第四章 四边形性质探索知识点复习及典型例习题（一）
【考点链接】
特殊的平行四边形的之间的关系如右图： 1. 四边形有关知识 ⑴ n 边形的内角和为 ．外角和为 ． ⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ． ⑶ n 边形过每一个顶点的对角线有 条，n 边形的对角线有 条．
2. 平面图形的镶嵌
⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.
⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边
形____________． 3．易错知识辨析
多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 o． 4. 特殊的平行四边形的判别条件
要使平行四边形ABCD 成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使平行四边形ABCD 成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ . 5．梯形的面积公式是__________________________________. 6．等腰梯形的性：边 __________________________________.
角 __________________________________.对角线 __________________________________. 7． 等腰梯形的判别方法__________________________________. 8． 梯形的中位线长等于__________________________.
9． 中心对称图形：所有的平行四边形（特殊）都是中心对称图形。 【典例精析】 一、填空：
1、如图2，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是_______.
2、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是 .
3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形面积是49cm 2，则AF= ；
4、如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF 的度数为 .
5、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
图
2 D 图
1
图3
O F E D
C B
A
P
6、如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ;
若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n
的式子表示 ）
7、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为
8、如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为 。
二、选择题：
1、如图，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=1
2、BD=10、AB=m ，那么m 的取值范围是( )
A ．1＜m ＜11
B ．2＜m ＜22
C ．10＜m ＜12
D ．5＜m ＜6
2、下列命题中，正确命题是（ ） A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；
B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形。
3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
三、解答题： 1、（西宁）如图，已知：□ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠ 的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．
2、（北京）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=
，AD =
BC =
求DC 的长．
D A B
C O
(第1题图) A B
C
E
F G A
B
C
D
E B C 第7题 第8题
C A
D
E P
B C (第3题图)
3、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，BG 平分∠ABC ，GF ⊥BC 于点F ，AD ⊥BC 于点D ，交BG 于点E ，连结EF 。
（1）、求证：①、AE=AG ；②四边形AEFG 为菱形。 （2）、若AD=8，BD=6，求AE 的长。
4、如图,在△ABC 中,D 为BC 边上一动点(D 点不与B 、C 两点重合) ．DE//AC 交AB 于E 点，DF//AB 交AC 于F 点． （1）试探索AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形．为什么？ （3）在（1）、（2）的条件下当BE+CF=2时，求证：AD=BD ·CD
5、（2009年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
B C
G A
B F
E
D
C
FD FD MC
四边形性质探索（单元教案） 荣成十二中姜夕水 一、视点导读 四边形是日常生活中经常见到的几何图形，是基本的几何图形之一，四边形的性质，尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等特殊四边形的性质，在实际生活和工作中具有广泛的应用。四边形的有关知识是学习相似形、圆等知识的基础。同时本章还是中考命题的重要知识点和热点。 本章学习的主要内容可分为四大板块，这四大板块分别是： 1、平行四边形的性质和判定方法。 2、菱形、矩形、正方形的性质和判定方法。 3、多边形的内角和与外角和 4、平面密铺和中心对称图形 二、单元知识结构梳理： 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在六年级下册“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和进行简单推理，将为学生对空间和图形后继内容的学习打下基础。作为第三学段“四边形”的主要内容，本章将从多种角度引导学生探索四边形的性质，重点研究平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等四边形的有关性质和常用判别方法，并进行简单推理。在已经掌握平行线和相交线的有关几何事实以及初步的观察、操作等活动经验的基础上，本章又将探索多边形的内角和和外角和，研究平面图形的密铺，同时在上学期学习了轴对称的基础上学习中心对称图形。 具体地，本单元首先通过拼图引入平行四边形，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判定方法，然后借助直观或现实的情景分别探索并研究菱形、矩形、正方形、梯形等特殊四边形的有关性质和常用判别方法；最后通过“多边形广场”等现实情境比较自然地引导学生进行多边形内角和、外角和的探索活动，并在平面图形的密铺中进一步强化学生对多边形内角和及有关几何事实的认识。 三、单元教学目标 1、经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力，增强学生的简单逻辑推理意识，使学生掌握说理的基本方法 2、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解他们之间的关系。
第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结
第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
第四章四边形性质探索知识点归纳 一．四边形的相关概念和性质 （1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺 次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母 来表示． 注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或 逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ． （2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线． 注意： ①四边形共有两条对角线． ②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法． （3）四边形的不稳定性： 三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用． （4）四边形的内角和等于 360． （5）四边形的外角和等于 360． 注意： 1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角； 2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角； 3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角． 二．多边形的概念和性质： （1）n 边形的内角和等于 180)2(?-n ．
（2）任意多边形的外角和等于 360． （3）n 边形共有2 )3(-n n 条对角线． （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。 （5）正多边形的每个内角等于 n n 180 ).2(-三、平行四边形． 1．平行四边形的性质 (1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分． （5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 (6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积． 2．平行四边形的判定 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等． 注意： (1)距离是指垂线段的长度，是正值． (2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．
?、精心选1选 （每题3分，共30分） 1.下列四边形中, 对角线一定互相垂直平分的是（ ）. B.菱形 C.等腰梯形 D.矩形 正确的是（ ） 2. A . C. 3. 下列美丽的图案中，是中心对称图形的有（ ）? A. AB=CD AD 〃BC B. AB//CD AB=CD C . AB=CD AD=BC D. AB 〃CD AD//BC 四边形性质探索单元测试题 A.平行四边形 在下列命题中， 一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3尊曲◎ A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）. 5.在下面给出的同一种平面图形中，不能进行密铺的是（ ）. A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 6.如图，在平面四边形A 中，CEA.AB, E 为垂足.如果ZA = 125°,则ZBCE=（ ） 7. 如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD 的空地，其各边的中点分别是点E 、F 、G 、H,测量得对 角线AC=10米，现想用篱笆围成四边形EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ）. A. 40 米 B. 3。米 C. 20 米 D. 10 米 8. 如图，在周长为20cm 的QABCD 中，AB 尹AD, AC 、BD 相交于点O, OE_LBD 交AD 于E, 则AABE 的周长为（ ）. 25° D. 30°
C ? 8cm D . 10cm 9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）. A. 16 B. 22 C. 26 D. 22 或 26 10. 如图，梯形ABCD 中，AD 〃BC,对角线AC1BD ，且AC=8, BD=6,则此梯形的中位线长是 （）. A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 二、细心填一填（每题3分，共24分） 11. 在QABCD 中，若ZA+ZC=100° ,则NB=. 12. 要证明一个四边形是菱形，可先证明它是平行四边形，再证明这个平行四边 形.（只需填一个你认为正确的方法即可） 13. 已知梯形的中位线长为6 cm,高为4 cm,则此梯形的面积为 cm 2. 14. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形. 15. 在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,则下图中有 对全等三角形. 16. 如图，平行四边形ABCD 的周长是8厘米，AABC 的周长是7厘 米，则AC= ZB=90°，腰AB=5,两底之差为12,则另一腰 A . 4cm B . 6cm A D 17.如图，在梯形ABCD 中，AD 〃BC, CD=
四边形性质探索复习测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 (第1题) (第5题) 2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正三角形 3．在等腰梯形中，下列结论错误的是（） A．两条对角线相等 B．上底中点到下底两端点的距离相等 C．相邻的两个角相等 D．过上、下底中点的直线是它的对称轴4．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形 C．五边形D．六边形5．如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）A．bc-ab+ac+c2 B．ab-bc-ac+c2 C．a2+ab+bc-ac D．b2-bc+a2-ab 6．菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（）A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等的矩形， 则矩形ABCD的面积为（）
A．98 B．196 C．280 D．284 8．在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE=5，则四边形ABED的面积为（） A．10 B．15 C．20 D．25 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于___．10．用同一种正多边形作平面镶嵌应满足的条件是______________． 11．平行四边形的一边长为8，一条对角线长为6，则另一对角线a的长应__．12．在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使EC=AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC等于_______；若AB=2，那么△ACE的面积为_______．13．矩形的面积为12cm2，一条边长为3cm，则矩形的对角线长为_______．14．菱形的周长为40cm，两个相邻内角的度数的比为1：2，则菱形的面积___．15．如下图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=DC，∠A=45°，DE⊥AB于E，且DE=1，那么梯形ABCD的周长为_______，面积为_______． (第15题) (第16题) 16．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，△BCD为正三角形，BC=8cm，则梯形ABCD的面积等于_______． 三、解答题（17～22题每题6分，23、24小题每题8分，共52分） 17．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 18．M为□ABCD的边AD的中点，且MB=MC，你能说明□ABCD一定为矩形吗？写出
平行四边形及其性质
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： ①“作高”：使两腰在两个直角三角形中． ②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形． ④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形． 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题 分割、拼接 转化 三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现． 6、多边形的内外角和与外角和 n 边形内角和等于（n －2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°． 7、平面图形的密铺 对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺． 8、中心对称图形 如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形．
例5 如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作 等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
例6 如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有 一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE． （1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由． （2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后， 如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由； 若不存在，也请你给出理由． 例7 阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（2））． （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1______S2，S3________S4； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ 例8如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作 直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角 平分线于点F． （1）试探索OE与OF之间的数量关系． （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理 过程． （3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．
四边形性质探索单元试卷 一、选择题 1．□ABCD中，如果∠B=100°，那么∠A、∠D的值分别是（） A．∠A=80°，∠D=100°B。∠A=100°，∠D=80° C．∠B=80°，∠D=80°D。∠A=100°，∠D=100° 2．已知菱形的周长为96㎝,两个邻角的比是1：2，这个菱形的较短对角线的长是（） A．21㎝ B.22㎝ C.23㎝ D.24㎝ 3、下列正多边形中，能够铺满地面的正多边形有（） （1）正六边形（2）正方形（3）正五边形（4）正三角形 A、1种 B、2种 C、3种 D、4 4、∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则①∠ A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角。以上结论中，正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、一个菱形两条对角线之比为1：2，一条较短的对角线长为4cm，那么菱形的边长为（） A.2cm B.4cm C.cm 5 2( D.2cm 2 )5 6、关于四边形ABCD：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC和BD相等以上四个条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7、如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 8、（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（） （A）1 （B）180°（C）360°（D）以上都不对 9、下列图形中，不是中心对称图形的是（） （A）线段（B）矩形（C）等腰梯形（D）正方形 10、下列叙述中，正确的是（） （A）只有一组对边平行的四边形是梯形 （B）矩形可以看作是一种特殊的梯形 （C）梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角 （D）梯形的对角互补 11、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则图中的全等三角形共有（）Array（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对 12、小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是（） （A）矩形（B）正方形（C）等腰梯形（D）无法确定 13、若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为（） （A）2402 cm（D）302 cm cm（B）1202 cm（C）602 14、若平行四边形一边长为10cm，则两对角线的长可以是…………………（） （A）4cm和6cm （B）6cm和8cm （C）8cm和10cm （D）10cm和12cm 二、填空题： 1、若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是边形。
《四边形性质的探索》分层练习及相关的中考题 1.如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、菱形、矩形或正方形 2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（） A、AB=CD，AD∥BC B、AB=CD，AB∥CD C、AB∥CD，AD∥BC D、AB=CD，AD=BC 3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（） A、88°，108°，88° B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92° 4.菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是则另一条对角线的长是（） A、4 cm B cm C、2 cm D 、cm 5.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 6.在平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C的度数为（） A、80° B、120° C、100° D、110° 7.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（） A、1∶2∶3∶4 B、1∶2∶2∶1 C、1∶1∶2∶2 D、2∶1∶2∶1 8.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（） A、2 B、4 C、6 D、8 9.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（） A、43 B、83 C、103 D、123 10.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、 F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（） A、75° B、45° C、60° D、30° 11.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=________，∠D=__________. 12.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于____________. 13.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，若∠AOB=1000，则∠OAB=__________. 14.已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_____ 时，它成为正方形．（填上你认
平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。
四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。
第四章单元考试 姓名座号总分_________ 一、选择（每题3分） 1、两条对角线互相平分,互相垂直且相等的四边形是 ( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形 2、在平行四边形中，四个角之比可以成立的是 ( ) A、1:2:3:4 B、2:2:3:3 C、2:3:3:2 D、2:3:2:3 3、正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A、四个角都是直角 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直 4、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A、对角相等 B、对边相等 C、对角线互相垂直 D、对角线相等 5、不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A、AB = CD，AD = BC B、AB∥CD，AB = CD C、AD∥BC，AB = CD D、AB∥CD，AD∥BC 6、菱形的周长是40cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是 ( ) A、12㎝，16㎝ B、6㎝，8㎝ C、3㎝，4㎝ D、24㎝，32㎝ 7、一个四边形的三个内角的度数依次如下，其中是平行四边形的是 ( ) A、88°，108°，88° B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92° 8、平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必 ( ) A、大于1 B、大于1且小于7 C、小于7 D、小于7或大于1 9、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且 E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于 ( ) A、75° B、45° C、60° D、30° 10、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，△DEC的周长是 ( ) A、3 B、12 C、15 D、19 二、填空(每空3分) 1、在□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠D=______ 2、在□ABCD中，∠A = 2∠B，则∠C = 3、如图1，在□ABCD中，AC=6,BD=10,AB AC, ⊥ 则图中全等三角形共有_______对 AB=______,______ BC= 4、如图2，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=10, 则BD=________,AC=__________, 菱形ABCD的面积=________ 5、如图4，矩形ABCD的面积是16， EF过矩形ABCD对角线的交点O， 阴影部分的面积是 6、如图5，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD=DC B=45,1 AE ∠?=，则梯形ABCD的周长=____________， 梯形ABCD的面积________ = 图 1 图 2 图5
第四章四边形性质探索测试 （时间：60分钟满分：100分） 1、平行四边形的对角线；矩形的四个角，对角线 且；菱形的四条边，对角线，并且每条对角线平分一组；正方形的对角线且。 2、四条边的四边形是菱形；对角线的四边形是菱形；对角线 的四边形是矩形；对角线的四边形是正方形。 3、平行四边形的周长为24cm，一组邻边的差为1cm，则较长边的长为。 4、矩形的面积为48，一边长是6，那么矩形的对角线长是。 5、矩形两对角线夹角为60°，较短的边长为3.6cm，则对角线的长为。 6、已知菱形两邻角的比是1∶2，周长是9.2cm，则菱形的短对角线长为。 7、若正方形的边长是2，则对角线长为；面积为4的正方形的对角线长 为。 n；多边形的每个外角都为20°，则这是个8、若n边形的内角和是2160°，则 边形，它的内角和是。 9、我们学过的四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是、、。 10、在用正六边形进行密铺图案时，拼点处有正六边形。 二、选择题（每题3分，共30分） 1、下列条件不能确定平行四边形的是（） A、AB=CD，AD=BC B、AB=CD，AB∥CD C、AB∥CD，AD=BC D、AB∥CD，AD∥BC 2、矩形的两条对角线所夹的一个钝角为120°，那么矩形较短边与较长边的比是（） A、1∶2 B、3∶1 C、3∶3 D、1∶3 3、下面语句中错误的是（） A、有一组邻角相等的平行四边形是矩形 B、有四个角相等的四边形是矩形 C、对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形 D、有一组对角相等的平行四边形是矩形 4、下列说法中，错误的个数是（） ①线段是轴对称图形，也是中心对称图形；②角是轴对称图形
《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O
例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，
1 、精心选一选! 1 如图 1，口 ABCD 中，CE 丄 AB , E 为垂足.如果/ A = 125°，则/ BCB 60° ( B ) U ! 边形性质探索》单元测试 A. 55° B. 35 ° C. 25° D. 30° 2?如图2,四边形ABCD 是菱形，过点 A 作BD 的平行线交CD 的延长线 于点 E ，则下列式子不成立 的是（B ） A. DA=DE B. BD=CE C. / EAC= 90° D. 3. （2018年广州市）如图3，每个小正方形的边长为 影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ C ） A . 、、3 B . 2 C . .5 D . 6 4.在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点0,则下面条件能判定平行四边形 ABCD 是矩形的是（B ） A. ACL BD B . AC=BD C. AC=BD 且 ACL BD D. AB=AD 5.如图4，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确 的是（D ） A 、当AB=BC 寸，它是菱形 B 、当A C L B D 时，它是菱形 C 当/ ABC=90时，它是矩形 D 、当AC=B E 时，它是正方形 6.如图5,菱形 ABCD 中，/ B= 60°, AB= 2, E 、F 分别是BC CD 的中点，连接 人巳则厶AEF 的周长为（B ） A . 2 .3 B . 3 .3 C . 4 3 D . 3 7.如图6,已知梯形 ABCD 中, AD// BC, AB=CD=ADAC BD 相交于 0点，/ BCD=60，则下 列说法不正确的是（B ） A.梯形ABCD 是轴对称图形 ； B.梯形ABCD 是中心对称图形； C. BC=2AD D. AC 平分/ DCB & 一个多边形内角和是 1080 ?，则这个多边形是（ C ） A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 9.下列图形（图 5）中，中心对称图形的是（ (^) (B)图 5 (C) 1,把阴影部分剪下来, 图2 AE 、 EF 、 图6
第四章四边形性质的探索 第1课时平行四边形的性质（1） 、温故知新 2 ?学校的网状电动门，可以自由的伸缩是利用了平行四边的 ____________ ? 3 ?平行四边形的一边为 a ,这边上的高为 h ,则这个平行四边形的面积为 ______________ ? 二、自主学习 1 ?将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片?将它们相等的一组边重合，拼成一个四边形. ⑴你拼岀了怎 样的四边形 ？与同伴交流，并把拼岀的所有图形画在下面 （2）小明拼岀了如图所示的一个四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系 理 由： 四边形叫做平行四边形.记作： 三、课堂同步 3. 在口ABCD 中：/ ADC=125 ° / CAD=21 ° (1) / ABC = 阶梯一 基础训练 1 .如图 4-1-1， :ABCD 是平行四边形（已知） I I I I AB = ，AD = 图 4-1-1 图 4-1-2 _A = 2.在 口ABCD 中，/ A=48 ° BC=3cm ，则/ B = ，/ C = ，AD = 4.如图 4-1-2，已知 口 ABCD 中，AD=12，AB=13，贝U BC= ，CD = 5.如图 4-1-3，在口 ABCD 中，EF II BC ，GH II AB ，则下图中平行四边形有（ 图 4-1-3 C . 6个 ?说说你的理由！ 平行四边形的对边 _________ 叫做它的对角线 ，平行四边形的对角 _____ 邻角 (2) / CAB = 1 ?下列图形中是平行四边形的是
6?如图牛1-4，在口ABCD中，AE垂直于CD , E是垂足?如果/ B= 55 °那么/ D与/ DAE分别等于多少度？ 7 .如图4-1-5，已知口ABCD，AE 平分/ DAB , AB=5 , BC=3，求EC 长. 8.如图4-1-6，在口ABCD中，已知AB:BC=3:5，且周长等于48,求这个平行四形四条边的长. 9 .如图4-仁7, AB II CD，AC、BD 交于点0,且AC=BD，求证：OD=OC 阶梯三拓展练习 10 ?如图4-1-8，四边形ABCD是平行四边形，分别过点A、B作BC的垂线，垂足 分别为E、F . 求证：BE = CF. 阶梯二 能力应用 C
知识点讲解： 一、平行四边形定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD”。 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成 □ACBD，也不能表示成□ADBC。 二、平行四边形的性质 ①平行四边形的对边平行且相 等 四边形ACBD为平行四边形 ?AB CD ∥、AD BC ∥ ②平行四边形的对角相等； 四边形ACBD为平行四边形 A C B D ?∠=∠∠=∠ ， ③平行四边形的对角线互相平 分 四边形ACBD为平行四边形 OA OC OB OD ?== ， ④平行四边形是中心对称图 形，对称中心就是两条对角线 的交点；连接四边上任意一点 和平行四边形的对称中心，与 另一条边相交于一点，则这两 个点关于平行四边形的对称中 心对称。 四边形ABCD为平行四边形， E、F在AD，BC上，且线段 EF过点O?OE＝OF 平行四边形的定义及性质
⑤平行四边形中重要结论： O AOB BOC DOC D A S S S S ????=== AOB COD ??≌ AOD COB ??≌ ABC CDA ??≌ BCD DAB ??≌ 练个手先： 在□ABCD 中， ①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____； ②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ； ③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。 ④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCD S Y ＝ ____。 ⑤若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S ??+=，则ABCD S Y ＝ ____。
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 《四边形性质探索》水平测试 一、试试你的身手（每小题3分，共24分） 1．如图1，□ABCD中，BD是对角线，E、F是BD上的点，且BE=DF，请写出图中一对全等的三角形． 2．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（－2，1），B（－3，－1），C （1， －1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是． 3．如图2，矩形纸片ABCD，AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠（使△ABD 和△EBD落在同一平面内），则∠ADE的大小为． 4．如图3，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为． 5．如图4，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是． 6．已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，那么∠C=．7．写出一个你熟悉的中心对称的几何图形名称，它是． 8．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图 形（请填图形下面的代号，“”表示对应的边长相等）．
二、相信你的选择（每小题3分，共30分） 1．如图5，□ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长为（ ） A ．6cm B ．12cm C ．4cm D ．8cm 2．如图6，在△MBN 中，BM =6，点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，且∠NDC =∠MDA ，则□ABCD 的周长是（ ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．12 3．如图7，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、 GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 4．在△ABC 中，AB ≠AC ，D 是边BC 上的一点，DE ∥AC 交 AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ．要使四边形AEDF 是菱形， 只需添加条件（ ） A ．AD ⊥BC B ．∠BAD =∠CAD C ．BD =DC D ．AD =BC 5．如图8，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE =DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE =BF ；②AE ⊥BF ；③AO =OE ；④AOB DEOF S S △四边形中，错误的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图9，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，且AD =AE ，EC ∥AD ，则∠ABC 等于（ ） A ．75° B ．70° C ．60° D ．30° 7．多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形密铺而成，其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形，则另外一个是（ ）