韦达定理及其应用竞赛
题精编版
MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
韦达定理及其应用【内容综述】
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，
；
（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得
，ab=1.
说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方
程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得
，
∴
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；
（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方
程。
解（1）由韦达定理知
，。
，
。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得
解之可得由②得，分别讨论
（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1
-)。
-,1)或(0,1
-,0)，(0,1)，(2,1)，(2
于是，得以下七个方程，，，，，
-，其中0
1
x2=
+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。
1
x2=
1
+，0
x2
x2=
+
3．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
证明由已知得，。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为
①
由a，b为实数知此方程有实根。
。
∴0
c2=，故c=0，从而。这表明①有两个相等实根，即有a=b。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式
可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
4．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1，另一根小于1。
思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
解设此方程的二根为，，则
，。
⑴方程二根均大于1的条件为
解之得
<
-
≤
7-
a
3
⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为
?????<+---=-->--=?.01)a 2(a 6)1x )(1x (,0)a 6(4a 421
2
解之得。 7a -<。
说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6解方程。
解：原方程可变形为 。
令，
。则
,。 由韦达定理逆定理知，以a ，b -为根的一元二次方程是 。 解得
，
。即a=8-或a=9。
或
通过求解x 结果相同，且严谨。
，
（舍去）。
解之得，。此种方法应检验：是或否成立
强化训练
A 级
★★1.若k 为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k 的值为
________________。
★★2.若，，则_______________。
★★★3.已知和是方程的二实根，则_____________。
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级
★★★★5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。
求证：，是方程的实根。
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k的值。
参考答案
1．2
提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故k=2。
2．提示：由x，y为方程的二根，知，。于
。
3．21
提示：由，，知，
4．设二个不等的正整数根为，，由韦达定理，有
消去m ，得
。
即。则且。
，。故。
5．由韦达定理有，。
又，。
二式相减得。
，。
将代入有。
从而，
同理
和是方程的根。
6．当β=α时，可知1=β=α，所以2k 13k 124=??=+，当β≠α时，易证得。从而
，
为方程的二不同实根。
，。
于是，
，。
当时，方程为。
解得或
取，即能符合题意，故k的值为。
韦达定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。 说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况
韦达定理在解析几何中的应用 陈历强 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数
韦达定理及其应用 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。 说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理： ⑴方程有二正根，ab<0，ac>0； ⑵方程有二负根，ab>0，ac>0； ⑶方程有异号二根，ac<0； ⑷方程两根均为“0”，b=c=0，； ★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件， 试求实数a的范围。 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1，另一根小于1。 思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和 同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
学科：奥数年级：初三 不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。 思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2 若，且，试求代数式的值。 思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m ，n 为方程 的二不等实根，再由韦达定理， 得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方 程。 解 （1）由韦达定理知 ， 。 ， 。 所以，所求方程为 。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。 于是，得以下七个方程 ， ， ， ，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用 一 教材分析 本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 重点:运用韦达定理解决方程中的问题 难点:如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方 程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析 例 已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法 解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数 用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单 总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的 （1）平方和；（2）倒数和 方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值 。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示 。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 解 ： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
根的判别式 【典例1】.关于x 的方程10422 =-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 _____；k ＝______。 【典例2】.1x 、2x 是方程05322 =--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式 的值： （1）2 2 2 1x x +（2） 2 1x x -（3）22 22133x x x -+ 【典例3】.已知关于x 的一元二次方程与 有一个相同的根，求k 的值。 【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 【典例5】已知方程 两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的值。
韦达定理 [典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________ [典例2]解方程组 [典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。 [典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。 [典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。
[典例6]已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根 （1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。 训练题 1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m． （1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值． 2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0， ③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n 的值．
韦达定理的应用 一、典型例题 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x1，则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和. 解：∵又 ∴代入得，∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为.
例4：解方程组 解：设∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且 ∴∴ ∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数 解：①∵∴m>7
②∵ ∴不存在这样的情况。 ③ ∴m<7 ④ ∴m=7 ⑤ ∴m=15.但使 ∴不存在这种情况 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于 2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q= 3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（） A．±8 B.8 C.－8 D.±4 4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？ 5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值围。
韦达定理及其应用 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则 ，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，， 等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理： ⑴方程有二正根，ab<0，ac>0； ⑵方程有二负根，ab>0，ac>0； ⑶方程有异号二根，ac<0； ⑷方程两根均为“0”，b=c=0，； ★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1，另一根小于1。 思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
浅谈韦达定理的应用 齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间 的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。 【中考真题欣赏】 例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数 根,?y 1,y 2是关于y 的方程y 2 +(2-b)y+4=0的两个根,二次方程. 解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7. 当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解. 当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,
韦达定理及其应用 【趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求( 221 ab b a ++ )2004的值。 解析由①知1+21 a - 2 1 a =0, 即(1 a )2-2· 1 a -1 =0,③ 由②知(b2)2-2b2-1=0,④ ∴1 a ,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根. 由韦达定理,得1 a +b2=2, 1 a ·b2=-1. ∴ 221 ab b a ++ =[( 1 a +b2)+ 2 b a ]2004=(2-1)2004=1. 点评 本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,?难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解. 【知识延伸】 例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为71 4 ,求a的值.
根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1．判别式的应用 例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根. 证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根， 必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得 △=（Pc+Ra）2-4ac =（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac =（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）. ∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0； （2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根. 例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA. （1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）； 此处无图 （2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即 x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时 △=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0. ∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0. （2）x1＜0＜x2＜a. 例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明 将此式看作关于x的二次三项式，则判别式 △= 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，① ②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤ 分析将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明由①得z=a-x-y，代入②整理得 此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定
理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
【内容综述】 设一元二次方程 宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。 其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。 思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。 解（1）当a=b 时， （2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得 .b d _ 盘2 +於 _ ?4对'一M)_ [-餌一*1 ..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- / L? h ■ 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。 其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理, 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a ， b ，c 称之 b 电等都可以用方 的值。
【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0 ))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。
韦达定理 x 型韦达定理 24．【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆2 2 4280x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点 ()2,0B 且与x 轴不重合， l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （2）设()0,2Q ，过点()1,2P --作直线l '，交点E 的轨迹于,M N 两点 (异于Q ),直线 ,QM QN 的斜率分别为12,k k ，证明 12k k +为定值. 【答案】(1) ()221084 x y y +=≠ (2)见解析. 解析 （1）如图，因为AD AC =， //EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以 EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()2 2 232x y ++=， 从而42AD =，所以42EA EB +=,有题设可知()()2,0,2,0A B -，
424EA EB AB +=>=由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为()22 1084 x y y +=≠. （2）设()()1122,,,M x y N x y ， 当l '的斜率不存在时，此时:1l x '=-此时容易解出,M N 的坐标14141,,1,22???? --- ? ? ? ???，此121414 22422 k k +=+ +-=时. 综上可知124k k +=. 点睛 （1）动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.（2）解析几何中的定点定值问题，通常把目标转化为1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的整体，再用韦达定理转化即可. 25．【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>与直线:0 l bx ay -=
第10课 判别式与韦达定理 〖知识点〗 一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q (3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根 是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)． 〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如： 关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如： 设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。 考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0
韦达定理的应用与提高 自招题集 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
应用题 例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元 2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 根的判别式 1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【分析】根据根的判别式△=b 2﹣4ac 的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况． 【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，＜0，﹣＞0， ∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大． 故选：C ． 【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析 1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = - a b ， x 1·x 2 = a c 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q 2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ?方程有实数根。 3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0) 4、根与系数的关系求值常用的转化关系： ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2 -2x 1x 2=a c a 2b -2 -??? ??=2 22a ac b - ② c b x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 = a c -b +a 2
韦达定理及其应用 高一数学 B 段 教学目的： 1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 一、 知识要点 1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a b x x -=+21 a c x x =?21，； 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=?+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=??? ? ?++=++ 二、例题 1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差： （1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422 =--x x 2. 若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值. （1）2221x x + （2）2 111x x +
学生练习： （1）=--)5)(5(21x x （2）=- 21x x 反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形: ()212 2122212x x x x x x -+=+ 2111x x +=2121x x x x + ()212212214)(x x x x x x -+=- 21221214)(x x x x x x -+=- 3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值 练习．已知关于x 的方程2 x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.
浅谈韦达定理的应用
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浅谈韦达定理的应用 摘 要: 韦达定理是由十六世纪著名的杰出数学家韦达发现的，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。韦达定理的内容具有灵活性、应用广泛性、条件放缩性等特点，在一元二次方程中和圆锥曲线中都是一个重点。它能培养学生逻辑思维能力、灵活解决问题能力等。 关键词：一元二次方程 圆锥曲线、韦达定理 引言 韦达定理是中学阶段的重要内容， 平时的教学过程中，教师们经常会碰到一些需要运用韦达定理的相关题目时有很大的困难，学生理解起来也会有很多的迷惑之处。比如前段时间，在初三的一次辅导中，学生碰到了一题考查一元二次不等式的题目，题意如下： 已知不等式02 =++c bx ax 的解集为}42{≤≤x x ，则不等式02 ≤++a bx cx 的解集为_____________。 本题主要考查学生一元二次不等式与一元二次方程的转化，以及整体思想和转换思想的能力。学生要是按照平时的方程解法去做，解题难度会比较大，即使能力强的学生也要花上很长时间才能将解题过程写完整。但是，如果学生能理解并且应用韦达定理的话，此题的解题思路就会显而易见，并能简化解题过程。所以，我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性，是很有必要与意义的同时，韦达定理也是解决圆锥曲线的问题重要手段，同时也是简化运算从而快速得到运算结果的有效途径。由于它的灵活性在解析几何中有广泛应用。特别对于一些圆锥曲线问题，如果和韦达定理相结合，使用设而不求的方法，可很大程度上的简化运算，同时解题的思路也格外清晰。如直线与曲线（椭圆、双曲线、抛物线）相交，求截得的弧长。。 正文 任给一个一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)，设他的两根为21,x x ，利用 求根公式 a ac b b x 242-±-=得到根和系数的关系： a b x x -=+21，a c x x =21这就是著名的韦达定理。它描述了方程的根和系数之 间的关系，是一元二次方程解法的补充。在求圆锥曲线问题时用它更会问题简单化。接下来，我们来归纳一下韦达定理在一元二次方程中应用和在圆锥曲线中的应用。 1 在一元二次方程中的应用 1）已知方程的一根，求另一根 例1. 已知关于x 的方程0522=-+kx x 的一根为2 11 11+-= x ，求另一根2x 和k 的值。 解析：由韦达定理可知2521- =x x ，所以21112512--=÷-=x x ，12 21-=-=+k x x ，所以 2-=k 。 【注释】本题要是按照平时的做法，先将1x 带入方程中，求出k 值，再用求根公式去求另外
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析 1 、定义：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 的两个根，则有 x 1 + x 2 = - ， x 1 · x 2 = 。对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0 ，则有 x 1 + x 2 =-p ， x 1 · x 2 =q 2 、应用的前提条件：根的判别式△≥ 0 方程有实数根。 3 、若一个方程的两个为 x 1 ， x 2 ，那么这个一元二次方程为 a[x 2 +(x 1 +x 2 )x+ x 1 · x 2 ]=0(a ≠ 0) 4 、根与系数的关系求值常用的转化关系： ① x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 = = ② ③ (x 1 +a)(x 2 +a)= x 1 x 2 +a(x 1 +x 2 ) +a 2 = -b +a 2 ④ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 = 5 、方法归纳：（ 1 ）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠ 0 ，且必须有实数根，即△≥ 0 ； （ 2 ）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论； （ 3 ）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。 （ 4 ）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。 6 、一元二次方程的根与系数的关系的应用： （ 1 ）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若