4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
控制系统校正的根轨迹方法 用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。 应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。 在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。 在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。 根轨迹超前校正计算步骤如下。 (1)作原系统根轨迹图； (2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。 (3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为： i s s =?±=(s)][G arg -180o ? (1) 此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。为了使得根轨迹能够通过该点， 必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。 (4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为： 1 1 ++=sTp sTz Kc Gc (2)
例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节， 使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。 解：由6.4)(*)(0*lim 0 ==→s Gc s G s Kv s 得kc=2 计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3; den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1); kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc) GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1); step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold on step(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid; gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2); impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold on impulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid; gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3); 0 2.3 s(1+0.2s)(1+0.15s) G =
根轨迹方法控制系统校正 1.根轨迹方法控制系统 调节时间：t s ≤5S （2%） 最大超调量：M p ≤10% 开环比例系数：K 0≥20 2. ζ=0.6 cos β=53°，取β=45° 4.4/ζWn ≤5s ， 取ζW n =1 经计算，C （s ）=1.079s/s+2 3.流程图
4.程序 clear; K=2; h=0.05; A=0; B=30; f=@(m,y)(K*m-2*y)/1; fc=@(s,m)(1*s-0.002*m)/1; n=floor(B/h); s(1)=0; m(1)=0; d(1)=0; y(1)=0; t=0:h:B; for i=1:n e(i)=1-s(i); k1=f(e(i),y(i)); k2=f(e(i),y(i)+h*k1/2); k3=f(e(i),y(i)+h*k2/2); k4=f(e(i),y(i)+h*k3); y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; m(i+1)=(y(i+1)-y(i))/h+0.01*y(i+1); k1=fc(m(i),d(i)); k2=fc(m(i),d(i)+h*k1/2); k3=fc(m(i),d(i)+h*k2/2); k4=fc(m(i),d(i)+h*k3); d(i+1)=d(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; s(i+1)=s(i)+h*(d(i+1)+d(i))*0.5; end plot(t,s,'-m') title(sprintf('2(s+0.01)/s(s+0.002)(s+2)')) set(legend,'Location','NorthWest') hold on 5.结果 调节时间4.6S 超调量7.6% K0=50
1 根轨迹法校正设计 如果设计指标是时域特征量，应采用时域校正方法，即将设计指标转换为对闭环主导极点位置的设计，常称为根轨迹法。设计过程中，不必绘制根轨迹图。根轨迹法同频率分析法一样也可以有串联超前校正、串联滞后校正和串联滞后-超前校正，因“超前”和“滞后”是频域中的概念，在根轨迹法中不使用。 基本概念： ⑴ 动态性能校正 使开环增益满足设计要求。 例：)2)(5()(0++=s s s k s G ；111)(p s z s s G c ++=；222)(p s z s s G c ++=； ⑴ 动态性能校正 配置。配置)(1s G c 的零极点应 使需要的闭环极点在校正后的系统根轨迹上，同时还要满足“闭 环主导极点”条件。 ⑵ 增益校正 配置)(2s G c 零极点，使校正后的开环增益满足要求v c c s K s G s G s sG =→)()()(lim 0120 。 说明：以根轨迹的相角条件，图解1z 和1p 的选取；图解2z 和2p 选取原系统的闭环极点位置基本不 变，并使开环可以取较大的数值。 典型设计指标：开环增益K ，超调量σ，和调节时间s t 。无论是典型设计指标还是其它形式的设计指标，都需要转换成满足指标要求的闭环主导极点位置。 设计步骤： 1.1 根据动态性能指标，计算闭环主导极点1s 和2s ； 1.2 按闭环主导极点条件，选取动态特性校正环节结构)(1s G c ；依据校正后系统特征多项式与期 望特征多项式相等，计算出校正环节的参数； 1.3 根据开环增益K ，计算增益校正环节)(2s G c 参数； 为使根轨迹(起始段除外)形状基本不变，即闭环主导极点基本不变，又要有较高的开环增益，校正环节的零点和极点必须相互接近，且接近原点。 p s z s s G c --=)(2，需满足0)()()(2≈-∠--∠=∠p s z s s G i i i c 和α==∞→p z s G c s )(lim 2； 零点和极点选取方法，1.0)Re(/1=ζ；1)/(4==n s t ζω(留余地)，33.13=n ω； 闭环主导极点72.1242,1j s ±-=，相应的多项式为 17882++s s ； (2) 为使校正后系统的阶次不升高，选取a s s s G c ++=)3333.8()(1，闭环特征多项式满足： ))(1788()50)((2b s s s K s a s s +++=+++；解得238.12=a ，238.54=b ，381.9654=K ； (3) 7777.15=v K ，必须进行开环增益校正。 437.4/==v v K K α。222.0-=z ，05.0-=p ；05 .0222.0)(2++=s s s G c (4) 检验：校正后开环和闭环传递函数为 )50)(238.12)(05.0()222.0(381.9654)(++++=s s s s s s G ，) 102.0)(10817.0)(120()1505.4(05.70)(++++=s s s s s s G ； )176837.7)(227.54)(244.0()222.0(381.9654)(2+++++=Φs s s s s s ；244 .0227.546791.129185.3432,1-=-=±-=s s j s ；141222.0z s z ≈-=；
自动控制系统的设计--基于根轨迹的串联校正设计 与频域法相似，利用根轨迹法进行系统的设计也有两种方法：1）常规方法；2）Matlab方法。Matlab的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。目前常用的Matlab设计方法有：1）直接编程法；2）Matlab 控制工具箱提供的强大的Rltool工具；3）第三方提供的应用程序，如CTRLLAB等。本节在给出根轨迹的设计思路的基础上，将重点介绍第一、二种方法。 6.4.1 超前校正 关于超前校正装置的用途，在频率校正法中已进行了较详细的叙述，在此不再重复。 利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。
是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。（一）根轨迹超前校正原理设一个单位反馈系统，G0(s)为系统的不变部分，Gc(s)为待设计的超前校正装置， Kc为附加放大器的增益。绘制G0(s)的根轨迹于图6—19上，设点Sd 为系统希望的闭环极点，则若为校正后系统根轨迹上的一点，必须满足根轨迹的相角条件，即 ∠Gc(Sd)G0(Sd)=∠Gc(Sd)+G0(Sd)=-π 图6-18 于是得超前校正装置提供的超前角为： (6-21) 显然在Sd已知的情况下，这样的Gc(s)是存在的，但它的零点和极点的组合并不唯一，这相当于张开一定角度的剪刀，以Sd为中心在摆动。若确定了Zc和Pc的位置，即确定了校正装置的参数。下面介绍三种用于确定超前校正网络零点和极点的方法。 （二）三种确定超前校正装置参数的方法
武汉工程大学自动控制原理实验报告 专业班级：指导老师： 姓名：学号： 实验名称：系统根轨迹分析 实验日期：2011-12-01 第三次试验 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB仿真软件（版本6.5或以上） 实验内容
1．根轨迹的绘制 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一
图3.3 闭环系统一 的根轨迹及其绘制 程序 注意：在这里，构成系统s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中s最高
次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 r locfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。图 3.4 给出了函数 r locfind 的用法。 2．实验内容 图3.5 闭环系统二 1） 对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当 （1） G(s)= )2(+s s K , （2） G(s)= ) 4)(1(++s s s K ,
线性系统的根轨迹 一、 实验目的 1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、 实验容 1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++= s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。 2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并 观察增加极、零点对系统的影响。 三、 实验结果及分析 1.（1） ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0]; rlocus(num,den) [r,k]=rlocfind(num,den) grid xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') 运行结果： 选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得： selected_point = 0.0021 + 0.9627i k = 28.7425 r = -2.8199 + 2.1667i -2.8199 - 2.1667i -2.3313 -0.0145 + 0.9873i
系统校正设计：根轨迹法超前校正 一．校正原理 如果原系统的动态性能不好，可以采用微分校正，来改善系统的超调量p M 和调节时间s t ，满足系统动态响应的快速性与平稳性的定量值。 微分校正的计算步骤如下。 (1)作原系统根轨迹图； (2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。 (3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为： i s s =?±=(s)][G arg -180o ? (1-1) 此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件 (4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 注意满足相角差φ的零极点位置的解有许多组，可任意选定。在这里给出一种用几何作图法来确定零极点位置的方法如下 ○1过主导极点i s 与原点作直线OA ， ○2过主导极点i s 作水平线， ○3平分两线夹角作直线AB 交负实轴于B 点， ○4由直线AB 两边各分 ?2 1 识作射线交负实轴，左边交点为D P -，右边交点为 为D Z -，如图1-1所示。微分校正装置的传递函数为 D D c P s Z s (s)++= G (1-2)
图1-1 零极点位置的确定 (5)由幅值条件计算根轨迹过主导极点时相应的根轨迹增益gc K 的值，计算公式为 1(s)(s)G G o c ==i s s (1-3) (6)确定网络参数。（有源网络或者无源网络）； (7)校核幅值条件(s)(s)o c G G 、幅角条件(s)](s)G [G arg o c 、动态性能指标 p M 和s t 等。 二．校正实例 已知系统的开环传递函数为)2s(s 4 (s)o += G ,要求s t s 2%,20M p <<，试用 根轨迹法作微分校正。 解：（1）作原系统的根轨迹图如图1-3所示 ○1 原系统的结构图如图1-2所示
实验四 控制系统的根轨迹分析 一. 实验目的: 1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。 2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。 二. 实验内容: 1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。 2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。 3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。 4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。（实验方法参考实验二） 5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。 三. 实验原理: 根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。假定某闭环系统的开环传递函数为 ) 164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。 b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量 a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数 a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数 a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数 a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。 p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。 [k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应
《自动控制原理》课程实验报告 实验名称系统根轨迹分析 专业班级 *********** ********* 学 号 姓名** 指导教师李离 学院名称电气信息学院 2012 年 12 月 15 日
一、实验目的 1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上） 三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制 利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下： 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。
图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序
图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法 注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某
实验报告 课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________ 实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 实验十一 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。 2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。 二、实验原理 1、根轨迹分析方法 所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。在无零极点对消时，闭环系统特 征方程的根就是闭环传递函数的极点。 根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性 当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K 值就是临界稳定开环增益。 (2) 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。 (3) 动态性能 当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。 同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。 2、根轨迹分析函数 在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。 (1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。 专业：_____________________ 姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________
实验8 系统校正设计：根轨迹法超前校正 一.实验目的 对于给定的控制系统，采用根轨迹法设计满足时域性能指标的超前校正装置，并通过仿真结果验证设计的正确性。 二.实验步骤 1. 在Windows界面上用鼠标双击matlab图标，即可打开MATLAB命令平台。 2. 键入命令simulink，打开结构图设计界面。 3. 建立时域仿真的结构图文件“mysimu.m”。 给定结构图如图20所示 图20 SIMULINK仿真结构图 4.结构图单元参数设置。 用鼠标器双击任何一个结构图单元即激活结构图单元的参数设置窗口，完成结构图单元的参数设置。 5.仿真参数设置。 用鼠标选择主菜单的“Simulation”选项，选择“Simulation Parameter”选项，打开仿真参数设置窗口，完成仿真参数设置。 6.仿真操作。 选中“simulation”菜单项中的选项“start”即启动系统的仿真。
（或者使用工具栏上的启动按钮。） 三.实验要求 1. 作原系统的根轨迹图。 numo=[10];deno=[0.5 1 0]; rlocus(numo,deno); 2. 求出闭环极点的位置，计算时域性能M p0和t s0。 numo=[10];deno=[0.5 1 0]; [numc,denc]=cloop(numo,deno,-1); printsys(numc,denc); pzmap(numc,denc); 用于在s 平面上作图，作出零点.极点的位置如图21所示。 [p,z]=pzmap(numc,denc); 图21开环极点用于求得零点.极点的值。 p p = -1.0000 + 4.3589i -1.0000 - 4.3589i z z = [] 3. 作时域仿真。 sysc=tf(numc,denc);step(sysc)
实验三-控制系统的根轨迹分析
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实验三 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1．利用MATLAB 完成控制系统的根轨迹作图； 2．了解控制系统根轨迹图的一般规律； 3．利用根轨迹进行系统分析。 二、实验原理 与根轨迹相关的MATLAB 函数： 1．绘制根轨迹的函数为rlocus ，常用格式为： rlocus(sys) sys 为系统开环传递函数名称； rlocus(num,den,k) num,den 为开环传递函数分子分母多项式，k 为根轨迹增益。k 的范围可以指定，若k 未给出，则默认k 从0→∞，绘制完整的根轨迹； r= rlocus(num,den) 返回变量格式，不作图，计算所得的闭环根r ； [r,k]= rlocus(num,den) 返回变量格式，不作图，计算所得的闭环根r 和开环增益k 。 2．利用函数rlocfind( )可以显示根轨迹上任意一点的相关数值，以此判断对应根 轨迹增益下闭环系统的稳定性。 [k,r]=rlocfind(num,den) 运行后会有一个十字光标提示用户，在根轨迹上选择点，用鼠标单击选择后，在命令窗口就会显示此点的根轨迹增益及此时的所有闭环极点值。 例1 ) 4)(1()(++=s s s k s G r k 在命令窗口输入： k=1; z=[]; p=[0,-1,-4]; [num,den]=zp2tf(z,p,k); rlocus(num,den); title(’G k 根轨迹’) [k,r]=rlocfind(num,den) 3．当开环传递函数不是标准形式，无法直接求出零极点，可用pzmap( )绘制系 统的零极点图。 pzmap(num,den) 在s 平面上作零极点图； pzmap(num,den) 返回变量格式，不作图，计算零极点。 三、实验内容 给定如下各系统的开环传递函数，作出它们的根轨迹图，并完成给定要求。 1． ) 2)(1()(1++=s s s k s G r k 要求：
实验三 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1．利用MATLAB 完成控制系统的根轨迹作图； 2．了解控制系统根轨迹图的一般规律； 3．利用根轨迹进行系统分析。 二、实验原理 与根轨迹相关的MATLAB 函数： 1．绘制根轨迹的函数为rlocus ，常用格式为： rlocus(sys) sys 为系统开环传递函数名称； rlocus(num,den,k) num,den 为开环传递函数分子分母多项式，k 为根轨迹增益。k 的范围可以指定，若k 未给出，则默认k 从0→∞，绘制完整的根轨迹； r= rlocus(num,den) 返回变量格式，不作图，计算所得的闭环根r ； [r,k]= rlocus(num,den) 返回变量格式，不作图，计算所得的闭环根r 和开环增益k 。 2．利用函数rlocfind( )可以显示根轨迹上任意一点的相关数值，以此判断对应根轨迹增益下闭环系统的稳定性。 [k,r]=rlocfind(num,den) 运行后会有一个十字光标提示用户，在根轨迹上选择点，用鼠标单击选择后，在命令窗口就会显示此点的根轨迹增益及此时的所有闭环极点值。 例1 ) 4)(1()(++=s s s k s G r k 在命令窗口输入： k=1; z=[]; p=[0,-1,-4]; [num,den]=zp2tf(z,p,k); rlocus(num,den); title(’G k 根轨迹’) [k,r]=rlocfind(num,den) 3．当开环传递函数不是标准形式，无法直接求出零极点，可用pzmap( )绘制系统的零极点图。 pzmap(num,den) 在s 平面上作零极点图； pzmap(num,den) 返回变量格式，不作图，计算零极点。 三、实验内容 给定如下各系统的开环传递函数，作出它们的根轨迹图，并完成给定要求。 1． ) 2)(1()(1++=s s s k s G r k 要求：
1 课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称： 控制系统的根轨迹分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 1． 掌握用计算机辅助分析法分析控制系统的根轨迹 2． 熟练掌握Simulink 仿真环境。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 根轨迹是指，当开环系统某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益k ）从零变到无穷大时，死循环系统特征方程的根在s 平面上的轨迹。因此，从根轨迹，可分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。同时，对于设计系统可通过修改设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，因此根轨迹对系统设计也具有指导意义。在MATLAB 中，绘制根轨迹有关的函数有：rlocus ，rlocfind ，pzmap 等。 （二）实验内容 一开环系统传递函数为 2 2)34()2()(+++=s s s k s G 绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。 （三）实验要求 1．编制MATLAB 程序，画出实验所要求根轨迹, 求出系统的临界开环增益，并用闭环系统的冲击响应证明之。 2．在Simulink 仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统单位阶跃响应曲线并记录之。 三、主要仪器设备 计算机一台以及matlab 软件，simulink 仿真环境 四、操作方法与实验步骤 1、程序解决方案：
说明：在解出来的方程中k有五个值，这里只取符合题意的根，记为k1. 其输出的曲线如下 放大根轨迹图可知，临界稳定状态k=55，这 与计算出来的结果是一致的，因此当 0 大学 课程设计 学院专业 班 题目控制系统的根轨迹法设计 学生 指导老师 二○一〇年十二月 目录 一、任务书（1） 二、设计思想（2） 三、编制的程序（2） 四、设计结论（6） 五、设计总结（6） 六、参考文献（6） 《自动控制理论》 课程设计任务书 当系统的性能指标给定为时域指标（如超调量、阻尼系数、自然频率等）时，用根轨迹法对系统进行校正比较方便。这是因为系统的动态性能取决于它的闭环零、极点在S平 面上的分布。 因此，根轨迹法校正的特点就是：如何选择控制器的零、极点，去促使系统的根轨迹朝有利于提高系统性能的方向变化，从而满足设计要求。 二阶系统的性能指标和参数之间具有明确的解析式，而高阶系统没有这一特点，只能通过寻找对系统动态性能起决定作用的主导极点，从而近似成二阶系统，在留有余量的情况下，作为设计依据。因此，可以把讨论对系统性能指标的要求转化为对系统期望主导极点在S 平面上分布的要求。所以，根轨迹法校正就是迫使被校正系统的根轨迹通过期望主导极点而达到校正的目的。 根据题目要求，然后根据公式σ%=0.16+0.4（Mr-1）=20% 和公式Ko=2+1.5(1/sin γ-1)+2.5(1/sin γ-1)2 ，以及M r =1/sin γ，即可得到Ko.然后利用函数sisotool 即可得到矫正传递函数：。最后观察单位阶跃响应验证校正后系统是否满足要求。 三、编制的程序 （1）因为σ%=0.16+0.4（Mr-1）=20%,则有 Syms Mr sigma ; Mr=solve('0.16+0.4*(Mr-1)=0.2'); %利用超调量求Mr Mr=vpa(Mr,3) 语句执行结果：Mr=1.1. (2)又因Mr=1/sin γ 又Ko=2+1.5(1/sin γ-1)+2.5(1/sin γ-1)2 ,故将Mr 代替1/sin γ来求取Ko; Syms Ko Mr ; Mr=1.1; Ko=2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1) ^2 %根据Mr=1/sin γ=1.1求取Ko 语句执行结果： Ko=2.175,可以取整数K 0=2 . 3）那么开环传递函数为 )2(2 )(0+= s s s G 程序如下 k=2 %原系统的增益； n1=1; %分子； d1=conv([1 0],[1 2]); %分母用conv 表示卷积； sys=tf(k*n1,d1) %原系统表达式； sisotool(sys); %得出原系统的阶跃响应曲线； 语句执行结果可得未校正系统的bode 图和单位阶跃响应如下 西安石油大学课程设计 学院：电子工程学院 专业：自动化 班级：自动化0901 学号： 题目根轨迹法校正 学生 指导老师霍爱清 二零一零年十二月 目录 1任务书 (3) 2课程设计的题目 (4) 3设计思想 (4) 4编制的程序及仿真图 (5) (1)求校正装置的放大系数Kc (5) (2)检验原系统的阶跃响应是否满足要求 (5) (3)检验校正装置是否满足要求 (7) 5设计结论 (8) 6设计总结 (9) 7参考文献 (9) 1.《自动控制理论I 》课程设计任务书 题目根轨迹法校正 学生姓名学号专业班级自动化0901 设计内容与要求设计内容： 4. 已知单位负反馈系统被控对象的开环传递函数为： )1 2( 4 ) ( 0+ = s s s G 设计校正环节。要求使其校正后系统单位斜坡响应稳态误差 025 .0v e ss ≤；阶跃响应的超调量% 15 ≤ σ；相角稳定裕度? ≥45 γ；阶跃响应的调节时间s t s 20 ≤。 设计要求： （1）编程绘制原系统节约响应曲线，并计算出原系统的动态性能指标； （2）利用SISOTOOL设计校正方案（得到相应的控制其参数）； （3）绘制校正后系统阶跃响应曲线，并计算出校正后系统的动态性能指标； （4）整理设计结果，提交设计报告。 起止时间2011 年12 月19 日至2010 年12 月30 日指导教师签名年月日 系（教研室）主任签 名 年月日学生签名年月日 2.课程设计的题目: 已知单位负反馈系统被控对象的开环传递函数为： ) 12(4)(0+=s s s G 设计校正环节。要求使其校正后系统单位斜坡响应稳态误差0025.0v e ss ≤；阶跃响应的超调量%15≤σ；相角稳定裕度?≥45γ；阶跃响应的调节时间s t s 20≤。 3设计思想: 当根轨迹的性能指标给定为时域指标（如超调量、阻尼系数、自然频率等）时，用根轨迹法对系统进行校正比较方便。这是因为系统的动态性能取决于它的闭环零、极点在S 平面上的分布。 因此，根轨迹法校正的特点就是：如何选择控制的零﹑极点，去促使系统的根轨迹朝有利于提高系统性能的方向变化，从而满足设计要求。 二阶系统的性能指标和参数之间具有明确的解析式，而高阶系统没有这一点，只能通过寻找对系统动态性能起决定作用的主导极点，从而近似二阶系统，在留有余量的情况下，作为设计依据。因此，可以把讨论对系统性能指标的要求转化为对系统期望主导极点在S 平面上的分布要求。所以，根轨迹校正法就是迫使被校正系统的根轨迹通过主导极点而达到校正的目的。 4编制的程序及仿真图: 控制系统的根轨迹作图 实验报告 班级：****** 姓名：***** 学号：****** 指导老师：**** 学年：2012至2013第二学期 一、实验目的 1.用matlab完成控制系统的建立。 2.了解系统根轨迹作图的一般规律，能熟练完成控制系统的根轨迹绘图。 3.利用根轨迹图进行系统分析。 二、实验内容 1.系统模型建立 sys = tf(num,den) sys = zpk(z,p,k) sys = ss(a,b,c,d) sys = frd(response,frequencies) 该主题相关matlab帮助资料：Matlab help——contents——control system toolbox ——building models 2.根轨迹绘图 rlocus（num,den） rlocus(num,den,k) r=rlocus(num,den) [z,p,k]=zpkdata(sys,’v’) 该主题相关matlab帮助资料：Matlab help——contents——getting started——control system toolbox——building models 3.根轨迹分析 Sisotool() 该主题相关matlab帮助资料：Matlab help——contents——getting started——control system toolbox——root locus design 例1：传递函数为: 1.5 ------------------ s^2 + 14 s + 40.02 sys_tf = tf(1.5,[1 14 40.02]) 或num=1.5,den=[1 14 40.02],sys_tf(num,den); 例2：传递函数 1.5 -------------------- s^2 + 14 s + 40.02 matlab表示：s = tf('s'); sys_tf = 1.5/(s^2+14*s+40.02) 根轨迹如下图：控制系统的根轨迹法设计
根轨迹法校正
控制系统的根轨迹实验报告
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