那么修正项为:

常用函数傅里叶变换

附录A拉普拉斯变换及反变换 419

2 420

3.用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设F(S)是S的有理真分式 Ff ) _ B(S) b m S m?b m」S m-…?bιS ?b o A(S) a n s n+a n∕S n'+ …+a1s + a0 式中系数a o,a i,...,a n」,a n,b°,b1,…b m」,b m都是实常数;m,n是正整数。按代数定理可 将F(S)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①A(S)=G无重根 这时,F(S)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 C l C2 S-S S-S n n C C i 4 S -' S i (F-1) 式中,S1,S2,…,S n是特征方程A(S) = G的根。C i为待定常数,称为按下式计算:F(S)在S i处的留数,可 式中, 式中, C i= Iim (s _ S i)F(S) S T i C _ B(S) C i A(S) A(S)为A(S)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式( -n C l L*(S)1=L?J∣Σ旦 S — $ 一 f(t)二 C i n -S i t = C i e i i吕 (F-2) (F-3) F-1)可求得原函数 (F-4) A(S)= G有重根 设A(S)=G有r重根S1 , F(S)可写为 B(S) F S-(S-S 1) r(S-S r J (S-S n) C i C r + C r4 + …+C1 + C r 出十… (S-S1)r(S-S1)r4 (S-Sj S-S r?1 -- C i ?.? . C n S — S S-S n S i为F(S)的r重根,S r十,…,S n为F(S)的n-r个单根; 421

傅里叶级数展开matlab实现

傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下:将函数 y=x*(x-pi)*(x-2*pi),在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi); [an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex 代码an = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] bn = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18, -12/343, 3/128, -4/ 243, 3/250, -12/1331, 1/144] f = 12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/ 125*sin(5*x)+1/18*sin(6 *x)+12/343*sin(7*x)+3/128*sin(8*x)+4/243*sin(9*x)+3/ 250*sin(10*x)+12/1331* sin(11*x)+1/144*sin(12*x) ans = 12\,\sin \left( x \right) +3/2\,\sin \left( 2\,x \right) +4/9\,\sin \left( 3\,x \right) +3/16\,\sin \left( 4\,x \right) +{\frac {12}{125}}\,\sin \left( 5\,x \right) +1/18\,\sin \left( 6\,x \right) +{\frac {12}{343}}\,\sin \left( 7\,x \right) +{\frac {3}{128}}\,\sin \left( 8\,x \right) +{\frac {4}{243}}\,\sin \left( 9\,x \right) +{\frac {3}{250}}\,\sin \left( 10\,x \right) +{\frac {12}{1331}}\,\sin \left( 11\,x \right) +{\frac {1}{144}}\,\sin \left( 12\,x \right) function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b) %傅里叶级数展开% %an 为fourier 余弦项系数%bn 为fourier 正弦项系数%f 为展开表达式%f 为给定函数%x 为自变量%n 为展开系

方波信号展开为傅里叶级数

【例4.2-1】将下图所示方波信号展开为傅里叶级数。 解:按题意方波信号在一个周期内的解析式为 ()?????? ?≤≤<≤--=2 02 2 2 T t E t T E t f 分别求得傅里叶系数: cos 22cos 22200020??? ? ??+???? ??-=-T T n tdt n E T tdt n E T a ωω ()()[]0 sin sin n E 2 000 =+-= -T T t n t n T ωωω ???? ??+???? ??-=-200020sin 22sin 22T T n tdt n E T tdt n E T b ωω ()()[] 2 0020 cos cos n E T T t n t n T ωωω-+= - ()[]ππn n E cos 222-= 即: ??? ??=为偶数 为奇数n n n E b n 0 2π 故得信号的傅里叶级数展开式为 ()?? ? ??+++++=ΛΛt n n t t t E t f 0000sin 15sin 513sin 31sin 2ωωωωπ 它只含有一、三、五、……等奇次谐波分量。

【例 解: 首先将图示信号分解为奇、偶函数,如下图(a)、(b)所示。 (a) 从图(a)可见为一个半波反对称偶函数。在这种情况下,其傅里级数展开式 中将只含有余弦项,且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量,即有: 06420321========ΛΛb b b b a a a ()?? ? ??+++++= ΛΛt n n t t t t f ev 02 0002cos 15cos 2513cos 91cos 8ωωωωπ

傅里叶级数

傅里叶级数(Fourier Series ) 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数,例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为 角频率,?为初相。 但在实际问题中,除了正弦函数外,还会遇到非正弦的周期函数,它们反映了较复杂的周期运动,我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说,将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示,记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开,它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上,这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量;)sin(11?ω+t A 称为一次谐波(又叫做基波) ;而)2sin(22?ω+t A , )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波,三次谐波,等等。 为了下面讨论方便起见,我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形,得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+, 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00,则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 (1) 函数)(x f 须为周期函数; (2) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(如果0x 是函数)(x f 的间断点,但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在,那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点) (3) 在一个周期内至多只有有限个极值点。

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2 12 1(1)(2<≤--=x x x f ; 解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ? ? ?), 而 611)1(4)1(2/1221 0221 020=-=-=??dx x dx x a , ?-=21022/1c o s )1(2/12dx x n x a n π 2 2 121 2 )1(2c o s )1(4π πn x d x n x n +-= -=? (n =1, 2, ? ? ?), 由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以 ∑ ∞ =+-+=1 2 1 2 2c o s )1(1 1211)(n n x n n x f ππ , x ∈(-∞, +∞). (2)?? ? ???? <≤-<≤<≤-=1 21 12 1 0 101 )(x x x x x f ; 解 2 1)(1 2 121 1 11 -=-+==????--dx dx xdx dx x f a n , ?? ??-+==--1 2 121 1 11 c o s c o s c o s c o s )(x d x n x d x n x d x n x x d x n x f a n ππππ 2 s i n 2])1(1[122πππ n n n n +--= (n =1, 2, ? ? ?), dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ?? ??-+==--1 2 1210 1 1 1 sin sin sin sin )(ππππ π ππ n n n 12 c o s 2+-= (n =1, 2, ? ? ?).

希尔伯特变换与傅立叶变换

在数学与信号处理的领域中,一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积,以得到。因此,希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出,而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学, 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope),出现在通讯理论(应用方面的详述请见下文。) 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下: 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value),其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是: 若,则可被定义,且属于;其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出: , 其中 ?是傅立叶变换, ?i (有时写作j )是虚数单位, ?是角频率,以及

? 即为符号函数。 既然: , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°,而正频率成分偏移?90°。 反(逆)希尔伯特转换 我们也注意到:。因此将上面方程式乘上,可得到: 从中,可以看出反(逆)希尔伯特转换 傅里叶变换(Fourier变换)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

常用函数傅里叶变换

信号与系统的基本思想:把复杂的信号用简单的信号表示,再进行研究。 怎么样来分解信号?任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统,才可以用单位冲激函数处理,主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统(齐次性,叠加定理) 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数,得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西,只要知道了系统对单位冲击函数的响应,就知道了它对任何信号的响应,因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如:d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点:对于现行时不变系统,任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示,任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和,只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和,只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。

周期函数可以展开为傅里叶级数,将矩形脉冲展开成傅里叶级数,得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡,0点的值最大,然后渐渐衰减直至0 第一:对于傅里叶级数的系数,n 是离散的,所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上,其包络是取样函数。 第二:谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ,02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变,T 增大,那么0w 减小,当T 非常大的时候,0w 非常小,谱线近似连续,越来越密,幅度越来越小。 傅里叶变换:非周期函数 正变换:--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?( 反变换:-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换(典型非周期信号的频谱)

常用傅里叶变换表

时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大,则会收缩 到原点附近,而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时,成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应

8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器,sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的。 ¥14 15 16》 a>0

18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到,应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式

26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

周期性函数分解的傅里叶级数

周期性函数分解的傅里叶级数 周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示,即 210),()(、、 =+=k kt t f t f 式中T 是周期函数的周期,且 210、、 =k 如果给定的周期函数在有限的区间内,只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值,那么就可以展开成一个收敛的级数(三角级数) 设给定的周期函数)(t f ,则)(t f 可展开成 ) ()(1)sin cos (sin cos )2sin 2cos ()sin cos ()(1022110 ∑∞ =++=+++++++=k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 上式中的系数,可按下列公式计算: ????? ?? ? - - -= ====== = π ππ π ππωωπ ωωπωωωπ ωωπω) (sin )(1 ) (sin )(1sin )(2)(cos )(1 ) (cos )(1cos )(2)(1 )(1 20 020 00 22 0t td k t f t td k t f tdt k t f T b t td k t f t td k t f tdt k t f T a dt t f T dt t f T a T k T k T T T )(2 这些公式的对导,主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n 是任意整数,则下列定积分成立: ?=π 200 sin mxdx ? =π 20 cos mxdx ?=π 200cos sin nxdx mx , n m ≠ ?=π 200 sin sin nxdx mx , n m ≠ ? =π 200cos cos nxdx mx , n m ≠ ? =π π 20 2)(sin dx mx ,

常用函数傅里叶变换

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质

2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1)

式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []? ?? ?? ?-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(= t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→-

傅里叶级数展开

傅里叶级数展开傅里叶级数其实是一种三角级数。三角级数的一般形式是 ∑∞=++10)sin cos (2a n n n nx b nx a 其中0a ,n a ,n b (n=1,2,···)都是实数。 现在能否把一个任意周期为2π的函数表示为一系列正弦函数之和呢?这样表示有什么条件吗?且听慢慢分辨。 现在的焦点就是把一个周期为2π的函数f (x )表示为: ∑∞=++=10)sin cos (2a )(f n n n nx b nx a x [1] 这样的形式。 现在有两个问题: 1.在什么条件下把f (x )展开成[1]的形式: 2.0a ,n a ,n b 如何确定。 由三角函数系的正交性可知,三角函数系中任意两个相同的函数之积在[-π,π]上积分不为零;任意两个不相同的函数之积在[-π,π]上积分为零。 接下来可以这样推导0a ,n a ,n b 的值 第一步:对[1]两边同时在[-π,π]上积分有: ∑∫∫∫∫∞=++=1---0-dx] sin b dx cos [dx 2a dx )(f n n n nx nx a x πππππ πππ=π0a , 故0a =∫πππ-dx x f 1)(第二步:对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π,π]上积分有:∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d cos sin b d cosn cos [d cosn 2a d cosn )(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππππ π得, ),()(∫==πππ-n 2,1n cosnxdx x f 1a ?第三步:对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π,π]上积分有: ∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d sin sin b d sinn cos [d sinn 2a d sinn )(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππ πππ得, ),()(∫==πππ-n 2,1n sinnxdx x f 1b ?那么什么条件下才能有以上展开呢?

c语言实现傅里叶级数展开

#include #include double Getb(double Low,double Up,double step,int s) { int i; double sum=0; for(i=0;i

return false; } int main(void) { double l=-3.1415926; double u=3.1415926; double st; double x,sum; int ps,n; printf("请输入区间个数:"); scanf("%d",&ps); st=(u-l)/ps; printf("请输入傅里叶展开的项数:"); scanf("%d",&n); printf("请输入你要求的数:"); scanf("%lf",&x); printf("x^2的傅里叶展开得到的结果为:"); sum=Getb(l,u,st,ps)/2+Geta(l,u,st,x,n,ps); printf("%lf\n",sum); if(!text(sum,x)) { printf("验证结果不相符,可能傅里叶级数展开有错!\n"); } else { printf("验证结果相符,傅里叶级数展开正确!\n"); } return 0; }

傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质(一) 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中,经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x,积分结果不变,即

再将t用代之,上述关系依然成立,即 最后再将x用t代替,则得 所以 证毕 若是一个偶函数,即,相应有,则式(3-56) 成为 可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如: 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t,并考虑为的实函数,有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

根据对称性 故 再将中的换成t,则得 为抽样函数,其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a>0,由

令,则,代入前式,可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍,而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数,且 根据尺度变换性,信号比的时间尺度扩展一倍,即波形压缩了一半,因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

常用函数傅里叶变换

常用函数傅里叶变换 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质

2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在 i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数

常用傅里叶变换表

弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大,则如果 4 会扩而到原点附近,a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时,成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。

5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理

想的低通滤波器,sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时,这是可积的。 14 15

a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到,应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( +

22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27

根据变换1和31得到. uta > 0. ,且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.

周期方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开 提出问题: 用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出 ?? ???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。 利用Matlab 软件符号运算及绘图功能,观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。 问题背景: 在信号分析与处理,特别是工程中,对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析,即频率分析法。在实际信号处理过程中,可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。 知识基础: 周期函数的傅里叶级数展开,Matlab 软件 实验过程: 对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件,则可展为傅里叶级数 经过傅里叶变换得到: ?????????--- +- =∑∑∑∞∞∞111)) 1(2sin(21)2sin(2 1))1(2sin(2 1)(x k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件,编写程序如下: clear;clc;x=linspace(-1,2,3000); y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ -=?1()sin n b f t ntdt πππ-=? 0,1,2n =L 1,2,3n =L

for k=1:10; y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end y1=1/2-y1; y2=0; for k=1:50; y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100; y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal 此图当x 属于(-1,0)时,傅里叶级数取了前10项 此图当x 属于(0,1)时,傅里叶级数取了前50项 此图当x 属于(1,2)时,傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数,蓝线代表傅里叶级数展开函数 拓展练习: 1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=,当方波信号 ()f t 满足Dirichlet 条件时,则可展为傅里叶级数: 01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T =?

傅里叶级数展开的实际意义

傅里叶级数展开的实际意义 1.傅立叶变换的物理意义 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。 傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。 在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类: 1)傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2)傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3)正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系 数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计 算卷积的一种简单手段; 4)离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响 应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅 立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变 换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、 信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2.图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。 如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。 傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个

傅里叶级数课程及习题讲解范文

第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑,可视为()f x 经函数系 线性表出而得.不妨称 2{1,,,,,}n x x x L L 为基,则不同的基就有不同的级数.今用三角函数系作为基,就得到傅里叶级数. 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系.其有下面两个重要性质. (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数; (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零. 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ,定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a x u x u x u x x =??, 如果 0 (),() 0 n m l m n x u x m n ≠=?=? ≠?,则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系. 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??; sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ; cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??; sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ; 2 1, 11d 2x ππ π -==?, 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性,故称为正交系. 利用三角函数系构成的级数 称为三角级数,其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积, 1 1 (),cos ()cos d k a f x kx f x kx x π π π π -= = ? 0,1,2,k =L ;

傅里叶变换常用公式

(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小)。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; *卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

常用傅里叶变换模板.doc

时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2的频域对应 4 如果值较大,则会收缩 到原点附近,而会扩 散并变得扁平.当| a |趋向无穷 时,成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交 换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质

7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就是 卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器,sinc函数是 这类滤波器对反 因果冲击的响 应。

12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变 换是他本身.只 有当Re(α) > 0时,这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式

20 J0(t)是0阶第 一类贝塞尔函 数。 21 上一个变换的推 广形 式; T n(t)是 第一类切比雪夫 多项式。 22 U n(t)是第二类 切比雪夫多项 式。 [编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分 布.这个变换展示了狄拉 克δ函数的重要性:该函 数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应

25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到,应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.

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