试论解题中数学美的探索
在平时的教学中，应注意挖掘数学中美的因素，培养学生发现数学美。比如为了激发、调动学生学习数学的兴趣和热情，精心设计每一堂课的每一个环节，增强师生情感交流，创造和谐的氛围，让学生在充满美的环境中接受数学美的的洗礼。本人就这一方面略作探索：
一、通过追求简洁美，寻求解题捷径
简洁性是数学事实的简单明了表述，是数学事实对其简化形式的统一。简洁性给人以精练、明快简捷、准确之美感。有许多数学问题，其表面形式很复杂，但其本质总是存在简单的一面。
例１：已知方程（ａ２－２ｂ２）ｘ２＋（２ｂ２－２ｃ２）ｘ＋２ｃ２－ａ２＝０有两个相等实数根，求证：ａ２＝ｂ２＋ｃ２.
析证这类问题一般是用判别式解证，运算繁琐，但经过观察可以发现方程各项系数和为零，从而可知方程的根有一根为1，又因为方程两根相等，故两根均为1，于是由韦达定理，得ａ２－２ｂ２＝２ｃ２－ｂ２→ａ２＝ｂ２＋ｃ２
例1一举抓住了问题的关键，证明过程明快、流畅、简洁、彻底，能给人一种美的享受。
二、结构对称美，简化解题过程
我们若用对称的观点审视数学，则发现具有对称美的数学内容比比皆是。其对称式、对称图形、对称结构、对称变换等等无不显
１１４ 人类在认识世界、改造世界的同时， 对数学、艺术、文学等等都有逐渐深刻的 了解。数学作为自然科学的基础，与人文 社会科学各学科都有着深刻的内在联系。 高度的抽象性和严密的逻辑性使数学披 上了神秘的面纱，而艺术作为人类文明 的载体，造就了人类自身的审美观念和 创造意识。同时，数学与艺术的和谐发展 与共存，把人类引入了一个物质文化和 精神文明高度统一的和谐境界。 一、“几何”之美 在数学的基本形体方面存在一些不 同的特征。如圆形柔和、饱满；三角形稳 定；正方形刚劲等等。比如用同一根线可 以围成许多图形，但是其中面积最大的 是圆。毕达哥拉斯学派的最高美学思想 是“一切立体图形中最美的是球形，一切 平面图形中最美的是圆。”中国新石器时 代舞蹈纹彩陶盆，历经千年依然体现着 这一美学原理。“方形使人感到刚劲，立 三角有安全感，倒三角有轻危感，三角顶 端转向侧面则有前进感，高而窄的形体 具有险峻感，宽而平的形体有安稳感等 等。”这些优美的线条在古今艺术创作中 随处可见。 在线条方面，直线表现刚劲，如商代 的司母戊方鼎。曲线表现柔和，如永乐宫 壁画中仙女的衣纹。波状线表现轻快流 畅，辐状放射线表现奔放，交错线表现激数学与艺术之美 文／魏迎涛 李恒 数学与艺术有着共同的美学特征，其中以几何之美、对称之美、“黄金分割”之美、透视之美、和谐之美最具特色，这些美学要素不仅成为数学领域里最科学的、最美的象征，也成为艺术领域里感性的、最高的审美标准。 荡，平行线表现安稳等。荷迦兹曾认为一切线条中最美的是曲线，曲线不仅是数学美谈论的焦点，也是艺术美中的骄傲。二、对称之美比例是指一件事物整体与局部以及局部与局部之间的关系。例如我们平时所说的“匀称”，也就包含了一定的比例关系。古代宋玉所谓“增之一分则太长，减之一分则太短”就是指的比例关系。在数学上，比例构成为１：１时，称为对称。例如，Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ，ＡＢ＝ＢＡ，Ｃ（Ａ＋Ｂ）＝ ＣＡ＋ＣＢ等。其中数学中的几何对称图形是典型的视觉对称美。平面几何中，任意一条直线只要通过圆的中心都能将圆完全等分，即分隔开的面积对称均等。代数中，有一元二次方程两个根的对称、方程的对称函数，甚至还有专门关于对称性的数学理论——群论。数学中的对称美是数学对自然本质的一种反映，它不仅精致细微，而且奇妙无比。二项式定理的展开式、“杨辉三角”等呈现的都是一种对称美。在物理学上，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。艺术上的对称美不仅体现了数学美的精细，也体现自身视觉美的特点。在艺术上，对称是指以一条线为中轴，左右或上下两侧均匀等，所产生的视觉对称。如人体中眼、耳、手、鼻、足等都是对称的。工艺美术中的二方连续纹样、四方连续纹样等。古今中外很多图案艺术、建筑艺术经常采用对称美的法则作为设计理念。人类自古以来就对对称美推崇备至，对称的概念几乎已经渗透到所有的学科领域内。世界各国在各个领域都很重视，但是我们国家对此成就最为突出。中国古代建筑组群的布局结合形式均根据中轴线对称发展。甚至城市规划也依据此原则，以全城气势最宏大、规模最巨大的建筑组群为全城中轴线的主体。伟大的北京故宫建筑群，采用的是完美的中轴线对称格局来设计完成，体现了一种皇家的气派和庄重美，把封建“君权”抬高到无以复加的地步，这种极端严肃的布置是中国封建社会末期君主专制制度的典型。其他如著名的河南登封观星台、南京中山陵、天坛、埃及的大金字塔，罗马的角斗场等等都是中心对称图形，极具对称美的特点，体现了艺术家们对“对称美”的追求和崇敬。三、“黄金分割”之美关于什么样的比例最能引起人的美感，西方蔡辛克认为黄金分割的比例最能引起人的美感。所谓黄金分割，即将一条线段（ＡＢ）分割成大小两条线段（ＡＰ，ＰＢ）如图１，若小段ＰＢ与大段ＡＰ的长度之比等于大段ＡＰ与全段ＡＢ的长度之比，此时，线段ＡＰ叫做线段ＰＢ、ＡＢ的比例中项，则可得出这一比值≈０．６１８…，这种分割称为黄金分割，点Ｐ叫做线段ＡＢ的黄金分割点。这种分割被艺术家达?芬奇称为“黄金分割”，被天文学家开普勒称为“神圣分割”。ＳＨＥＪＩ设计
欣赏数学美，创造数学美 ——《利用圆设计图案》教学案例与反思一、案例背景 本节课的主要目的是通过图案设计加深对圆的特征的认识。能力的培养是渗透在知识的教学之中进行的。在设计图案的过程中培养学生的观察能力、分析能力，促进学生空间想象能力的提升也是本课的主要目的之一。学生第一眼看到的是几个水滴形（也有学生称之为电风扇叶片）环绕在圆内，可能无法直达图形的本质，不能敏锐地发现每个水滴形是由三个大小不同的半圆组成的。教师有意识地引导学生思考：你看到了几个圆？它们的大小有什么联系？通过将组合图形分解为基本图形，理解图形的设计方法，并最终加深对圆的特征的理解──圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 二、教学案例 【片段一】准备部分 师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？ 【片段二】新授部分 1、出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。
2、探究画法。 师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 生：他画的圆太大了。 师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 生：半径。 师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）
数学的美 着名数学家陈省身先生曾不止一次地 提出：“数学是美的。”数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。 而美的数学，在自古崇尚诗书传世的中国，竟也浸染着扑鼻的书香。中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴，为中国的数学染上了一层夺目的别样颜色，这就是数学的文采。 自然美 刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然。文章是反映生活的一面镜子，脱离生活的文学是空洞的，没有任何用处。数学也是这样。 数学存在的意义，在于理性地揭示自然界的
一些现象规律，帮助人们认识自然，改造自然。可以这样说，数学是取诸生活而用诸生活的。数学最早的起源，大概来自古代人们的结绳记事，一个一个的绳扣，把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。后来出现的记数法，是牲畜养殖或商品买卖的需要，古代的几何学产生，是为了丈量土地。中国古代的众多数学着作中，几乎全是对于某个具体问题的探究和推广。 在中国，数学源于生活，在外国，历代数学家也都宗法自然。阿基米德的数学成果，都用于当时的军事、建筑、工程等众多科学领域，牛顿见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由探索自然界的现象而引起的。 简洁美 世事再纷繁，加减乘除算尽； 宇宙虽广大，点线面体包完。 这首诗，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义。数学和诗歌一样，有着独特的简洁美。 诗歌的简洁，众所周知——着寥寥几字，却
小学数学与美育 随着素质教育的不断深化，越来越认识到小学各科教学是一个不可分割的整体，它们互相联系，相互渗透，共同促进学生的全面发展。在小学数学教学中，我们不仅要对学生进行基础知识教学，同时也要对学生进行美育的教育。在此，笔者提出了美育在小学数学中如何进行渗透的几点建议，为一线的教育工作者提供一些参考！ 一、小学数学教学中加强美育的重要性 1、加强美育，促进学生在愉快的气氛中学习数学 在数学教学中实施美育，不仅不会妨碍数学教学，相反能寓教于乐，让学生在愉快的气氛中进行学习，促使数学教学的顺利进行。数学教学中美的形式，绝不仅限于算术美、图形美等，在多数情况下，更应该强调教师的教学艺术，要求教师用生动的语言，形象的讲解，巧妙的启发，优美的板书，去创设一个美好的教学情景。只有在这种美的教学情景中，才能使学生的识记能力、思维能力、欣赏能力和感情的陶冶同时活跃起来，否则就会使学生感到烦躁。从这里我们可以看到在数学中实施美育对于让孩子们在愉快的气氛中进行学习是多么的重要。 2、加强美育，充分开发学生的非智力因素 非智力因素主要指动机、兴趣、情感、意志和习惯等等。随着素质教育的不断深化，我们越来越认识到，发展智力、培养能力的问题，决不能单纯依靠智力因素，还应该把眼光放到具有极大潜能的非智力因素上。而审美教育，则为我们充分开发非智力因素开辟了广阔的途径。 3、加强美育，发展学生的创造能力，提高学生的素质 创造美是审美教育的最终目的。美的事物能唤起儿童的愉悦，反过来，又能激发儿童去创造。因此，在小学数学教学中，通过实施美育来促进学生创造思维的发展是十分必要的。创造性思维具有非同再现性思维的新颖而独特的特点。从某种意义上讲就是破旧立新，别出心裁。它是反映学生智力水平的重要指标。 二、数学美育的教学功能 1、激发学生学习数学兴趣，提高课堂教学效益 爱因斯坦曾说：兴趣是最好的老师。通过对数学美的欣赏教育，可以变抽象的高深的数学知识以形象化、具体化展现在学生面前，赋数学予灵活性，使枯燥的知识活起来，自然地也使学生从心理上愿意接近它，接受它，到最终热爱它，从而激发学生学习数学的兴趣，探求数学知识的愿望，产生发现数学真理的灵感。 2、增强学生的联想、记忆，促进知识理解
数学美解题
解题中的数学美 泰州市朱庄中学王雄 数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。 一、简单美——从整体代换和正难则反中实现 简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。” 例1．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为m、n，记P＝m4+n4, q＝m3+n3,r＝m2+n2. 求aP+bq+cr的值。 分析：本题若用根与系数的关系m+n＝b/a,mn＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。 解：由方程的定义，得am2+bm+c＝0, an2+bn+c＝0，则aP+bq+cr 2
3 ＝ a (m 4 +n 4 )+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4 +b m 3 +c m 2 )+(an 4 +b n 3+c n 2 ) ＝ m 2 (a m 2 +bm+c)+ n 2 (a n 2 +bn+c)＝ m 2 ·0+n 2 ·0＝0 例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？ 分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。 例3 已知c b a ，求使得c a k c b b a 14 恒成立时k 的最 大值 分析：设m b a ；n c b 化简可得。 例4设a 、b 、c 为三角形三边， 求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a 二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现
数学之美 数学是美丽的，哪里有数哪里就有美。数学的美不在于华丽的外表，不在于精致的妆容，而在于它的文化韵味，它丰富的知识、精巧的方法、博大的思想。爱美之心，人皆有之，在培根眼里一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系，海森堡则将各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐视为美的真谛。数学家阐述的语言虽然有所不同，但是归结起来可以这样说：数学的美表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。 数学的美是无处不在的：数学家们对动植物的生长进行研究，发现总结了斐波那契数列；在美术艺术、建筑艺术中遵循的黄金比例；以及自然界中的分形几何等等，美好的事物中蕴藏着数学的奥妙。 作为数学教师，我们有义务也应该带领学生去领略数学的美，在小学阶段对数学美感的教育可以从以下几方面入手： 在教育教学中渗透数学的简洁概括之美，数学是研究自然科学的工具，它简洁、概括，生活中的许多问题都可以抽象成数学模型来解决。我们在小学阶段学习的公式、运算定律等，用简洁的字母，表示了复杂的数量关系，正是体现了数学的简洁之美。在教学中渗透数学之美，不仅可以培养学生的美感，而且可以帮助学生更好地理解和运用数学公式和定律。 在教育教学中还要渗透数学的和谐对称之美，自然界五颜六色的花朵，精致的蝴蝶，展现出的是对称的美，雄伟的帕特农神庙，埃及的金字塔还有许多的建筑都遵循着黄金比例，对称和黄金比例在服装、绘画、建筑等方面的运用正是数学美的又一体现。在图形的教学中让学生在欣赏美的过程中，提高感受美和创造美的能力。 最后在教学中还应渗透数学的严谨之美和对真理不懈追求的精神。数学是严谨的，但绝不是冰冷的，作为数学教师，我们不仅要向学生展示数学的原理和结论，更重要的是要带领学生经历探求这些原理和结论的过程。从祖冲之研究圆周率，到陈景润研究哥德巴赫猜想……让数学家走进学生的生活，用他们对数学的热爱，以及坚持不懈追求真理的精神来教育学生，培养学生正确的学习观和人生观。 伽里略说：数学是上帝用来描述时间的语言。让我们带领学生一起走进数学的世界，感受数学之美，同时学会运用数学创造更多的美！
小学数学与美育 【摘要】数学之美充满了整个世界，它结构的完整、图形的对称、布局的合理、形式的简洁，无不体现出数学中美的因素。而作为人类文明和智慧的结晶，数学本身又蕴含着探求未知界，追求科学真理的功能。数学教学则应在师生和数学二者之间架起一座桥梁，使数学中美的因素得以体现。古代的哲学家、数学家普洛克斯说：“哪里有数学，哪里就有美。”古希腊最伟大的哲学家亚里士多德说：“虽然数学没有明确提到善和美，但善和美也不能和数学完全分开，因为美的形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学研究的原则.数学美在我们的生活中无处不在，贯穿了我们整个义务教育。作为一名数学教师，应不失时机地向学生揭示数学之美，进行审美教育。 【关键词】小学数学美育 随着素质教育的不断深化，越来越认识到小学各科教学是一个不可分割的整体，它们互相联系，相互渗透，共同促进学生的全面发展。在小学数学教学中，我们不仅要对学生进行基础知识教学，同时也要对学生进行美育的教育。在此，笔者提出了美育在小学数学中如何进行渗透的几点建议，为一线的教育工作者提供一些参考！
一、小学数学教学中加强美育的重要性 1、加强美育，促进学生在愉快的气氛中学习数学 在数学教学中实施美育，不仅不会妨碍数学教学，相反能寓教于乐，让学生在愉快的气氛中进行学习，促使数学教学的顺利进行。数学教学中美的形式，绝不仅限于算术美、图形美等，在多数情况下，更应该强调教师的教学艺术，要求教师用生动的语言，形象的讲解，巧妙的启发，优美的板书，去创设一个美好的教学情景。只有在这种美的教学情景中，才能使学生的识记能力、思维能力、欣赏能力和感情的陶冶同时活跃起来，否则就会使学生感到烦躁。从这里我们可以看到在数学中实施美育对于让孩子们在愉快的气氛中进行学习是多么的重要。 2、加强美育，充分开发学生的非智力因素 非智力因素主要指动机、兴趣、情感、意志和习惯等等。随着素质教育的不断深化，我们越来越认识到，发展智力、培养能力的问题，决不能单纯依靠智力因素，还应该把眼光放到具有极大潜能的非智力因素上。而审美教育，则为我们充分开发非智力因素开辟了广阔的途径。 3、加强美育，发展学生的创造能力，提高学生的素质 创造美是审美教育的最终目的。美的事物能唤起儿童的愉悦，反过来，又能激发儿童去创造。因此，在小学数学
建筑中的数学美 【课题确定】数学是没有生命的，而当数学遇到建筑时就会有奇妙的化学反应，产生出 意料之外的 奇迹。古今中外，过去现在，世界上为人们所熟知的伟大建筑中，无不体现着数学的美。数学美和建筑美究竟是怎么摩擦出如此奇妙的火花？数学究竟为这些瑰丽堂皇的建筑注入了什么魔法？将我们如痴如醉？就让我们深入探究建筑中的数学美，体会数学在建筑中的表现形式。 【摘要】当我们徜徉在人类建筑的历史长廊中流连忘返的时候，怎不为将这粗陋简单 的泥砖土瓦雕 琢成传世永恒与辉煌的鬼斧神工所感动、所钦佩？但是，当我们在享受着这一件件艺术瑰宝带来的惠泽时，可曾想到这些宏大的建筑珍品里面隐藏着数学的奥秘？本文主要介绍了数学在古今中外建筑形式中的表 现。 【关键词】古代现代中外数学之美建筑设计【主体内容】
建筑是根据功能和美感的需求，对土地、材料和结构进行堆积与组合，比例决定着建筑中个体、局部与整体的数学关系，因此比例是建筑的核心和灵魂。比例在数学上并不具有美感，但“黄金分割”的比例分割之美在各种艺术作品都得到充分的展现。现代设计师仍然最常见地使用黄金分割法则构造着适用性和艺术性统一的新颖建筑。 一、古今中外建筑中的数学之美 1、中国古建筑 中国建筑，具有悠久的历史传统和光辉的成就。我国古代的建筑艺术也体现着数学美。而要体会到其中的数学美，除了需要理解建筑艺术的主要特征外，还要了解中国古代建筑艺术的一些重要特点，然后再通过比较典型的实例，进行具体的分析研究。 中国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用。他那远远伸出的屋檐、富有弹性的屋檐曲线、由举架形成的稍有反曲的屋面、微微起翘的屋角（仰视屋角，角椽展开犹如鸟翅，故称“翼角”）以及硬山、悬山、歇山、庑殿、攒尖、十字脊、盝顶、重檐等
1简介 数学是理性思维和想象的结合,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。主要有：统一性、对称性、简单性。 2数学人性 它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所赏识，却很少有人把它与美学联系起来，数学起源于建筑，正是对美的追求，才产生了数学。似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识，数学以一种独特的方式来诠释美学。 3古今演变 古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关，而且数学中充满着美的因素,到处闪现着美的光辉。早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。第五世纪著名数学评论家普洛克拉斯进而断言：“那里有数,那里就有美”。近现代许多著名的数学家对数学中的美更是赞叹不已。英国著名数理逻辑学家罗素指出:“数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”英国著名数学家哈代认为,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。美国数学家、控制论的创始人维纳则说：数学实质上是艺术的一种。 我国著名数学家华罗庚教授说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”数学家徐利治教授指出：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园,这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。” 数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。
数学美的内容 数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。 美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。 随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。 1、对称美 所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性，从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。 中国的建筑就很好的应用了数学的对称美，有许多的园林建筑都应用了这一点。 数学中的这种对称处处可见：几何中具有的对称性（中心对称、轴对称、镜象对称等）的图形很多，都给我们一种舒适优美的感觉。几何变换也具有对称性。 杨辉三角更组成美丽的对称图案 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 分析：在杨辉三角的图案中每一行的除了首尾的数字是1以外，其他的数字是左上角和右上角的数字的和。这样就构成了有规律的并且是成对称的形状的三角图案了。 集合运算中的下面两个公式的对称性也是极其优美的： C（A ）=CA CB C (A B ) =CA CB 两个集合的并（交）的补集就是两个集合补集的交（并）。 数学的解题中也体现对称美： 例1、 解：原式=111111111×111111111 =12345678987654321 分析：等式的一边是九个1乘以九个1，另一边是九个数字的排列并且成对称的，结果也是九个数字组成的对称的结构，真是太出人意料了太美妙了 例2、0×9+1=1 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 …………………
数学与美 中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将体现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐体现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天─——大宇宙；地，自然界及其中一切动植物─——中宇宙；人─——最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。” 顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。 数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。” 为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、理解美和使用美，这是人类生存的要求。反过
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/fd5634357.html, 发现数学之美 作者：张琼梅 来源：《基础教育参考》2012年第23期 美育，又称审美教育或美感教育，是通过审美方式来教育人的一种活动。“美育者，应用美学之理论于教育，以陶冶感情为目的者也。”蔡元培先生的一句话，道出了它的含义。审美教育是通过审美的方式来感化我们的身心，使之净化、升华、提高。事实证明，对美的追求是人类文明的标志，是一个民族实现伟大理想的情感动力。拥有较高的审美能力，也是一个人成才必不可少的要素。爱因斯坦曾经说过，他的科学发现所依赖的不是严密的逻辑推理，而是一种直觉，一种想象，他甚至把审美作为科学发现的一个标准（如简单性、和谐、对称等）。 朱光潜先生说：“世间事物有真善美三种不同的价值，人类心理有知情意三种不同的活动，这三种心理活动恰如三种事物价值相当，真关于知，善关于意，美关于情。”《数学课程标准（2011版）》把“课程总目标”分为知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四方面具体内容，美育作为一种情感教育，对于良好的情感态度的形成和发展有着重大意义，并促进其他三方面目标的达成。可见，小学数学教学中的美育是实现课程总目标的一个重要内容。 一、发掘教材潜力， 给学生提供层次丰富的数学美 “数学美的特征是什么？概括起来有简洁性、和谐性和奇异性。”①数学美的内容是丰富多样的，但是并非所有的美都能使学生产生美感，由于学生的审美能力不同，所呈现的美的信息是有层次的。借鉴美学中美的层次，我们可把数学美划分为以下四个层次②。 1.自然物质层面 这是感性层次的美。它依赖于一定的物质性，包括数学的对称美、数学语言的简洁美、数列的秩序美等等。如《轴对称图形》，教材安排学生先对轴对称的物体进行欣赏，然后把物体抽象成平面图形，概括轴对称图形的特征，最后再运用这个特征进行自主的创造轴对称图形。教材提供了许多美丽的图形，让学生很容易感受到平面图形的对称美。 2.知觉表象层面 知觉表象是客观事物的各种属性、各个部分及其相互关系的整体反映。它把个别与一般、感性的知觉与理性的认识、客观的现实与主观的情感统一起来，使客观的、本来只具有自然物质属性的感觉形象转化成为人化了的感觉形象，包括数学知识之间的内在联系美、数学公式的概括美与抽象美、解题过程中的逻辑美等。 3.社会历史层面
数学美之名言 硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序、匀称与明确。——亚里斯多德 感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。——庞加莱 数学之美是很自然明白地摆着的。——哈尔莫斯我认为，说数学家选择课题的准则以及判断他是否成功的准则，主要的是美学准则，这是正确的。——冯.诺伊曼 我的工作总是力图把真与美结合起来，但是，当我不得不选择其中的一种时，我通常选择美。——韦尔 在数学定理的评价中，审美标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准：在对数学思想的评价时，美与优雅比是否严密、正确，比是否有用都重要得多。——斯蒂恩 纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅 的。——哈尔莫斯 对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。——克莱因 数学家如画家或诗人一样，是款式的制造者．．．．．．数学家的款式，如同画家或诗人的款式，必须是美的……世上没有丑陋数学的永久立身之地。——哈代 一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象 的。——库默 难道不可以把音乐描绘成感觉的数学，而把数学描绘成理性的音乐吗？这样，音乐家感觉到数学，数学家想到音乐——音乐是梦想，数学是工作的一生——每一方都经由对方达到尽善尽美的境地，那时，人类的智慧达到完美的典型，将在某个未来的莫扎特——狄利克雷或贝多芬——高斯的歌颂下而光彩夺目。这种联合已经在一个赫姆霍尔兹的天才和工作中清楚地预示出来了。——西尔弗斯特 一般地说，我更想把数学视为是艺术，而不是科学。因为我们可以说，数学家的活动，当他受外部的理性世界所引导，而不是被控制时，不断地进行创造性的活动，与一个艺术家、一个画家的活动相类似，有着实在的，不是虚幻的相似点。数学家这一方面的严密演绎推理可以比喻为画家那一方面的绘画技巧。恰如没有一定技巧的人不能成为一位好画家一样，没有一定的精密推理能力的人不能成为一位好的数学家。但是，这些尽管是他们的基本特质，还不足以使一个画家或数学家名副其实，画图技巧与推理能力，说实在的，终究不是最重要的因素。远为敏感的，为二者都是主要的一类特质是想象力，它才能造就一名杰出的艺术家或杰出的数学家。——博歇
数学欣赏五 分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着 重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 （一）对变量或参数的分类讨论 １.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是 ． ２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ． ３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈ 分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还 是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1 a 谁大谁小的问题，因而又需作一次 分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为2011 0a a x x a ≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a <-->011 0()() Θ10 11a a <∴< ∴<>不等式解为或x a x 1 1
在数学教学中进行美育 望城县第六中学 陈祥 内容提要： 本文首先利用列举法由浅入深地剖析了数学中常见的几种美，然后进一步讨论了数学教学中对学生进行美育的意义，最后结合中学教学实践经验阐述了数学美育的几种方法。 关 键 词：对称美 简洁美 和谐美 美育 数学 一、数学中存在美 哲学家罗素说：“数学，如果正确地看她，不但拥有真理，而且也具有至高的美”。 数学美是蕴藏于数学所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法……之中的简单、和谐、严谨、奇异等形式，它揭示自然的规律性，是一种真实的科学美。数学中美的因素是多方面的，其主要表现在以下几方面： （1）简洁美 19世纪以来，数学进一步抽象化和运用公理化方法揭示数学系统或分支的内在规律性，从而使得数学理论具有简洁性、条件性和结构上的和谐性。而中学数学知识系统，原则上也是按公理化和结构思想展开的，因此若能从整体上去理解、把握数学，你会深深地体会出数学的简洁美。 数学是关于空间形式和数量关系的科学，数学中的数、形以及思想方法上无处不体现简洁之美。 数学概念是精炼的。数学概念的内涵历经沧桑，千锤百炼，每一次变化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函数概念：1673年，莱布尼兹定义——函数就象曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动；1821年，柯西定义——对于X 的每个值，如果Y 有完全确定的值与之对应，则Y 叫做X 的函数；近代定义——设有A 、B 是非空的集合，Ｆ是A 到B 的一个对应法则，则A 到B 的Ｆ映射：A →B 称为A 到B 上的函数。它一步一步更简洁、更具一般性地抓住了实质——数集之间的一种特殊对应，高度抽象而广泛地反映了客观事物及其运动变化。 数学公式是简洁的。例如：欧拉公式x i x e ix sin cos +=把实数域中看不出有任何联系的指数函数和三角函数在复数域中巧妙地联系在一起，其特例01=+πi e 表现形式上是多么的简洁，并且把0、1、i 、e 、π五个重要常数简单而巧妙的结合在一起了。 众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式上简洁规整，应用上广泛普遍。在梯形的面积公式()为高）为下底；为上底；（h b a h b a S 2 +=，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b 时，变成平形四边形的面积公式，这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见。 分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界。当人们用分形的观点重新审视自然
解 题 中 的 数 学 美 泰州市朱庄中学 王雄 数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。 一、简单美——从整体代换和正难则反中实现 简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。” 例1． 已知一元二次方程ax 2 +bx+c ＝0的两个实数根分别为m 、n ，记P ＝m 4 +n 4 , q ＝m 3 +n 3 ,r ＝m 2 +n 2 . 求aP+bq+cr 的值。 分析：本题若用根与系数的关系m+n ＝b/a,mn ＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。 解：由方程的定义，得am 2 +bm+c ＝0, an 2 +bn+c ＝0，则aP+bq+cr ＝ a (m 4 +n 4 )+b( m 3 +n 3 )+c (m 2 +n 2 )＝(a m 4 +b m 3 +c m 2 )+(an 4 +b n 3 +c n 2 ) ＝ m 2 (a m 2 +bm+c)+ n 2 (a n 2 +bn+c)＝m 2 ·0+n 2 ·0＝0 例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？ 分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。 例3 已知c b a ，求使得c a k c b b a --- ≥ +14恒成立时k 的最大值 分析：设m b a =-；n c b =-化简可得。 例4设a 、b 、c 为三角形三边，
发现数学之美感受数学魅力 方山学校宋宏文数学是什么？不同的人对数学的认识是不一样的。在多数人心中，它也许只是“1、2、3……”这些数字之间的游戏。在大多数学生看来数学就是计算，推理和证明，觉得数学很抽象，感觉枯燥无味。其实数学是一门很美的学科，很多大数学家都从不同的角度称颂数学之美。例如：“数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的”（华罗庚）；“数学之美，美在纯净”（纳什）； 既然数学是美丽和魅力无穷的，为什么不少学生从小学开始便讨厌数学，觉得数学难懂难学，枯燥无味呢？主要原因是孩子们刚接触数学时，家长或老师只教他们算法和算理，不重视让他们领略到数学美和好玩的一面。数学家杨乐说得好：“学数学的关键是培养学生的兴趣，使数学成为爱好和兴趣。”因此，如果我们的教师能够欣赏数学的美，重视在教学中让学生体验数学之美，领略数学魅力，培养学生对数学知识美的热爱，从而激发学生对数学的学习兴趣，开发学生的智力，从而达到育人的目的，那是多么的重要。 数学是美的，关键是我们要有一双善于发现美的眼睛，要有一颗善于发现美的心灵。数学是一门美学，它具有符号美、抽象
美、和谐美、简洁美、形式美、奇异美、变化美等等。下面就本人在近年的教学探索中的一些做法加以举例说明如何去发现，展示小学数学中的美。 一、认识数字的有趣和神奇，感受数学美，让学生体验数学的精彩。 学习数学首先是从认识数字开始，如何让学生觉得数字生动、形象、有趣，给学生留下一个深刻的印象，迈好开始的第一步，对今后的学习十分重要。我们在教学中可以采取多种不同的方法来加强学生对数字的学习兴趣。比如：通过故事学数字就是一个很好的方法，在一年级的语文书上有这样一首诗：“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。”这首诗“巧妙的把‘一’到‘十’这10个数嵌入其中。这样的数字诗，读起来妙趣横生，学生既记住了数字，又学习了古诗，令人回味悠长，学生各积极性很高，学习效果也好。另外，用联想的方法，让学生想象，每个数字的样子像什么，有助于学生对数字产生亲切感，觉得数字原来就在我们的身边，生活中处处是数学，发现数学的妙处不但有趣，而且还能解决问题。比如数字“1”，我们可以把它看作“一枝铅笔，一根筷子，一根棍子”等等。数字“7”这是一个抽象的数字，学生看到它，可能想起神话传说中的“七仙女”，想起白雪公主身旁的“七个小矮人”，想起每周的“七天”等等。根据学生的想象，我们可以编出数字儿歌，这样数形结合，
浅谈数学之美 姓名： 学院：专业：学号： 摘要：通过重新了解认识数学是什么或不是什么即对数学概念多方位的分析讨论与认识，发现数学之美，感受数学不同的美。数学之美主要概括为：形式美、奇异美和方法美。数学美是自然美的客观反映。数学史自然科学的语言，具有一般语言文学与艺术所共有的美得特点，即数学在其内容结构上，方法上也都具有自身的某种美。所谓数学之美，即数学中所蕴涵着的无穷魅力。 关键词：认识；形式美；奇异美；方法美 引言：美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。 一、重新认识数学 关于数学最大的误区就是把数学看成自然科学。对于一般人说这种分法似乎已经习惯成自然，主要表现在粗糙的学科分类中。但二者还是存在明显的差异，例如，自然科学的本质是发现而数学的本质则是发明；自然科学目标为寻求对客观事实的解释而数学则是寻求概念之间的逻辑关系，其结果形成定理或算法等。数学还与艺术存在共性与差异。虽然表面上数学与其并无直接明显干系，但都具有创造性，强调原创性。以显示为参照物却都突破了现实的局限。二者的差异性也很明显，数学求真而艺术求美。数学理解有程序性而艺术带有直观性。 由此我们看到了数学虽然与自然科学，艺术有共同特征。但也存在相当的差别，数学不是自然科学，也不是艺术。 数学是一个具有内在统一性的科学技术群。数学是一类知识，一种科学语言，一个工具，各门学科的基础，一门科学、艺术、技术，甚至为一种文化。数学是研究现实世界中数与形之间的各种形式模型结构的一门科学。 二、数学之美 （一）形式美 数学美要求以最合理、最恰当的形式及最佳形式表现美的内容；在表现同一内容的众多形式中，力求选择一种最理想的表现形式；力求形式上的创新，不断地改造就形式，创造新的形势。数学的形式美与传统的形式美存在着差异。可以说数学形式美是传统形式美的高级阶段。数学形式质料是抽象的数学符号，反映着自然事物的内在形式即内在关系和结构，因而数学形式美往往给人以理性的冷峻感。数学形式美是由一般科学的内在形式经过历史沉淀和思维抽象演化而来的。其比传统形式美的形式规律更加抽象、精确，并且比传统的形式规律要多得多。 数学的形式美体现在其的简单，对称和多样统一的美。数学的简单体现在其简洁的数学符号、公理体系和精确的计算与严密的推理。对称又包括有对称的图形、原理和对称的思维。除此之外，数学还有统一的数学方法和统一的数学结构。一个数学方程，一条数学定理，反应了一类事物之间质的共性；不同的数学方程，不同的数学定理，反映了不同事物之间质的差异性。不停地发现又不断地统一，为数学其中一种美所在。 （二）奇异美 人们提起数学的时候，通常会说“其妙的数学”，数学的学习和解题中也有一些非常规
数学之美系列完整版（最新全集列表） 作者:吴军, Gooｇｌｅ研究员来源：Googlｅ黑板报酷勤网收集２007-12-04 数学之美一统计语言模型 数学之美二谈谈中文分词 数学之美三隐含马尔可夫模型在语言处理中的应用?数学之美四怎样度量信息？?数学之美五简单之美:布尔代数和搜索引擎的索引 数学之美六图论和网络爬虫（Wｅb Crawｌers)?数学之美七信息论在信息处理中的应用 数学之美八贾里尼克的故事和现代语言处理 数学之美九如何确定网页和查询的相关性?数学之美十有限状态机和地址识别 数学之美十一Ｇoｏgle 阿卡 47 的制造者阿米特。辛格博士 数学之美十二余弦定理和新闻的分类 数学之美十三信息指纹及其应用 数学之美十四谈谈数学模型的重要性?数学之美十五繁与简自然语言处理的几位精英 数学之美十六不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里最大熵模型?数学之美十七闪光的不一定是金子谈谈搜索引擎作弊问题(Sｅaｒｃh Ｅｎgｉne Aｎtｉ—ＳＰAM） 数学之美十八矩阵运算和文本处理中的分类问题?数学之美十九马尔可夫链的扩展贝叶斯网络（Bayeｓian Ｎeｔworks) 数学之美二十自然语言处理的教父马库斯?数学之美二十一布隆过滤器(BlｏoｍＦiltｅｒ） 数学之美二十二由电视剧《暗算》所想到的＆mdａsｈ；谈谈密码学的数学原理?数学之美二十三输入一个汉字需要敲多少个键—谈谈香农第一定律?数学之美二十四从全球导航到输入法——谈谈动态规划
数学之美系列一：统计语言模型 在很多涉及到自然语言处理的领域,如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题. 前言? 也许大家不相信,数学是解决信息检索和自然语言处理的最好工具。它能非常清晰地描述这些领域的实际问题并且给出漂亮的解决办法。每当人们应用数学工具解决一个语言问题时,总会感叹数学之美.我们希望利用 Goｏgle 中文黑板报这块园地，介绍一些数学工具,以及我们是如何利用这些工具来开发 Goｏglｅ产品的. ?Gooｇｌe 的?系列一：统计语言模型（ＳtaｔｉｓｔiｃaｌLanｇuage Modelｓ)? 使命是整合全球的信息，所以我们一直致力于研究如何让机器对信息、语言做最好的理解和处理。长期以来，人类一直梦想着能让机器代替人来翻译语言、识别语音、认识文字（不论是印刷体或手写体）和进行海量文献的自动检索，这就需要让机器理解语言.但是人类的语言可以说是信息里最复杂最动态的一部分。为了解决这个问题，人们容易想到的办法就是让机器模拟人类进行学习 - 学习人类的语法、分析语句等等。尤其是在乔姆斯基（Noam Chomsky 有史以来最伟大的语言学家）提出“形式语言” 以后，人们更坚定了利用语法规则的办法进行文字处理的信念。遗憾的是,几十年过去了，在计算机处理语言领域，基于这个语法规则的方法几乎毫无突破。 其实早在几十年前，数学家兼信息论的祖师爷香农（Claｕde Sｈannｏn）就提出了用数学的办法处理自然语言的想法。遗憾的是当时的计算机条件根本无法满足大量信息处理的需要,所以他这个想法当时并没有被人们重视.七十年代初，有了大规模集成电路的快速计算机后，香农的梦想才得以实现。? 首先成功利用数学方法解决自然语言处理问题的是语音和语言处理大师贾里尼克（ＦreｄＪeｌineｋ)。当时贾里尼克在 IBM 公司做学术休假（Sａbbatical Lｅａve），领导了一批杰出的科学家利用大型计算机来处理人类语言问题。统计语言模型就是在那个时候提出的. 给大家举个例子：在很多涉及到自然语言处理的领域，如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题. ?如果 S 表示一连串特定顺序排列的词w1，w2,…，ｗn ，换句话说，S 可以表示某一个由一连串特定顺序排练的词而组成的一个有意义的句子。现在,机器对语言的识别从某种角度来说，就是想知道S在文本中出现的可能性，也就是数学上所说的S 的概率用 P(S) 来表示。利用条件概率的公式,Ｓ这个序列出现的概率等于每一个词出现的概率相乘，于是P（S) 可展开为:??Ｐ（S） = P（ｗ1)P（w2｜w1）P（w３｜ｗ1 w2)…Ｐ（wn｜w1 w ２…ｗn-1)??其中 P （w1）表示第一个词w１出现的概率；P (ｗ２｜w１) 是在已知第一个词的前提下，第二个词出现的概率；以次类推。不难看出，到了词wn，它的出现概率取决于它前面所有词。从计算上来看，各种可能性太多，无法实现。因此我们假定任意一个词wi的出现概率只同它前面的词 wi—１有关（即马尔可夫假设)，于是问题就变得很简单了。现在，S 出现的概率就变为:??P(S) = Ｐ(w１）Ｐ(w2|ｗ1）P(ｗ3|ｗ2）…P （wi｜wi—1）…?(当然,也可以假设一个词又前面N—1个词决定，模型稍微复杂些。)?