关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析

一十种概率密度函数

一十种概率密度函数 function zhifangtu(x,m) %画数据的直方图,x表示要画的随机数,m表示所要画的条数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=min(x); b=max(x); l=length(x); h=(b-a)/m; %量化x x=x/h; x=ceil(x); w=zeros(1,m); for i=1:l for j=1:m if (x(i)==j) %x(i)落在j的区间上，则w(j)加1 w(j)=w(j)+1; else continue end end end w=w/(h*l); z=a:h:(b-h); bar(z,w); title('直方图') function y=junyun(n) %0-1的均匀分布，n代表数据量，一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% y=ones(1,n); x=ones(1,n); m=100000; x0=mod(ceil(m*rand(1,1)),m); x0=floor(x0/2); x0=2*x0+1; u=11; x(1)=x0; for i=1:n-1 x(i+1)=u*x(i)+0; x(i+1)=mod(x(i+1),m); x(i)=x(i)/m; end %x(n)单位化

x(n)=x(n)/m; y=x; function y=zhishu(m,n) %指数分布,m表示指数分布的参数,m不能为0.n表示数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1;n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=log(x); y=-(1/m)*u; function y=ruili(m,n) %瑞利分布,m是瑞利分布的参数,n代表数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=(-2)*log(x); y=m*sqrt(u); function y=weibuer(a,b,n) %韦布尔分布,a,b表示参数,b不能为0.n表示数据量,一般要大于1024 %a=1时,是指数分布 %a=2时,是瑞利分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end

随机变量的特征函数

第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有

=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定； (10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ?如果 +∞

§4随机变量函数的分布

§3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51） 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11（略） 例3.12（略） 2χ—分布 我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ

F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................

1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2

第三章-多维随机变量及其分布--习题

第三章 多维随机变量及其分布 习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布 一、填空题 1. 设（Y X ,）的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它， ，，），（ 00 03331y x y x F y x y x ，则 （Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ； 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=）），（, 则A = , B = , C = ，(0≠A )； 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -； 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2 y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae y x f y x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<<

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1．设随机变量21,X X 独立，且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ） A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为1 3 的0—1分布，则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ） 13 （B ）12 （C ）16 （D ）2 3 [] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<<

第三章多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布 习题3.1 143 2. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列. 5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<<--=. ,0; 42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求 (1) 常数k; (2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤. 6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???>>=+-. ,0; 0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x 试求 (1) 常数k; (2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0

习题3.2 P153 4.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数. 6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???<<<<=. ,0; 10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和 12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1). 14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<=. ,0; 10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立? 16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系? 习题3.3 P163 1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为 试分别求 3. 设随时机变量X 和Y 的分布列分别为 X -1 1

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分） 1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 222 13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ? +-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1 《 b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3 ()4 P A B ?= ,则6．在区间(0,1)随机取两个数，则事件“两数之积大于1 4 ”的概率为_ _ 31 ln 444 - .

7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8．随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ， ()D X Y -= 37 . 10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2．设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．12- 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． A ．X 与Y 不相关 B ．(,)()()X Y F x y F x F y =? C ．X 与Y 相互独立 D ．1XY ρ=-

多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 § 3.1 二维随机变量的分布 一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

性质： (1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2) ∑j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1 p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1 我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j ∑ (Y=y j )} = j ∑ P{X=x i ,Y=y j }= j ∑ p ij (3.4) 同理可得 p .j = i ∑ p ij (3.5) 例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。 解： {}{}{} , ,3,2,13 1 1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=? =======

考研数学多维随机变量及其分布复习要点

考研数学：多维随机变量及其分布复习要点 考研将第一时间整理发布考研相关信息，希望对2016考研考生有所帮助。 本篇考研小编跟大家一起学习的是概率论与数理统计的第三章多维随机变量及其分布内容，希望大家牢固掌握相关概念及公式。 一、考试内容 1.多维随机变量及其分布 2.二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 3.二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 4.随机变量的独立性和不相关性 5.常用二维随机变量的分布 6.两个及两个以上随机变量简单函数的分布 二、考试要求 1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率. 2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义. 4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 三、复习要点 1. 二维离散型随机变量 同一维离散型随机变量类似，二维离散型随机变量也是要求考生通过题目的信息，解决两个问题，一、两随机变量分别可以取哪些值;二、随机变量取对应值的概率是怎么计算的.应该说，只要考生会写一维离散型随机变量的分布律，那写出二维离散型随机变量的联合分布律难度应该也不是很大.至于边缘分布律和条件分布律，可以在联合分布律的基础上写出.部分考生理解起来觉得抽象的是条件分布律，其实道理仍然是一样的，需要考虑在一个随机变量取定某一值的条件下，另一个随机变量可以取哪些值.另外，在计算一个随机变量X=a 时，另一个随机变量Y=b的概率是多少时，无需记忆新的公式，直接带入第一章学习的随机事件的条件概率公式即可. 2. 二维连续型随机变量 联合概率密度，重点掌握：一、概率密度在整个平面上积分是1，它的作用也主要是确定概率密度中的未知参数;二、求二维连续型随机变量落在一个平面区域内的概率，即联合概率密度在该区域上进行二重积分.虽然公式与一维类似，但从计算的难度上讲，二维的会更复杂一点，要求考生会计算二重积分.在此，考生也应该充分地意识到概率与高数还是存在紧密联系的，概率的部分计算需要有一定的高数基础. 边缘概率密度和条件概率密度的公式推导可以不要求考生掌握，但是要求会用相应的公式，也就是会带公式计算边缘概率和条件概率密度.如边缘概率密度，求关于x的边缘概率密度，积分变量是y.需要注意的是，如果联合概率密度是一个分段函数，那么边缘概率密度也一定是一个分段函数.另外，在计算的时候，考生要求会通过图形，确定积分的上下限，函数的定义域.条件概率密度的计算，需要注意的是有没有前提条件，在某个前提条件下，概率密度计算的公式是什么.关于边缘概率密度和条件概率密度，是概率解答题常考的知识点，这些知识，需要大家先理解，然后做一定量的配套练习，巩固方法。

03第三讲 二维随机变量的概率分布

第三讲 二维随机变量的概率分布 考纲要求 1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率. 2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义. 4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、二维随机变量的概率分布 问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？ 答 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，即),(Y X 的取值落在无穷矩形域(,](,]x y -∞?-∞内的概率. 二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(,)1F x y ≤≤； ⑵(,)(,)(,)0F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=，(,)1F +∞+∞=； ⑶(,)F x y 关于x （关于y ）单调不减； ⑷(,)F x y 关于x （关于y ）右连续. 2.二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数 {}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞ =≤=≤<+∞=+∞=. 二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数 {}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞ =≤=<+∞≤=+∞=. 问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布 设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称 {},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ==== 为二维离散随机变量(,)X Y 的联合分布律，其中 01ij p ≤≤，1 1 1ij i j p ∞ ∞ ===∑ ∑ . ⑵边缘分布

多维随机变量及其概率分布汇总

第三章 多维随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、二维随机变量及其分布函数 【定义】设(),()X X Y Y ωω==是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的两个随机变量，则称(,)X Y 为二维随机变量，称()(,)(),()F x y P X x Y y ωω=≤≤为其联合分布函数，而称: ()1()()F x P X x ω=≤及()2()()F y P Y y ω=≤分别为,X Y 的边缘分布函数。 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 具有如下性质: ⑴．非负性: ,x y R ?∈，有0(,)1F x y ≤≤； ⑵．规范性: ,x y R ?∈，有(,)(,)0,(,)1F x F y F -∞=-∞=+∞+∞=； ⑶．单调性: 当()x y 或固定不变时，(,)F x y 是()y x 或的单增函数； ⑷．右连续性: ,x y R ?∈，有(0,0)(,)F x y F x y ++=； ⑸．相容性: ,x y R ?∈，有12(,)(),(,)()F x F x F y F y +∞=+∞=； ⑹．特殊概率: 若1212,x x y y <<，则 121222122111(,)(,)(,)(,)(,)0P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+≥。 二、二维离散型随机变量 1．二维离散型随机变量及其概率分布律 若二维随机变量(,)X Y 的一切可能取值为离散值2 (,)i j x y R ∈，其中,1,2,...i j =，且取到这些值的 概率(,)(,)0,,1,2,...i j i j p x y P X x Y y i j ===≥=满足 1,(,)1i j i j p x y ≤<+∞ =∑，则称(,)X Y 为二维 离散型随机变量，而称{} (,),1i j p x y i j ≥为其联合概率分布律，记为: (,) (,),,1,2,...i j X Y p x y i j =。 ⑴.,X Y 的边缘概率分布律: 1211()()(,),()()(,)i i i j j i i j j i X p x P X x p x y Y p y P Y y p x y ≤<+∞ ≤<+∞ ======∑∑； ⑵.,X Y 的条件概率分布律: 12(,)(,)(), ()() () i j i j Y X j i X Y i j i j i j p x y p x y Y X p y x p x y X x Y y p x p y = = ==； ⑶.X Y 与的相互独立12,1,(,)()()i j i j i j p x y p x p y ???≥=恒有。 二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示: