目录
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1 绪论 (1)
1.1积分方程的研究背景及意义 (1)
1.2积分方程的基本类型 (2)
1.3积分方程的研究现状 (3)
1.4本文的主要工作 (4)
2 第二类Fredholm积分方程的五种离散方式 (5)
2.1复化梯形公式离散 (5)
2.2复化辛普森公式离散 (6)
2.3高斯—勒让德离散 (7)
2.4克伦肖—柯蒂斯离散 (8)
2.5高斯—罗巴托离散 (9)
2.6数值模拟 (10)
2.7本章小结 (14)
3线性Fredholm-Volterra积分方程的Galerkin求解方法 (15)
3.1最佳平方逼近 (15)
3.2线性Fredholm-Volterra积分方程的离散 (17)
3.3数值模拟 (19)
3.4本章小结 (22)
4 非线性Fredholm-Volterra积分微分方程的数值解法 (23)
4.1非线性Fredholm-Volterra积分微分方程的离散 (23)
4.1.1 积分算子离散 (23)
4.1.2 微分算子离散 (26)
4.1.3 非线性Fredholm-Volterra积分微分方程 (32)
4.2 数值模拟 (33)
4.3本章小结 (36)
5 结论与展望 (38)
致 谢 (40)
参考文献 (42)
附录 (46)
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西安理工大学硕士学位论文
绪论
1 绪论
1.1积分方程的研究背景及意义
积分方程是未知函数出现在积分号内的方程，与微分方程对应，很多数学物理问题都需要转换成积分方程或微分方程进行求解【1,2】。数学、工程技术和自然科学的许多领域，例如在系统识别、流体力学和弹性力学、信号重构与图像恢复、电磁场理论与静电学、地球物理勘探等方面都将归结为求解积分方程的问题，正是因为积分方程的这种特点，积分方程得到了快速发展，并成为了众多学者研究积分方程的一个重要方向。
关于积分方程理论的发展，始终和数学物理问题的研究有着紧密的联系，它在物理、经济、工程等方面有着广泛的应用。通常认为，最早应用积分方程理论的是阿贝尔(Abel)，他在1823年研究力学问题时提出了阿贝尔方程。在此之前，拉普拉斯（Laplace）于1782年在数学物理问题中研究拉普拉斯变换的逆变换与傅里叶（Fourier）在1811年研究傅里叶变换反演问题上都是求解第一类积分方程【3】。由于计算技术的迅速发展，积分方程得到了有效和广泛的应用，如今，数学物理问题有着越来越多的应用，积分方程的应用也随之广泛应用。
积分方程也是近代数学研究中的一个重要分支，例如，计算数学、微分方程、位势理论、随机分析和泛函分析等都与积分方程有着紧密的联系。关于积分方程的建立，是在十九世纪末由Fredholm和V olterra建立了两种类型的积分方程理论，之后，随着泛函分析理论的完善和成熟，人们对于积分方程的研究置于抽象空间的框架下，使积分方程的理论更加成熟、应用更加广泛，为积分方程的研究奠定了基础。
由于力学、几何、物理等的需要，数学家们把主要工作集中在积分方程的求解上，并且得到了重大发展，但后来发现大多数方程都计算不出来通解，或是通解用初等函数不能进行表示。
一方面，在力学和物理学上所提出的积分方程和微分方程问题，大多要求某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解，这样就使得人们改变了以前的想法，不去计算通解，而从事定解问题的研究。
另一方面，随着自然科学的发展，尤其是很多物理问题如平衡理论，位势理论，热传导理论都可以转化成求解积分方程或求解积分微分方程，而这类积分方程在数学物理力和学中所起的作用很大，一方面在实际应用中，近似解比解析解有着更重要的用途，另一方面，对于很多积分方程和积分微分方程，只能在极少的情形下才能求得解析解。这样就显出研究积分方程和积分微分方程数值解的必要性。同时，关于积分方程数值解的研究也必然会影响与该学相关的其他学科如函数逼近理论、Fourier分析、计算理论、算子理论等
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