第十节 变化率与导数、导数的运算
授课提示：对应学生用书第37页
[基础梳理]
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义
称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率＝ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy
Δx ＝
．
(2)导数的几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx
为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0
f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1
f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x
f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x
f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a
f (x )＝e x f ′(x )＝e x
f (x )＝lo
g a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a
f (x )＝ln x f ′(x )＝1x
3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
(3)????
??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．
1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意这一点，如(x n )′＝nx n －1中，n ≠0且n ∈Q *.? ?????f （x ）g （x ）′＝
f′（x）·g（x）－f（x）·g′（x）
g2（x）
，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．
2．(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)f′(x)是一个函数，与f′(x0)不同．
3．(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·e x，则f′(1)等于()
A．0B．e
C．2e D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝()
A.mx
x B．x＋1
C.1
x＋x D．ln x＋1
答案：D
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为()
A．不存在B．x＝0
C．y＝0 D．y＝x
答案：C
4．(易错点：求切点)曲线y＝e x过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
授课提示：对应学生用书第38页
考点一导数的计算
挖掘1求导函数值/ 自主练透
[例1](1)设函数f(x)＝1－e x的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________．[详细分析]令1－e x0＝0，∴x0＝0，
而f′(x)＝－e x，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1.
[答案]－1
(2)若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．
[详细分析]∵f′(x)＝1
x
－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
[答案] 8
(3)若f (x )＝sin ? ????x ＋π3，则f ′? ??
??π3＝________． [详细分析] ∵f (x )＝sin ? ??
??x ＋π3， ∴f ′(x )＝cos ? ??
??x ＋π3， ∴f ′? ????π3＝cos ? ??
??π3＋π3＝－12. [答案] －12
挖掘2 已知导数值求自变量/ 互动探究
[例2] (1)已知函数f (x )＝x (2 020＋ln x )且f ′(x 0)＝2 021，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．1
C ．ln 2
D ．e
[详细分析] ∵f (x )＝x (2 020＋ln x )＝2 020x ＋x ln x ，
∴f ′(x )＝2 020＋ln x ＋x ·1x ＝2 021＋ln x ，
又f ′(x 0)＝2 021，∴ln x 0＝0，∴x 0＝1.
[答案] B
(2)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0＝________．
[详细分析] ∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，
∴f ′(x )＝[2xf ′(1)]′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x ，
∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1.
∴f ′(x 0)＝－2＋1x 0
， ∴－2＋1x 0
＝0，∴x 0＝12. [答案] 12
[破题技法] 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
2．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cos x )′＝－sin x ．区分f ′(x )与f ′(x 0)．
3．复合函数的求导，要分清复合的层次．
考点二 导数的几何意义及应用
挖掘1 利用导数几何意义求切点、斜率、
切线/ 互动探究
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数?(x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若?(x )为奇函数，则曲线y ＝?(x )在点(0，0)处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝－x
C ．y ＝2x
D ．y ＝x
[详细分析] 法一：∵?(x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，
∴?′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .
又?(x )为奇函数，∴?(－x )＝－?(x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，
∴a ＝1，∴?′(x )＝3x 2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y ＝?(x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .
故选D.
法二：∵?(x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，
∴?′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数，
∴a ＝1，即?′(x )＝3x 2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y ＝?(x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .
故选D.
[答案] D
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．
[详细分析] y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，
∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .
[答案] y ＝3x
(3)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(Ⅰ)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(Ⅱ)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)：
①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；
②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2
③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ；
④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ；
⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .
[详细分析] 对于①，由y ＝x 3，得y ′＝3x 2，则y ′|x ＝0＝0，直线y ＝0是过点P (0，0)的曲线C 的切线，又当x ＞0时，y ＞0，当x ＜0时，y ＜0，满足曲线C 在P (0，0)附近位于直线y ＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y ＝(x ＋1)2，得y ′＝2(x ＋
1)，则y ′|x ＝－1＝0，而直线l ：x ＝－1斜率不存在，在点P (－1，0)处不与曲线C 相切，
∴命题②错误；对于③，由y ＝sin x ，得y ′＝cos x ，则y ′|x ＝0＝1，直线y ＝sin x 是
过点P (0，0)的曲线C 的切线，又x ∈(－π2，0)时，x ＜sin x ，x ∈(0，π2)时，x ＞sin x ，
满足曲线C 在P (0，0)附近位于直线y ＝x 两侧，∴命题③正确；对于④，由y ＝tan
x ，得y ′＝1cos 2x ，则y ′|x ＝0＝1，直线y ＝x 是过点P (0，0)的曲线的切线，又x ∈(－π2，
0)时，tan x ＜x ，x ∈(0，π2)时，tan x ＞x ，满足曲线C 在P (0，0)附近位于直线y ＝x
两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，则y ′|x ＝1＝1，曲线在P (1，
0)处的切线为y ＝x －1，设g (x )＝x －1－ln x ，得g ′(x )＝1－1x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )
＜0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上的极小值也是最小值为g (1)＝0，∴直线y ＝x －1恒在曲线y ＝ln x 的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误，故答案为①③④.
[答案] ①③④
[破题技法] 求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：
(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；
第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程，为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；
第三步：将点P (x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；
第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 挖掘2 根据导数的几何意义求解+析式中的参数/ 互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )
A ．a ＝e ，b ＝－1
B ．a ＝e ，b ＝1
C ．a ＝e －1，b ＝1
D ．a ＝e －1，b ＝－1
[详细分析] y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，
∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，
即y ＝(a e ＋1)x －1.
又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，
∴?????a e ＋1＝2，b ＝－1，
即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. [答案] D
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________．
[详细分析] ∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1，
∴a ＋1＝－2，得a ＝－3.
[答案] －3
(3)若曲线C 1：y ＝x 2
与曲线C 2：y ＝e x a (a ＞0)存在公共切线，则a 的取值范围为( )
A ．(0，1)
B ．(1，e 24]
C ．[e 24，2]
D ．[e 24，＋∞) [详细分析] 易知曲线y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，曲线y ＝e x a 在点(n ，
e n a )处的切线的斜率为e n a ，故2m ＝e n a ，由斜率公式得2m ＝m 2－e n a m －n ，即m ＝2n －2，则
4n －4＝e n a 有解，即y ＝4x －4，y ＝e x a 的图像有交点即可，两图像相切时有a ＝e 24，
所以a ≥e 24，故选D.
[答案] D
[破题技法] 有关切线问题求参数
对于此类问题，首先明确参数存在何处．其关键点为：
(1)利用切点，求f ′(x 0)，利用斜率建立关系k ＝f ′(x 0)．
(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系．
(3)联立方程组求解．