第二十二课时：坐标轴的平移（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；
（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：
通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能和计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴平移的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
2.1坐标轴的平移和旋转 创设情境 兴趣导入
在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生和工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．
例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为
1)1()2(22=-+-y x ．
对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是
12121=+y x ．
图2-1
动脑思考 探索新知
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
图2-2
如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为
),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向
量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有
OP =x i +y j ，1O P =x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ，
因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）
第二十三课时：坐标轴的平移（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．
（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：
通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能和计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴平移的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】 （接上节）
于是得到坐标轴平移的坐标变换公式
???+=+=.,
1010y y y x x x （2.1） 或 ???-=-=.
,0101y y y x x x （2.2） 【想一想】
公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？
巩固知识 典型例题
例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标：
O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)． 解 由公式(2.2)，得
??
?+=-=.1,
21
1y y x x 将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为
O （－2，1），A （0，2），B （－3，3）， C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．
例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得
9)1()2(22=-++y x ．
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得
112,
1.
x x y y =-??
=+? 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．
运用知识 强化练习
1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标： A （3，2），B （－5，4），C （6，－2），D （1，－3），E （－5，－1）．
2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习和训练检测题2．1（选做）
第二十四课时：坐标轴的旋转（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴旋转的坐标变换公式，
（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算． 能力目标：
通过坐标轴旋转的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能和计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴旋转中，点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴旋转的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
强调坐标轴的旋转不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向．教材中采用数形结合的方式，结合一种比较直观的位置来进行介绍，并利用两角差的三角函数公式来推导坐标变换公式．这个公式也适用于其他类型的位置关系．要分析坐标轴旋转的两组公式的形式特点，帮助学生来进行记忆．两组公式的形式基本相近，符号可以用“新减加，原加减”来进行记忆．分清公式1111cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=-??=+?和公式11
cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=+??=-?的不同意义，
前者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的新坐标系坐标表示原坐标系的坐标，适用于求点的原坐标系坐标；后者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的原坐标系坐标表示新坐标系的坐标，适用于求点的新坐标系坐标．例3是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求原坐标系坐标的题目．例4是综合使用坐标轴变换的题目，首先进行坐标轴平移，然后进行坐标轴旋转．这类问题虽然比较复杂，但是在实际生产中会遇到．通过这类问题的解决，可以培养学生的有序思维习惯，从而提高学生的数学素养．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
动脑思考 探索新知
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
设点M 在原坐标系xOy 中的坐标为(x,y)，对应向量OM 的模为r ，幅角为α．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角θ形成新坐标系11x Oy ，点M 在新坐标系11x Oy 中的坐标为),(11y x （如图2-4），则
cos ,
sin x r y r αα==，
),cos(1θα-=r x )sin(1θα-=r y ,
于是
,sin cos sin sin cos cos 1θθθαθαy x r r x +=+=
1sin cos cos sin cos sin y r r y x αθαθθθ=-=-． 由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式
??
?-=+=.sin cos ,
sin cos 1
1θθθθx y y y x x （2.3） 将新坐标系看作原坐标系，则旋转角度为θ-，代入公式（2.3）得
?
?
?+=-=.sin cos ,
sin cos 1111θθθθx y y y x x （2.4） 【想一想】
公式（2.3）和公式（2.4）的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？
（转下节）
第二十五课时：坐标轴的旋转（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴旋转的坐标变换公式，
（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．
图2-4
x
y
y 1
x 1
M
o
α
θ
能力目标：
通过坐标轴旋转的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能和计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴旋转中，点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴旋转的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
强调坐标轴的旋转不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向．教材中采用数形结合的方式，结合一种比较直观的位置来进行介绍，并利用两角差的三角函数公式来推导坐标变换公式．这个公式也适用于其他类型的位置关系．要分析坐标轴旋转的两组公式的形式特点，帮助学生来进行记忆．两组公式的形式基本相近，符号可以用“新减加，原加减”来进行记忆．分清公式1111cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=-??=+?和公式11
cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=+??=-?的不同意义，
前者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的新坐标系坐标表示原坐标系的坐标，适用于求点的原坐标系坐标；后者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的原坐标系坐标表示新坐标系的坐标，适用于求点的新坐标系坐标．例3是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求原坐标系坐标的题目．例4是综合使用坐标轴变换的题目，首先进行坐标轴平移，然后进行坐标轴旋转．这类问题虽然比较复杂，但是在实际生产中会遇到．通过这类问题的解决，可以培养学生的有序思维习惯，从而提高学生的数学素养．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
巩固知识 典型例题
例3
将坐标轴旋转
π
3
，求点A (2,1)，B (－1,2)，C (0,5)的新坐标（如图2－5）．
解 由公式（2.3）得 1113
213.2
x x y y y ?=+???
?=-??， 将各点的原坐标分别代入公式，得到各点的新坐标分别为A 3,2
1
－3)，B (－21+3,1+23)，C (235,2
5)．
例4 设点M 在原坐标系xOy 中的坐标为(x,y)，首先平移坐标轴，将坐标原点移至
)(0,01y x O ,构成坐标系111x O y ，然后再将坐标轴绕点1O 旋转θ角构成新坐标系212x O y ，求点
M 在新坐标系212x O y 中的坐标．
解 设点M 在坐标系111x O y 中的坐标为),(11y x ，点M 在新坐标系212x O y 中的坐标为
),(22y x ，则由公式（2.2）得
???-=-=.,01
01y y y x x x 由公式（2.3） 得 ??
?-=+=.sin cos ,
sin cos 112112θθθθx y y y x x 因此得
???---=-+-=.sin )(cos )(,sin )(cos )(002
002θθθθx x y y y y y x x x
理论升华 整体建构
??
?-=+=.sin cos ,
sin cos 1
1θθθθx y y y x x （2.3） ?
?
?+=-=.sin cos ,
sin cos 1111θθθθx y y y x x （2.4） 继续探索 活动探究
(1)读书部分：阅读教材
(2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习和训练检测题2．1（选做）
第二十六课时： 参数方程（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解曲线的参数方程的概念．
（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域． （3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像． 能力目标：
（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．
【教学重点】
参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．
【教学难点】
难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．
【教学设计】
对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程和分析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
创设情境兴趣导入
如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着和x轴成60o角的方向，以10 m/s的速度运动．
质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60o的直线（x 轴上方的部分）．容易求得其方程为
（）．
--=>
x y x
3301
M
【想一想】
为什么要附加条件1x >？ 动脑思考 探索新知
但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹和时间t 的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M ),(y x 的坐标和时间t 的关系，得
10cos601,(0)10sin 60,x t t y t ?=+?>?=??
即 51,
(0)53x t t y t =+??>?
=??
时间t 确定后，点M ),(y x 的位置也就随之确定. 【想一想】
为什么要附加条件0>t ？
由此看到，曲线上动点M (x ，y )的坐标 x 和y ，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组
?
?
?==).(),
(t y y t x x （2.5） 来表示质点的运动轨迹．
我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t 叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f (x ，y )＝0叫做普通方程．
（转下节）
第二十七课时： 参数方程（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解曲线的参数方程的概念．
（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域． （3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像． 能力目标：
（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法． （2）提高分析和解决问题的能力．
【教学重点】
参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．
【教学难点】
难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．
【教学设计】
对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程和分析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
巩固知识 典型例题
例1 写出圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程．
解 如图2-7所示，设圆上任意点P （x ，y ）联结OP ，设角θ为参变量，则cos sin x r y r θ
θ
=??
=?为所求的圆的参数方程．
和普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．
首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 和y 的对应值，以每一数对（x ，y ）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．
例2 作出参数方程
3
2
(R)x t t y t
?=∈?=? 的图形．
解 由于,t ∈R 所以x ∈R ．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：
图2－7
以表中的每对（x ，y ）
的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点
得到图形，如图2-8所示．
【想一想】
如果例2中的参变量t 换为 sin ，那么，曲线的范围会不会发生变化？ 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题2．2（必做）；学习指导2．2（选做） (3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．
第二十八课时：参数方程和普通方程互化（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．
（2）掌握圆心为坐标原点半径为R 的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．
能力目标：
通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．
【教学重点】
把曲线的参数方程化为普通方程．
【教学难点】
难点是曲线的参数方程化为普通方程．
【教学设计】
参数方程和普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点
t … －2.5 －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 2.5 … x … －15.63 －8 －3.38 －1 0 1 3.38 8 15.63 … y
… 6.25
4
2.25
1 0 1 2.25 4
6.25
…
和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x 或y 的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是和生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．
【课时安排】
课时．
【教学过程】
动脑思考 探索新知
实际使用中，主要是将参数方程化为普通方程．其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法． 巩固知识 典型例题
例3 将下列参数方程化为普通方程．
（1）1,
3x t y t ?=???=?；
（2）3cos ,3sin x y αα=??=?；（3）51,(0)53x t t y t =+??>?=??． 解 （1）由11
x t t x
==得，代入3y t =，得
3
y x
=
． （2）由3cos x α=得
2
2cos 9
x α=， 由3sin y α=得
2
2sin 9
y α=． 将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式22sin cos 1αα+=，得
229x y +=．
【小提示】
对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。
（3）由53y t =得53
t =，和方程51x t =+两边对应相减，得
13
x -=-，即
33y x =-
由51x t =+知参变量0t >时，有1x >，所以
33y x =1x >）．
【注意】
将参数方程化为普通方程时，要注意参变量的取值范围和相应y x ,的取值范围，以及图形的范围．
（转下节）
第二十九课时：参数方程和普通方程互化（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．
（2）掌握圆心为坐标原点半径为R 的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．
能力目标：
通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．
【教学重点】
把曲线的参数方程化为普通方程．
【教学难点】
难点是曲线的参数方程化为普通方程．
【教学设计】
参数方程和普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x 或y 的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出
对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是和生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】 （接上节）
运用知识 强化练习
将参数方程化为普通方程： 2
1x t
y t
=-???=??． 动脑思考 探索新知
机械加工和数控编程常见的曲线，除了直线和圆外，还有一些曲线，例如圆的渐开线、摆线等齿轮轮廓曲线．现将常见曲线的参数方程列表如下：
曲线 图像 参数方程
经过点(,)
M a b 倾斜角为θ的直线
cos ,
sin .
x t a y t b θθ=+??
=+?
圆心为坐标原点半径为r 的圆 ??
?==.
sin ,
cos θθr y r x 中心在原点长轴为2a 短轴为2b 的椭圆
cos ,
sin .x a y b θθ=??
=?
圆的渐开线?
?
?
-
=
+
=
).
cos
(sin
),
sin
(cos
t
t
t
r
y
t
t
t
r
x
摆线（或旋轮线）?
?
?
-
=
-
=
).
cos
1(
),
sin
(
t
r
y
t
t r
x
继续探索
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题2．2（必做）；学习指导2．2（选做）
(3)实践调查：通过自制模型演示，理解圆的渐开线、摆线的概念．
第三十课时：使用举例（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标、增量坐标的概念．
（2）会解决实际生产中和本章知识相关的实际使用问题．
能力目标：
通过使用数学知识解决实际问题的使用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】
机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标及增量坐标的概念及相关计算．
【教学难点】
零件轮廓的基点坐标的计算．
【教学设计】
数控加工是建立在工件轮廓点坐标计算的基础上的．正确把握数控机床坐标系及根据不同坐标原点建立不同坐标系的方法，准确计算，才能为数控机床的程序编制和使用维修带来方便．机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标及增量坐标的教学，目的是使学生了解生产实际中的数学模型，并且认识到学习坐标系的变换是非常必要的．编程坐标系和工件坐标系一致，是数控加工的关键．例1是这类知识的巩固性题目．教学中，要结合具体问题，合理使用坐标变换公式．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
2.3使用举例． *创设情境 兴趣导入
在数控机床上的加工工件，是通过刀具相对工件的运动来实现的，刀具的动作由数控系统发出的指令来控制．为了定量的描述数控机床上刀具相对工件的运动位置，需要建立机床加工使用的坐标系． 动脑思考 探索新知
数控机床有三个坐标系：
（1）机床坐标系．它是机床厂家在机器出厂前设置好的，不可随意更改．用来确定工作台或刀架、机床主轴在工作时和机床导轨的相对位置，其坐标系原点叫做“机床原点”．
（2）编程坐标系．它是在编程时为了计算方便而确定的坐标系．用来确定工件轮廓各点之间的相对位置，其坐标原点由用户选定．
（3）工件坐标系．它是为加工方便而选用的坐标系．其坐标原点叫做“工件原点” ，通常情况下，工件坐标原点应和编程坐标原点重合．
图2-9
当我们把零件放到机床上时（如图2－9），能否让编程坐标系和工件坐标系一致，是加工的关键．否则，数控机床就会自行设定工件坐标系，导致工件报废，甚至出现事故． 巩固知识 典型例题
例1 如图2－10所示，点123P P P 、、在机床坐标系中的坐标分别为（20，35）、（50，60）、（70，20）．现将点1P 作为工件原点，求点2P 、3P 的工件坐标系坐标．
解 设点1P 作为工件原点的工件坐标系为111z O x ，
点2P 、3P 的工件坐标系坐标为2,2()z x 、3,3()z x ，则0020,35z x ==．利用公式（2.3），得
22
502030,
603525.z x =-=??
=-=? 33
702050,
203515.z x =-=??
=-=-? 即点22P P 、的工件坐标系坐标分别为（30，25）、（50，－15）．
【说明】
在数控编程中，经常将点P1（20，35）的坐标表示为P1: Z20 X35.
（转下节）
第三十一课时：使用举例（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标、增量坐标的概念．
（2）会解决实际生产中和本章知识相关的实际使用问题．
能力目标：
通过使用数学知识解决实际问题的使用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】
机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标及增量坐标的概念及相关计算．
【教学难点】
零件轮廓的基点坐标的计算．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】（接上节）
动脑思考探索新知
以一个固定的点作为坐标原点而得到的坐标叫做绝对坐标.如图2－10 所示，点P1、P2、P3的坐标都是以固定的坐标原点计量，其坐标值分别为：（20，35）、（50，60）、（70，20）以前一点作为坐标原点所得到的坐标叫做增量坐标（相对坐标）．它是后一点相对于前一点的坐标．图2-11 中点P1是以坐标原点为起点来计量的，点P2是以P1为起点计量，点P3是以点P2为起点计量的．点P1、P2、P3的增量坐标为：（20，35）、（30，25）、（20，－40）．
巩固知识典型例题
例2 如图2－12所示，在机床坐标系中，从A 点运动到B 点，写出点A ，B 的绝对坐标及点B 的增量坐标．
解 容易看出，点A ，B 的绝对坐标分别为（100，30）、（40，70）． 设点B 的增量坐标为（z 1 , x 1）,它是以点A 为起点计量的．所以
11
4010060,
703040,z x =-=-??
=-=? 即点B 的增量坐标为（－60，40）．
例3 在标注零件图上的斜孔尺寸（单位：mm ）时，已知点P 的工件坐标为（－59.5，30.5），将工件坐标系旋转12o后，形成新坐标系11x Oy ，求点P 在新坐标系中的坐标（精确到0.1）．
解 利用公式（2.3），得
11cos sin 59.5cos1230.5sin1264.5,
cos sin 30.5cos1259.5sin1217.5.
x x y y y x θθθθ?=-=--≈-??
=+=-≈?? 所以点P 在新坐标系的坐标约为（－64.5，17.5）．
*例4 构成零件轮廓的直线及曲线的交点或切点叫做基点．编程时，需要根据零件图纸所给的尺寸，计算出基点的坐标．请根据零件图2－13中的尺寸，计算半径为30的圆弧和直线BC 的切点C 的坐标（精确到0.01）．
解 从图2－13中所给的尺寸，可以得到(0,0),(0,12),(110,26),(110,0)A B D E . 为了计算方便，将坐标原点选在点B ，构成新坐标系．在新坐标系中圆2O 的方程为
222(80)(14)30x y -+-=，
由 2612
tan 0.17580
α-=
=， 得 9.926α≈．
由于222(2612)8081.216BO -+≈，230CO =，所以
2
2
sin 0.369CO BO β=
≈， 故 21.678β≈．
所以 tan()tan31.6040.615αβ+≈≈， 故直线BC 的方程为 0.6153y x =．
解方程组
222(80)(14)30,
0.615,x y y x ?-+-=??
=??
得在新坐标系中，点C 的坐标为（64.28，39.55）．
利用公式得，原编程坐标系中点C 的坐标约为（64.28，51.55）． 理论升华 整体建构
结论：以一个固定的点作为坐标原点而得到的坐标叫做绝对坐标．
以前一点作为坐标原点所得到的坐标叫做增量坐标（相对坐标）．它是后一点相对于前一点的坐标． 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题2．3（必做）；学习和训练检测题2．3（选做）
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
高中数学说课稿：《圆的标准方程》 "说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿：《圆的标准方程》，欢迎大家阅读借鉴! 高中数学说课稿：《圆的标准方程》 【一】教学背景分析 1.教材结构分析 《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和
心理特征，我制定如下教学目标： 3.教学目标 (1) 知识目标：①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点： 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析： 【二】教法学法分析 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用"
讲义:圆与方程 圆得标准方程与一般方程 1、圆得标准方程:222 ()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222 x y r +=。 2、圆得一般方程:() 2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> (1)当22 40D E F +->时,表示以,22D E ??-- ??? 为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ??-- ???;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、 特点:(1)①2x 与2 y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项 (2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了 (3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题 例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。 例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。 例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、 例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。 例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。 巩固练习: 1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( ) A.22(2)5x y -+= B.22(2)5x y +-= C.22(2)(2)5x y +++= D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x 3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、 4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。 5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上得圆得方程; 直线与圆、圆与圆得关系 1、点与圆得位置关系: 设圆得标准方程222 ()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆得标准方程,
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。
教案说明 圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。 一、设计理念 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。 二、设计思路 （1）突出重点抓住关键突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。 （2）学生主体教师主导探究主线 本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。 三、媒体设计 本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时
动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。
讲义：圆与方程 圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程：222 ()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）； 圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222 x y r +=。 2、圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> （1）当2240D E F +->时，表示以,22D E ??-- ???为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ??- - ??? ；（3）当2240D E F +-<时，不表示任何图形. 特点：（1）①2x 和2 y 的系数相同，且不等于0； ②没有xy 这样的二次项 （2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了 （3）与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标 准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 3、过圆上一点的切线方程： ),(00y x M 在圆222r y x =+上，过M 的切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上，过M 的圆的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题 例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。
例2、求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。 例3、求以)3,1(O 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程. 例4、已知圆的方程是2 22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。 例5、求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
2 2 坐 标 系 与 参 数 方 程 一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 （1） 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建 立一一对应关系 （2） 平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 ③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴 ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点 ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系 （3） 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段 P 1P 2 的中点为P ①两点间的距离公式|P 1P 2|＝ ??x ＝x 1＋x 2 ②中点P 的坐标公式? y ＋y ??y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 ?x′＝λx （λ>0） 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ?y′＝μy （μ>0） 的作用下，点 P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系 1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
第一课时 4.1.1 圆的标准方程 教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程 教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程． 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 教学过程： 一、 复习准备： 1.提问：两点间的距离公式？ 2.讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 二、讲授新课： 1. 圆的标准方程： ①建系设点： A. C 是定点，可设C(a ，b)、半径r ，且设圆上任一点M 坐标为(x ，y)． ②写点集:根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r} ④化简方程: 将上式两边平方得22 ()()x a y b r -+-= (建系设点→写点集→列方程→化简方程?圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ ⑥师指出：只要a ，b ，r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a 、b 、r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 2. 圆的标准方程的应用 ①.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．) ②.已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ (从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决) ③ ABC 的三个定点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 （ 用待定系数法解） ④ .已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C 在直线L:10x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程。 3. 小结： ①．圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②．圆的方程的特点：点(a ，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； ③．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a ，b ，r ； (2)轨迹法：求曲线方程的一般方法． 三、巩固练习： 1. 练习：P131 14 2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切； (2) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切． 3. 已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 证明：圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0． 4. 作业 P134 习题4 1、2题. 第二课时 4.1.2圆的一般方程 教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由
高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.
（数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！ 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示
2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系 (02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π - 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆 的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问 题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情 和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明222 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标
高一数学必修二圆与方程 知识点整理 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点()2220x y r r +=≠ 过原点()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切()()()22 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数，即 x,f(t), ,y,f(t), 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称 参数( (二)常见曲线的参数方程如下: 1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00 ,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0 其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00 的数量，又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义，有以下结论( ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00 ,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0 3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0, 4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1 ,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数，p,0) y,2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 ,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参 数)( ,00,yytsin,,，0, (三)极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M , , Ox 图1 2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与 ,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长 等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆 心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 (06卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543= +-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x (C)9)1() 2(22 =++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切；?
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