ITERATIVELY REWEIGHTED ALGORITHMS FOR COMPRESSIVE SENSING
Rick Chartrand
Los Alamos National Laboratory rickc@https://www.doczj.com/doc/fc16366973.html,
Wotao Yin?
Rice University wotao.yin@https://www.doczj.com/doc/fc16366973.html,
ABSTRACT
The theory of compressive sensing has shown that sparse signals can be reconstructed exactly from many fewer mea-surements than traditionally believed necessary.In[1],it was shown empirically that using p minimization with p<1can do so with fewer measurements than with p=1.In this paper we consider the use of iteratively reweighted algorithms for computing local minima of the nonconvex problem.In par-ticular,a particular regularization strategy is found to greatly improve the ability of a reweighted least-squares algorithm to recover sparse signals,with exact recovery being observed for signals that are much less sparse than required by an unreg-ularized version(such as FOCUSS,[2]).Improvements are also observed for the reweighted- 1approach of[3].
Index Terms—Compressive sensing,signal reconstruc-tion,nonconvex optimization,iteratively reweighted least squares, 1minimization.
1.INTRODUCTION
Recent papers[4,5]have introduced the concept known as compressive sensing(among other related terms).The basic principle is that sparse or compressible signals can be recon-structed from a surprisingly small number of linear measure-ments,provided that the measurements satisfy an incoherence property(see,e.g.,[6]for an explanation of incoherence). Such measurements can then be regarded as a compression of the original signal,which can be recovered if it is suf?ciently compressible.A few of the many potential applications are medical image reconstruction[7],image acquisition[8],and sensor networks[9].
The?rst algorithm presented in this context is known as basis pursuit[10].LetΦbe an M×N measurement ma-trix,andΦx=b the vector of M measurements of an N-dimensional signal x.The reconstructed signal u?is the min-imizer of the 1norm,subject to the data:
min
u
u 1,subject toΦu=b.(1)
?The second author was supported by an internal faculty research grant from the Dean of Engineering at Rice University.He would like to thank Elaine Hale and Yin Zhang for valuable help with coding.
A remarkable result of Cand`e s and Tao[11]is that if,for example,the rows ofΦare randomly chosen,Gaussian dis-tributed vectors,there is a constant C such that if the support of x has size K and M≥CK log(N/K),then the solution to(1)will be exactly u?=x with overwhelming probability. The required C depends on the desired probability of success, which in any case tends to one as N→∞.Donoho and Tan-ner[12]have computed sharp reconstruction thresholds for Gaussian measurements,so that for any choice of sparsity K and signal size N,the required number of measurements M for(1)to recover x can be determined precisely.
Variants of these results have includedΦbeing a random Fourier submatrix,or having values±1/
√
N with equal prob-ability.More general matrices are considered in[6,13].Also, x can be sparse with respect to any basis,with u replaced with Ψu for suitable unitaryΨ.
A family of iterative greedy algorithms[14,15,16]have been shown to enjoy a similar exact reconstruction property, generally with less computational complexity.However,these algorithms require more measurements for exact reconstruc-tion than the basis pursuit method.
In the other direction,it was shown in[1]that a nonconvex variant of basis pursuit will produce exact reconstruction with fewer measurements.Speci?cally,the 1norm is replaced with the p norm,where0 min u u p p,subject toΦu=b.(2) That fewer measurements are required for exact reconstruc-tion than when p=1was demonstrated by numerical ex-periments in[1],with random and nonrandom Fourier mea-surements.A theorem was also proven in terms of the re-stricted isometry constants ofΦ,generalizing a result of[17] to show that a condition suf?cient for(2)to recover x exactly is weaker for smaller p.More recently,for the case of random, Gaussian measurements,the above condition of Cand`e s and Tao has been shown(using different methods)[18]to gener-alize to M≥C1(p)K+pC2(p)K log(N/K),(3) where C1,C2are determined explicitly,and are bounded in p.Thus,the dependence of the suf?cient number of mea- surements M on the signal size N decreases as p →0.The constants are not sharp,however. 2.ALGORITHMS FOR NONCONVEX COMPRESSIVE SENSING Early papers considering iteratively reweighted least squares (IRLS)approaches include [19,20].IRLS for solving (2)has mostly been considered for p ≥1.The case of p <1was studied by Rao and Kreutz-Delgado [2].The approach is to replace the p objective function in (2)by a weighted 2norm, min u N i =1 w i u 2i , subject to Φu =b,(4) where the weights are computed from the previous iterate u (n ?1),so that the objective in (4)is a ?rst-order approxi-mation to the p objective:w i =|u (n ?1)i |p ?2 .The solution of (4)can be given explicitly,giving the next iterate u (n ): u (n )=Q n ΦT ΦQ n ΦT )?1b,(5)where Q n is the diagonal matrix with entries 1/w i = |u (n ?1)i |2?p .This comes from solving the Euler-Lagrange equation of (4),using the constraint to solve for the Lagrange multipliers,then substituting this value into the solution.The result is a ?xed-point iteration for solving the Euler-Lagrange equation of (2). In this paper,we are considering 0≤p ≤1.The case of p =0corresponds to an objective of log(|u i |2).Given that p ?2will be negative,the weights w i are unde?ned whenever u (n ?1) i =0.A common approach for dealing with this issue is to regularize the optimization problem,by incorporating a small >0.For example,below we consider the damping approach: w i = (u (n ?1)i )2+ p/2?1 .(6)As observed in [2],the iteration (5)depends only on 1/w i , which if de?ned directly as |u (n ?1)i |2?p is well de?ned for any value of u (n ?1) i .In principle,no regularization is needed.For many systems,however,the matrix being inverted in (5)is too ill-conditioned to allow accurate computation of u (n ).In Section 3,we perform experiments that show that the strategy of using a relatively large in (6),then repeating the process of decreasing after convergence and repeating the iteration (5),dramatically improves the ability of IRLS to re-cover sparse signals.Exact recovery becomes possible with many fewer measurements,or with signals that are much less sparse.This -regularization strategy was used effectively with a projected gradient algorithm in [1]. It must be noted that (2)is a nonconvex optimization prob-lem when p <1,and all of the algorithms considered here are only designed to produce local minima.However,the fact that in practice we are able to recover signals exactly,com-bined with theoretical results [1,18]that give circumstances in which (2)has a unique,global minimizer that is exactly u ?=x ,strongly suggests that the computed local minimiz-ers are actually global,at least under a broad set of circum-stances.A possible explanation for this in the context of the -regularization strategy is that adding a relatively large in the weights results in undesirable local minima being “?lled in.”Since it is known that the sparsity of x and the incoher-ence of Φcombine to make x the global minimum of (2),it is also plausible that the basin containing x will be deeper,and less likely to be ?lled in than other,local minima.With a large ,we observe our algorithm to converge to a reason-ably nearby point;once u is in the correct basin,decreasing allows the basin to deepen,and u approaches x more closely,converging to x as →0.We hope to turn these notions into a proof of convergence of the -regularized IRLS algorithm to the global minimum of (2). As partial justi?cation,we show that x will be a ?xed point of the procedure described above. Theorem 2.1.Let x ∈R N be a vector of sparsity x 0=K .Let Φbe an M ×N matrix with the property that every collection of 2K columns of Φis linearly independent.Let j ∈(0,1)be a sequence converging to zero.For each j ,let u ?,j be the unique solution of the strictly convex optimization problem (4),where the weights w i are given by w i =(x 2i + j ) p/2?1,0≤p <2,and b =Φx .Then u ?,j →x .The property assumed of Φis called the unique represen-tation property by Gorodnitsky and Rao [21],who observe that it implies that x is the unique solution of Φu =b hav-ing sparsity u 0≤K .Among many other examples,this property will hold with probability 1for a random,Gaussian matrix Φprovided M ≥2K . Proof.First,the sequence (u ?,j )is bounded.In fact,a known property of IRLS is boundedness independent of the weights;see [22]. Next,?x k such that x k =0.Then N i =1 w i (u ?,j i )2≥w k (u ?,j k )2=(u ?,j k )2 / 1?p/2 j ,(7) while by the optimality of u ?,j , N i =1 w i (u ?,j i ) 2 ≤ N i =1 w i x 2i ≤ x p p . (8) Combining,we obtain (u ?,j k )2 ≤ 1?p/2 j x p p →0. (9) So we see (u ?,j )tends to zero off the support of x .Then any limit point u 0of (u ?,j )will be a solution of Φu 0=b having at most K nonzero components.By the remarks preceding the proof,it must be that u 0=x .Therefore u ?,j →x . Fig.1.Plots of recovery frequency as a function of K .Regu-larized IRLS has a much higher recovery rate than unregular-ized IRLS,except when p =1when they are almost identical.Regularized IRLS recovers the greatest range of signals when p is small,while unregularized IRLS performs less well for small p than when p =1. Cand`e s,Wakin,and Boyd have proposed an iteratively reweighted 1minimization algorithm corresponding to the p =0case above [3].Below we compare our -regularized IRLS results to a similar, -regularized iteratively reweighted 1minimization algorithm for a few values of p . 3.NUMERICAL EXPERIMENTS For our experiments,for each of 100trials we randomly select entries of a 100×256matrix Φfrom a mean-zero Gaussian distribution,then scale the columns to have unit 2-norm.For each value of K ,we randomly choose the support of x ,then choose the components from a Gaussian distribution of mean 0and standard deviation 2.The same Φand x would then be used for each algorithm and choice of p .For -regularized IRLS, is initialized to 1and u (0)initialized to the minimum 2-norm solution of Φu =b .The iteration (5)with weights de?ned by (6)is run until the change in relative 2-norm from the previous iterate is less than √ /100,at which point is reduced by a factor of 10,and the iteration repeated begin-ning with the previous solution.Decreasing too soon re-sults in much poorer recovery performance.This process is continued through a minimum of 10?8,below which the matrix being inverted in (5)can become ill-conditioned.For this reason,the “unregularized”IRLS is implemented as -regularized IRLS,but with a single of 10?8. Results are shown in Figures 1and 2.We see that -regularized IRLS is able to recover signals with many more nonzero components when p =0,in comparison with un-regularized IRLS,or with -regularized IRLS with p =1.For p =1,the two algorithms perform almost identically,but then unregularized IRLS decays as p decreases,while -regularized IRLS improves. For comparison with the proposed IR 1approach of Cand`e s,Wakin,and Boyd,we implemented the above procedure,ex-cept at each iteration the weighted least squares step (4) was Fig.2.Same data as in Figure 1,but with every p shown.Unregularized IRLS is best at p =0.9,then decays quickly for smaller p ,Regularized IRLS improves as p gets smaller,and recovers many more signals than unregularized IRLS. https://www.doczj.com/doc/fc16366973.html,parison of IR 1with IRLS,both -regularized.The recovery rate is near 1for the same values of K ,while IRLS has a slightly higher recovery rate for larger K ,except for p =1where the two are essentially the same. replaced with solving the following weighted- 1problem: min u N i=1 w i|u i|,subject toΦu=b,(10) where the weights are given by w i= |u(n?1) i |+ j p?1 .(11) We used a Mosek-based,interior-point linear programming solver to solve(10).The results are somewhat better than those in[3];see Figure3.The recovery rate remains near 1for as many signals as -regularized IRLS.For larger K, the recovery rate of IR 1is just slightly lower than that of IRLS,except for p=1where the difference is negligible. Since IRLS is computationally simpler,our results suggest that IRLS is the better approach. 4.REFERENCES [1]R.Chartrand,“Exact reconstruction of sparse signals via nonconvex minimization,”IEEE Signal Process.Lett., vol.14,pp.707–710,2007. [2]B.D.Rao and K.Kreutz-Delgado,“An af?ne scaling methodology for best basis selection,”IEEE Trans.Sig-nal Process.,vol.47,pp.187–200,1999. [3]E.J.Cand`e s,M.B.Wakin,and S.P.Boyd,“Enhancing sparsity by reweighted 1minimization.”Preprint. [4]D.L.Donoho,“Compressed sensing,”IEEE Trans.Inf. Theory,vol.52,pp.1289–1306,2006. [5]E.J.Cand`e s,J.Romberg,and T.Tao,“Robust un- certainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information,”IEEE Trans. Inf.Theory,vol.52,2006. [6]E.Cand`e s and J.Romberg,“Sparsity and incoherence in compressive sampling,”Inverse Problems,vol.23, pp.969–985,2007. 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[19]https://www.doczj.com/doc/fc16366973.html,wson,Contributions to the theory of linear least maximum approximations.PhD thesis,UCLA,1961. [20]A. E.Beaton and J.W.Tukey,“The?tting of power series,meaning polynomials,illustrated on band-spectroscopic data,”Technometrics,vol.16,pp.147–185,1974. [21]I.F.Gorodnitsky and B.D.Rao,“Sparse signal re- construction from limited data using FOCUSS:a re-weighted minimum norm algorithm,”IEEE Trans.Sig-nal Process.,vol.45,pp.600–616,1997. [22]G.W.Stewart,“On scaled projections and pseudoin- verses,”Linear Algebra Appl.,vol.112,pp.189–194, 1989. 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 课题：函数的单调性 授课教师：王青 【教学目标】 1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法， 培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。 3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【使用教具】多媒体教学 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1） 函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上) (x f 的值随x 的增大而_______ （2） 函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？ 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212 221<-+=-x x x x x x ,即2 221x x <，所以()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 函数的单调性 1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 x 函数的单调性 教材分析 函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念． 教学目标 1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力． 2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力． 3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维． 任务分析 这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间． 教学设计 一、问题情境 1. 如图为某市一天内的气温变化图： 高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小。在此基础上描述y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在 （0，+∞）上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。 设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。 （二）初步探索，形成概念 教师活动：（以y=x2+1在（0，+∞）上单调性为例）让学生理解如何用精确的数学语言（随着、增大、任取）来描述函数的单调性，进而得到增（减）函数的定义。并进一步提出如何判断的问题。 学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。 设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。 （三）概念深化，延伸扩展 教师活动：提出下面这个问题：能否说f（x）=在它的定义域上是减函数从这个例子能得到什么结论并给出例子进行说明： 进一步提问：函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数，最后再一次回归定义，强调任意性。 《函数的单调性》教材分析 一、内容结构 1、通过观察几个不同的函数图像，直观感受图像的变化 教材中通过以下三个不同的函数图像，让学生去发现它的变化规律，从而体验函数图像的上升与下降的变化。 2、结合直观图像和列表，归纳函数值的变化规律 教材中以二次函数为例，先从图像直观函数图像的上升与下降的变化，再结合列表归纳函数在某个区间上函数值与自变量的变化规律。 3、由特殊过渡到一般，得出增（减）函数的定义 教材中先由函数在某个区间上函数值与自变量的变化规律定义出该函数在某个区间是增函数还是减函数，再由特殊向一般转变，从而得出一般的增（减）函数的定义。 4、利用增（减）函数的定义，证明函数的单调性 教材中通过证明玻意耳定理，让学生得知如何利用定义证明函数的增减性，从而归纳证明函数单调性的一般证明方法与步骤。 二、教学目标与教学重、难点 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。 3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。 在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下 教学重点：函数的单调性的判断与证明； 教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。 三、地位与作用 《函数的单调性》选自人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性。这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 四、教学建议 函数的单调性是描述函数的整体特征之一，因此观察函数的图像时，首先应注意图像的升降变化，还有某些特殊位置的函数值的状态。让学生观察图像获得图像的变化规律时，应注意使用数形结合的思想。此外教学时，要特别重视从几个实例的共同特征过渡到一般性质的概括过程，引导学生用数学语言表示出来，生成数学概念。具体的，研究函数单调性应遵循“三步曲”： 第一步：观察图像，直观感知图像的变化 第二步：结合图表，用自然语言描述函数图像的变化规律 第三步：用数学语言定义函数的单调性 函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 2.3 函数的单调性 学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 重点难点：函数单调性的应用 一、知识点梳理 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 二、例题精讲 题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间 （1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2． 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间． ３．判断函数f （x ）＝1 x 2－4x 的增减情况． 题型2：用定义法证明单调性 1.证明函数y=2x+5的单调性 1.单调函数的定义 2.单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 注意： 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x1，x2∈[a，b]且x1 2 / 16 ① 1212 ()()0->-f x f x x x ?f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 函数的单调性和奇偶性 一、学习目标 1.理解函数的单调性概念，能根据函数单调性定义证明函数在给定区间上的增减性。 2.会判定函数的单调性，会求单调区间。 3.准确掌握一次函数、二次函数的单调性。 4.解奇函数、偶函数的概念及图像物征，能判断某些函数的奇偶性； 二、例题分析 第一阶梯 [例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？ [解] 设任意的x 1,x 2 ∈[a,b],当x 1 ②f(x)是单调函数 ③f(x)在区间（－∞，0）上是增函数 ④f(x)在区间（0，+∞）上是减函数 ⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞） 答：正确说法是③、⑤，其它说法都是错误的，我们着重论证说法①是错误 的：设x 1=1,x 2 =1,则x 1 , x 2 ∈A,但 [例2]怎样根据函数单调性定义，证明函数的增减性？试举一例。[解]根据单调性定义证明函数增减性的步骤是： （1）设x 1,x 2 :即设x 1 、x 2 是该区间上的任意二值，且x 1 函数的单调性知识点和题型 归纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN- ●高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x1，x2∈[a，b]且x1 4 ① 1212 ()()0->-f x f x x x ?f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 函数的单调性知识点与 题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题 (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 函数的单调性学案 一、【学习目标】 （自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数单调性解决题目.这节课的特点是符号较多，希望同学们课下做好预习.） 1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义； 2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法； 3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤. 课前引导：函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？ 二、【自学内容和要求及自学过程】 观察教材第27页图1.3-2，阅读教材第27-28页“思考”上面的文字，回答下列问题（自学引导：理解“上升”、“下降”的本质内涵，归纳出增函数的定义） <1>你能描述上面函数的图像特征吗？该怎样理解“上升”、“下降”的含义？ 2 y 的，在y轴右侧是＿＿＿的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的＿＿＿（横、纵）坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而＿＿＿；“下降”亦然；<2>在区间(0，+∞)上，任取x1、x2，且x1 高一升高二个辅资料第三课时第二次课 、基本知识 1定义：对于函数 y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值 x-\, x 2，当 x-\ x 2时，都有 f(xj f (X 2)(或f(xj f (X 2))，那么就说函数 y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i ,X 2是给定区间上任意两个值，且 X i X 2 ； (2) 作差: f (X i ) f (X 2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定号： 即 f (X i ) f (X 2) 或 f (X i ) f (X 2) ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ■ ■- 1 - '.时，订述在R 上是增函数；k<0时m 在R 上是减函数 (2)代直)(k > 00寸)，『仗)在(一a, 0), (0, +8 )上是增函数, 4?复合函数的单调性：复合函数 y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表: 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 在函数f(x)、g(x)公共定义域内, 5. 函数的单调性的应用: 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 第一章 函数的基本性质之单调性 (k<0时)，總述在(一汽 0), ( 0, +8)上是减函数, (3)二次函数的单调性：对函数 2 f (x) ax bx c (a 0), 当a 0时函数f(x)在对称轴x 当a 0时函数f (x)在对称轴x b 2a 的左侧单调减小，右侧单调增加; b 2a 的左侧单调增加，右侧单调减小; 增函数f(x)增函数g(x)是增函数; 减函数f (x)减函数g (x)是减函数; 增函数f(x)减函数g(x)是增函数; 减函数f(x)增函数g(x)是减函数.高中数学《函数的单调性》教案
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