概率论与数理统计习题答案(第一章)

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”

B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.”

B =“至少有一次出现正面.”

C =“两次出现同一面.”

【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；

{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,

(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),

(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),

(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ======= ，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),

C =正正正反反

2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ，B ，C 都发生；

（4） A ，B ，C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C 不都发生；

（7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A B C （2） AB C （3） ABC

（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A B C ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =AB C

(5) ABC=A B C

(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C∪A B C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC

3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:

(1) A∪B=(AB)∪B；

(2) A B=A∪B；

(3) B

A ∩C=A

B C；

(4) (AB)( AB)= ?；

(5) 若A?B，则A=AB；

(6) 若AB=?，且C?A，则BC=?；

(7) 若A?B，则B?A；

(8) 若B?A,则A∪B=A.

【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.

所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生.

故不成立.

(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生，

所以A B不发生，从而不成立.

(3)不成立.B

A ，AB画文氏图如下:

不发生,

所以,若Α-B发生,则AB发生, A B

故不成立.

(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.

(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.

若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.

故成立.

(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,

故BC=φ.

(7)不成立.画文氏图,可知B A

?.

(8)成立.若事件Α发生,由()A A B ? ,则事件Α∪B 发生. 若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.

若事件B 发生,由B A ?,则事件Α发生.

4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7,求： （1） 在什么条件下P （AB ）取到最大值？ （2） 在什么条件下P （AB ）取到最小值？ 【解】（1） 当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.

6.

（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.

6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.

【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )

=

14

+

14

+

13

-

112

=

34

7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

是多少？

【解】 p =533213

1313131352C C C C /C

8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=

5

17

=（

17

）

5

（亦可用独立性求解，下同）

（2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P （A 2）=

55

67

=(

67

)5

(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}

P （A 3）=1-P (A 1)=1-(

17

)

5

9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.

【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有3

50C 种取法.因只有一件次品,所以从

45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次

品的取法为2

45

C

15

C 种,所以所求概率为21

4553

50

C C P C =

.

10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.

【解】（1） P （A ）=C C /C m n m n

M

N M N -- (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n

N 种，n 次抽取中有m

次为正品的组合数为C m

n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m

M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m

N M --种，故

P （A ）=

C P P P

m

m

n m

n M N M

n

N --

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P （A ）=

C C C m n m

M N M

n

N

--

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n

种，n

次抽取中有m 次为正品的组合数为C m

n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故

()C ()

/m

m

n m

n

n P A M

N M N -=-

此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M N

，则取得

m 件正品的概率为

()C 1m

n m

m

n

M M P A N N -???

?=- ? ?

???

?

11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，…，9).

【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列

问题.用10个数去排4个位置,有410

P 种排法,故所求概率为44

10/10P P =.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个

部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A ={发生一个部件强度太弱}

1

3

3

103501()C C /C 1960

P A ==

13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

2

1

3

434233

377

C C C 184(),

()C

35

C

35

P A P A =

=

=

=

故 232

322()()()35

P A A P A P A =+=

14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率；

（2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）

(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?=

15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 13421

11C ()()

22245/325

p =

= 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率. 【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则

3331212

3330

()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+

22223

33C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)?

=0.32076

17． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】 4

1

1

1

15222

2

4

10

C C C C C 131C

21

p =-

=

18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.

（1） ()0.1()0.2()

0.5

P AB p B A P A =

==

（2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=

19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86()()

7/8

7

P AB P B A P A =

==

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

6()7

P B A =

20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是

男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()

()()()

()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+

0.50.0520

0.50.05

0.5

0.0025

21

?

=

=?

+? 21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.

如图阴影部分所示.

2

2

301

604

P==

22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1）两个数之和小于

6

5

的概率；

（2）两个数之积小于

1

4

的概率.

【解】设两数为x,y，则0

（1）x+y<

6

5

.

1

144

17

255

10.68

125

p=-==

(2) xy=<

1

4

.

11

11

2

44

11

1d d ln2

42

x

p x y

??

=-=+

?

??

??

23. 设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）

【解】

()()()

()

()()()()

P A B P A P A B

P B A B

P A B P A P B P A B

-

==

+-

0.70.5

10.70.6

0.5

4

-=

=+

-

24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

3

()()()i i i P B P B

A P A ==

∑

3

3

12

3

21

3

3

3

6996896796333

3

3

3

3

3

1

515

1515

151

5

15

15

C C C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C C

=?

+

?

+

?

+

?

0.089

= 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）()()

()()()

()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+

0.20.1

1

0.027020.80.9

0.20.137

?=

==?

+? 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()

()()()

()()()()

P A P B A P A B P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+

0.80.14

0.30770.80.1

0.2

0.913

?=

==?

+? 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而

B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是

A ，试问原发信息是A 的概率是多少？ 【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是

B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得

()()

()()()()()

P A P C A P A C P A P C A P A P C A =

+

2/30.980.9949

22/30.98

1/3

0.01

?=

=?

+? 27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱

子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=

13

,i =0,1,2.又设B ={抽

出一球为白球}.由贝叶斯公式知

11112

()()

()()()

()()

i i i P B A P A P A B P A B P B P B

A P A ==

=

∑

2/31/3

11/31/32/31/311/3

3

?=

=?+?+?

28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

()()

()()()

()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+

0.96

0.980.998

0.96

0.98

0.04

0.05

?=

=?+? 29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人

占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事故}

则由贝叶斯公式得 ()()(|)

(|)()

()(|)()(|)()(|)

P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=

++

0.20.05

0.057

0.20.05

0.50.15

0.30.3

?

=

=?

+?+? 30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.

4

12341

()1()i i P A P A A A A ==-

1234

1()()()()P A P A P A P A =-

10.98

0.970.950.97=-???= 31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n 次独立射击.

1(0.8)0.9n

-≥

即为 (0.8)0.

n

≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.

32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.

【证】 (|)(|)

P A B P A B =

即()()()

()

P A B P A B P B P B =

亦即 ()()()()

P A B P B P A B P B = ()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-

因此 ()()()

P A B P A P B = 故A 与B 相互独立.

33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

15

，

13

，

14

，求将此密码破译出

的概率.

【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则

3

1231231

()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

42310.65

3

4

=-

?

?

=

34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

3

()(|)()i

i

i P A P A B P B ==

∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7

=0.458

35. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

【解】（1） 3

10110

C

(0.35)(0.65)

0.5138k k k

k p -==

=∑

(2) 10

10210

4

C

(0.25)(0.75)

0.2241k

k k

k p -==

=∑

36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106

种.

（1） 2

4

66C 9()10

P A =

，也可由6重贝努里模型：

2

2

4

619()C (

)(

)10

10

P A =

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6

106P ()10

P B =

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有1

10C 种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有2

6C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有1

3

1

948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有1

9C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有4

9P 种可能结果，故

1

2

1

3

1

1

4

6

10694899()C C (C C C C P )/10P C =++

（4） D=B .故

6

106P ()1()110

P D P B =-=-

37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111

p n =

-

(2) 23!(3)!,3(1)!

n p n n -=>-

(3) 12(1)!13!(2)!

;,3!

!

n n p p n n n

n --''=

=

=

≥

38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由

0

()()x y a x y x a x y y y a x y x

+>--??

+-->??+-->? 构成的图形，即

02022

a x a y a

x y a ?

<

?<

p =

.

39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关. 【证】 1

1P 1,1,2,,

P k n k n

p k n n

--=

=

= 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.

【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂

色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.0081000

1000

P A P A =

==

=.

41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证

P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]

(P A P A B

C P A B

A C

≥= ()()()P A B P A C P A B

C =+-

()()()

P A B P A C P B C ≥+- 42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43

种，杯中球的最大个数为1时，

每个杯中最多放一球，故

3

413C 3!3()4

8

P A =

=

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

1

433C 1()4

16

P A =

=

因此 21

331

9()1()()18

1616

P A P A P A =--=--= 或 1

2

1433

23

C C C 9()4

16

P A =

=

43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，

C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以

1()

()2

P C P A -=

由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为

211()()()22n

n n n P C C =

故 2211()[1C ]22

n

n n P A =-

44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P （A ）=P （B ）

（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5

(2) 当n 为偶数时，由上题知

2

1

1()[1C ()]22

n

n n P A =

- 45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=

12

46. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）

≥P (B ).

【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得

()(),()

()

P AC P BC P C P C ≥

即有 ()()P A C P B C ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()()

,P A C P B C ≥ 故 ()()()()

()()P A P A C P A C P B C P B C

P B =+

≥+=

47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率. 【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则

121(1)1()(1)

2()(1)

1()(1)

n k

k

i k

k

i j k

i i i n P A n

n

P A A n n P A A A n

--=

=-=--=-

其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个.

显然n 节车厢全空的概率是零，于是

211211

11

2

211

1111

1231

11()(1)C (1)

2()C (1)

1()C (1)

()(1)

n n n

k k

i n i k

i j n i j n

n k

n i i i n i i i n

n n

n i n

i S P A n n

n

S P A A n n S P A A A n

S P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-

=-

==-

-==-

==-+-+-∑

∑

∑

12

1

121C (1)C (1)(1)C

(1)

k

k

n n k

n n

n n n

n

n

--=---++

-- 故所求概率为

1

2

1

121()1C (1)C (1)n k i i n n i P A n

n

=-=--

+-

-+ 1

1

1(1)

C (1)n n k

n n n

+----

48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为

1(1)1()n

n ε--→→∞

49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}

B ={这只硬币为正品}

由题知 (),()m n P B P B m n

m n

=

=++

1(|),(|)12

r

P A B P A B ==

则由贝叶斯公式知

()()(|)

(|)()

()(|)()(|)

P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =

=

+

121212r

r

r m

m m n m n m n

m n m n

+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又

有多少？

【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2

P B P B ==

.（1）发现一盒已空，

另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。把取2n -r 次火柴视作2n -r 重贝努里试验，则所求

概率为

12211112C ()()C 2222

n n n r n

n r n r r r p ----==

式中2反映B 1与B 2盒的对称性（即也可以是B 2盒先取空）.

（2） 前2n -r -1次取火柴，有n -1次取自B 1盒，n -r 次取自B 2盒，第2n -r 次取自B 1

盒，故概率为

111

212212111112C ()()C ()2222

n n n r n n r n r n r p ----------==

51. 求n 重伯努利试验中A 出现奇数次的概率.

【解】 设在一次试验中A 出现的概率为p .则由

1

1

222

()C C C C 1n

n

n n n n n n n n q p p q pq p q

p q --+=++++=

1

1

2

2

2

n

()C C C (1)C n

n

n n n

n

n n n n q p p q pq

p q

p q ---=++-+-

以上两式相减得所求概率为

1

1

333

1C C n n n n p pq

p q

--=++

1[1()]2n

q p =-- 1[1(12)]2

n

p =

--

若要求在n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

21[1(12)]2

n

p p =

+-.

52.设A ，B 是任意两个随机事件，求P {（A +B ）（A +B ）（A +B ）（A +B ）}的值. 【解】因为（A ∪B ）∩（A ∪B ）=A B ∪A B

（A ∪B ）∩（A ∪B ）=AB ∪AB

所求 ()()()()

A B A B A B A B ++++ [()()]

A B A B A B

A B =+ =?

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A ，B 和C 满足条件：

ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）.

【解】由()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

2

9

3()

3[(

)]16

P A P A =-= 故1()4

P A =

或

34

,按题设P （A ）<12

,故P （A ）=14

.

54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A

不发生的概率相等，求P （A ）.

【解】 1

()()1()9

P A B P A

B P A

B =

=

-

= ① ()()P A B P AB = ②

故 ()()()(P A P A B P B P A

B -=- 故 ()()P A P B = ③

由A ,B 的独立性，及①、③式有

11()()()()9

P A P B P A P B =--+

2

12()[()]

P A P A =-+ 2[1()]

P A =- 故 11()3

P A -=±

故 2()3

P A =或4()3

P A =（舍去）

即P （A ）=

23

.

55.随机地向半圆0

2

2x ax - (a 为正常数)内掷一点，

点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

12

πa 2.阴影部分面积为

2

2

π14

2a a +

故所求概率为

2

2

2

π1114

2

1

2

π

π2

a a

p a

+==

+

56. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格

品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A ={两件中至少有一件是不合格品}，B ={另一件也是不合格品}

2

4

21026

210

C C ()1(|)C ()

5

1C P AB P B A P A =

=

=

-

57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p ；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 【解】设A i ={报名表是取自第i 区的考生}，i =1,2,3.

B j ={第j 次取出的是女生表}，j =1,2.

则 1(),1,2,33i

P A i ==

111213375(|),(|),(|)10

15

25

P B A P B A P B A =

=

=

(1) 3

111

1

3

7529()(|)(

)310

15

25

90

i i p P B P B A ===

=

+

+

=

∑

(2) 21212()(|)()

P B B q P B B P B ==

而 3

22

1

()(|)()i i i P B P B

A P A ==

∑ 1

7

8

2061

(

)310

15

2590

=

+

+

=

3

2121

1

()(|)()i i i P B B P B

B A P A ==

∑ 1

3

7

785202(

)310

9151425

249

=

?

+

?

+

?

= 故 2122

()

20961()6190

P B B q P B =

==

58. 设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P (A |B )=1,试比较P (A ∪B )与P (A )的大小. (2006研考)

【解】因为 ()()()(P A B P A P B P A

B =+- ()()()()P AB P B P A B P B =?=

所以 ()()()()(P A B P A P B P B P A

=+-= .

59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为

1

2

2

2

3(1)3(1)P C P P P P P =-=- .

60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于12

的概率.

【解】设两个数分别为x 、y ，则0

12

，画出图形，由几何概型可得，

所求概率为1111232221

4

P -?

??=

=.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

第1章习题及答案

第1章习题及答案

一、单选题 1、有价证券是（B）的一种形式。 A、真实资本 B、虚拟资本 C、货币资本 D、商品资本 2、按募集方式分类，有价证券可以分为（A）。 A、公募证券和私募证券 B、政府证券、政府机构证券、公司证券 C、上市证券与非上市证券 D、股票、债券和其他证券 3、下列不属于证券市场显著特征的选项是（C）。 A、证券市场是价值直接交换的场所 B、证券市场是财产权利直接交换的场所 C、证券市场是价值实现增值的场所 D、证券市场是风险直接交换的场所 4、在公司证券中，通常将银行及非银行金融机构发行的证券称为（D）。 A、股票 B、公司债券 C、商业票据 D、金融证券 5、按（B）分类，有价证券可分为上

市证券与非上市证券。 A、募集方式 B、是否在证券交易所挂牌交易 C、证券所代表的权利性质 D、证券发行主体的不同 6、我国现行法规规定，银行业金融机构可用自有资金及银监会规定的可用于投资的表内资金买卖（A）。 A、政府债券和金融债券 B、政府债券和政府机构债券 C、政府机构债券和金融债券 D、证券衍生产品 7、对社会公益基金认识不正确的是（B）。 A、将收益用于指定的社会公益事业的基金 B、福利基金、科技发展基金、企业年金等都属于社会公益基金 C、我国的各种社会公益基金可用于证券投资，以求保值增值 D、社会公益基金属于基金性质的机构投资者 8、下面关于我国社保基金的叙述，不正确

的是（B）。 A、其资金来源包括两部分：一部分是社会保障基金，另一部分是社会保险基金 B、全国社会保障基金理事会直接运作的社保基金的投资范围限于银行存款、在二级市场购买国债和政府机构债券 C、其投资范围包括银行存款、国债、证券投资基金、股票、信用等级在投资级以上的企业债、金融债等有价证券 D、社会保障基金委托单个社保基金投资管理人进行管理的资产，不得超过年度社保基金委托资产总值的20% 9、目前，（C）已经超过共同基金成为全球最大的机构投资者，除大量投资于各类政府债券、高等级公司债券外，还广泛涉足基金和股票投资。 A、中央银行 B、商业银行 C、保险公司 D、证券经营机构 10、证券服务机构是指依法设立的从事证券服务业务的法人机构，不包括（D）。 A、证券投资咨询机构和财务顾问机构 B、资信评级机构和资产评估机构

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;

（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

1.第一章课后习题及答案

第一章 1.(Q1) What is the difference between a host and an end system List the types of end systems. Is a Web server an end system Answer: There is no difference. Throughout this text, the words “host” and “end system” are used interchangeably. End systems inc lude PCs, workstations, Web servers, mail servers, Internet-connected PDAs, WebTVs, etc. 2.(Q2) The word protocol is often used to describe diplomatic relations. Give an example of a diplomatic protocol. Answer: Suppose Alice, an ambassador of country A wants to invite Bob, an ambassador of country B, over for dinner. Alice doesn’t simply just call Bob on the phone and say, come to our dinner table now”. Instead, she calls Bob and suggests a date and time. Bob may respond by saying he’s not available that particular date, but he is available another date. Alice and Bob continue to send “messages” back and forth until they agree on a date and time. Bob then shows up at the embassy on the agreed date, hopefully not more than 15 minutes before or after the agreed time. Diplomatic protocols also allow for either Alice or Bob to politely cancel the engagement if they have reasonable excuses. 3.(Q3) What is a client program What is a server program Does a server program request and receive services from a client program Answer: A networking program usually has two programs, each running on a different host, communicating with each other. The program that initiates the communication is the client. Typically, the client program requests and receives services from the server program.

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

第一章习题及答案

五、补充练习题 （一）单项选择题 3.在公司制企业中，企业的权力机构是（）。 A 监事会 B 股东会 C 董事会 D 管理层 5.我国规定上市公司的年度报告需在次年的前四个月内披露，体现了会计信息的（）质量特征要求。 A 重要性 B 相关性 C 及时性 D 可理解性 6.规范企业对外提供会计信息行为的主要标准是（）。 A 会计确认 B 会计计量 C 会计准则 D 会计报告 7.在美国，企业会计准则的正确称谓是（）。 A 一般公认会计原则 B 国际会计准则 C 国际财务报告准则 D 财务会计准则 8.1494年，卢卡·帕乔利所著的（）一书问世，为复式簿记作为一种科学记账方法的完善及其在整个欧洲及世界范围内的普及与应用奠定了基础。 A 计算与记录详论 B 复式簿记 C 会计思想史 D 算术、几何、比及比例概要 9.下列关于会计信息使用者的说法错误的有（）。 A 企业的利益相关者都是企业会计信息的使用者 B 会计信息使用者包括现实的和潜在的使用者 C 会计信息使用者除关于其自身特殊需求的信息外也关注共同性的会计信息 D 投资者等根据企业提供的会计信息即可作出正确的经济决策 10.下列关于企业会计行为的说法错误的有（）。 A 企业会计行为属于企业的管理行为，因而具有管理特性 B 企业财务会计行为包括控制经济资源的配置和提供会计信息 C 企业财务会计行为的后果影响“社会公共利益”，因而必须接受政府的会计管制 D 企业对外提供会计信息的行为主要包括会计确认、计量、记录和报告 （二）多项选择题 1.企业向投资者、债权人等外部信息使用者提供的会计信息具有以下特征（）。 A 会计信息是以货币进行计量的信息 B 会计信息主要是以货币进行计量的信息 C 会计信息可以连续、综合地揭示企业经济活动情况 D 会计信息可以连续、综合地揭示企业经济活动的全部情况 5.就会计信息提供而言，企业的会计信息处理主要包括（）。 A 以财务报告的方式向信息使用者提供其所需要的会计信息 B 确定或认定企业所发生的经济交易与事项是否进入会计系统进行处理 C 计算和衡量企业经济资源的价值变动结果 D 以会计特有的方式记载各种会计信息及其生成过程 （三）判断题 2.企业提供的会计信息首先用来满足企业内部经营管理者的需要。（） 4.债权人特别关注企业的偿债能力，同时也关注企业的获利能力。（） 5.会计信息质量特征（质量要求）是用来衡量会计信息质量的基本标准。（）

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

第一章习题与答案

第一章可编程控制器的基本知识（习题与答案） 1-1什么是PLC？PLC产生的原因是什么？ 年1月国际电工委员会（IEC）对可编程序控制器给出如下定义：“可编程序控制器是一种数字运算的电子系统，专为工业环境下应用而设计。它采用可编程序的存储器，用来在内部存储执行逻辑运算、顺序控制、定时、计数和算术运算等操作的指令，并通过数字式、模拟式的输入和输出，控制各种类型的机械或生产过程。可编程序控制器及其有关设备，都应按易于与工业控制系统联成一个整体，易于扩充的原则设计。 1968年美国GM公司，为了适应产品品种的不断更新、减少更换控制系统的费用与周期，要求制造商为其装配线提供一种新型的通用程序控制器，并提出10项招标指标： 1)编程简单，可在现场修改程序； 2)维护方便，最好是插件式； 3)可靠性高于继电器控制柜； 4)体积小于继电器控制柜； 5)可将数据直接送入管理计算机； 6)在成本上可与继电器控制柜竞争； 7)输入可以是交流115V； 8)输出为交流115V、2A以上，能直接驱动电磁阀等； 9)在扩展时，原系统只需很小变更； 10)用户程序存储器容量至少能扩展到4K。 这就是著名的GM10条，是可编程序控制器出现的直接原因。 1-2与传统的继电器相比，PLC主要有哪些优点？ 答：与传统的继电器逻辑相比，PLC具有如下优点： 1)由于采用了大规模集成电路和计算机技术，因此可靠性高、逻辑功能强， 且体积小； 2)在需要大量中间继电器、时间继电器及计数继电器的场合，PLC无需增 加硬设备，利用微处理器及存储器的功能，就可以很容易地完成这些逻 辑组合和运算，大大降低了控制成本； 3)由于PLC采用软件编制程序来完成控制任务，所以随着要求的变更对程 序进行修改显得十分方便，具有很好的柔性。继电器线路则是通过许多 真正的“硬”继电器和它们之间的硬接线达到的，要想改变控制功能， 必须变更硬接线，重新配置，灵活性差。 4)新一代PLC除具有远程通信功能以及易于与计算机接口实现群控外，还 可通过附加高性能模块对模拟量进行处理，实现各种复杂的控制功能， 这是布线逻辑的继电器控制系统无法办到的。 1-3与工业控制计算机相比，PLC主要有哪些优缺点？ 答：PLC虽然采用了计算机技术和微处理器，但是它与工业控制计算机相比又具有如下特点： 1)PLC继承了继电器系统的基本格式和习惯，采用了面向控制过程和操作

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000