第十四章整式的乘法与因式分解
14．1整式的乘法
14．1.1同底数幂的乘法
1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能运用其熟练地进行运算；
2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．
重点：同底数幂乘法的运算性质．
难点：同底数幂乘法的运算性质的灵活运用．
一、自学指导
自学1：自学课本P95－96页“问题1，探究及例1”，掌握同底数幂的乘法法则，完成下列填空．(7分钟)
1．根据乘方的意义填空：
(－a)2＝a2，(－a)3＝－a3；(m－n)2＝(n－m)2；(a－b)3＝－(b－a)3.
2．根据幂的意义解答：
52×53＝5×5×5×5×5＝55；32×34＝3×3×3×3×3×3＝36；a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝a7；a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)；a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p都是正整数)．总结归纳：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．课本P96页练习题．
2．计算：(1)10·102·104；(2)x2＋a·x2a＋1；(3)(－x)2·(－x)3；(4)(a＋1)(a＋1)2.
解：(1)10·102·104＝101＋2＋4＝107；
(2)x2＋a·x2a＋1＝x(2＋a)＋(2a＋1)＝x3a＋3；
(3)(－x)2·(－x)3＝(－x)2＋3＝(－x)5＝－x5；
(4)(a＋1)(a＋1)2＝(a＋1)1＋2＝(a＋1)3.
点拨精讲：第(1)题中第一个因式的指数为1，第(4)题(a＋2)可以看作一个整体．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1计算：(1)(－x)4·x10；(2)－x4·(－x)8；(3)1000×10a×10a＋1；(4)(x－y)·(y－x)3.
解：(1)(－x)4·x10＝x4·x10＝x14；
(2)－x4·(－x)8＝－x4·x8＝－x12；
(3)1000×10a×10a＋1＝103·10a·10a＋1＝102a＋4；
(4)(x－y)·(y－x)3＝－(y－x)·(y－x)3＝－(y－x)4.
点拨精讲：应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘，运算时要先确定符号．
探究2已知a m＝3，a n＝5(m，n为整数)，求a m＋n的值．
解：a m＋n＝a m·a n＝3×5＝15
点拨精讲：一般逆用公式有时可使计算简便．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．计算：(1)a·a2·a4；
(2)x·x2＋x2·x；
(3)(－p)3·(－p)2＋(－p)4·p；
(4)(a＋b)2m(a＋b)m＋1；
(5)(x－y)3(x－y)2(y－x)；
(6)(－x)4·x7·(－x)3.
解：(1)a·a2·a4＝a7；
(2)x·x2＋x2·x＝x3＋x3＝2x3；
(3)(－p)3·(－p)2＋(－p)4·p＝(－p)5＋p4·p＝－p5＋p5＝0；
(4)(a＋b)2m(a＋b)m＋1＝(a＋b)3m＋1；
(5)(x－y)3(x－y)2(y－x)＝－(x－y)3(x－y)2(x－y)＝－(x－y)6；
(6)(－x)4·x7·(－x)3＝x4·x7·(－x3)＝－x14.
点拨精讲：注意符号和运算顺序，第1题中a的指数1千万别漏掉了．
2．已知3a＋b·3a－b＝9，求a的值．
解：∵3a＋b·3a－b＝32a＝9，∴32a＝32，∴2a＝2，即a＝1.
点拨精讲：左边进行同底数幂的运算后再对比指数．
3．已知a m＝3，a m＋n＝6，求a n的值．
解：∵a m＋n＝a m·a n＝6，a n＝3，∴3×a n＝6，∴a n＝2.
(3分钟)1.化归思想方法(也叫做转化思想方法)是人们学习、生活、生产中
的常用方法．遇到新问题时，可把新问题转化为熟知的问题，例如(－a)6·a10转化为a6·a10.
2．联想思维方法：要注意公式之间的联系，例如看到a m＋n就要联想到a m·a n，它是公式的逆用．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．1.2幂的乘方
1．理解幂的乘方法则；
2．运用幂的乘方法则计算．
重点：理解幂的乘方法则．
难点：幂的乘方法则的灵活运用．
一、自学指导
自学1：自学课本P96－97页“探究及例2”，理解幂的乘方的法则完成填空．(5分钟)
(1)52中，底数是5，指数是2，表示2个5相乘；(52)3表示3个52相乘；
(2)(52)3＝52×52×52(根据幂的意义)
＝5×5×5×5×5×5(根据同底数幂的乘法法则)
＝52×3；
(a m)2＝a m·a m＝a2m(根据a m·a n＝a m＋n)；
(a m)n＝a m·a m…a m,\s\up6(n个a m)) (根据幂的意义)
＝a m＋m＋…＋m,\s\up6(n个m)) (根据同底数幂的乘法法则)
＝a mn(根据乘法的意义)．
总结归纳：幂的乘方，底数不变，指数相乘．(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P97页练习题．
2．计算：(1)(103)2；(2)(x3)5；(3)(－x m)5；(4)(a2)4·a5.
解：(1)(103)2＝103×2＝106；(2)(x3)5＝x3×5＝x15；
(3)(－x m)5＝－x5m；(4)(a2)4·a5＝a2×4·a5＝a8·a5＝a13.
点拨精讲：遇到乘方与乘法的混算应先乘方再乘法．
3．计算：(1)[(－x)3]2；(2)(－24)3；(3)(－23)4；(4)(－a5)2＋(－a2)5.
解：(1)[(－x)3]2＝(－x3)2＝x6；(2)(－24)3＝－212；(3)(－23)4＝212；(4)(－a5)2＋(－a2)5＝a10－a10＝0.
点拨精讲：弄清楚底数才能避免符号错误，混合运算时首先确定运算顺序．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1若42n＝28，求n的值．
解：∵4＝22，∴42n＝(22)2n＝24n，∴4n＝8，∴n＝2
点拨精讲：可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．
探究2已知a m＝3，a n＝4(m，n为整数)，求a3m＋2n的值．
解：a3m＋2n＝a3m·a2n＝(a m)3·(a n)2＝33×42＝27×16＝432.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．填空：108＝()2，b27＝()9，(y m)3＝()m，p2n＋2＝()2.
2．计算：(1)(－x3)5；(2)a6(a3)2·(a2)4；(3)[(x－y)2]3；(4)x2x4＋(x2)3.
解：(1)(－x3)5＝－x15；(2)a6(a3)2·(a2)4＝a6·a6·a8＝a20；(3)[(x－y)2]3＝(x－y)6；(4)x2x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6.
3．若x m x2m＝3，求x9m的值．
解：∵x m x2m＝3，∴x3m＝3，∴x9m＝(x3m)3＝33＝27.
(3分钟)公式(a m)n的逆用：a mn＝(a m)n＝(a n)m.
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．1.3积的乘方
1．理解积的乘方法则．
2．运用积的乘方法则计算．
重点：理解积的乘方法则．
难点：积的乘方法则的灵活运用．
一、自学指导
自学1：自学课本P97－98页“探究及例3”，理解积的乘方的法则，完成填空．(5分钟)
填空：(1)(2×3)3＝216，23×33＝216；(－2×3)3＝－216，(－2)3×33＝－216．
(2)(ab)n ＝(ab)·(ab)……(ab)(n)个＝(a·a ……a)(n)个·(b·b ……b)(n)个＝a n b n ．
总结归纳：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)．
推广：(abc)n ＝a n b n c n (n 是正整数)．
点拨精讲：积的乘方法则的推导实质是从整体到部分的顺序去思考的．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P98页练习题．
2．计算：(1)(ab)3；(2)(－3xy)3；(3)(－2×104)3；(4)(2ab 2)3.
解：(1)(ab)3＝a 3b 3；(2)(－3xy)3＝－27x 3y 3；(3)(－2×104)3＝(－2)3×(104)3＝－8×1012；
(4)(2ab 2)3＝8a 3b 6.
3．一个正方体的棱长为2×102毫米．
(1)它的表面积是多少？
(2)它的体积是多少？
解：(1)6×(2×102)2＝6×(4×104)＝2.4×105，则它的表面积是2.4×105平方毫米；
(2)(2×102)3＝8×106，则它的体积是8×106立方毫米．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 计算：(1)(a 4·b 2)3；(2)(a n b 3n )2＋(a 2b 6)n ；(3)[(3a 3)2＋(a 2)3]2.
解：(1)(a 4·b 2)3＝a 12b 6；(2)(a n b 3n )2＋(a 2b 6)n ＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n ；(3)[(3a 3)2＋(a 2)3]2＝(9a 6＋a 6)2＝(10a 6)2＝100a 12.
点拨精讲：注意先乘方再乘除后加减的运算顺序．
探究2 计算：(1)(99100)2013×(10099
)2014； (2)0.12515×(215)3.
解：(1)(99100)2013×(10099)2014＝(99100)2013×(10099)2013×10099＝(99100×10099)2013×10099＝10099
； (2)0.12515×(215)3＝(18)15×(23)15＝(18
×23)15＝1. 点拨精讲：反用(ab)n ＝a n b n 可使计算简便．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．计算：(1)－(－3a 2b 3)2；(2)(2a 2b)3－3(a 3)2b 3；(3)(－0.25)2008×(－4)2009.
解：(1)－(－3a 2b 3)2＝－9a 4b 6；(2)(2a 2b)3－(3a 3)2b 3＝8a 6b 3－9a 6b 3＝－a 6b 3；(3)(－0.25)2008
×(－4)2009＝(14)2008×(－42009)＝－(14
×4)2008×4＝－4. 点拨精讲：可从里向外乘方也可从外向内乘方，但要注意符号问题．在计算中如遇底数互为相反数指数相同的，可反用积的乘方法则使计算简便．
2．填空：4m a 3m b 2m ＝(4a 3b 2)m .
(3分钟)公式(ab)n ＝a n b n (n 为正整数)的逆用：a n b n ＝(ab)n (n 为正整数)．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．1.4 整式的乘法(1)
1．了解单项式与单项式的乘法法则；
2．运用单项式与单项式的乘法法则计算．
重点：单项式与单项式的乘法法则．
难点：运用单项式与单项式的乘法法则计算．
一、自学指导
自学1：自学课本P98－99页“思考题及例4”，理解单项式与单项式乘法的法则，完成下列填空．(5分钟)
1．填空：(ab)c ＝(ac)b ；a m a n ＝a m a n ＝a m ＋n (m ，n 都是正整数)；(a m )n ＝a mn (m ，n 都是正
整数)；(ab)n ＝a n b n (n 都是正整数)．
2．计算：a 2－2a 2＝－a 2，a 2·2a 3＝2a 5，(－2a 3)2＝4a 6；
12x 2yz ·4xy 2＝(12
×4)·x (2＋1)y (1＋2)z ＝2x 3y 3z ． 总结归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
点拨精讲：单项式乘以单项式运用乘法的交换律和结合律将数和同底数幂分别结合在一起．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P99页练习题1，2.
2．计算：(1)3x 2·5x 3；(2)4y·(－2xy 2)；(3)(3x 2y)3·(－4x)；(4)(－2a)3·(－3a)2；(5)－
6x 2y ·(a －b)3·13
xy 2·(b －a)2. 解：(1)3x 2·5x 3＝(3×5)·(x 2·x 3)＝15x 5；(2)4y·(－2xy 2)＝(－4×2)·x·(y·y 2)＝－8xy 3；
(3)(3x 2y)3·(－4x)＝27x 6y 3·(－4x)＝(－27×4)·(x·x 6)·y 3＝－108x 7y 3；(4)(－2a)3·(－3a)2＝(－
8a 3)·9a 2＝(－8×9)·(a 3·a 2)＝－72a 5；(5)－6x 2y ·(a －b)3·13xy 2·(b －a)2＝(－6×13
)(x 2·x)(y·y 2)[(a －b)3·(a －b)2]＝－2x 3y 3(a －b)5.
点拨精讲：先乘方再算单项式与单项式的乘法，(a －b)看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．
3．已知单项式－3x 4m －n y 2与12x 3y m ＋n 的和为一个单项式，则这两个单项式的积是－32
x 6y 4．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若(－2x m ＋1y 2n －1)·(5x n y m )＝－10x 4y 4，求－2m 2n ·(－12
m 3n 2)2的值． 解：∵(－2x m ＋1y 2n －1)·(5x n y m )＝－10x 4y 4，∴－10x m ＋n ＋1y 2n ＋m －1＝－10x 4y 4，∴???m ＋n ＋1＝4，2n ＋m －1＝4，∴???m ＝1，n ＝2，
∴－2m 2n ·(－12m 3n 2)2＝－12m 8n 5＝－12×18×25＝－16.
探究2 宇宙空间的距离通常以光年作单位，一光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度约为3×105千米/秒，一年约为3.2×107秒，则一光年约为多少千米？
解：依题意，得(3×105)×(3.2×107)＝(3×3.2)·(105×107)＝9.6×1012.
答：一光年约为9.6×1012千米．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．一种电子计算机每秒可做2×1010次运算，它工作2×102秒可做4×1012次运算．
2．已知x 2n ＝3，则(19
x 3n )2·4(x 2)2n 的值是12． 3．小华家新购了一套结构如图的住房，正准备装修．
(1)用代数式表示这套住房的总面积为15xy ；
(2)若x ＝2.5 m ，y ＝3 m ，装修客厅和卧室至少需要112.5平方米的木地板．
(3分钟)单项式与单项式相乘：积的系数等于各系数相乘，这部分为数的
计算，应该先确定符号，再确定绝对值；积的字母部分运算法则为相同字母不变，指数相加；单个的字母及其指数写下来；单项式与单项式相乘，积仍是单项式；单项式与单项式乘法法则的理论依据是乘法的交换律和结合律．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．1.4 整式的乘法(2)
1．了解单项式与多项式的乘法法则．
2．运用单项式与多项式的乘法法则计算．
重点：单项式与多项式的乘法法则．
难点：灵活运用单项式与多项式的乘法法则计算．
一、自学指导
自学1：自学课本P99－100页“例5”，理解单项式与多项式乘法的法则，完成下列填空．(5分钟)
乘法的分配律：m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc ．
总结归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P100页练习题1，2.
2．计算：(1)－5x(2x 3－x －3)；
(2)2x(32
x 3－3x ＋1)； (3)(－2a 3)(4ab 3－2ab 2)；
(4)(－3m －1)·(－2m)2.
解：(1)－5x(2x 3－x －3)＝－5x·2x 3＋5x·x ＋5x ×3＝－10x 4＋3x 2＋15x ；
(2)2x(32x 3－3x ＋1)＝2x·32
x 3－2x·3x ＋2x·1＝3x 4－6x 2＋2x ； (3)(－2a 3)(4ab 3－2ab 2)＝－2a 3·4ab 3＋2a 3·2ab 2＝－8a 4b 3＋4a 4b 2；
(4)(－3m －1)·(－2m)2＝(－3m －1)·4m 2＝－3m·4m 2－1×4m 2＝－12m 3－4m 2.
3．要使x(x ＋a)＋3x －2b ＝x 2＋5x ＋4成立，则a ＝2，b ＝－2．
4．长方体的长、宽、高分别为4x －3，x 和2x ，它的体积为8x 3－6x 2．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 解方程：8x(5－x)＝17－2x(4x －3)．
解：40x －8x 2＝17－8x 2＋6x ，34x ＝17，x ＝12
. 探究2 先化简，再求值：x 2(3－x)＋x(x 2－2x)＋1，其中x ＝ 3.
解：x 2(3－x)＋x(x 2－2x)＋1＝3x 2－x 3＋x 3－2x 2＋1＝x 2＋1，当x ＝3时，原式＝(3)2＋1＝3＋1＝4.
点拨精讲：所谓的化简即去括号、合并同类项．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．解方程：2x(7－2x)＋5x(8－x)＝3x(5－3x)－39
解：14x －4x 2＋40x －5x 2＝15x －9x 2－39，39x ＝－39，x ＝－1.
2．求下图所示的物体的体积．(单位： cm )
解：x·3x·(5x＋2)＋2x·x·(5x＋2)＝3x2·(5x＋2)＋2x2·(5x＋2)＝25x3＋10x2.
答：物体的体积为(25x3＋10x2) cm3.
3．x为何值时，3(x2－2x＋1)与x(3x－4)的差等于5?
解：依题意，得3(x2－2x＋1)－x(3x－4)＝5，3x2－6x＋3－3x2＋4x＝5，－2x＝2，x＝－1，
答：当x＝－1时，3(x2－2x＋1)与x(3x－4)的差等于5.
(3分钟)单项式与多项式相乘：理论依据是乘法的分配律；单项式与多项
式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．1.4整式的乘法(3)
1．了解多项式与多项式相乘的法则．
2．运用多项式与多项式相乘的法则进行计算．
重点：理解多项式与多项式相乘的法则．
难点：灵活运用多项式与多项式相乘的法则进行计算．
一、自学指导
自学1：自学课本P100－101页“问题、例6”，理解多项式乘以多项式的法则，完成下列填空．(5分钟)
看图填空：大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n)，图中四个小长方形的面积分别是am，bm，an，bn，由此可得(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn．总结归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；
点拨精讲：以数形结合的方法解决数学问题更直观．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟) 1．课本P102页练习题1，2.
2．计算：(1)(a＋3)(a－1)＋a(a－2)；
(2)(x＋2y)(x－2y)－1
2y(
1
2x－8y)；
(3)(x2＋3)(x－2)－x(x2－2x－2)．
解：(1)(a＋3)(a－1)＋a(a－2)＝a2－a＋3a－3＋a2－2a＝2a2－3；
(2)(x＋2y)(x－2y)－1
2y(
1
2x－8y)＝x
2－2xy＋2xy－4y2－1
4xy＋4y
2＝x2－1
4xy；
(3)(x2＋3)(x－2)－x(x2－2x－2)＝x3－2x2＋3x－6－x3＋2x2＋2x＝5x－6.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1计算下列各式，然后回答问题：
(1)(a＋2)(a＋3)＝a2＋5a＋6；
(2)(a＋2)(a－3)＝a2－a－6；
(3)(a－2)(a＋3)＝a2＋a－6；
(4)(a－2)(a－3)＝a2－5a＋6．
从上面的计算中，你能总结出什么规律：(x＋m)(x＋n)＝x2＋(m＋n)x＋mn．
点拨精讲：这种找规律的问题要依照整体到部分的顺序，看哪些没变，哪些变了，是如何变的，从而找出规律．
探究2在(ax＋3y)与(x－y)的积中，不含有xy项，求a2＋3a－1的值．
解：∵(ax＋3y)(x－y)＝ax2－axy＋3xy－3y2＝ax2＋(3－a)xy－3y2，依题意，得3－a＝0，∴a＝3，∴a2＋3a－1＝32＋3×3－1＝9＋9－1＝17.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．先化简，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中：x＝－1，y＝2.
解：∵(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)
＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)
＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2
＝－x2＋10xy－10y2.
当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－1－20－40＝－61.
2．计算：(1)(x－1)(x－2)；
(2)(m－3)(m＋5)；
(3)(x＋2)(x－2)．
解：(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2；
(2)(m－3)(m＋5)＝m2＋2m－15；
(3)(x＋2)(x－2)＝x2－4.
3．若(x＋4)(x－6)＝x2＋ax＋b，求a2＋ab的值．
解：∵(x＋4)(x－6)＝x2－2x－24，又∵(x＋4)(x－6)＝x2＋ax＋b，∴a＝－2，b＝－24.
∴a2＋ab＝(－2)2＋(－2)×(－24)＝4＋48＝52.
点拨精讲：第2题应先将等式两边计算出来，再对比各项，得出结果．
(3分钟)在多项式的乘法运算中，必须做到不重不漏，并注意合并同类项．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．1.4 整式的乘法(4)
1．掌握同底数幂的除法运算法则，会熟练运用法则进行运算；并了解零指数幂的意义，并注意对底数的限制条件．
2．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
3．多项式除以单项式的运算法则及其应用．
重点：理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，理解零指数幂的意义． 难点：单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及灵活运用．
一、自学指导
自学1：自学课本P102－103页“例7”，掌握同底数幂的除法、单项式除以单项式的运算法则，完成下列填空．(5分钟)
1．填空：26×28＝26＋8＝214，214÷28＝214－8＝26．
总结归纳：同底数幂的除法法则——a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，n ，m 为正整数，且m ＞n)，
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．∵a m ÷a m ＝1，而a m ÷a m ＝a (m －m)＝a 0，∴a 0＝1(a ≠0)．(a 为什么不能等于0？)
总结归纳：任何不等于a 的数的0次幂都等于1．
3．2a ·4a 2＝8a 3；3xy·2x 2＝6x 3y ；3ax 2·4ax 3＝12a 2x 5；8a 3÷2a ＝4a 2；6x 3y ÷3xy ＝2x 2． 总结归纳：单项式除以单项式法则——单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
自学2：自学课本P103－104页“例8”，掌握多项式除以单项式的运算方法．(5分钟) ∵m ·(a ＋b)＝am ＋bm ，∴(am ＋bm)÷m ＝a ＋b ，又∵am÷m ＋bm÷m ＝a ＋b ，∴(am ＋bm)÷m ＝am÷m ＋bm ÷m.
总结归纳：多项式除以单项式法则——多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．课本P104页练习1，2.
2．计算：(1)a 2m ＋2÷a 2m －
1；(2)(2－2)0；(3)(x －y)7÷(y －x)6；(4)x 7÷(x 5÷x 3)． 解：(1)a 2m ＋2÷a 2m －1＝a (2m ＋2)－(2m －
1)＝a 3；(2)(2－2)0＝1；(3)(x －y)7÷(y －x)6＝(x －y)7
÷(x －y)6＝(x －y)7－6＝x －y ；(4)x 7÷(x 5÷x 3)＝x 7÷x 5－3＝x 7÷x 2＝x 7－2＝x 5. 3．计算：(1)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－13
ab 3)2； (2)[(3a ＋2b)(3a －2b)＋b(4b －4a)]÷2a.
解：(1)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－13ab 3)2＝(23a 4b 7－19a 2b 6)÷19a 2b 6＝23a 4b 7÷19a 2b 6－19a 2b 6÷19
a 2
b 6＝6a 2b －1；
(2)[(3a ＋2b)(3a －2b)＋b(4b －4a)]÷2a ＝(9a 2－4ab)÷2a ＝9a 2÷2a －4ab÷2a ＝92
a －2b.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 已知x m ＝4，x n ＝9，求x 3m －2n 的值．
解：x 3m －2n ＝x 3m ÷x 2n ＝(x m )3÷(x n )2＝43÷92＝6481
. 点拨精讲：这里反用了同底数幂的除法法则．
探究2 一种被污染的液体每升含有2.4×1013个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？(注：15滴＝1毫升)
解：依题意，得(2.4×1013)÷(4×1010)÷15＝6×102÷15＝40(毫升)，答：需要这种杀菌剂40毫升．
点拨精讲：要把2.4×1013和4×1010看作单项式形式，其中2.4和4可当作系数．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．计算：(1)[(a 2)5·(－a 2)3]÷(－a 4)4；
(2)(a －b)3÷(b －a)2＋(－a －b)5÷(a ＋b)4.
解：(1)[(a 2)5·(－a 2)3]÷(－a 4)4＝[a 10·(－a 6)]÷a 16＝－a 16÷a 16＝－1；
(2)(a －b)3÷(b －a)2＋(－a －b)5÷(a ＋b)4＝(a －b)3÷(a －b)2－(a ＋b)5÷(a ＋b)4＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b.
2．先化简再求值：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a ＋b)(a －b)，其中a ＝12
，b ＝－1. 解：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a ＋b)(a －b)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab ，当a ＝12
，b ＝－1时，原式＝－2×12
×(－1)＝1. 3．一个多项式除以(2x 2＋1)，商式为x －1，余式为5x ，求这个多项式？
解：依题意，得(2x 2＋1)(x －1)＋5x ＝2x 3－2x 2＋x －1＋5x ＝2x 3－2x 2＋6x －1.
(3分钟)1.在运算时要注意结构和符号，多个同底数幂相除要按运算顺序
依次计算，首先取号，再运算．
2．先确定运算顺序，先乘方后乘除，再加减，有括号先算括号里面的，同级运算按从左到右的运算依次进行计算．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．2 乘法公式
14．2.1 平方差公式
1．掌握平方差公式．
2．会用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题．
重点：掌握平方差公式．
难点：灵活运用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题．
一、自学指导
自学1：自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌握平方差公式，完成下列填空．(5分钟)
计算：(x ＋2)(x －2)＝x 2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a 2；(x ＋5y)(x －5y)＝x 2－25y 2． 上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个单项式的和与差的积，等式的右边是这两个数的平方差．
总结归纳：两数的和乘以这两数的差的积等于这两个数的平方差；公式：(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P108页练习题1，2.
2．填空：(3a －2b)(____＋2b)＝9a 2－4b 2.
3．计算：(1)(－a ＋b)(a ＋b)；(2)(－13x －y)(13
x －y) 解：(1)(－a ＋b)(a ＋b)＝b 2－a 2；
(2)(－13x －y)(13x －y)＝(－y)2－(13x)2＝y 2－19
x 2. 点拨精讲：首先判断是否符合平方差公式的结构，确定式子中的“a ，b ”，a 是公式中相同的数，b 是其中符号相反的数．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 计算：(1)(x －y)(x ＋y)(x 2＋y 2)；
(2)(12
xy －5z)(－5z －0.5xy)． 解：(1)(x －y)(x ＋y)(x 2＋y 2)＝(x 2－y 2)(x 2＋y 2)＝x 4－y 4；
(2)(12xy －5z)(－5z －0.5xy)＝(－5z)2－(12xy)2＝25z 2－14
x 2y 2. 点拨精讲：在多个因式相乘时可将符合平方差结构的因式交换结合进行计算．
探究2 计算：10014×9934
. 解：10014×9934＝(100＋14)(100－14)＝10000－116＝99991516
. 点拨精讲：可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方差公式结构．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．若M·(2x －3y)＝9y 2－4x 2，则M ＝－2x －3y ．
2．计算：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)；
(2)(3a －b)(3b ＋a)－(a －b)(a ＋b)．
解：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)
＝(28－1)(28＋1)
＝216－1；
(2)(3a－b)(3b＋a)－(a－b)(a＋b)
＝3a2＋8ab－3b2－(a2－b2)
＝3a2＋8ab－3b2－a2＋b2
＝2a2＋8ab－2b2.
点拨精讲：运用平方差公式计算后要合并同类项．
3．计算：(1)102×98；(2)39.8×40.2.
解：(1)102×98＝(100＋2)(100－2)＝10000－4＝9996；
(2)39.8×40.2＝(40－0.2)(40＋0.2)＝1600－0.04＝1599.96.
4．已知a－b＝40，b－c＝50，a＋c＝20，求a2－c2的值．
解：∵a－b＝40，b－c＝50，∴a－c＝90，∵(a＋c)(a－c)＝a2－c2，∴a2－c2＝(a＋c)(a －c)＝20×90＝1800.
(3分钟)利用平方差公式来计算某些特殊多项式相乘，速度快、准确率高，但必须注意平方差公式的结构特征，找准a，b.
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．2.2完全平方公式(1)
1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．
2．熟练运用公式进行计算．
重点：理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．
难点：灵活运用公式进行计算．
一、自学指导
自学1：自学课本P109－110页“探究、思考1及例3”，掌握完全平方公式，完成下列填空．(5分钟)
1．计算：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；
(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；
(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9．
2．用图中的字母表示出图中白色和黑色部分面积的和(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．
总结归纳：两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和，加上(减去)这两个数乘积的2倍；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
自学2：自学课本P110页“例4，思考2”，灵活运用完全平方公式．(5分钟)
填空：(－2)2＝22，(a)2＝(－a)2．
总结归纳：互为相反数的两个数(式)的同偶次幂相等．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．课本P110页练习题1，2.
2．填空：(1－3x)2＝1－6x ＋9x 2.
点拨精讲：完全平方公式的反用，关键要确定a ，b ，也可以是(3x －1)2.
3．下列各式中，能由完全平方公式计算得到的有①④⑤．
①x 2－x ＋14；②m 2－mn ＋n 2；③116a 2＋a ＋9；④x 2＋4y 2＋4xy ；⑤14
x 2y 2－xy ＋1.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)
探究1 若多项式x 2＋kx ＋16是某个整式的平方，求k 的值．
解：由题意，得(k 2)2＝16，∴k 24
＝16，∴k 2＝64，∴k 2＝±8. 探究2 计算：9982.
解：9982＝(100－2)2＝1002－2×100×2＋22＝10000－400＋4＝9604.
点拨精讲：可将该式变形为完全平方公式的结构可简便运算．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．若(x －5)2＝x 2＋kx ＋25，求k 的值．
解：∵(x －5)2＝x 2－10x ＋25，∴k ＝－10.
2．计算：(1)1012；(2)(－m －2n)2.
解：(1)1012＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12＝10000＋200＋1＝10201；
(2)(－m －2n)2＝(m ＋2n)2＝m 2＋2·m·2n ＋(2n)2＝m 2＋4mn ＋4n 2.
3．填空：(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab ，(a －b)2＝(a ＋b)2＋(－4ab)．
(3分钟)1.利用完全平方公式计算某些特殊多项式相乘，速度快，准确率
高，但必须注意完全平方公式的结构特征；
2．利用完全平方公式，可得到a ＋b ，ab ，a －b ，a 2＋b 2有下列关系：
①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；
②(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab.
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．2.2 完全平方公式(2)
1．掌握添括号法则；
2．综合运用乘法公式进行计算．
重点：灵活运用乘法公式进行计算．
难点：掌握添括号法则．
一、自学指导
自学1：自学课本P111页“例5”，掌握添括号法则，完成下列填空．(5分钟)
a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c．
根据以上运算结果可知：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．
总结归纳：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P111页练习题1.
2．下列等式中，不成立的是(C)
A．a－b＋c＝－(－a＋b－c)
B．a－b＋c＝a－(b－c)
C．a－b＋c＝－(－a＋b－c)
D．a－b＋c＝a＋(－b＋c)
3．填空：2mn－2n2＋1＝2mn－(2n2－1)；
a＋b＋c－d＝a＋(b＋c－d)；
a－b＋c－d＝a－(b－c＋d)；
x＋2y－3z＝x－(－2y＋3z)．
4．按要求将2x2＋3x－6变形．
(1)写成一个单项式与一个二项式的和；
(2)写成一个单项式与一个二项式的差．
点拨精讲：答案不唯一，第1题括号前是正号；第2题括号前是负号．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1计算：(1)(a－m＋2n)2；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；
(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；
(4)(x－2y－z)2.
解：(1)(a－m＋2n)2＝[(a－m)＋2n]2＝(a－m)2＋2·(a－m)·2n＋(2n)2＝a2－2am＋m2＋4an －4mn＋4n2；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋y2－(m2－2mn＋n2)＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2；
(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)＝[(x－2y)－3][(x－2y)＋3]＝(x－2y)2－32＝x2－4xy＋4y2－9；
(4)(x－2y－z)2＝[(x－2y)－z]2＝(x－2y)2－2(x－2y)·z＋z2＝x2－4xy＋4y2－2xz＋4yz＋z2.
点拨精讲：此式需用添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便．
探究2设m＋n＝10，mn＝24，求m2＋n2和(m－n)2.
解：当m＋n＝10，mn＝24时，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝102－2×24＝100－48＝52，(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝102－4×24＝100－96＝4.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．课本P111页练习题2.
2．在下列( )里填上适当的项，使其符合(a ＋b)(a －b)的形式．
(1)(a ＋b －c)(a －b ＋c)＝[a ＋(b －c)][a －(b －c)]；
(2)(2a －b －c)(－2a －b ＋c)＝[(－b)＋(2a －c)][(－b)－(2a －c)]．
点拨精讲：添括号可用在多项式变形中，主要是将多项式变成乘法公式的结构；
3．计算：(1)(x ＋y ＋2)(x ＋y －2)；
(2)(a －2b －3c)2.
解：(1)(x ＋y ＋2)(x ＋y －2)＝[(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]＝(x ＋y)2－4＝x 2＋2xy ＋y 2－4；
(2)(a －2b －3c)2＝[(a －2b)－3c]2＝(a －2b)2－2(a －2b)·3c ＋(3c)2＝a 2－4ab ＋4b 2－6ac ＋6bc ＋9c 2.
(3分钟)1.添括号与去括号法则类似，注意符号．
2．要灵活运用公式，如a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ，和(差)的平方是可以互相转化的．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．3 因式分解
14．3.1 提公因式法
1．明确提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系．
2．能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式．
重点：能正确找出多项式的公因式．
难点：熟练用提公因式法分解简单的多项式．
一、自学指导
自学1：自学课本P114页“探究”，理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系，完成下列填空．(5分钟)
把下列多项式写成整式的积的形式：
x 2＋x ＝x(x ＋1)；x 2－1＝(x ＋1)(x －1)；ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)．
总结归纳：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．
因式分解与整式乘法的关系：多项式 因式分解
整式乘法
整式的乘法． 总结归纳：整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形，整式乘法的结果是和，因式分解的结果是积．
自学2：自学课本P114－115“例1和例2”，掌握利用提公因式法分解因式．(5分钟) 多项式2x 2＋6x 3中各项的公因式2x 2；多项式x(a －3)＋y(a －3)2中各项的公因式是a －3． 总结归纳：一个多项式中各项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式．
公因式的确定方法：对于数字取各项系数的最大公约数；对于字母(含字母的多项式)，取各项都含有的字母(含字母的多项式)，相同的字母(含字母的多项式)的指数，取次数的最低的．
提取公因式：把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式的商．
点拨精讲：在将多项式分解因式的时候首先提取公因式，分解要彻底．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(3分钟)
1．课本P115页练习题1.
2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(D )
A ．a 2＋1＝a(a ＋1a
) B ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1
C ．a 2＋a －5＝(a －2)(a ＋3)＋1
D ．x 2y ＋xy 2＝xy(x ＋y)
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 分解因式：(1)(x ＋2y)2－x －2y ；
(2)5x(x －3y)3－15y(3y －x)3.
解：(1)(x ＋2y)2－x －2y ＝(x ＋2y)2－(x ＋2y)＝(x ＋2y)(x ＋2y －1)；
(2)5x(x －3y)3－15y(3y －x)3＝5x(x －3y)3＋15y(x －3y)3＝5(x －3y)3(x ＋3y)．
点拨精讲：遇到第1题的多项式可以利用交换律重新组合后再找公因式，第2小题先将(x －3y)3和(3y －x)3化成同底数幂，变形时注意符号．
探究2 已知2x －y ＝13
，xy ＝2，求2x 4y 3－x 3y 4的值． 解：∵2x 4y 3－x 3y 4＝x 3y 3(2x －y)，当2x －y ＝13，xy ＝2时，∴原式＝x 3y 3(2x －y)＝23×13
＝83
.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)
1．课本P115页练习题2，3.
2．计算：(1)m(3－m)＋2(m －3)；
(2)a(a －b －c)＋b(c －a ＋b)＋(b ＋c －a)．
解：(1)m(3－m)＋2(m －3)＝－m(m －3)＋2(m －3)＝(m －3)(2－m)；
(2)a(a －b －c)＋b(c －a ＋b)＋(b ＋c －a)＝a(a －b －c)－b(a －b －c)－(a －b －c)＝(a －b －c)(a －b －c)＝(a －b －c)2.
3．计算：(1)(－2)201＋(－2)202；
(2)ab ＋a ＋b ＋1.
解：(1)(－2)201＋(－2)202＝(－2)201×(1－2)＝－(－2)201＝2201；
(2)ab ＋a ＋b ＋1＝a(b ＋1)＋(b ＋1)＝(b ＋1)(a ＋1)．
(3分钟)1.提公因式法分解因式，关键在于找公因式．
2．提公因式法分解因式的步骤是：先排列；找出公因式并写出来作为一个因式；另一个因式为原式与公因式的商(某一项是公因式时，提公因式后为1或－1，不能遗漏)．
3．因为因式分解是恒等变形，所以，把分解的结果乘出来看是否得到原式，就可以辨别分解的正确与错误．
4．因式分解的结果应该是整式的积．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．3.2公式法(1)
1．能直接利用平方差公式因式分解．
2．掌握利用平方公式因式分解的步骤．
重点：利用平方差公式因式分解．
难点：能熟练运用平方差公式因式分解．
一、自学指导
自学1：自学课本P116－117页“思考及例3，例4”，完成下列填空．(5分钟)
计算：(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y2－25．
根据上述等式填空：x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5)；
总结归纳：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积；a2－b2＝(a＋b)(a －b)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P117练习题1，2.
2．下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2.
解：(略)
点拨精讲：判断是否符合平方差公式结构．
3．分解因式：(1)a2b－4b；
(2)(x＋1)2－1；
(3)x4－1；
(4)－2(m－n)2＋32；
(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
解：(1)a2b－4b＝b(a2－4)＝b(a＋2)(a－2)；
(2)(x＋1)2－1＝(x＋1＋1)(x＋1－1)＝x(x＋2)；
(3)x4－1＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(4)－2(m－n)2＋32＝－2[(m－n)2－16]＝－2(m－n＋4)(m－n－4)；
(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]＝(x＋y＋z ＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)＝(2x＋2z)·2y＝4y(x＋z)．
点拨精讲：有公因式的先提公因式，然后再运用公式；一直要分解到不能分解为止．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：由题意，得(2n ＋1)2－(2n －1)2＝[(2n ＋1)＋(2n －1)][(2n ＋1)－(2n －1)]＝(2n ＋1＋2n －1)(2n ＋1－2n ＋1)＝8n ，∴当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
探究2 已知x －y ＝2，x 2－y 2＝8，求x ，y 的值．
解：∵x 2－y 2
＝(x ＋y)(x －y)＝8，x －y ＝2，∴x ＋y ＝4，∴???x ＋y ＝4，x －y ＝2，∴?????x ＝3，y ＝1. 点拨精讲：先将x 2－y 2分解因式后求出x ＋y 的值，再与x －y 组成方程组求出x ，y 的值．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．因式分解：(1)－1＋0.09x 2；
(2)x 2(x －y)＋y 2(y －x)；
(3)a 5－a ；
(4)(a ＋2b)2－4(a －b)2.
解：(1)－1＋0.09x 2＝(0.3x ＋1)(0.3x －1)；
(2)x 2(x －y)＋y 2(y －x)＝(x －y)(x 2－y 2)＝(x －y)(x ＋y)(x －y)＝(x ＋y)(x －y)2；
(3)a 5－a ＝a(a 4－1)＝a(a 2＋1)(a 2－1)＝a(a 2＋1)(a ＋1)(a －1)；
(4)(a ＋2b)2－4(a －b)2＝[(a ＋2b)＋2(a －b)][(a ＋2b)－2(a －b)]＝(a ＋2b ＋2a －2b)(a ＋2b －2a ＋2b)＝3a(4b －a)．
2．计算：(1－122)(1－132)(1－142)…(1－11992)(1－12002)． 解：原式＝(1－12)(1＋12)(1－13)(1＋13)…(1－1199)(1＋1199)(1－1200)(1＋1200)＝12×32×23×43
×…×198199×200199×199200×201200＝201400
. 点拨精讲：先分解因式后计算出来，再约分．
(3分钟)1.分解因式的步骤：先排列，第一项系数不为负；然后提取公因
式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．
2．不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创设应用平方差公式的条件．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
14．3.2 公式法(2)
1．会判断完全平方式．
2．能直接利用完全平方式因式分解．
重点：掌握完全平方公式分解因式的方法．
难点：能灵活运用公式法分解因式．
一、自学指导
自学1：自学课本P117－118页“思考及例5，例6”，完成下列填空．(5分钟)
(1)计算：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2．
(2)根据上面的式子填空：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2.
总结归纳：形如a 2＋2ab ＋b 2与a 2－2ab ＋b 2的式子称为完全平方式；完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a±b)2；两个数的平方和加上(减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方．
自学2：自学课本P121阅读与思考，填空．(5分钟)
(1)计算：(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2；
(x －1)(x －2)＝x 2－3x ＋2；
(x －1)(x ＋2)＝x 2＋x －2；
(x ＋1)(x －2)＝x 2－x －2．
(2)根据上面的式子填空：x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)；
x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)；
x 2＋x －2＝(x －1)(x ＋2)；
x 2＋x －2＝(x ＋1)(x －2)．
总结归纳：x 2＋(p ＋q)x ＋pq ＝(x ＋p)(x ＋q)．
点拨精讲：常数项拆成的两个因数，绝对值较大因数的符号与一次项的符号相同．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．课本P119页练习题1，2.
点拨精讲：完全平方式其中有两项能写成两数或式子的平方的形式，另一项为这两个数或式子积的2倍或2倍的相反数．多项式有公因式的先提公因式，再确定其属于哪个公式结构．
2．分解因式：(1)(a －b)2－6(b －a)＋9；
(2)(x 2－2x)2＋2(x 2－2x)＋1；
(3)y 2－7y ＋12；
(4)x 2＋7x －18.
解：(1)(a －b)2－6(b －a)＋9＝(a －b)2＋6(a －b)＋9＝(a －b ＋3)2；
(2)(x 2－2x)2＋2(x 2－2x)＋1＝(x 2－2x ＋1)2＝(x －1)4；
(3)y 2－7y ＋12＝(y －3)(y －4)；
(4)x 2＋7x －18＝(x －2)(x ＋9)．
点拨精讲：第(1)(2)题先要把括号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止；第(3)(4)题要从常数项入手，拆分时主要是符号的问题．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 已知x ＋1x ＝4，求值：(1)x 2＋1x 2；(2)(x －1x
)2. 解：(1)x 2＋1x 2＝(x ＋1x
)2－2＝42－2＝14； (2)(x －1x )2＝(x ＋1x
)2－4＝42－4＝12. 点拨精讲：这里需要活用公式，将两个完全平方公式进行互相转化．
探究2 分解因式：(1)x 2－2xy ＋y 2－9；
(2)x 4＋x 2y 2＋y 4
初中数学《因式分解法》教案教学设计 初中数学《因式分解法》教案教学设计 掌握用因式分解法解一元二次方程. 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题. 重点 用因式分解法解一元二次方程. 难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便. 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)2x2+x=0(用配方法) (2)3x2+6x=0(用公式法) 老师点评： (1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2. (2)直接用公式求解. 二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题. (老师提问) (1)上面两个方程中有没有常数项? (2)等式左边的各项有没有共同因式? (学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解. 因此，上面两个方程都可以写成： (1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0， 也就是 (1)x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12. (2)3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.(以上解法是如何实现降次的) 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 例1 解方程： (1)10x-4.9x2=0 (2)x(x-2)+x-2=0 (3)5x2-2x-14=x2-2x+34 (3)(x-1)2=(3-2x)2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么? 解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积.) 练习：
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．m （a +b ）＝ma +mb B ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21 C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 不符合题意； B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意； C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意； D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意； 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222 111x y x x y -+=-++
14.3 因式分解 1．因式分解 (1)定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． (2)因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如： (a＋b)(a－b)a2－b2. 即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性． 谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底． 【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()． A．a(x＋y)＝ax＋ay B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4 C．10a2－5a＝5a(2a－1) D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y 2．公因式 (1)定义 多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． (2)确定多项式的公因式的方法 确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数． 解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号． 【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()． A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3D．3a2b2 3．提公因式法 (1)定义 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． (2)提公因式的步骤 ①确定应提取的公因式； ②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”． 【例3】用提公因式法分解因式： (1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
初中数学因式分解难题汇编及答案 一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】 试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可． 当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2． 考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( ) A ．23 B ．2 C ．83 D ．163 【答案】C 【解析】 【分析】 利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进 行计算即可． 【详解】 ∵12,23 x y xy -==， ∴43342x y x y - =x 3y 3(2x-y)
=(xy)3(2x-y) =23×1 3 =8 3 ， 故选C． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．6x2y3＝2x2?3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】 解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意； C、6x2y3＝2x2?3y3，不符合因式分解的定义，不合题意； D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别． 5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( ) A．(m－n)(m＋n) B．(－x－y)(－x－y) C．(x4－y4)(x4＋y4) D．(a3－b3)(b3＋a3) 【答案】B 【解析】 A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算； B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算； C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算； D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算. 故选B. 6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
北师大版初中数学八年级上册教材分析 摘自：《慈利县教师进修学校》 一、教材总体思路分析 1.本册书的主要内容有：实数、一次函数、二元一次方程组；勾股定理、图形的平移与旋转、四边形、位置的确定；数据的代表。 其中无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点也是和难点，实数是进一步学习的基础；而函数以及函数思想与其他知识的广泛联系也是重心之一。 勾股定理及其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。通过拼、摆或图形的割、补，使得这一重要几何事实得以确认。由于发现及证实它成立的方式非常多且富于变化，因此对学生有很大的吸引力。《图形的平移与旋转》是新增加的内容，通过学习，可以把静止的图形看成是基本图形经过位移而得到，提供了对复杂图形进行分析的新视角，还可以对“几何变换”有直观的感受。《位置的确定》从源头上突出了坐标法产生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结合与转化的桥梁。“变化的鱼”以直观生动的形式加强了几何变换与坐标表示及坐标变化联系起来，从数与形两个方面感受图形变化的数学内涵。 在统计与概率领域，本册提供了刻画数据平均水平的三种量度，力图让学生掌握一定的数据分析的方法，更好地处理数据。 2.教材设计与内容的组织有如下考虑。 （1）无理数的发现可以从理论的角度引发，出现在勾股定理之前。教科书遵循了人类认识数学的历史顺序，把勾股定理放在实数学习的前面，成为发现无理数的直观背景，自然地表明无理数存在的客观性，同时对无理数研究的必要性作出合理的解释。实数集中的实数与数轴上的点一一对应并不像想像的那样容易被学生接受，说服的办法也是借助几何解释和理性思考。这样处理须注意在学习勾股定理时，边长的数据应暂时在有理数范围内选取，在此两章学完之后，可以回过头来在实数范围内重新讨论勾股定理及其应用。在我们讨论一个平方等于2的数时，发现它是一个无限不循环小数，进一步引出无理数的定义。无理数概念的产生，同时也是对有理数概念的强调，应重视在现实背景中对实数运算意义的理解和应用，加强对估算的要求。 （2）先研究图形的平移和旋转，再进行四边形性质的探索，这样几何变换就不仅仅是一个具体的知识点，而且作为一个工具去研究几何图形（如平行四边形）的性质，增加了一个考察问题的视角。在《图形的平移与旋转》一章中，通过观察和归纳，概括出变换的概念；通过操作和思考，探索出变换的相关性质；通过作图和图案设计体察复杂图形中部分与整体之间的关系；在下一章中通过探索四边形的性质加深对变换自身的理解，逐步形成结构性认识。教学中突出其方法特性，充分发挥其数学教育价值。 （3）一次函数的学习放在二元一次方程组的前面，有两个好处：首先，可以使得学生有机会尝试借助图象研究函数特征的过程，以加深对函数意义的理解；其次，用函数的观点来认识和考察二元一次方程（方程组），给出方程的一种直观解释，而且从方法的角度更具有一般性和启发性，也体现了函数的运用。教材中介绍了二元一次方
因式分解练习题 一、选择题 1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（） A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（） A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）2 C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）2 4．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（） A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D（x+y）2（x-y）2 二、填空题 5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________． 6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________． 三、解答题 9．把下列各式分解因式： ①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2 ③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2
10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值． 11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值． 四、探究题 12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，?若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，?从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解． 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？ ①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）
第四章因式分解 ●教学目标 （一）教学知识点 1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结. ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解 （一）讨论推导本章知识结构图 ［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? ［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）
［生］ （二）重点知识讲解 ［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2） 把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c） 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c） a2－b2=（a+b）（a－b） a2±2ab+b2=（a±b）2 4.例题讲解 投影片（§4.6 A）
初二数学因式分解精选100题
提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2 b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是 （ ） (A) 412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D) 13292+-n n
6.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（） (A)4x(B)-4x(C)4x4(D)-4x4 7.下列分解因式错误的是（） (A)15a2+5a=5a(3a+1) (B)-x2-y2= -(x2-y2)= -(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y) (D)a3-2a2+a=a(a-1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（） (A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2 9.下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（）(A)①②(B)②④ (C)③④(D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（） A a(a＋b－1)=a2＋ab－a B a2 –a－2=a(a－1)－2C－ 4 a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b) D．2x＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（）
初中数学八年级上下册精品学案
新人教版初中数学八年级（上下册）精品学案 12．3．1．1 等腰三角形（一） 教学目标 1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质． 3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点： 1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用． 教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，?并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，?还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． 问题：那什么样的三角形是轴对称图形？ 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课： 要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形． A C A B I
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L 的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． 思考： 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？ 结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线． 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． 沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． 由此可以得到等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-
学生教师课题重点难点 教学内容 1 对 1 个性化教案 学科数学年级八年级 授课日期授课时段 整式的乘除与因式分解 重点：掌握整式的乘除方法及因式分解 难点：幂的乘方运算、因式分解的方法 一、知识梳理 1. 幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加即 a m a n a m n（m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除， 底数不变，指数相减，即 a m a n a m n（a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(ab)n a n b n（n 为正整数）； ④零指数： a 0 1 （≠）；⑤负整数指数： a n1（a≠0，n 为正整数）； a0 a n 例 1：下面的计算正确的是（）． A．3 x2·x 2 x2 B ．x3·x5x 15 C ． x4÷x x3 D ． ( x5 2 x7 4=12==) = 例 2：下列计算正确的是（） A. a2a3a6 B. (a+b)(a-2b)=a2-2b 2 C. (ab3) 2 =a2b6 D. 5a—2a=3例 3：下列运算正确的是（） A． a3a2a6B． ( x3 )3x6C． x5x5x10D． ( ab)5( ab) 2a3b3例 4： 下列运算不正确的是（） A ．a5a52a5B．2a232a6 C ．2a2a12a D． 2a3a2a22a 1 2.整式的乘除法 : (1)几个单项式相乘除 , 系数与系数相乘除 , 同底数的幂结合起来相乘除 . (2)单项式乘以多项式 , 用单项式乘以多项式的每一个项 .
(3)多项式乘以多项式 , 用一个多 _项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式 , 将多项式的每一项分别除以这个单项式 . (5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即 ( a b)( a b) a 2 b 2； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍，即 ( a b) 2a22ab b2 例 6：下列等式一定成立的是（） A a2a3a5 B （a b）2a2b2 +=+= + ab2）3a3b6 D （x - a）（x b） x2（a b）x ab C （2=6-= -++例 7：下列运算不正确的是（） A ．a5a52a5B．2a232a6 C ．2a2a12a D． 2a3a2a22a 1 例 8：下列计算正确的是 Ａ．C．x 2 x2y2B．x 2 x22xy y2 y y x2y x 22 D ． 2 x 22 2 y x 2 y x y2xy y 例 9：下列因式分解错误的是 () A． x 2 y 2 (x y)( x y) ． x 2 6x9( x 3) 2 B C． x 2 xy x( x y) ． x 2 y 2 ( x y) 2 D 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。 例 10：分解因式： 2 x28 ＝． 例 11：因式分解：a2b+2ab+b． = 例 12：因式分解x32x2 y xy2 =．
人教版初中数学因式分解真题汇编含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状． 【详解】 已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0， ∵a+b-c ≠0， ∴a-b=0，即a=b ， 则△ABC 为等腰三角形． 故选C ． 【点睛】 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ）
1 1 1 1 1 1 1 1 11/2 1/2 1/2 1/2 2 1 §2-1数怎么又不够用了(1) 教学目标：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2、会用自己的语言说明一个数不是有理数。 教学重点：借助图形判断一条线段是否是有理数线段。 教学难点：寻找有理数线段的方法。 教学过程： 一、问题引入 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）A可能是整数吗？说说你的理由。 （3）A可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。 教师应鼓励学生充分进行思考、交流，并适时给予引导：“12=1，22=4，32=9，...越 来越大，所以a不可能是整数”“ 2 1 ? 2 1 = 4 1 ， 9 4 3 2 3 2 = ?，…结果都为分数，所以a不可能是分数”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数“等。 结论：在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 二、做一做 （1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 数a、b确实存在，但都不是有理数。 进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教师可以引导学生自己举一些类似的无理数的例子。 三、随堂练习 1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h 分数吗？
提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选 100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)2 24914b ab a ++- (D) 13 292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） (A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ） (A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 9.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －a B a 2 –a －2=a(a －1)－2 C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b) D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ） A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x) B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2) C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y) D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A ． x 2－y B ． x 2＋2x C ． x 2＋y 2 D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ） A ． (a －b)2(2a －2b ＋1) B ． 2(a －b)(a －b －1) C ． (b －a)2(2a －2b －1) D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ） A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2 B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2 C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2 D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ） A ．(100－1)2 B ．(100＋1)(100－1) C ．(99＋1)(99－1) D ． (99＋1)2 17 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 高作中学七年级数学期中复习教学案---------因式分解 班级___________姓名________________ 【知识要点】 1，____________________________________________________叫做把多项式因式分解。 2，_______________________________________________________称多项式的公因式。 3，公因式的确定：（1）____________（2）____________（3）_______________ 4，因式分解的方法：（1）_____________（2）_______________（3）____________________ 5, 因式分解的一般步骤：把一个多项式因式分解，一般先____________，再__________。进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到____________________________。 6，因式分解的注意事项：（1）有公因式的先提公因式；⑵括号内要合并同类项； ⑶括号内首项系数要为正；⑷括号内不能再分解； 【基础训练】 1、下列多项式中能．用平方差公式分解因式的是 ( ) A 、22()a b +- B 、2520m mn - C 、22x y -- D 、29x -+ 2、能． 用完全平方公式分解的是 ( ) A 、2224a ax x ++ B 、2244a ax x --+ C 、2214x x -++ D 、4244x x ++ 3、将多项式3222236312a b a b a b --+分解因式时，应提取的公因式是 ( ) A 、3ab - B 、223a b - C 、23a b - D 、333a b - 4、下列各式不能．． 继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a + 5、分解因式：2241 4y x -= ；2296b ab a ++= . 6、已知(x －ay)(x ＋ay)=x 2－16y 2 , 那么 a = . 7、如果,3,1-=--=+y x y x 那么=-22y x 8、已知68-1能被30～40之间的两个整数整除，这两个整数是 . 【例题选讲】 1、x 2y －4xy ＋4y 2 、 3、(x 2－5)2＋2(x 2－5)＋1 4、81a 4－72a 2b 2＋16b 4 5、(x 2+y 2)(x 2+y 2 -4)+4 6、若9x 2 ＋2(a －4)x ＋16是一个完全平方式,则a 的值是 . 7、甲、乙两同学分解因式x 2 +ax+b 时，甲看错了b ，分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了a ，分解结果是(x+1)(x+16).请你分析一下a 、b 的值分别为多少，并写出正确的分解过程. 273 14-a