数学有形思想无痕
——圆的面积公式的探索
董文华
一、在折剪中悟“极限”
师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮？
（小组活动后交流）
小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。
小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。
小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。
师：其他小组有没有这种情况？
小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。
师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。
（学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）
师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆？
学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。
学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。
师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现？
学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。
学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。
二、在探究中巧“转化”
师：如何求圆的面积？能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式？
（小组活动后交流）
小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角
形的底是圆周长的1
8，三角形的高也就是圆的半径r，推出
圆的面积公式：1
8×2∏r×r÷2×8＝∏r
2；
小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想
像分成了x个小三角形，就可以推出圆的面积公式：1
X×2
∏r×r÷2×X＝∏r2；
小组3：我们小组想到了三角形的面积公式推导过程，把圆剪成8个小三角形一正一倒反插在一起，拼成了一个近似平行四边形。拼成的平行四边形的面积和原来的圆的面积是相等的，平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径，平行四边形的面积等于底乘高，圆面积公
式等于1
2×2∏r×r＝∏r
2。
小组4：如果分的份数越多比如16份、32份，拼成的图形越接近于长方形，根据长方形的长、宽与圆的关系，也能
得出圆的面积公式1
2×2∏r×r＝∏r
2。
师生共同完成板书：S＝∏r2
【我的思考】圆的面积公式推导与以前学过的平面图形的面积公式推导有质的区别，学生在已有的学习经验基础上建构这一知识是有难度的，如何建立圆这个曲边图形和直线图形之间的转化是教学的突破口。本环节中借助“剪纸”这一学生喜闻乐见的活动，在剪圆的过程中思考“如何剪得更圆”、“为什么我剪出的圆象花瓣”、“为什么要直着剪”，学生带着问题尝试和探索，联想到刘徽的“割圆术”，思维步步逼近，逐步达成共识：对折的次数越多，剪的越直，越接近圆。此时，在学生的头脑中圆已经化身为一个正多边形。圆与直线型图形之间的转化、极限的思想是在学生看得见，
摸得着的学习过程中感悟出来的，分散了教学难点，面积公式的推导也就顺理成章了。
特级教师钱阳辉说过：如果知识后面没有方法，知识只能成为一种负担，如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具。在上面的教学过程中，比得到一个公式更为重要的东西，那就是数学思想的熏陶，这才是数学的精髓，花再多的时间也是值得的。
（作者单位：鹤壁市山城区实验小学）
“接受”与“探究”同样精彩
三门峡市实验小学周国一
案例：
师：圆的面积公式怎样推导？是不是也可以像平行四边形、三角形、梯形一样可以转化成其它已学过的平面图形呢？
生：可以把圆转化成长方形来推导面积公式。
师：好，请同学们动手试一试。
（几分钟过去了，无人转化成功，学生很茫然）
生：圆是曲线围成的，圆不可能转化成长方形。
（一语激起千层浪，大多数同学赞同这一说法，部分学
生否认）
师：从表面上看，曲线的圆是无法转化成有线段围成的长方形的。但是，我们古代的科学家经过不懈的努力，却转化成功了。同学们想知道古人是怎样转化的吗？
生（迫不及待）：想。
师：请同学们认真观察多媒体课件演示，看看圆是如何转化成直线图形的。
（电脑直观演示：先把圆等分成12份，然后剪开，接着拼接成近似的平行四边形）
生：不是长方形，是不标准的平行四边形。
（电脑演示：把圆等分成16份后拼接，接着是等分成32份、64份、……）
师：如果一直这样无限地等分下去，结果将会怎样？
生：圆平均分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近长方形。
师：同学们，刚才电脑演示的圆的转化方式叫“割圆术”，公元3世纪，我国数学家刘徽采用“割圆术”推算出了圆周率。这种以直代曲，用有限逼近无限的数学思想为我国古代数学家首创……
（师生共同总结：圆面积=转化后长方形面积=长×宽=
1
2c×r=1
2×2πr ×r＝πr
2）
师：同学们猜想一下，我们还能把圆转化成哪些平面图
形？
生：转化成近似的等腰三角形。
生：转化成近似的等腰梯形。
师：请同学们4人一组合作探究，把圆转化成其中的任意一种图形，推导出圆面积的计算公式。看谁能探究出与众不同的圆面积推导过程。
结果：
学生4人一组进行探究，探究结果如下：
小组1：把圆16等分后拼接成近似的等腰三角形，得出
三角形的底相当于圆周长的1
4，高相当于圆半径的4倍，所
以圆面积=三角形面积=1
2×底×高=
1
2×
1
4×2πr×4r=π
r2
小组2：把圆等分后，拼成近似的等腰梯形，得出梯形上底与下底的和就是圆周长的一半，高等于圆半径的2倍，
所以圆面积= 梯形面积=1
2×（上底+下底）×高=
1
2×πr×
2r =πr2。
小组3：把圆平均分成16份，得出一份即一个小三角形
所占的面积就是整个圆面积的1
16，小三角形的底相当于圆
的周长的1
16，高相当于圆的半径，所以圆面积= 一个小三
角形的面积×16 =1
2（底×高）×16=
1
2×（2πr×
1
16×r）
×16=πr2。
最后师生归纳总结：S=πr2。
反思：
本片段教学中，我根据学生的年龄特征，组织了有意义的接受学习和探究活动。我首先让学生动手操作，当学生积极探究后仍无法转化成功时，再运用多媒体课件边演示边讲授。此时，学生的注意力高度集中，思维也极其活跃，这时的接受学习就显得非常必要和有效。接着，在接受学习的基础上，学生通过猜想、小组合作探究，把圆转化成近似的梯形或三角形，进一步验证了圆的面积公式。圆的面积公式是刻板的，而公式推导的再创造过程却是鲜活、生动而有趣的。在推导过程中，学生最大限度地投入到观察、思考、操作、探究活动中，亲历“做数学”的过程，体验到成功喜悦。
学习如同“探路”，在达到目标的过程中，数学上的规定性、陈述性、事实性知识等如同“路标”需要学生接受，数学上的实验、尝试、推测、思考、发现等如同“行走方式”需要学生探究，但有时也需要接受与探究交叉进行。不管采用什么方法，只要能根据教学特点和实际需要合理运用，教学效果一样精彩！
2009年4月29日发表于《教育时报》
国内统一刊号：CN41-0026
“曲直”转化显奇葩
——圆的面积公式探索
刘荣霞
一、开门见山提问题
师：同学们，前几节课我们学习了圆的有关知识，这节课我们来探索圆的面积。请大家思考一下，我们可以用哪些方法求解圆的面积呢？（学生思考交流）
生1：可以在圆的边外面画一个正方形。先求出正方形的面积，然后再把多出来的部分减去就得到了圆形的面积。
生2：有问题。多出来的部分面积怎么算？是不是可以把正方形画在里面呢?（生挠挠头说：“好像也不太行”。）师：你们想通过正方形解决圆的面积，非常了不起。你们可以再找找有没有比正方形更接近圆面积的图形。
生3：在圆上画方格，数数有多少个方格，就可能会知道圆的面积有多大了。
师：想法很独特，想到了求图形面积要用到面积单位。一会可以尝试一下。
生4：（手中拿着一个圆边折叠边讲解）把圆形多折叠几次，变成一个一个的小三角形，先求出每个小三角形的面积，再乘三角形的个数，也可以得到圆形的面积。
师：为什么要多折几次呢？
生4：折的次数越多，折出来的形状越像三角形。
师：这是数学上的逼近思想！
生5：我们学过长方形、正方形、三角形、梯形和平行四边行面积的求解方法，要是把圆形变成这几种图形就好了。
师：（鼓掌）大家大发言太精彩了，每个人的眼界顿时开阔了起来。知道吗，在你们提出策略中，就有数学家用到的“转化”和“极限”的思想方法。（板书）下面，请有共同想法的同学相互合作，探索圆的面积。如有什么困难，可以和我交流，咱们共同解决。
二、动手操作探真知
师：哪个小组愿意把你们探索结果与大家共享。
生1：我们组用了数格子的方法。只能得出圆的大概面积，不能得到准确的结果，因为圆上的格子不一定都是正方形的，有些地方没有办法知道准确的面积。
生2：我们借鉴了转化的方法。把圆平均分成8份，拼成了一个近似的平行四边形。
平行四边形的底是圆周长的一半，平行四边形的高是圆的半径，因此，S平=2∏r/2×r =∏r2 （生板书）圆的面积公式：2∏r/2×r =∏r2
生3：把圆对折4次平均分成16份，每一份看成是一个三角形。三角形的底是圆周长的1/16，就是2∏r/16，三角形的高也就是圆的半径r，一个三角形的面积是：2∏r /16×
r÷2；三角形的总面积等于圆形的面积。由此推出圆的面积公式：2∏r/16×r÷2×16＝∏r2；
生4：我们组把圆变化成了一个三角形。（指着拼好的三角形图）这个三角形的底是圆周长的1/4，高是4r，三角形的面积：2∏r/4×4r÷2那么圆形的面积=2∏r/4×4r÷2=∏r2
生5：圆形也可以剪拼成梯形。（指梯形图讲解）先把圆平均分成32份，剪开后拼成梯形。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=2∏r/4×4r÷2，上下底合起来是2∏r/4。
那么，圆的面积=2∏r/4×4r÷2=∏r2
师生看课件演示——把圆平均分成32、64、128等份，拼成近似的平行四边形、长方形，推导出圆形面积公式。
总结归纳，圆的面积和转化后图形的面积的大小相等，因此圆面积公式：S=∏r2
【课后反思】本课转化不是难点，关键是学生不知如何把圆转化成直线的图形。因此教师在开课初，没有过多的铺垫与情景设置，直接提出核心问题：请大家思考一下，我们可以用哪些方法求解圆的面积呢？这样做的目的是给学生较多的思考、探究的空间与时间，让学生独立思考，通过交流使大部分学生开拓思路，让学生都能有探究的方向，有目的的操作。使得学生在探索圆面积公式的过程中始终运用了“转化”的数学思想，创造出了不同的“以直代曲”推导
出圆面积公式的朵朵奇葩，使学生对圆的面积公式的由来从更多层面认识理解。
心理学家米德说：“让一个二十世纪的儿童自己去发现：在直角三角形里，勾股边的平方之和等于弦边的平方，那么他也就完成了跟毕达哥拉斯一样的创造性劳动，尽管这个发现的结果对于文化传统来说等于零，但在孩子的心灵深处却会认为自己是一个发现者、研究者、探索者。”从而激励孩子的终身学习的积极性和趣味性。
各位老师好,我今天说课的内容是苏教版小学数学五年级下册第12章第三课时圆的周长。 一、教材分析 在此之前，学生已经有长方形、正方形周长认识为基础，是前面学习圆的圆的认识的深化，同时也是后面学习“圆的面积”的等相关知识的基础，这段知识起着一个承前启后的作用，是小学几何学习的重要内容。 根据上述教材分析，考虑到五年级学生已有的知识结构及心理特征，我制定了如下教学目标： 1.知道圆周长含义，理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值 2.经历圆周长计算公式的推导过程，掌握计算公式，并能利用公 式解决实际问题 3.通过介绍我国古代数学家祖冲之在圆周率方面的伟大成就，激 发学生的民族自豪感；通过探索公式的过程，感受成功的喜悦根据本班学生的实际情况，我确立本节课的教学重点是：经历圆周长公式的推导过程；教学难点是：对圆周率的认识。 根据教学内容特点和学生的认知规律，我将采取采取“猜想——验证”和有意义地接受相结合的学习方式，借助多媒体以及相关教学道具，激发学生的求知欲望。利用实验法和多媒体辅助教学法引导学生认识圆周率，推导圆周长的计算公式。同时在学习过程中，注意独
立思考、小组合作、动手操作的方法相结合,使学生既能学习知识又能培养动手能力. 在教学前需要准备的是：三张大小不同的圆形硬纸片，细线，多媒体课件，直尺 二、教学过程 我把教学过程分为复习引入、探究周长、巩固练习、回顾总结四个流程。 （一）复习引入 我采用以旧知引新知的建构方法，首先让学生回忆圆的相关知识，接着提问你还想知道圆的哪些知识？这样设计，既能回顾旧知，还有新问题的提炼，有效地唤醒学生对未知的探索欲望，激发学生对课题的思考。 （二）探究周长 我把探究周长又细分为4个部分 1.理解圆的周长 有以前所学的长方形正方形的周长为基础，出示一张圆形纸片，对圆的周长做比划触摸而后进行理解和表达。有效的触摸体验，充分的理性概括，使圆周长概念的建构过程充分而有效。
圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）
（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：
课题：圆的周长公式推导 教学内容：圆的周长公式推导。 教学重点：周长公式的推导过程。 教学难点：灵活地运用圆的周长公式。 学情分析：学生在学习本课之前，已经学习了长方形和正方形周长和面积的计算，经历了用不同方式测量物体长度等学习活动，已经具备了探索 周长公式的知识基础，但学生对一些组合图形的周长概念比较模糊。 学习目标：1、通过动手操作，引导学生发现圆的周长与直径之间的关系，推导出圆周长的计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。 2、理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，并介绍我国数学家对 圆周率的研究史实，向学生进行民族自豪感的教育。 3、理解、掌握圆周长的计算公式，能正确地计算圆的周长。 4、鼓励学生积极参与探索、交流等活动，在解决问题的过程中进行 简单的有条理的思考，获得成功的体验。 设计理念：1、提倡自主、合作、探究的学习方式。 2、课堂是民主的、活动的、自由的，教师是学习活动的参与者、组 织者和引导者。 教学准备：圆形铁丝、直尺、测绳、圆的模型、圆规、课件 教学流程：导入——探究新知——巩固练习——总结 教学过程： 一．引入 1.实践引题。 画圆，理解周长的含义，指出圆的周长。如果第二个圆一周长度（周长）要求比刚才这个圆的周长大，画的时候该怎么办？（半径变大，直径变大。）圆周长的长短与什么有关呢？ 2.揭示课题，板书课题。 二．教学展开 1、按课本问题中的插图和讨论题，分4人小组进行讨论，师巡回指导。 2、出示用铁丝围成的圆，求它的周长，有些什么办法？（绳子绕一周，量绳子；铁丝剪断，化曲为直。） 出示一个圆形，求它一周的长度，还有什么办法？（引出在尺上滚动周长的方法。）在滚时要注意什么？（滚动时很容易原地打转，测量时容易有误差，所以要多次测量求平均值） 3、分组操作：用滚动（将圆片拿起，放在尺上滚）或用绳子绕一周，测绳子长度的方法，分别测出直径是2㎝，3㎝，4㎝，5㎝的圆的周长，填表计算，观察直径与圆周长的关系。（然后分小组汇报，由多组汇报都得到周长是直径的3倍多一点，让学生深刻体验到周长与直径的关系从而引出圆周率）
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
小学数学教学案例探索圆周长的秘 密 课堂上，我看到孩子们已经准备好了学具开始跃跃欲试了，于是我就顺着孩子们的心愿，开始了我们的课堂探索之旅。 师：请同学们拿出你们准备好的圆片，然后拿着你准备好的线，先在你的圆上做一个标记，然后从这个标记开始在线上滚动一周，再用米尺认真量一量这段线段的长度，这段长度就是这个圆的周长。 其实孩子在自己制作圆片的时候，对让圆滚动的方法已经课下练习了多次，因为孩子们是好奇的，对新鲜事物进行主动探索是他们的天性。所以在课堂上让他们去动手操作，让圆片在线上滚动一周，然后测量线的长度，孩子们做得都非常到位。 然后我让各小组分别报出你所测量的圆周长的长度和直径的长度。一共八个小组，然后报出了八组数据，让各小组分别进行计算，用你所测量的圆的周长除以直径，你能得到一个什么数据？你又会发现什么秘密？
通过测量汇报，孩子们发现有六组测量的周长除以直径所得的商都是三倍多一点，也有的测量的周长除以直径的得数是两倍多一点。测量毕竟有误差，孩子们能够用自己的方法去探索圆周率已经做得非常好了。 于是我引导孩子们总结，你发现周长和直径之间的关系了吗？孩子们说：“一个圆的周长总是它直径的三倍多一点。” 师：对，我们的发现和数学家的发现一样，其实一个圆的周长除以直径是一个固定的数，我国古人在这方面就有非常深刻的研究，刘徽最早是用割圆术来研究圆的周长和直径之间的关系，一直算到了圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14。祖冲之恐怕大家都非常熟悉吧，他研究出圆周率在3.1415926和3.1415927之间。这些突出的研究成果要比国外领先一千多年，这是我们中华民族的骄傲，我们作为中国人更应该学好我们古人留下的这些智慧结晶。 孩子们对这些数学史的学习，能够很好的激发他们的学习热情和民族自豪感。然后我接着给孩子们讲述：随着现在计算机的发展，人们对圆周率的
《圆的面积》教学设计 【教学内容】 义务教育课程标准实验教科书第十一册P69～71例1、例2。 【教学目标】 1、认知目标 使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标 经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标 引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强 学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。 【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。 【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具 【教学过程】 一、情境导入 出示场景?——《马儿的困惑》 师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？ 生：是一个圆形。 师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？ 生：圆的面积。 师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。 师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？ 我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？ 生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。 生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。 师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别
一、复习旧知，导入新课 1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？ 我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要学习的内容。板书：圆的面积 【设计意图】在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。 二、教学实施 （一）、定义： 1、请你摸一摸哪里是圆的面积？ 2、师：圆所占平面的大小就是圆的面积。 （二）、渗透极限思想： 师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 师：如何化曲为直呢？ 引导学生操作： 师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径） 生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。 师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？ 师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，我们把圆平均分成多份。 将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份，分别罗列排好。请学生观察四组图。 师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？ A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。 B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。 【设计意图】让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。 （三）拼摆推导面积公式。 1、拼摆 师：把圆转化成什么图形？我们来试一试。 学生操作，演示学生的作品。 师：转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？面积不变。 课件出示：把圆等分成不同等份时的图形的趋势。 2、推导面积公式
根据圆的周长公式解决实际问题 教学目标： １、使学生进一步巩固圆的周长的计算方法，提高计算圆的周长的熟练程度。 ２、使学生能根据圆的周长的直径或半径，进一步理解圆的半径、直径和周长的关系，提高学生应用知识解决简单实际问题的能力。 ３、进一步培养学生分析、判断和推理等思维能力。 教学重难点：熟练计算圆的周长 教学过程： 一、复习 1、口述：圆的周长计算公式 2、算圆的周长 d=3l厘米 d=8dm r=2m r=2.5m 问；你能根据怎样的方法算出这些圆的周长吗？ 3、引入新课 二、教学新课 1、一个圆形花坛的周长是25.12分米 ,这个花坛的直径是多少？ 已知什么？要求什么？ 对照公式看一看，已知哪个数要求什么数？ 根据已知条件和要求的问题，你认为用什么方法解答比较好？为什么？ 根据什么来列方程？ 练习，说说方程是怎样列出来的？ 2、用算术方法解答 怎样直接求出花坛的直径呢 25.12÷3.14 为什么可以这样列式？ 三、巩固练习 1、练一练 （1）用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?如果围成一个圆,圆的直径是多少? 分组练习，说说是怎样想的？ 如果已知圆的周长要求半径，应该应用哪个计算公式来解答？
2、练一练（2）一根铁丝正好折成一个正三角形，它的边长为31.4厘米，如果同样长的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少厘米？ 四、小结 学习了什么内容？圆的直径、半径和周长之间有什么关系？应用圆的周长计算公式能解决哪些问题？ 教学内容：本内容是六年级上册第11—15页圆的周长。 一、教材分析 1、教学主要内容：探索并掌握圆的周长的计算方法，阅读圆周率发展的历史。 2、本节课内容的地位：圆的周长是在学生认识圆、掌握长方形和正方形周长的基础上，对圆的周长作进一步研究。学生掌握了圆周长的计算方法，就为学习圆的面积公式的推导、圆柱和圆锥的学习打下了基础。 3、教材编写特点： （1）开展测量活动，探索圆周率的意义及圆周长的计算方法。 教材引导学生开展测量实验活动，通过实际测量与计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而引出圆周率并得出圆的周长计算公式。 （2）经历探索圆周长计算公式的过程，初步渗透“以直代曲”的极限思想。 在数学阅读“圆周率的历史”中，教材介绍了运用正多边形逼近圆、计算圆周率的方法，使学生体会“以直代曲”的极限思想。 4、教学内容的核心思想：转化、归纳、函数和极限的思想。 二、学生分析 1、学生已有知识经验：在本课教学之前，学生已经认识了圆，会求正方形和长方形等直线段图形的周长，对图形周长已经很清楚了。 2、学生已有生活经验：由于圆的普遍存在和广泛应用，以及部分学生经过自己的课外学习，已经知道了圆周长的计算公式，但对于这个公式的形成过程缺乏了解，只是处于知其然而不知其所以然的状态，主要原因是对圆周率的意义并不理解。因此本节课针对这一点来确定教学目标和教学重难点，通过引导经历探索圆周长计算公式的过程，深入理解圆周率的意义。 3、学生学习该内容可能的困难：对圆周率的意义和“以直代曲”的极限思想的理解。
《圆的周长计算公式》 万建里 教学《圆的周长计算公式》时，教师可让学生利用圆片、铁丝圈、直尺、彩带等材料，测量圆周长。当学生探讨出不同的测量方法后，教师演示（拿着一个一端系有小球的绳子，手执另一端并不停地甩动形式成圆的轨迹），设疑；你们还能用刚才的方法测量出这个圆的周长吗？然后让学生猜一猜，圆的周长可能与它的什么有关？接着让学生把圆的周长与直径比一比，看看它们有什么关系？并让学生小组合作量出圆的周长和直径，算出圆的周长与直径的比值。通过实践探索，学生不难发现圆的周长与直径之间的倍数关系。这样学生就很自然地推导出圆的周长公式。由此可见，学生借助学具自主操作亲自去经历、去实践，获得的圆的周长公式，比教师直接灌输的知识理解得更深刻、记忆更牢固。 首先教师为学生提供了几个大小不一的圆，材质也不一样，有的是用纸板做的，有的是用软布做的，有的是用铁丝围成，有的画在纸上，要求学生分组活动测量出这些圆的周长，每一小组桌上都有教师预先放在桌上的材料工具，包括绳子、纸条、彩笔、尺子、剪刀等。小组活动时，学生纷纷把材料一一选出，逐样试验。一会用绳子绕，一会用纸条围，一会在桌上滚圆一会用剪刀比划着……在学生作讨论、动手活动中产生了许多简易又灵活的方法：生1：圆周是曲线不能直接用尺量，先用纸条围纸板圆一周，再把纸条展开后用尺量。生2：也能用绳子绕。生3：先在纸板圆周上用彩笔做一点标记，把标记放在尺的0刻度上，向前滚动一周，读出刻度。生4：把铁丝圈剪开，再拉直了测量。生5：沿桌边滚一周后直接测量桌边也行。生6：我把布圆对折再对折下去，这条曲线就能用尺小心的量了。这所有的方法归结起来就是绕圈法、滚动法、化曲为直法，而且这些方法得到了很多小组的赞同与证实。 丰富的实践源自巧妙的设计这个活动只是《圆的周长》一课中的一部分，教学目标是为了使学生掌握一些生活中的简易又灵活的测量圆周长的方法，是下面测量圆周长和直径、探求他们比值关系的基础。教师设计安排的这个小组活动充分体现了数学新课程表准中强调的“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”这一理念。现代教育主张“要让学生动手做科学，而不是只用耳朵听科学”。因此，在教学中要加强学生动手操作能力的培养，把操作同观察、思维、语言表达有机结合，使学生逐步从具体的操作有效的转化为内部智力活动。特别是教师提供的不同材质的圆，深化了知识难度。每一个圆都是一个新问题，它们向学生设置了一个个具体的问题情境，激起学生寻找适当方法解决不同问题的愿
九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。
将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，
《圆的面积计算公式》课堂实录 教学目标： 知识与技能：掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。 过程与方法：在合作交流、动手操作中提高同学们推理归纳能力， 发展空间观念。 情感态度与价值观：在学习新知中体验数学与生活的联系，提高 学习数学的兴趣。 教学重点、难点：圆的面积计算公式的推导。 教学准备：多媒体课件、正方形纸片、正六边形纸片、剪刀。 教学过程： 一、体验“圆出于方” 师：今天老师给大家带来几个平面图形，看大家认不认识（课件依次展示正方形、正六边形、正十二边形、正二十四边形……，当课件展示到正二十四边形时同学们都回答是圆， 这时教师把正二十四边形放大，让同学们观察到它确实是一个 多边形，再依次展示其它正多边形。大家不难发现正多边形的 边数越多它就越接近圆形。） 师：如果正多边形有无数条边，它就变成了一个什么图形 生：圆。 师：（课件出示圆形）其实圆形就是一个有无数条边的正多边形，也就是我们常说的“圆出于方”。大家想一下我们都了解过圆的哪些知识
生：周长、半径、直径…… 师：有哪位同学能说一下圆周长的计算公式： 生：C=2πr、C=πd. 师：很正确，我们了解了圆的这么多知识，大家还想研究一下圆的哪些知识 生：圆的面积。 师：你知识什么是圆的面积吗 生：圆所占平面的大小叫圆的面积。 师：你回答的可真不错，下面我们就一起来研究一下圆的面积。（通过本环节，让同学们感受圆出于方的变化过程、复习圆周长的计算公式、认识圆的面积，都为下面圆的面积公式的推导做好准备。）二、动手操作、合作探究圆的面积计算公式。 1．推导正方形的面积计算公式。 师：刚才我们已经知道圆就是一个有无数条边的正多边形，我们研究圆的面积就从最简单的正多边形开始研究。（课件出示正方形）拿出学具袋中的正方形，要求它的面积需要知道什么 生：边长。 师：下面我们小组合作，抛开以前求正方形面积的方法，利用我们学过的知识和学具袋中的工具看看能不能再探究出一种求正方形面积的方法。 （小组合作时教师可适当引导，最后汇报总结。）
好风光好风光恢复供货才 探索与发现一一圆的周长与直径之间的关系 执教：杨静吉林省长春市东北师范大学附属小学 【执教教师简介】 【教学内容】新世纪小学数学六年级上册第11-15页 【学习目标】 1.直观认识圆的周长，知道圆的周长的含义；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值；理解和掌握求圆的周长的计算公式。 2.通过观察、推理、分析、综合、抽象、概括等数学活动，经历探索圆的周长与直径关系的过程，渗透区间逼近的思想、极限的思想；培养学生动手操作能力、合作能力与创新精神。 3.通过揭示圆周率的意义及介绍古人对圆周率的研究史料，激发学生的科学探究的热情，增强民族自 豪感。 【教学准备】 教具：多媒体课件，硬纸板圆片2个，圆形物体，绳子，直尺，圆规，计算器。 学具：圆片，绳子，直尺，计算器。 第一稿教学设计 【教学过程】
、谈话引入，揭示圆周长的意义 1.圆的周长的意义师：指一指你手中圆的周长，谁能指出黑板上圆的周长？谁愿你能用语言来描述一下什么是圆的周长吗？（围成圆的一周的长叫做圆的周长；围成圆的曲线的长叫做圆的周长。） 2.了解学生学习起点，引出用公式计算法求周长 【设计意图】先感知哪部分的长度是圆的周长，然后再让学生试图用语言概括圆的周长的定义，符合学生认识的特点，有助于对周长意义的理解。 师：用什么办法能得到圆的周长呢？（测量、计算） 师：你想怎么计算？（用公式计算周长=直径X圆周率） 师：你从哪里知道这个公式的呢？你有什么问题？（n是什么？圆周率又是什么？） 【设计意图】一部分学生已经知道圆的周长的计算公式了，一部分学生还一无所知，让两部分学生稍作沟通。教师能够探查到学生的学习起点。 二、提出问题，明确圆的周长和什么因素有关系 1.画圆活动，体会圆的周长和什么有关系。师：请同学们用圆规在练习本上随便画一个圆，边画边想，哪是圆的周长， 再画一个圆，使第二个圆 的周长比第一个圆的周长长，你怎么画的？（只要把半径变大就可以了），那如果我要画一个周长更长的圆，怎么画呢？从刚才画图的过程中，你觉得圆的周长可能和什么有关系呢？（圆的大小、直径、半径） 师：你怎么知道的？（半径越短圆周长越短，半径越长圆周长越长。直径越短圆周长越短，直径越长圆周长越长。） 2.明确研究方向。 师：由于圆的直径是半径的 2 倍，因此我们可以认为圆的周长和直径有关系，这节课我们就共同探索圆的周长和直径的关系。 【设计意图】直径并不是周长的一部分，圆的周长怎么会和直径有关系呢?如果老师灌输给学生周长和直径有关，想必有的学生会产生上面的疑问。在学生在画圆的活动中，教师有意识引导学生观察与感受，学生有了亲身经历与体验，就会感受到周长和直径之间有关系。 三、用推理的方法推测圆周率的范围 1.与长方形、正方形对比，激发学生探究的愿望。
圆周长的公式推导 使用教材六年制青岛版课本《数学》第十一册 教学内容圆的周长 教学目的使学生理解圆的周长和圆周率 的意义，推导圆周长的公式，并能利用公式简单的计算． 培养学生的观察、比较、分析、综合和动手操作的能力． 对学生进行爱国主义教育 教学过程 一、认识圆的周长 1．在黑板出图 问：这是什么图形？什么是正方形的周长？怎么计算？再出示一个正方形纸，问：这个正方形的周长与边长有什么关系？明确正方形的周 2．请学生把正方形纸折成“田字格”状，以交点为圆心，画一个最大的圆．问：这个圆与这个正方形有什么关系？明确圆的直径与正方形的边长相等． 3．请学生到黑板上指出圆的周长指的是哪部分的长度？问：圆的周长指的是什么？出示课题：圆的周长 [评：正方形的周长只与边长这一个数据有关，这点与圆的周长计算方法相似．教师精心选择这一教学内容，用于复习旧知和引入新课，渗透、孕伏的作用非常有效．] 二、圆周长公式的推导： 1．测量：问：圆的周长还是一条直的线段的长吗？要求学生利用工具（直尺、小线、圆形纸片）测量圆的周长．问：是怎样测量的？明确无论是用“滚动”的方法，还是“缠绕”的方法，都是把曲线转化成直的线段，然后通过测量线段的长度得出圆的周长． 教师收集测量数据并板书． 2．设疑：问：黑板上的这个圆的周长谁能测量？学生实践后发现不容易用刚才的办法来测量周长．再出示用小球抡出的圆，问：这样的圆怎么直接测量周长？指出要解决这些问题还要想新方法．
3．推导公式： （1）观察黑板上的图： 问：正方形的周长和谁有关？这两个圆的周长相等吗？圆的周长又和谁有关？明确圆的周长随直径的变化而变化．问：圆的直径和正方形的边长相等，它们的周长相等吗？圆的周长与正方形的周长比较会怎么样？明确可估计出圆周长小于直径的4倍． （2）圆周长到底是直径的几倍？要求学生测量圆形纸片（前面已测过周长）的直径，问：能发现什么？与前面周长数据相对应地取出直径数据并板书，明确圆的周长是直径的3倍还多一些． 出示教具 验证圆的周长总是直径的3倍还多一些． （3）讲解：如果我们再实验下去，总能发现圆的周长是直径的3倍多一些，这个倍数是固定不变的，我们叫它圆周率，记作：π．问：什么是圆周率？ 介绍我国著名的数学家祖冲之计算圆周率的故事，并讲解圆周率是一个无限不循环小数及小学阶段的取值3.14． （4）问：圆周长可以怎么计算？总结公式： 圆周长=直径×圆周率 c=πd （5）练习：填表：（单位：米） 问：如果直径是30米，50米，周长是多少？怎么计算快？指导利用表中数据进行计算的方法．
《圆的周长计算》教学设计 教学内容：教科书第60～61页，圆的周长计算。 教学目标： 1．在具体的情境中，结合已有的知识经验认识什么是圆的周长。 2．通过测量和计算，了解圆的周长与直径的比为定值，推出圆的周长公式，并会运用公式解决现实问题。 3．在观察、实验、猜想、验证等活动中，渗透探索数学问题的一般方法，进一步发展学生的转化策略和推理能力。 4．逐步养成乐于思考、勇于质疑、实事求是等良好品质。 教学重、难点： 本课时的教学重点是引导学生在活动中探索圆的周长的计算方法，难点是对圆周率的正确理解。 教学过程： 1．创设情境，提供素材。 师：（多媒体出示世界各地的美丽圆形建筑）同学们，我们已经认识了美丽的图形圆，今天咱们一起到北京的天坛公园去看看，那里有很多的圆形建筑呢！师：瞧，这是北京天坛公园的祭天台，由三层组成。仔细阅读这些信息，根据这些信息，你能提出什么数学问题？ 生：祭天台上层、中层、下层的周长是多少？ 师：祭天台上层、中层、下层的周长指的是哪部分的长度？谁能上来指一指？ （让学生到前面指一指。） 师：圆的周长就是围成圆一周的曲线的长。 师：怎么能得到祭天台的周长呢？你有什么好的办法吗？ 生：可以用绳子围着祭台的一周测。 生：也可以先量出一步有多长，再走走看有多少步。 师：这些方法都很好。 师：同学们刚才用的方法都不错，可是要得到高大的建筑物的周长，用这样的方法去测量你认为可行吗？为什么？ 师：今天我们一起来研究一种简单的求圆的周长的计算方法。 （板书课题。） 【评析：从现实问题入手，创设学生感兴趣的情境，激发了学生学习的兴趣，引出圆的周长的
概念，同时让学生感受学习圆的周长的计算方法是解决实际问题的需要，产生我要学的欲望。】2．积极思考，大胆猜想。 师：根据你的观察或者你学习长方形、正方形周长的经验，猜想一下，圆的周长可能和圆的什么有关系？有什么关系？ 生：圆的周长可能与直径有关系，也可能与圆的半径有关系。 【评析：猜想会引发学生的积极思考，不同的猜想给学生设置了悬念：到底谁说得对？有了疑问，便有了探究的欲望，引出下一环节的教学。】 3．合作交流，验证猜想。 师：周长和直径会不会有关？会有怎样的关系呢？我们来测几个圆的周长和直径，研究一下好吗？研究之前咱们先来说说怎么测量圆片的周长。看老师手中有一个圆形的卡片，你能测出它的周长吗？（出示稍大一些的纸壳做的圆形卡片。） 生：能。 师：老师这儿有绳子和直尺等工具，你能上来测一测吗？ （学生上台展示。） 生1：我们可以将细绳围着圆片转一周，然后将绳子拉直，测测绳子有多长，就是圆片的周长。 生2：我想这样测：瞧，先在圆片的边上点一个点，把圆片放在直尺上滚一周就行了，读出刻度，就是圆的周长。 师：这种方法你喜欢吗？ 下面请同学们拿出老师为你们准备的信封，组长将信封中的圆片、测量工具、表格拿出来，在小组里分好工，测出圆片的周长和直径（可以自己测量，也可以两人合作）。 师：听好老师的要求，全班分成4大组，用计算器分别求出圆1、圆2、圆3、圆4的周长和直径的比值。组长将结果记录在下面的表格中，观察这些数据，把发现的规律写下来。开始！ （学生活动，教师巡视。） 师：圆1的周长和直径的比值是多少？圆2的周长和直径的比值是多少？圆3的周长和直径的
圆的面积 一年级数学教案 设计：教学内容：六年制小学数学教科书第十一册第一单元《圆的面积》中的第一节课。 教学目的：1通过教学使学生建立圆面积的概念，理解圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。 2能正确地应用圆面积计算公式进行圆面积的计算，并能解答有关圆的实际问题。 教学重点：理解和掌握圆面积的计算公式的推导过程 教学难点：圆面积计算公式的推导 教学过程： ●一、创设情境，提出问题 （课件演示）用一根绳子把羊栓在木桩上，演示羊边吃草边走的情景。（生看完提问题） 生：1羊走一圈有多长？2羊最多能吃到多少草？3羊能吃到草的最大面积是多少？ ●二、引导探究，构建模型 A：启发猜想
师：羊吃到草的最大面积最大是圆形：1、这个圆的面积有多大猜猜看；2、试想圆的面积和哪些条件有关？3、怎样推导圆的面积公式？（生试说）B：分组实验，发现模型 学生分小组将平均分成16等分、32等分的圆放在桌上自由拼摆，拼成以前学过的平面图形摆好后想一想：1、你摆的是什么图形？2、你摆的图形与圆的面积有什么关系？3、图形各部分相当于圆的什么？4、你如何推导出圆的面积？ 请小组长汇报拼摆的情况，鼓励学生拼摆成不同的平面图形（师课件展示动画效果）可以拼摆成长方形、梯形、三角形、平行四边形四种情况。 三、应用知识，拓展思维 1师：要求圆的面积必须知道什么？ 2 运用公式计算面积 A完成羊吃草的面积 B完成课后"做一做" C一个圆的直径是10厘米，它的面积是多少平方厘米？ D找出身边的圆，同桌合作量一量半径，算一算面积（完成实验报告单） 测量物直径（厘米）半径（厘米）面积（平方厘米） 3应用知识解决身边的实际问题（知识应用）
(1) 在圆的面积公式S=πr 2中，常量是----------，变量是---------。 (2) 某村的耕地面积是108m 2,这个村人均占有耕地面积ym 2随这个村的人数x 人和变 化而变化，其中常量是--------，变量是----------。 (3) 下列变量之间的系中，是函数关系的是( ) A.人的体重与年龄 B,正方形的周长与边长 C.长方形的面积与长 D.y=±x 中，y 与x (4)李教师讲完“变量与函数”这节知识后，让同学们说出实际生活中有函 数关系的 实例，并指出其中的常量与变量，自变量及函数。 甲生说:“如果设路程为s （千米），速度为v （千米/时），时间为t （时），当路程s 为 一定值时，s 为常量，v,t 为变量，v,是自变量，t 是v 的函数。” 乙生说：“甲生所举实例中，t 是自变量，v 是t 的函数。” 丙生说：“四生所举实例中，当v 为一定值量，v 为常量，s ，t 是变量，t 为自变量，s 是t 的函数。” 你认为哪位同学的说法正确？（ ） （5）函数1 1+x 中，自变量x 的取值范围是（ ） （6）函数y= 2-x 中，自变量x 的取傎范围是（ ） （7）函数y=31 -x 中，自变量x 的取傎范围是（ ） (8) 函数y=2x 2-3x-1中，自变量x 的取傎范围是（ ） （9）如图，等腰△ABC 的周长为10，腰长为x ，底边长为y ，则y 与x 的函数关系 式及自变量的取值范围是？ A A.y=10-2x(x>0) B.y=10-2x(0 4.1 圆的周长公式 教学目标： 1.在观察、讨论、测量等活动中，经历探索圆周率以及总结圆周长公式的过程 2.认识圆周率，理解并掌握圆的周长公式，能运用周长公式正确进行计算。 3.体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的探索的历史，激发民族自豪感。课前准备：硬币、软尺、直尺、细线、3个大小不同的圆形物品、教学课件。 一议”的问题（1）：车轮转动一周，谁的车走得远？为什么？然后提问：车轮转动一周的距离是什么？学生作出回答后，让学生用手指一指车轮的周长，并用自己的语言描述。学生熟悉的事物，认识车 轮的周长。 和聪聪的自行车型号大小是不一样的，也就 是说他们骑得自行车的车轮大小不一样。想 一想，三辆自行车的车轮都转动一周，谁的 车走得远？为什么？ 生：爸爸的车走得远，因为它的车轮比 较大。 师：我们以前已经学过有关周长的知识， 谁知道车轮转动一周的距离是什么？ 生：车轮转一周的距离就是车轮的周长。 师：用手指一指，哪是车轮的周长，用 自己的话说一说什么是车轮的周长。 学生用手指图说：车轮一周的长度叫车 轮的周长。 4.提出：车轮的周长和什么有关系？使学生了解：车轮的周长与辐条的长短有关，辐条越长，周长也越长。 由车轮走的距离到车 轮周长和辐条长短有关， 使问题讨论不断深入。 师：知道了什么叫车轮的周长，再来观 察三辆自行车的轮子，你发现车轮的周长和 什么有关系？ 学生可能会出现： ●车轮的周长与车轮的大小有关系，车 轮越大，周长越长 ●车轮的周长与它的辐条的长短有关 系，因为辐条越长，车轮就越大，周长也就 越长。 …… 5.教师小结，并画出一个圆，师生对话，由圆的周长与半径有关，引申到圆的周长与直径有关。 让学生经历问题发 生、发展，由具体到抽象， 由个别到一般的过程，为 下面的探索活动做铺垫。 师：注意观察的人都会发现车轮的周长 与辐条的长度是有关系的，辐条越长，车轮 的周长就越长。如果我们把车轮看作一个圆， 把轴心看作圆心，把每根辐条看作半径，那 么圆的周长和半径之间有着怎样的关系呢？ 教师边说边画一个圆。 生：半径越长，圆的周长就越长。 师：半径越长，圆的周长就越长。那么， 圆的直径和圆的周长有什么关系？ 生：直径越长，圆的周长就越长。 教师板书：直径越长，圆的周长越长 师：真聪明。圆的周长和直径之间，有 什么样的关系呢？这节课我们就一起来研究 周长和直径的关系。 板书：周长和直径 圆周长公式的推导 使用教材六年制小学课本《数学》第十一册 教学内容圆的周长 教学目的使学生理解圆周率的意义，理解掌握圆的周长公式，并能正确计算圆的周长．培养学生观察概括的能力和解决实际问题的能力．向学生进行辩证唯物主义的启蒙教育和爱祖国、爱民族的教育． 教学过程 一、导入新课 教师随着荧光屏图象逐步显示讲述：以这点为圆心，以这条线段为半径画圆．这两条半径相接正好变成一条通过圆心，两端都在圆上的线段，也就是直径．在同圆中，直径是半径的2倍． 图象显示： a．圆心 b．半径 c．圆 d．直径 提问：同学们认识了圆、直径、半径、什么叫圆的周长呢？（请同学指一指）请同学们闭上眼睛想象一下，圆的周长展开后会出现一幅什么图形？ 图象显示： 揭示课题：圆的半径、直径可以测量和计算，那么，圆的周长能不能测量和计算呢？这节课我们共同研究这个问题． 板书课题：圆的周长 [评：用计算机辅助教学，使静态的几何知识变成动态，增强了图形的形象性和直观性．有助于学生空间观念的形成．激发了学生对学习新知的欲望．] 二、讲授新课 1．学生动手实践，测量圆的周长． 全班同学分为三组，分别测量手中的学具圆．报出大、中、小圆的周长． 板书 9厘米多一些 31厘米多一些 47厘米多一些 提问：你是怎么测量出圆的周长的？ 回答：我用滚动的方法测量出圆的周长． 提问：如果要测量一个很大的圆形水池周长，能立起来滚吗？还有什么更好的办法吗？ 回答：用绳子绕一圈，也可以测量出周长． 提问：你能用绳绕的方法求出这个圆的周长吗？（演示：将一条小线的一端拴上小球旋转，让学生观察小球运转的轨迹形成的圆） 师述：看来用滚动的方法，绳测的方法可以测量出某些圆的周长，但是有局限性．我们能不能探讨出一种求圆周长的普遍规律呢？ 提问：圆的周长的长短由什么决定的？ 教师演示，学生观察： 回答：圆周长的长短与圆的半径、直径有关．直径长，圆的周长就长． 提问：圆的周长与直径有什么关系呢？请测量手中圆的直径，并报出结果． 板书：直径 3厘米 10厘米 15厘米 讨论：你发现圆周长与它的直径有什么关系？ 板书：｝3倍多一些 师述“圆的周长是直径的3倍多一些”，这个结论是否具有普遍性呢？我们来验证． 验证①滚动法验证． 最佳答案 长方形的周长（长+宽）X2 正方形的周长=边长X4 长方形的面积=长X宽正方形的面积=边长X边长三角形的面积=底X高吃平行四边形的面积=底乂高梯形的面积=（上底+下底）X咼吃直径=半径X2半径=直径吃圆的周长=圆周率X直径= 圆周率X半径X2 圆的面积=圆周率X半径X半径 长方体的表面积= （长X宽+长X高+宽X咼）X2 长方体的体积=长X宽X高正方体的表面积=棱长X棱长X6 正方体的体积=棱长X棱长X棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长X咼圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积X高圆锥的体积=底面积X高七长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积X高平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C = 4a S = a2 长方形a和b —边长 C = 2（a+b） S = ab 三角形a,b,c —三边长 h—a边上的高s —周长的一半 A,B,C —内角 其中s= (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 ?inC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2s in Bsi nC/(2s inA) 四边形d,D —对角线长 a—对角线夹角S = dD/2 ? sin a 平行四边形a,b —边长 h —a边的高 a—两边夹角S = ah =absin a 菱形a —边长 a—夹角 D—长对角线长 d —短对角线长S = Dd/2 =a2sin a 梯形a和b —上、下底长 h —高 m —中位线长S = (a+b)h/2 =mh 圆r—半径 d 一直径 C = nd= 2 n r S = n r2 =n d2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C = 2r + 2n r X (a/360) S = n r2 X (a/360) 弓形I—弧长 b —弦长 h —矢高 r—半径 a—圆心角的度数S= r2/2 ? ( na /-S8l? a ) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =na r2/360- b/2 [r2-(b/2)2]1/2 =r(I-b)/2 + bh/2 ~ 2bh/3 圆环R—外圆半径 r —内圆半径 D—外圆直径 d —内圆直径S = n (R2-r2) =n (D2-d2)/4 椭圆D —长轴 d —短轴S = n Dd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a —边长S = 6a2 V = a3 长方体a-长 b —宽 c—高S= 2(ab+ac+bc) V= abc 棱柱S—底面积 h 一高V = Sh 棱锥S—底面积 h —高V = Sh/3 棱台S1和S2 —上、下底面积 h —高V = h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3圆的周长公式
圆周长公式的推导
圆的面积公式
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