不等式专题练习题
一、知识内容
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用．
二、核心思想方法
解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第5题是对2,a b使用不等式，而不是对,a b使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式）、距离（目标函数含二元二次多项式）、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第9、22、23、24题．
三、高考命题趋势
本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握：
1．以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变，每年高考必有一题．四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第8、28题．（2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第7、9题．（3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第17、18题．（4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的，如
下面练习题的第20题．
2．以解答题形式命题：不等式证明与解法是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高．均值不等式在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高．线性规划问题也可以用实际问题进行考查，考查优化思想在解决问题的广泛应用，体现数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识．但是，考虑到线性规划应用题毕竟知识较为单一，所以在高考中出现的频率不高．考虑到不等式与函数、导数、解析几何的综合题中，不等式仅是其中的一个工具，所以本专题的选的解答题主要侧重于不等式的证明与解法． 练习题
1．（山东省临沂市高三教学质量检测考试）集合{}
220A x x x =--≤，{}1B x x =<，则()R A C B ?=（ ）
（A ）{}1x x > （B ）{}12x x ≤≤ （C ）{}12x x <≤ （D ）{}1x ≥
2．（安徽省安庆市高三3月模拟考试（二模））下列命题中错误的是（ ）
A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”
B ．若,x y R ∈，则“x y =”是22x y xy +??≥ ???
成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则例题p 与q 中必一真一假
D ．对命题p ：x R ?∈，使得210x x ++<，则:,p x R ??∈则21
0x x ++ 3．（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设条件p ：
10
2
x x -≥+，条件:q (1)(2)0x x -+≥，则条件p 是条件q 的（ ） A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件
4．（湖南省长、望、浏、宁高三3月一模联考）设,x y R ∈，则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5． （山东省青岛市3月高三统一质量检测）已知0,0a b >>,且24a b +=,则1ab
的最小值为（ ）
20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点：
监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 不等式的基本性质 各位老师，同学： 大家好！ 今天我说课的内容是人教版九年义务教育七年级下册第九章第一课时第二小节《不等式的基本性质》。（板书题目） 接下来我将从教材分析，学情分析，学法教法，教学过程，板书设计五个方面来说说我对本节课的理解与教学设计。 一、教材分析 教材是我们教学活动的主要依据，透彻的了解教材也是上好一节课的关键。首先来说说本节课的教材。 我将从教材的地位与作用，教学目标，教学重点与难点三个方面对本节课的教材进行说明。 （一）教材的地位与作用。 不等式是初中代数的重要内容之一，而不等式的性质又是重中之重。一方面，它是初中阶段最基础、最重要的一个转折；而另一方面，学好不等式的性质能帮助学生从整体认识整式性质与不等式性质的区别；在此基础上，可以使学生对生活中的数学问题有新的认识，从而扩大学生的认知结构。同时，不等式的性质还蕴含着丰富的数学思想和方法。因此这也是前后数学知识衔接的桥梁和纽带。因此学好本节课有着非常重要的作用。 教学目标 根据新课改的要求及教材的特点，我确定了如下的教学目标： 知识目标掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用； 能力目标经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题、解决问题的能力； 情感目标开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。 情感态度与价值观的培养，是学生全面发展的需要，该目标具体到本节课为通过让学生学习用不等式的基本性质解决相关问题获得成功体验，增强学好数学的信心。 教学重点难点 根据教材内容的特点，结合新课程改革的基本要求，我认为本节课的重点是：理解不等式的三个基本性质。 由于在探究的过程中，需要采用类比的方法来得出结论，对学生的抽象思维能力要求较高，但对于七年级的学生而言，其形象思维能力占主导地位，在探究的过程中难免会遇到困难。根据学生的这一特征，我认为本节课的难点为：对不等式的基本性质3的重点认识。 二、学情分析 学生是课堂的主人，只有了解学生才能有针对性的教学。接下来说说学生。 我们知道，现在的学生几乎不存在学不会的情况，而是没有掌握正确的学习 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： 《不等式的性质》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若a＜b，则下面可能错误的变形是（） A．6a＜6b B．a+3＜b+4C．ac+3＜bc+3D．﹣ 2．（5分）已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（） A．4a＜4b B．﹣2a+4＜﹣2b+4 C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣4＜3b﹣4 3．（5分）下列式子一定成立的是（） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1） 4．（5分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．2﹣a＜2﹣b D． 5．（5分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（） A．a+7＜b+7B．C．﹣5a＞﹣5b D．9a﹣2＞9b﹣2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是． 7．（5分）已知a＞b，则﹣4a+5﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 8．（5分）若x＞y，则﹣x﹣2﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“＝”）9．（5分）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a2﹣3b．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．（5分）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m， 最小值为n，则m﹣n＝． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？ 12．（10分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围． 13．（10分）根据不等式的基本性质，把﹣2x＜15化成“x＞a”或“x＜a”的形式． 14．（10分）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 15．（10分）根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）10x﹣1＞7x； （2）﹣x＞﹣1． 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 不等式的性质及其解法 第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 姓名学科韦日辉 数学 学生姓名 年级年级 填写时间 教材版本 2014-- 北师大版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时 课题名称 课时计划 共（）课时 （全程或具体时间） 上课时间:00-:00同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 不等式的概念、性质及解法中考要求 内容 不等式(组) 不等式的性质 基本要求 能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义． 理解不等式的基本性质． 了解一元一次不等式(组) 略高要求 能根据具体问题中的数量关系列 出不等式(组)． 会利用不等式的性质比较两个实 数的大小． 会解一元一次不等式和由两个一 较高要求 能根据具体问题中的数量关系列 解一元一次不 等式(组) 的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问 示(确定)其解集． 例题精讲 会根据条件求整数解．题． ⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 与 4 的和小于 x ； > ) < ) 板块一、不等式的概念和性质 ?不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其 相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【巩固】用不等式表示： 1 2 5 3 ⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 ?不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1) 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或 如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或 a b c c a b c c 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 9.1.2 不等式的性质 要点感知不等式的性质有： 不等式的性质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向__________，即如果a>b,那么a±c__________b±c. 不等式的性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个__________数,不等号的方向不变，即如 果a>b,c>0,那么ac__________bc(或a c __________ b c ). 不等式的性质3 不等式的两边乘(或除以)同一个__________数,不等号的方向改变，即如 果a>b,c<0,那么ac__________bc(或a c __________ b c ). 预习练习1-1若a>b，则a-b>0，其依据是( ) A.不等式性质1 B.不等式性质2 C.不等式性质3 D.以上都不对 1-2若a＜b，则3a__________3b，-7a+5__________-7b+5(填“＞”“＜”或“=”). 知识点1 认识不等式的性质 1.如果b>0，那么a+b与a的大小关系是( ) A.a+ba C.a+b≥a D.不能确定 2.下列变形不正确的是( ) A.由b>5得4a+b>4a+5 B.由a>b得b2y得x<-4y D.-5x>-a得x> 5 a 3.若a＞b,am＜bm,则一定有( ) A.m=0 B.m＜0 C.m＞0 D.m为任何实数 4.在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a-3>-3,那么a>0；______________________________. (2)如果3a<6,那么a<2；______________________________. (3)如果-a>4,那么a<-4.______________________________. 5.利用不等式的性质填“>”或“<”. (1)若a>b,则2a+1__________2b+1； (2)若-1.25y<-10,则y__________8； (3)若a ` 不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解 不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 52, a 3 1 4, x 1 0,a2 1 0, x 0,3 a 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ ”和“ ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向 改变成与其相反的方向，如：“ ”改变方向后，就变成了“”。 【例 1】用不等式表示数量的不等关系． （1）a是正数 （2）a是非负数 （3）a的相反数不大于 1 （4）x与y的差是负数 （5）m的 4 倍不小于 8 （6）q的相反数与q的一半的差不是正数 （7）x的 3 倍不大于x的 1 3 （ 8） a 不比0大 【巩固】用不等式表示： ⑴x 的1 与 6 的差大于 2 ；⑵y 的 2 与 4 的和小于x ；53 ⑶ a 的 3倍与 b 的1 的差是非负数；⑷x 与 5 的和的 30% 不大于 2 ．2 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数；⑵ y的3倍小于2； ⑶ x与1的和大于0；⑷ x与4的和大于1 不等式基本性质 基本性质１：不等式两边都加上( 或减去 ) 同一个数 ( 或式子 ) ，不等号方向不变． 如果 a b ，那么 a c b c 如果 a b ，那么 3 x2 a ( x 1) 基本性质２：不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a b ) c c 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a b ) c c 基本性质３：不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变． 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a b ) c c 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或 ax b ) 不等式的互逆性：如果a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b ． 不等式的传递性：如果a b ， b c ，那么a c ． 易错点：① 不等式两边都乘( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【例 2】⑴如果a b ，则 2 a a b ，是根据； ⑵如果 a b ，则 3a3b ，是根据； ⑶如果 a b ，则 a b ，是根据； ⑷如果 a 1 ，则a2 a ，是根据； ⑸如果 a 1 ，则 a2 a ，是根据． 不等式的性质（人教版） 一、单选题(共16道，每道6分) 1.下列式子中，是不等式的是( )． ①x=1；②a<3；③2m-n≥0；④y+3；⑤1＞0；⑥a≠0． A.②③⑤ B.②⑤ C.②③⑤⑥ D.①②③⑤⑥ 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的定义 2.根据下列数量关系，列出相应的不等式，其中错误的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：列不等式 3.某市12月份最高气温是8℃，最低气温是-2℃，则该市12月份气温t（℃）的变化范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：列不等式 4.若，则，其依据是( ) A.不等式的性质1 B.不等式的性质2 C.不等式的性质3 D.以上都不对 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的性质 5.由，，得．横线上所填的符号应为( ) A.＞ B.≥ C.< D.≤ 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的性质 6.已知，下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的性质 7.若设，用“＞”、“<”填空：①；②．则下列选项中，填空正确的是( ) A.＞，＞ B.＞，< C.<，< D.<，＞ 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的性质 8.如果，那么下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的性质 9.关于x的不等式的解集为，则下列判断正确的是( ) A. B. C.a，b异号 D.a，b至少有一个是负数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：不等式的性质 10.下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 一元一次不等式教学设计（第1课时） 安徽省淮南市平圩中学李芬 教学目标： （1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集 （2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会． 教学重点： 一元一次不等式的解法． 解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。 教学难点： 解一元一次不等式步骤的确定 通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式． 教学过程设计 （一）引课 课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想 温故知新 给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？ 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义： 【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解 观察下列不等式： （1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75； （3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？ 共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一 9.1.2《不等式的性质》同步练习题（1） 知识点： 1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c． 2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变， 用式子表示：如果a > b，c>0，那么ac> bc或a c > b c ． 3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变， 用式子表示：a>b，c<0，那么，ac < bc或a c < b c ． 。 二、知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 同步练习： 1.用a＞b，用“＜”或“＞”填空： ⑴ a＋2b＋2 ⑵ 3a3b ⑶－2a－2b⑷ a－b0 ⑸－a－4－b－4 ⑹ a －2b－2； 2. 用“＜”或“＞”填空： ⑴若a－b＜c－b，则ac ⑵若3a＞3b，则ab⑶若－a＜－b，则ab ⑷若2a＋1＜2b＋1，则ab 3.已知a＞b，若a＜0则2a a b，若a＞0则2a a b； 4. 用“＜”或“＞”填空： 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。本站为大家整理的相关的不等式解法口诀，供大家参考选择。 不等式解法口诀 一、一元一次不等式的解法 如有分母，去分母; 如有括号，去括号。 常数都往右边挪， 未知都往左边靠。(注)如有同类须合并， 化为标准再求解。 二、二元二次方程组一般解法 未知项，成比例，消元降次都可以。方程一边等于零，因式分解再降次。方程缺了一次项，常数消去再求解。 三、取对数口诀已知真数求对数，首数尾数分别求，根据位数定首数，再用数表查尾数。 四、取反对数口诀 已知对数求真数， 定数定位两步走， 先用数表查数字， 再用首数定位数。 五、确定解集 1.比两个值都大，就比大的还大(同大取大); 2.比两个值都小，就比小的还小(同小取小); 3.比大的大，比小的小，无解(大大小小取不了); 4.比小的大，比大的小，有解在中间(小大大小取中间)。三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。 不等式解法口诀 解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。 高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。 证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。 直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。 还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图、建模、构造法。 不等式解法口诀 一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。 其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。 整式不等式： 第九章不等式与不等式组 师院附中李忠海 9.1不等式 9.1.2不等式的性质 【知识与技能】 1.理解不等式的性质； 2.利用不等式的性质解不等式. 【过程与方法】 利用天平实验探究不等式性质1,性质2;通过对具体不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式符号改变的情形探究不等式性质3;在此基础上，利用不等式的性质解不等式，要着重强化不等式性质3的理解与运用. 【情感态度】 通过观察、实验、类比获得新知，体验数学活动的探索性和创造性. 【教学重点】 不等式的性质. 【教学难点】 不等式的性质3. 一、情境导入，初步认识 问题1 用“＜”或“＞”填空： （1）5＞3，则5+2_____3+2，5-2____3-2； -1＜2，则-1+3_____2+3，-1-3____2-3； a＞b，则a±c_____b±c； a＜b，则a±c_____b±c. （2）6＞2，则6×5_____2×5，6/5_____2/5 （3）-2＜7，则-2×（-6）_____7×（-6），-2/-6_____7/-6. 问题2 观察（1）、（2）、（3）总结其中的规律，概括不等式有哪些性质. 二、思考探究，获取新知 先引导学生回顾等式的性质，再根据实验和问题1 ，2探索不等式的性质.思考不等式有哪些性质？怎样用式子表达不等式的性质？ 【归纳结论】 不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变，用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c. 不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么a/c＞b/c或a/c＞b/c. 不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么a/c＜b/c或a/c＜b/c. 三、运用新知，深化理解 1.设a＞b，用“＜”、“＞”填空，并填写理由. （1）5a_____5b，理由：____________________. （2）a-7_____b-7，理由：____________________. （3）-3a_____-3b，理由：____________________. （4）3a+8_____3b+8，理由：___________________. （5）-7b+1_____-7a+1，理由：____________________. 2.判断下列不等式的变形是否正确. （1）若a＜b，且c≠0，则a/c＜b/c； （2）若a＞b，则1-a2＜1-b2； （3）若a＞b，则ac2＞bc2； （4）若ac2＜bc2，则a＜b. 3.根据不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. （1）x+3＞2；（2）-2x＜6； （3）-5x+2＞3x+2；（4）2x-6＞4x-5. 【教学说明】 让学生自主探究，独立完成然后相互交流，发现问题并及时纠正，教师巡视，适时予以指导. 【答案】略. 不等式的性质（第1课时）说课稿 一、教材分析（说教材）： 1、教材所处的地位和作用： 本节内容在全书和章节中的作用是：《不等式的性质》是人教版初中数学教材七年级下册第9章第1节内容。在此之前学生已学习了等式的基本性质，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在初中数学中，占据了非常重要的地位，这节内容的学习直接关系到解不等式和不等式组，以及为其他学科和今后的学习打下基础。 2、教育教学目标： 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： 知识与技能： (1)、理解不等式的性质，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。 过程与方法： (1)、经历探究不等式性质的过程，体会不等式与等式的异同，发展学生分析问题和解决问题的能力。 (2)、通过经历不等式性质的得出过程，积累数学活动经验。 情感、态度与价值观： (1)、认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验数学活动中充满探索性和创造性。 (2)、通过对不等式性质探索，培养学生的知识迁移能力，加强同学之间的合作与交流。 3、重点，难点以及确定依据： 本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点： 重点：理解不等式的三个性质。通过探究规律，交流讨论突出重点。 难点：对不等式的性质3的认识。通过探索、交流、总结，练习突破难点 关键：经历探究不等式性质的过程，用类比的方法使学生体会不等式与等式的异同，掌握不等式的性质。 二、教法分析（说教法） 1、教学手段及方法： 本课采用多媒体辅助教学。如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。在教学过程中拟计划进行如下操作：基于本节课的特点应着重采用类比-实验-交流的教学方法。 2、教学方法及其理论依据： 坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，根据学生的心理发展规律，采用教类比-实验-交流的教学方法。在学生探究，讨论的基础上，在老师启发引导下，激发学生学习热情。有效的开发各层次学生的潜在智能，力求使学生能在原有的基础上得到发展。在教学中积极培养学生学习兴趣和动机，明确的学习目的，激发来自学生主体的最有力的动力。 三、学情分析：（说学法） 不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R. 知 识 梳 理 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法???? ?a －b ＞0?a ＞b ，a －b ＝0?a ＝b ，a －b ＜0?a ＜b ； (2)作商法?????a b ＞1?a ＞b （a ∈R ，b ＞0），a b ＝1?a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1?a ＜b （a ∈R ，b ＞0）. 2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0? n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 考点一条件判断不等式是否成立 1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单． 2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负． 3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形． 【例1】若1 a＜ 1 b＜0，给出下列不等式：① 1 a＋b＜ 1 ab；②| a|＋b＞0；③a－ 1 a ＞b－1 b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( ) A．①④B．②③C．①③D．②④ 解析法一特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次 因为1 a＜1 b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
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