数据结构之图结构的应用
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了解数据结构的重要性和应用场景
了解数据结构的重要性和应用场景数据结构是计算机科学中一个重要的概念，它是指组织和存储数据的方式。
了解数据结构的重要性和应用场景对于计算机科学专业的学生来说至关重要。
本文将探讨数据结构的重要性以及其在不同应用场景中的实际应用。
一、数据结构的重要性数据结构在计算机科学和编程中扮演着重要的角色。
它是构建有效和高效算法的基础。
以下是了解数据结构的重要性的几个方面：1. 提高算法效率：使用适当的数据结构可以大大提高算法的效率。
例如，使用哈希表可以快速查找和插入数据，而使用链表可以方便地进行数据的插入和删除操作。
掌握不同的数据结构并选择适当的数据结构可以使算法更加高效。
2. 节省存储空间：合理选择数据结构可以节省存储空间。
例如，使用位图可以将大量数据以更小的空间存储。
了解数据结构可以帮助我们在存储大量数据时更加高效地利用内存。
3. 简化问题解决：数据结构提供了一种组织和管理数据的方式，可以简化问题的解决过程。
例如，使用树结构可以方便地进行层级数据的组织和检索。
掌握不同的数据结构可以帮助我们更好地理解问题，并设计出更好的解决方案。
4. 增强代码可读性和可维护性：使用合适的数据结构可以使代码更具可读性和可维护性。
例如，使用面向对象编程的方式可以将数据和对数据的操作封装在一起，使代码更易于理解和维护。
二、数据结构的应用场景数据结构在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个数据结构在不同应用场景中的实际应用：1. 数组：数组是最基本的数据结构之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
例如，在图像处理中，图像可以表示为一个二维数组，可以通过对数组元素进行操作来实现不同的图像处理效果。
2. 栈和队列：栈和队列常用于编程语言解析、路径搜索等场景中。
例如，在编译器中，栈常用于解析和计算表达式，队列常用于实现进程调度。
3. 链表：链表在内存分配和垃圾回收等领域中有广泛的应用。
例如，在操作系统中，链表被用于管理空闲内存块，方便进行内存分配和回收。
数据结构的应用场景及优势
数据结构的应用场景及优势数据结构是计算机科学中非常重要的一个分支，它研究如何组织和存储数据，以便于高效地访问和操作。
在现代化的信息社会中，数据结构已经被广泛应用于各种领域，例如数据库系统、网络管理、人工智能等等。
本文将从应用场景和优势两个方面来探讨数据结构的重要性。
一、应用场景1、数据库系统数据库系统是当今信息化社会中非常重要的基础设施。
数据结构在数据库系统中占据至关重要的地位，它被广泛应用于索引、排序、搜索、约束、关联等诸多方面。
例如，B树是数据库索引中常用的数据结构之一，它可以提高索引查询的效率和准确度。
2、网络管理在复杂的网络环境下，数据结构能够帮助我们实现有效的网络管理。
例如，在路由器和交换机的转发表中，往往会采用哈希表等数据结构来高效地查找目的地址。
此外，对于网络中大量的数据包，我们可以采用堆、队列等数据结构进行优先级管理和调度。
3、人工智能人工智能是当前计算机科学研究的热点之一。
数据结构在人工智能中也扮演着重要角色。
例如，神经网络就是一种基于图结构的数据结构，在图形计算中经常出现。
知识图谱也是一种基于图结构的数据结构，它被广泛应用于自然语言处理、推荐系统和智能问答等领域。
4、代码优化在编写代码时，我们往往需要考虑如何优化程序的效率和空间利用率。
数据结构可以帮助我们实现代码优化。
例如，使用哈希表可以减少查找时间，使用堆可以实现快速排序。
此外，数据结构还能够帮助我们在程序中有效地管理内存，避免内存泄露和空间浪费的问题。
二、优势1、高效性数据结构的高效性是其最大的优势之一。
通过合理地组织和存储数据，数据结构能够有效地减少算法运行时间和空间复杂度。
例如，在哈希表中使用散列函数可以快速定位目标数据；在搜索二叉树中使用分治法能够快速查找数据。
2、可扩展性在面对不断增长的数据规模时，数据结构能够实现非常好的可扩展性。
例如，使用B树可以高效地管理数据库中的大量数据；使用动态数组可以实现不断扩充的数据结构。
数据结构-有向无环图及其应用
WENKU DESIGN
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2023-2026
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数据结构-有向无环图 及其应用
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目 录
• 引言 • 有向无环图的基本概念 • 有向无环图的构建 • 有向无环图的应用场景 • 有向无环图的实际应用案例 • 有向无环图的未来研究方向和挑战
详细描述
目前有向无环图已经在许多领域得到应用，如社交网络分析、生物信息学和推荐系统等。未来可以进 一步探索有向无环图在金融、交通和能源等领域的应用，挖掘其更大的潜力。
提高有向无环图的表示能力和分析精度
总结词
提高有向无环图的表示能力和分析精度 是另一个重要的研究方向，旨在更好地 表示复杂数据关系和提高分析结果的准 确性。
拓扑排序
有向无环图可以用于进行拓扑排 序，即将图中所有节点按照依赖 关系进行排序，使得对于任何一 条从节点i到节点j的有向边，i都
在j之前出现。
关键路径
在项目管理中有向无环图可以用 于确定项目的关键路ห้องสมุดไป่ตู้，即确定
项目的最短完成时间路径。
PART 03
有向无环图的构建
构建有向无环图的算法
基于邻接矩阵的算法
通过构建一个二维矩阵来表示图的节点之间的关系，如果存在一条从节点i到节点j的 边，则矩阵中第i行第j列的值为1，否则为0。
基于邻接表的算法
使用一个列表来存储每个节点所连接的节点，如果存在一条从节点i到节点j的边 ，则在节点i的列表中添加节点j。
构建有向无环图的步骤
01
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• 引言 • 有向无环图的基本概念 • 有向无环图的构建 • 有向无环图的应用场景 • 有向无环图的实际应用案例 • 有向无环图的未来研究方向和挑战
详细描述
目前有向无环图已经在许多领域得到应用，如社交网络分析、生物信息学和推荐系统等。未来可以进 一步探索有向无环图在金融、交通和能源等领域的应用，挖掘其更大的潜力。
提高有向无环图的表示能力和分析精度
总结词
提高有向无环图的表示能力和分析精度 是另一个重要的研究方向，旨在更好地 表示复杂数据关系和提高分析结果的准 确性。
拓扑排序
有向无环图可以用于进行拓扑排 序，即将图中所有节点按照依赖 关系进行排序，使得对于任何一 条从节点i到节点j的有向边，i都
在j之前出现。
关键路径
在项目管理中有向无环图可以用 于确定项目的关键路ห้องสมุดไป่ตู้，即确定
项目的最短完成时间路径。
PART 03
有向无环图的构建
构建有向无环图的算法
基于邻接矩阵的算法
通过构建一个二维矩阵来表示图的节点之间的关系，如果存在一条从节点i到节点j的 边，则矩阵中第i行第j列的值为1，否则为0。
基于邻接表的算法
使用一个列表来存储每个节点所连接的节点，如果存在一条从节点i到节点j的边 ，则在节点i的列表中添加节点j。
构建有向无环图的步骤
01
数据结构的四种基本逻辑结构
数据结构的四种基本逻辑结构数据结构是计算机科学中非常重要的一个概念，它是数据的组织、存储和管理的一种方式。
根据数据元素之间的关系，数据结构可以分为四种基本逻辑结构，包括线性结构、树形结构、图结构和集合结构。
下面将逐一介绍这四种基本逻辑结构。
一、线性结构：线性结构是最简单、最常见的数据结构之一，它的特点是数据元素之间存在一对一的关系。
线性结构有两种存储方式，分别是顺序存储和链式存储。
1. 顺序存储：顺序存储是将数据元素存储在一段连续的内存空间中，通过元素之间的物理位置来表示其之间的逻辑关系。
顺序存储的优点是访问速度快，缺点是插入和删除操作需要移动大量元素。
常见的线性结构有数组和字符串。
2. 链式存储：链式存储是通过指针将数据元素连接起来的存储方式，不要求元素在存储空间中的位置相邻。
链式存储的优点是插入和删除操作简单高效，缺点是访问速度相对较慢。
常见的线性结构有链表和栈。
二、树形结构：树形结构是一种层次化的数据结构，它的特点是每个节点可以有多个子节点，但每个节点只有一个父节点。
树形结构有很多种不同的实现方式，常见的有二叉树、平衡二叉树、B树等。
1. 二叉树：二叉树是树形结构中最基本的形式，每个节点最多只能有两个子节点。
二叉树可以为空树，也可以是非空的，非空二叉树又分为满二叉树、完全二叉树和搜索二叉树等。
二叉树的应用非常广泛，例如在排序、查找、哈夫曼编码等领域都有重要的作用。
2. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉查找树，它的左右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的设计可以有效提高查找和插入操作的效率，最常见的平衡二叉树就是AVL树。
3. B树：B树是一种多路搜索树，它的结构可以在节点中存储更多的关键字，从而减少树的层数，提高查找效率。
B树被广泛应用于数据库和文件系统等领域，例如MySQL的索引就是采用了B树的结构。
三、图结构：图结构由顶点（节点）和边（连接顶点的线段）组成，它的特点是顶点之间可以有多个连接关系。
组合数学中的图论与图的应用
解决方法：遗传算法、模拟退火、蚁群算法等
定义：在给定一组 客户和一组车辆的 情况下，如何选择 一组最优路径，使 得车辆能够高效地 访问所有客户并返 回起始点
目标：最小化总 行驶距离或时间
约束条件：车辆 的装载量限制、 车辆的行驶范围 限制等
算法：启发式算 法、元启发式算 法、精确算法等
定义：在给定的有向图中，寻找一 条从源点s到汇点t的路径，使得路 径上所有边的容量之和最大
算效率和复杂性
定义：NP完全问题是计算图论中的一个重要概念，指一类具有最坏情况下指数级别计算复杂性 的问题
特点：NP完全问题具有多项式时间复杂度，但目前没有已知的多项式时间算法来解决它们
应用：在计算机科学、运筹学等领域中，NP完全问题被广泛应用于解决优化、调度等问题
挑战：由于计算难度大，解决NP完全问题需要高效的近似算法或启发式方法，这成为计算图论 领域的重要研究方向之一
图的邻接矩阵表示： 表示图中每个顶点 与其邻居的关系
图的关联矩阵表示： 表示图中每个边与 其关联的顶点的关 系
图的拉普拉斯矩阵 表示：表示图中每 个顶点的度及其与 邻居的关系
图的距离矩阵表示 ：表示图中任意两 个顶点之间的最短 路径长度
PART THREE
图论在算法设计中 的应用，例如最短 路径算法、最小生 成树算法等。
定义：寻找图中 两个顶点之间距 离最短的路径
应用场景：网络 路由、交通导航、 社交网络分析等
常见算法： Dijkstra算法、 Bellman-Ford 算法、FloydWarshall算法等
算法复杂度：一 般为指数级别， 但有些特定情况 下可优化为多项 式级别
定义：最小生成树算法是一种用于在加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值和 最小的树的方法。
定义：在给定一组 客户和一组车辆的 情况下，如何选择 一组最优路径，使 得车辆能够高效地 访问所有客户并返 回起始点
目标：最小化总 行驶距离或时间
约束条件：车辆 的装载量限制、 车辆的行驶范围 限制等
算法：启发式算 法、元启发式算 法、精确算法等
定义：在给定的有向图中，寻找一 条从源点s到汇点t的路径，使得路 径上所有边的容量之和最大
算效率和复杂性
定义：NP完全问题是计算图论中的一个重要概念，指一类具有最坏情况下指数级别计算复杂性 的问题
特点：NP完全问题具有多项式时间复杂度，但目前没有已知的多项式时间算法来解决它们
应用：在计算机科学、运筹学等领域中，NP完全问题被广泛应用于解决优化、调度等问题
挑战：由于计算难度大，解决NP完全问题需要高效的近似算法或启发式方法，这成为计算图论 领域的重要研究方向之一
图的邻接矩阵表示： 表示图中每个顶点 与其邻居的关系
图的关联矩阵表示： 表示图中每个边与 其关联的顶点的关 系
图的拉普拉斯矩阵 表示：表示图中每 个顶点的度及其与 邻居的关系
图的距离矩阵表示 ：表示图中任意两 个顶点之间的最短 路径长度
PART THREE
图论在算法设计中 的应用，例如最短 路径算法、最小生 成树算法等。
定义：寻找图中 两个顶点之间距 离最短的路径
应用场景：网络 路由、交通导航、 社交网络分析等
常见算法： Dijkstra算法、 Bellman-Ford 算法、FloydWarshall算法等
算法复杂度：一 般为指数级别， 但有些特定情况 下可优化为多项 式级别
定义：最小生成树算法是一种用于在加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值和 最小的树的方法。
图算法应用场景全面梳理
图算法应用场景全面梳理图算法是一种用于解决图结构中各种问题的计算方法。
图结构是一种由节点和边组成的数据结构，它可以用来描述各种实际问题，例如社交网络、电力网络、交通网络等等。
在实际应用中，图算法被广泛应用于各个领域，包括社交网络分析、推荐系统、路径规划等。
本文将全面梳理图算法在不同领域中的应用场景。
一、社交网络分析社交网络是指由个体和其关系构成的网络结构，例如微博、Facebook等。
图算法在社交网络分析中具有重要的应用。
例如，可以使用图算法来寻找社交网络中的关键节点，即对整个网络起重要作用的节点。
通过分析关键节点，可以了解到社交网络中的重要人物、信息传播路径等。
另外，图算法还可以用来进行社区发现，即将社交网络中的节点划分为不同的社区，有助于了解不同社区之间的联系和发展规律。
二、推荐系统推荐系统是将用户的需求和物品进行匹配，从而向用户推荐符合其兴趣和偏好的物品。
图算法可以用于构建用户-物品之间的关系图，在此基础上进行推荐。
例如，可以使用图算法来寻找用户间的相似性，即将兴趣相似的用户连接在一起。
通过分析用户间的相似性，可以为用户推荐他们可能感兴趣的物品。
此外，图算法还可以用于发现物品之间的关联性，有助于为用户推荐相关的物品。
三、路径规划路径规划是指在给定的网络中找到从一个节点到另一个节点的最优路径。
图算法可以用于解决路径规划问题。
例如，可以使用最短路径算法（如Dijkstra算法）来找到两个节点之间的最短路径。
此外，图算法还可以用于解决带有约束条件的路径规划问题，例如考虑交通拥堵情况和交通限制等因素的路径规划。
四、网络分析与优化除了社交网络分析和推荐系统，图算法还可以用于其他网络分析和优化问题。
例如，在电力网络中，可以使用图算法来优化电力输送的路径，减少能量损耗和提高系统效率。
在交通网络中，图算法可以用于优化交通信号灯的时序，改善交通流量和减少拥堵。
此外，图算法还可以应用于网络中的数据挖掘，例如聚类分析、异常检测等。
数据结构ppt课件完整版
针对有序数据集合，每次通过中间元素将 待查找区间缩小为之前的一半，直到找到 元素或区间为空。
哈希查找
树形查找
通过哈希函数将数据映射到哈希表中，实 现快速查找。
如二叉搜索树、平衡树等，通过树形结构实 现高效查找。
排序算法分类及实现原理
插入排序
将待排序元素逐个插入到已排序序列中，直到所有元素均插入完毕。
由n（n>=0）个具有相同类型 的数据元素（结点）a1，a2，
...，an组成的有序序列。
同一性
每个元素必须是同一类型的数 据。
有序性
元素之间具有一对一的前驱和 后继关系，即除首尾元素外， 每个元素都有一个前驱和一个 后继。
可变性
线性表的长度可变，即可以插 入或删除元素。
顺序存储结构与链式存储结构比较
定义
用一段连续的存储单元依次存储线性 表的数据元素。
优点
可以随机存取表中任一元素，且存取 时间复杂度为O(1)。
顺序存储结构与链式存储结构比较
• 缺点：插入和删除操作需要移动大量元素，时间 复杂度高；需要预先分配存储空间，容易造成空 间浪费。
顺序存储结构与链式存储结构比较
定义
用一组任意的存储单元存储线性 表的数据元素（这组存储单元可 以是连续的，也可以是不连续的
查找操作
查找指定元素的位置。
遍历操作
访问线性表中的每个元素。
销毁操作
释放线性表占用的存储空间。
03
栈和队列
栈定义及特点
栈（Stack）是一种特殊的线性数据结构，其数据的存 取遵循后进先出（LIFO, Last In First Out）的原则。 栈的特点
具有记忆功能，能保存数据的状态。
栈的基本操作包括入栈（push）、出栈（pop）、查 看栈顶元素（top）等。 只能在栈顶进行数据的插入和删除操作。
数据结构图
所以：对于点多边少的稀疏图来说，采用邻接表 结构使得算法在时间效 率上大大提高。
16
3/12
广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS ） BFS类似于树的层序遍历； 用一个数组用于标志已访问与否，还需要一个工作队列。
【例】一个无向图的BFS
8
6
CD
4
7
HG
BA
邻接多重表(Adjacency Multilist)
9
边表
• 在某些应用中，有时主要考察图中边的权值以及所依附的 两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结 构。
• 边表结构采用顺序存储，用2个一维数组构成，一个存储 顶点信息，一个存储边的信息。边数组的每个元素由三部 分组成：
– 边的起点下标 – 边的终点下标 – 边的权值
1
A [i][
j]
0
如果 (vi , v j ) 或 vi , v j G的边 其它
无权图的邻接矩阵表示示例
V1
V2
V0
3
V3
4 12/15
带权图的邻接矩阵的定义
A [i][ j] wij
如果 (vi , vj ) 或 vi , v j G的边 其它
带图权的图邻的接邻矩接阵矩表阵示表示示例示[例例6.9]
1
第一部分 图的定义和术语
2
图的定义
“图” G可以表示为两个集合：G =（V, E）。每条 边是一个顶点对（v, w） E ，并且 v, w V。
通常：用 |V| 表示顶点的数量（|V| ≥ 1）， 用 |E| 表示边的数量（|E| ≥ 0）。
(1) 无向图（完全有向图边数与顶点数之间的 关系） (2) 有向图（完全有向图弧数与顶点数之间的 关系） (3) 简单图：没有重边和自回路的图 (4) 邻接 (5) 路径，路径长度 (6) 无环（有向）图：没有任何回路的（有向）图 (7) 度，入度，出度 (8) 无向图的顶点连通、连通图、连通分量 (9) 有向图的顶点强连通，强连通图、连通分量
数据结构严蔚敏PPT(完整版)
排序算法的时间复杂度
时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，常见的 排序算法的时间复杂度有O(n^2)、O(nlogn)、 O(n)等。
查找的基本概念和算法
查找的基本概念
查找是指在一个已经有序或部分 有序的数据集合中，找到一个特 定的元素或一组元素的过程。
常见查找算法
常见的查找算法包括顺序查找 、二分查找、哈希查找等。
先进先出（FIFO）的数据 处理。
并行计算中的任务调度。
打印机的打印任务管理。
二叉树的层序遍历（宽度 优先搜索，BFS）。
04
树和图
树的基本概念和性质
树的基本概念
树是一种非线性数据结构，由节 点和边组成，其中节点表示实体 ，边表示实体之间的关系。
树的性质
树具有层次结构，节点按照层次 进行排列，每个节点最多只能有 一个父节点，除了根节点外。
isEmpty：判断队列是否为空。
enqueue：向队尾添加一个元素。
front 或 peek：查看队首元素。
dequeue：删除队首的元素。
栈和队列的应用
栈的应用 后进先出（LIFO）的数据处理。
括号匹配问题。
栈和队列的应用
队列的应用
深度优先搜索（DFS）。 表达式求值。
01
03 02
栈和队列的应用
数据结构严蔚敏ppt( 完整版)
contents
目录
• 绪论 • 线性表 • 栈和队列 • 树和图 • 排序和查找 • 数据结构的应用案例分析
01
绪论
数据结构的基本概念
总结词
数据结构是计算机存储和组织数据的方式，是算法和数据操 作的基础。
详细描述
数据结构是计算机科学中研究数据的组织和存储方式的学科 ，它决定了数据在计算机中的表示和关系。数据结构不仅包 括数据的逻辑结构，还涉及到数据的物理存储方式以及数据 的操作方式。
时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，常见的 排序算法的时间复杂度有O(n^2)、O(nlogn)、 O(n)等。
查找的基本概念和算法
查找的基本概念
查找是指在一个已经有序或部分 有序的数据集合中，找到一个特 定的元素或一组元素的过程。
常见查找算法
常见的查找算法包括顺序查找 、二分查找、哈希查找等。
先进先出（FIFO）的数据 处理。
并行计算中的任务调度。
打印机的打印任务管理。
二叉树的层序遍历（宽度 优先搜索，BFS）。
04
树和图
树的基本概念和性质
树的基本概念
树是一种非线性数据结构，由节 点和边组成，其中节点表示实体 ，边表示实体之间的关系。
树的性质
树具有层次结构，节点按照层次 进行排列，每个节点最多只能有 一个父节点，除了根节点外。
isEmpty：判断队列是否为空。
enqueue：向队尾添加一个元素。
front 或 peek：查看队首元素。
dequeue：删除队首的元素。
栈和队列的应用
栈的应用 后进先出（LIFO）的数据处理。
括号匹配问题。
栈和队列的应用
队列的应用
深度优先搜索（DFS）。 表达式求值。
01
03 02
栈和队列的应用
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目录
• 绪论 • 线性表 • 栈和队列 • 树和图 • 排序和查找 • 数据结构的应用案例分析
01
绪论
数据结构的基本概念
总结词
数据结构是计算机存储和组织数据的方式，是算法和数据操 作的基础。
详细描述
数据结构是计算机科学中研究数据的组织和存储方式的学科 ，它决定了数据在计算机中的表示和关系。数据结构不仅包 括数据的逻辑结构，还涉及到数据的物理存储方式以及数据 的操作方式。
数据结构与算法-第6章
如果 e=(u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v
互为邻接点或相邻点;称边e与顶点u,v关联;
如果 a=<u, v> 是 E(G) 中的一条弧，则称u邻接到v
或v邻接于u,也称弧a与顶点u,v关联.
9
6.1 图的基本概念
顶点的度（与树中结点的度不同）: –无向图中，顶点的度是与每个顶点关联的边数, 记作TD(v) –有向图中，顶点的度分成入度与出度 •入度：以该顶点为终头的弧的数目,记为ID(v) •出度：以该顶点为始点的弧的数目,记为OD(v) 一个顶点的度等于该顶点的入度与出度之和,即 TD(v)=OD(v)+ID(v)
20
带权图的邻接矩阵
wij 若(vi，vj)∈E或<vi，vj>∈E
A[i][j]= ∞ 其它 0 i=j
21
用邻接矩阵表示的图的类的定义
class AdjMatrix { int n； int matrix[MaxSize][ MaxSize]； public: AdjMatrix(int m) { n=m； } }; // AdjMatrix class AdjMatrix { const int INFINITE=∞； int n； float matrix[MaxSize][MaxSize]； public: AdjMatrix(int m) { n=m；} }; // AdjMatrix // 非带权图 // 顶点的个数 // 邻接矩阵
回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单回路——除了第一个顶点和最后一个顶点外，其
余顶点不重复出现的回路。
11
6.1 图的基本概念
V0V1V3V2
V0V1V3V0V1V2
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数据结构DATA STRUCTURE, DS授课教师：郭艳:191124授课班级: 191124中国地质大学计算机学院2014年春上堂课要点回顾图的应用一：最小生成树问题定义Prim算法及其实现Kruskal算法图的应用二：最短路径问题 定义单源最短路径问题——Dijkstra算法(O(n2))第十五次课阅读：朱战立，第235-242页习题：作业14数据结构课程内容图结构的应用3——拓扑排序图结构的应用4——关键路径9.7 拓扑排序（topological sort）先决条件问题学生选修课程问题：学生应按怎样的顺序数学模型：有向无环图顶点——活动（课程）拓扑排序将一个有向学习下列课程，才能无矛盾、顺利地完成有向弧<i,j>——活动i是活动j的先决条件无环图中所有顶点在不学业？课程代号课程名称先修课C2C4C5违反先决条件关系的前C1程序设计基础无C2离散数学C1C3数据结构C1,C2C4汇编语言C1语言的设计和分析C3C4C1C3C7提下排成线性序列的过C5C3,C4C6计算机原理C11C7编译原理C3.C5C8操作系统C3,C6C8C9C10C12程称为拓扑排序C9高等数学无C10线性代数C9C11普通物理C9C1C9C10C6C11Activity OnVertex network C12数值分析C1,C9,C10序列1：C1->C2->C3->C4->C5->C7->C9->C10->C11->C6->C12->C8序列2：C9->C10->C11->C6->C1->C12->C4->C2->C3->C5->C7->C8Vertex network9.7 拓扑排序（续）拓扑序列(topological order)对于有向无环图G=(V, E), 所有顶点组成的线性序列如果满足若在有向无环图G中从顶点V i到V j有一条路径，则在序列中顶点V必在顶点V之前i j则该线性序列可称作一个拓扑序列。
拓扑序列不唯一9.7 拓扑排序（续）任何有向无环图G的所有顶点都可以排在一个拓扑序列里。
拓扑排序的方法是：1、从图G中选择一个入度为0的顶点并输出。
2、从图G中删掉此顶点及其所有的出边。
3、回到第1步继续执行，直至G所有顶点都被输出或G中不存在入度为0的顶点。
C4C5C2C1C3C7 C12C8 C9C10C6C11C2C4C5C4C5C3C7C3C7C8C12C8C12C6C9C10C6C9C10C11C11（1）拓扑序列：C1（2）拓扑序列：C1->C2C4C5C5C7C7C8C12C8C12C6C9C10C6C9C10C11C11（3）拓扑序列：C1->C2->C3（4）拓扑序列：C1->C2->C3->C4C7C12C8C12C6C8C9C10C6C9C10C11C11（5）拓扑序列：C1->C2->C3->C4 ->C5（6）拓扑序列：C1->C2->C3->C4 ->C5->C7C12C12C8C10C6C8 C6C11C11（7）拓扑序列：C1->C2->C3->C4 ->C5->C7->C9（8）拓扑序列：C1->C2->C3->C4 ->C5->C7->C9->C10C12C12C8C8C6（9）拓扑序列：C1->C2->C3->C4->C5->C7->C9->C10->C11（10）拓扑序列：C1->C2->C3->C4->C5->C7->C9->C10->C11->C6C8）拓扑序列）拓扑序列C1C2C3C4（11）拓扑序列：C1->C2->C3->C4->C5->C7->C9->C10->C11->C6->C12（12）拓扑序列：C1->C2->C3->C4->C5->C7->C9->C10->C11->C6->C12->C8拓扑排序算法首先需要计算各顶点的入度，然后在拓扑排序过程中，当某个顶点的入度为零时就将此顶点输出同时将该顶点的所有直时，就将此顶点输出，同时将该顶点的所有直接后继顶点的入度减1。
为了避免重复检测入度为零的顶点，设立一个栈（或队列），以保度为零的顶点设立个栈或队列以保存当前所有“入度为零”的顶点若有向G中所有顶点都被输出，则表明G中没有有向环，拓扑排序成功。
若仅输出了部分顶拓扑排序成功若仅输出了部分顶点，G中已不存在入度为0的顶点，则表明G中存在有向环，拓扑排序失败。
存在有向环拓扑排序失败拓扑排序算法实现：设图G的顶点数为n采用邻接矩 拓扑排序算法实现：设图G的顶点数为n，采用邻接矩阵作为存储结构11、对各顶点求入度2、初始化栈S，初始拓扑序列长度计数器size=033、把所有入度为0的顶点入栈S4、当栈S非空时循环41输出栈顶元素v并出栈size++4.1 输出栈顶元素v并出栈；size++；4.2 获得所有与v邻接的未被访问的顶点w4.3 把w的入度减1；4.4 若w的入度为0则入栈S直至栈空为止5、如果size ≠ n，则有向图有环，不存在拓扑序列，拓扑排序失败；否则，拓扑排序成功6、结束9.7 拓扑排序（续）拓扑排序算法的时间复杂度分析关键是算法在开始时要找出所有入度为关键是，算法在开始时要找出所有入度为0的顶点（同时可知道其它顶点的入度）时算法在开始时找所有 当采用邻接矩阵时，算法在开始时找所有入度为0的顶点需要O (n2)的时间，加上处理边、顶点的时间，总代价为O(n2+e+n)= O (n2)()(当采用邻接表时，因为在顶点表的每个顶点中可以有一个字段来存储入度，所以算点中可以有个字段来所以算法在开始时找所有入度为0的顶点只需要O(e)的时间，加上处理边、顶点的时间，总代价为O(n+2e)=O(n+e)9.8 关键路径工程计划有关问题把工程计划表示为有向无环图G ，用顶点表示事件，弧表示活动权表示活动持续时间动，权表示活动持续时间。
每个事件表示在它之前的活动已完成，在它之后的活动可以开始（约束条件）例：设一个工程有m =11项活动，n =9个事件，其中事件v j 事件v1——表示整个工程开始(记为v)事件v9——表示整个工程结束(记为vn)<j k>表示其持续时间记为d t (<j k>)活动a i 用弧<vj,vk>表示，其持续时间记为dut (<vj,vk>)问题：（1）完成整项工程至少需要多少时间？（2）哪些活动是影响工程进度的关键活动？729853164a6=2定义1(Activity On Edge network, AOE 网(Activity On Edge network, 边表示活动的网)是一个顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持的带权有向无环图。
网中仅存在一个入度为续时间的带权有向无环图。
网中仅存在个入度为0的顶点，称作开始顶点；网中仅存在一个出度为0的顶点，称为结束顶点距离——路径上各活动持续时间之和关键路径——从开始顶点到结束顶点的距离最长的路径由于网中某些活动可以同时进行AOE 网中某些活动可以同时进行，要保证每个活动都能无矛盾顺利完成(约束条件)，完成该工程的最少时间72就是该工程AOE 网的关键路径距离。
9851643a6=2定义2(j)—— Ve (j)表示事件vj 的最早(early)发生时间，是从开始顶点v 到vj 的最长路径距离。
其中Ve(n)是该工程AOE 网的关键路径距离。
?如何计算726161872Ve 示例61618Vl 示例98531471498531671464a6=25764a6=2810Vl (j)——表示事件vj 的最迟(last)发生时间，是在不推迟整个工程完成(即保证结束顶点vn 在Ve(n)时刻发生)的前提下,该事件最迟必须发生的时间。
Vl (j)=Ve(n)的最长路径距离(j)=Ve(n) －顶点vj 到结束顶点vn 的最长路径距离。
？如何计算(i)—— e (i)表示活动ai 的最早(early)开始时间，是该活动的起点所表示事件的最早发生时间如果边<vj vk>则有<vj,vk>表示活动ai ，则有e(i)=Ve(j)727206716e 示例06716l 示例61618616189853198531407672047140671464a6=264a6=2571481014357810l (i)——表示活动ai 的最迟(last)开始时间，是该活动的终点所表示事件的最迟发生时间与该活动的所需时间之差<j k>i 则有(i)Vl(k)d t(<j k>)如果边<vj,vk>表示活动ai ，则有l (i)=Vl(k)-dut(<vj,vk>)(i)-e(i)—— l (i)e(i)表示完成活动ai 的时间余量，它是在不增加完成整个工程所需时间的情况下，活动ai 可以拖延的时间关键活动——关键路径上的活动，即l (i)=e(i)的活动计算计算727206716e 06716l 985319853141400761473264a6=264a6=257810729851643a6=2如何找e(i)=l(i)的关键活动？活动数为活动<vj vk>表示其持续时间记为vj vkai设事件数为n ，活动数为m 。
活动ai 用弧<vj,vk>表示，其持续时间记为dut(<vj,vk>)，则有：（1）e(i)=Ve(j)（2）l(i)=Vl(k) -dut(<vj,vk>)如何求Ve(j)和Vl(j)？继而如何求e(i)和l(i)？⎧⎪⎪⎨><+==vj vk dut k Ve Max j Ve Ve k )},()({)(0)1(⎪⎪⎨⎧−><−==vk vj dut k Vl Min j Vl n Ve n Vl k )},()({)()()((1)Ve 计算从开始顶点向后递推。
⎪⎪⎩><≤≤的有向边为所有到达，其中，vj vj vk n j ,2⎪⎪⎩><≤≤出发的有向边是所有从其中，vj vk vj n j ,11Ve(j)的计算必须在vj 的所有前驱顶点vk 的Ve(k)全部计算出来以后才能进行。