数值计算误差例1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数:187.9325,0.03785551, 8.000033, 2.7182818。
按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是 187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183
注意
8.000033x =的5位有效数字的近似数是8.0000而不是8，因
为8只有1位有效数字。
例2
重力常数
g ，如果以2/m s 为单位，
120.98010/g m s ≈?；若以2/k m s 为单位，
22
0.98010/g km s -≈?，它们都具有3位有效数字，因为按第一
种写法
2
13119.80101022
g ---≤?=?，
按第二种写法
5
23110.00980101022
g ----≤?=?，
他们虽然写法不同，但都具有3位有效数字。至于绝对误差限，由于单位不同结果也不同，*
22*
521
21110/,10/22
m s km s εε--=?=?，而相对误差都是*0.005/9.800.000005/0.00980r ε==。
例3 要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
设取n 位有效数字，由定理1.1，*11
1
102n r a ε-+≤
?。由于20 4.4= ，知1
4a
=，故只要取4n =，就有
*330.1251010r ε--≤?<0.1%=
即只要对20的近似值取4位有效数字，其相对误差就小于0.1%。此时由开方表得
20 4.472≈。
例4 设
n
y x
=，求y 的相对误差与
x 的相对误差之间的关系。
解 由式(1-9)得
()(ln )(ln )()n r r e y d x nd x ne x ===
所以
n
x
的相对误差是
x 的相对误差的n 倍，特别地，
x 的相对误差是x 的
相对误差的一半。
例5 设
0x >，x 的相对误差为δ，求ln x 的绝对误差。
解 由于()()r e x e x x
δ
==
，即()e x x δ=，所以
()
(ln )(ln )()r e x e x d x e x x
δ≈===
例 6 已测得某场地长为
l
的值为
*
100,
l m =宽d 的值为*80,d m =已知*
||0.2l l m -≤，*||0.1d d m -≤，试求面积s ld =的绝对误差与相对误差。
解 因,,,s s
s
ld d l l d
??===??由(1-5)知
()()()*
*
**
*||||,s s s l d l d εεε??????≈+ ? ???????
其中*
*
**
()80,()110s s d m l m l
d
??====??，而
()()**0.2,0.1,l m d m εε==
于是绝对误差限
()()()()
2
*
800.21100.127s m
ε≈?+?=
相对误差限
()()
***
***()
27
0.31%||8800
r s s s s l d εεε==≈=
拉格朗日多项式
例
1
已
给
s i n 0.320=,sin 0.34=
0.333487,sin 0.360.352274=用线性插值及拋物线插值计算sin 0.3367的值，并估计截断误差。
解 由题意取
0010.32,0.314567,0.34,x y x === 1220.333487,0.36,0.352274y x y ===
用线性插值计算，取00.32x =及1
0.34x =，由公式(2-4)得
101
010110sin 0.3367(0.3367)
0.33670.33670.330365
L x x y y x x x x ≈--=+--=
其截断误差由(2-9)得
2
101()()()2
M R x x x x x ≤--
其中01
2
max ()x x x M f x ≤≤''=。因()s i n f x x ''=-，可取01
21max sin sin 0.3335x x x M x x ≤≤==≤，有
115
(0.3367)sin 0.3367(0.3367)1
0.33350.01670.00332
0.9210
R L -=-≤???≤?
用抛物插值计算sin 0.3367。由公式(2-4)得
1220
0102()()
()()()
x x x x L x y x x x x --=-- 020112
10122021()()()()
()()()()
x x x x x x x x y y x x x x x x x x ----++---- 有
2sin(0.3367)(0.3367)0.330374L ≈=
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明用二次插值精度已相当高了.其截断误差限由(2-9)得
32012()()()(),6
M R x x x x x x x ≤---
其中
02
30max ()cos 0.828x x x M f x x ≤≤'''==<，于是
226
(0.3367)sin 0.3367(0.3367)0.17810R L -=-≤?
例2.1 设()f x x =，并已知
x
2.0 2.1 2.2 ()f x
1.414214
1.449138
1.483240
试用二次Newton 插值多项式
2()N x 计算(2.15)f 的近似值，并讨论其
误差。
解 构造均差表如下
k
x
()
k f x
一阶均差
二阶均差
2.0 1.414214
2.1 1.449138 0.34924
2.2
1.483240
0.34102
0.04110-
利用Newton 插值公式(2-12)有
2() 1.4142140.34924( 2.0)
0.04110( 2.0)( 2.1)
N x x x x =+----
取 2.15x =，得2
(2.15) 1.466292N =。
由于f 在区间[2.0,2.2]上充分光滑，因此可以利用误差估计公式
(2-11)，注意到
(3)
(3)
2
2.0 2.2
3(),max ()0.06629(8)
x f
x f
x x
x ≤≤=
=。从
而得到
(3)
22.0 2.23
0.001
max ()()0.0662943
0.55241710
x f x N x ≤≤--≤??=? (2.15)f 的真值为1.466
，因此得出5
(2.15)0.410R -=-?。由此看出，在较小区间上用式(1.10)，可得
到一个较好估计。
例2 给出
()f x 的函数表2-2，求4次牛顿插值多项式，并由此近似计算(0.596)f 。
首先根据给定函数表造出均差表。
表 2-2 k
x ()
k f x
一阶 二阶 三阶
四阶
五阶
0.40 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.80 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733 0.90 1.02652 1.38410 0.43348 0.21300 0.03134 1.05
1.25382
1.51533
0.52483
0.22863
0.03126
-0.00012
从均差表看到4阶均差近似常数，故取4次插值多项式4()N x 作近似即
可。
4()0.41075 1.116(0.4)
0.28(0.4)(0.55)
0.19733(0.4)(0.55)(0.65)0.03134(0.4)(0.55)(0.65)(0.8)
N x x x x x x x x x x x =+-+--+---+---- 于是
4(0.596)(0.596)0.63192,f N ≈=
截断误差
40559
()[,,](0.596)
3.6310
R x f x x ω-≈≤?
这说明截断误差很下，可忽略不计。
此例的截断误差估计中，5阶均差
04[,,,]f x x x 用
05[,,]0.00012f x x =- 近似。另一种方法是取0.596x =，由(0.596)0f ≈，可求得04[,,,]f x x x 的近似值，从而可得4()R x 的近似。
例 2.4 已知sin y x =的函数表如下，分别用牛顿向前、向后插值公式求sin 0.57891的近似值。
x 0.4 0.5 0.6 0.7
sin x 0.38942
0.47943 0.56464 0.64422 解 取0123
0.4,0.5,0.6.0.7x x x x ====，有
0.1h =。按表2.4计算得
i y
一阶差分
二阶差分
三阶差分
0.38942 1
0.47943 0.09001 t
0.56464 0.08521 -0.00480 1
(1)2
t t - 0.64422 0.07958
-0.00563
-0.00083
(1)(2)3!
t
t t -- 1
t (1)
2
t t + (1)(2)3!
t
t t ++
Newton 向前插值公式为
30()0.389420.09001N x th t +=+-
11
0.00480(1)0.00083(1)(2)26
t t t t t ?--?-- 将00.578910.4 1.78910.1
x x t h --===代入上式得
3sin 0.57891(0.57891)
0.389420.09001 1.7891N ≈=+?
110.00480 1.78910.7891260.00083 1.78910.78910.21090.54711
-???+????=
由式(2-26)，误差为
4
6
(0.1)
(0.57891) 1.78910.7891
4!
(0.2109)(1.2109)sin 210
R ξ
-=???-?-
Newton 向后插值公式为
33()0.644220.079580.005630.00083(1)(1)(2)
23!N x th t
t t t t t +=+-+-++
将3
1.2109x x t h
-==-代入上式得
1
sin 0.578910.644220.07958 1.21092!
0.00563( 1.2109)(0.2109)
1
0.00083( 1.2109)3!
(0.2109)0.78910.54711
≈-?-
??-?--??-?-?=
查表可得
sin 0.578910.5471118=。 如果取012
0.4,0.5,0.6x x x ===，用二阶Newton 向后插值
公式，则得
321
()0.564640.085210.00480(1)
2
N x th t t t +=+-?+
将2
0.2109x x t h
-==-代入上式，得 sin 0.578910.564640.08521(0.2109)
1
0.00480(0.2109)0.78912
0.54707
≈+?--??-?= 其误差为
3
4
(0.1)(0.57891)0.21090.7891 1.7891
3!
cos 0.510
R ξ-=????≤?
例
2.5
给
出
()c o f x x =在k x kh =，
0,1,,6k = ,0.1h =处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算(0.048)f 及(0.566)f 的近似值并估计误差。
解 构造差分表 2.5。用牛顿向前插值公式(2-25)计算(0.048)f 的近似
值，取0.048x =，0.1h =，0
0.48x t h
-==，用表2.5上
半部差分，得
表 2.5
()k f x
f ?()f ?
22()f f ?? 33()f f ?? 44()f f ?? 55()f f ??
1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534
-0.00500 -0.01493 -0.02473 -0.03428 -0.04348 -0.05224
-0.00993 -0.00980 -0.00955 -0.00920 -0.00876
0.00013 0.00025 0.00035 0.00044
0.00012 0.00010 0.00009
-0.00002 -0.00001
4(0.048) 1.000000.48(0.00500)
(0.48)(0.481)1(0.00993)23!
(0.48)(0.481)(0.482)(0.00013)1
(0.48)(0.481)(0.482)4!
(0.483)(0.00012)0.99885cos0.048
N =+?--+-+
--+---=≈
误差估计由(2-26)可得
5
5
47(0.048)(1)(2)(3)(4)5!
1.584510,
M R t t t t t h -≤----≤? 其中5sin 0.60.565.M =≤
用牛顿向后插值公式(4.12) 计算(0.56f 。
6
60.566,0.6,0.34x x x x t h
-====-，用差分表2.5中
下半部差分，得
(4(0.566)0.825340.340.052240.660.008760.00044
0.000091.66 2.6626240.84405
N =--+????-??+?+?? ? ????
??=
于是
cos0.5660.84405≈，误差估计由(2-28)得
5
547
(0.566)(1)(2)(3)(4)5!
1.706410,
M R t t t t t h
-≤++++≤? 其中5
0.565.M =
2 曲线拟合的最小二乘法
例1 给定一组数据如下：
i 1 2 3 4 i x 2 4 6 8 i y
1.1
2.8
4.9
7.2
求
,x y 的函数关系。
解 先作草图。如图2所示，这些点的分布接近一条直线，因此可设想
y 为x
的一次函数。设
10y a x a =+ (2.1)
从图2不难看出，无论01,a a 取何值，直线都不可能同时过全部数据点。怎样
选取01,a a ，才能使直线(2.1)“最好”地反映数据点的基本趋势？首先要建立
好的标准。
假设0
1,a a 已经确定，*10 (1,2,3,4)i i y a x a i =+=为由近似函数求得的近似值，它与观测值i y 之差
*10 (1,2,3,4)i i i i i y y y a x a i δ=-=--=
称为残差。显然，残差的大小可作为衡量近似函数好坏的标准。常用的准则有以下三种：
(1)使残差的绝对值之和最小，即min i
i δ∑； (2)使残差的最大绝对值最小，即min max i
i δ；
(3)使残差的平方和最小，即
2min i i
δ
∑。
准则(1)的提出很自然，也合理，但实际适用不方便。按准则(2)来求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近。按准则(3)确定参数，求得近似函数的方法称为最佳平方逼近，也称曲线拟合（或数据拟合）的最小二乘法。它的计算比较简便，是实践中常用的一种函数逼近方法。
例2 求数据表
i
1 2 3 4 i x -1 -0.75 -0.5 -0.25 i y
-0.2209 0.3295 0.8826 1.4329
5 6 7 8 9 0 0.25 0.5 0.75 1 2.0003
2.5645
3.1334
3.7601
4.2836
的最小二乘二次拟合多项式。
2 4 6
8 6 4
图2
解 二次拟合多项式为22012()P x a a x a x =++，将数据代入正则方程
组(2.3)，可得
0210290 3.7518.17240 3.7508.48423.750 2.76567.6173
a a a a a ++=??
++=??++=?
其解为01
22.0034, 2.2625,0.0378a a a ===，所以此数据组
的最小二乘二次拟合多项式为
22() 2.0034 2.26250.0378P x x x =++
例 3 设一发射源的发射强度公式形如0t I I e α-=，现测得I 与t 的数据
如下表
i t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 i I 3.16
2.38
1.75
1.34
1.00
0.74
0.56
解 先求数据表
i t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln i I
1.1506
0.8671
0.5596
0.2927
0.0000
-0.3011
-0.5798
的最小拟合直线。将此表数据代入正则方程组(2.3)，可得
01017 3.5 1.9891
3.5 2.030.1858
a a a a +=??
+=? 其解为011.73, 2.89a a ==-。所以
0015.64, 2.89a I e a α===-=
发射强度公式近似为 2.895.64t
I e -=。
例4 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，要求浓度
()f t 与时间t 的拟合曲线()y y t =。
时间t （分）
1 2 3 4 5 6 7 8
浓度3
10
y -?
4.0
5.4 8.0 3.8 9.22 9.5 9.7 9.8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.0
10.2
10.32
10.42
10.5
10.55
10.58
10.60
解 将数据描在坐标纸上，如图3。我们看到开始时浓度增加较快，后来增长逐渐减弱，当
t →∞时y 趣
于某个常数，故有一水平渐近线。另外，当0t =时，反应还未开始，浓
度应为零。根据这些特点，可设想拟
合曲线
()y y t =是双曲型
10t y a a t
=+
它与给定数据的规律大致符合。上述模型是非线性参数问题，可以通过变量的变换
11,z x y t
==
变为线性参数的数学模型
01z a a x =+拟合数据(,),
1,2,
i i x z i = 。其中,i i x z 分别由原始数据,i i t y 根据变换公式计算出来。我们建立相应的法方程组
3
01
3
0116 3.38073 1.8372103.38073 1.584350.5288610
a a a a ?+=???+=??? 解此方程组得
0180.6621,161.6822a a ==
从而得拟合曲线
1()80.6621161.6822
t
y y t t ==+
求数据组的最小二乘拟合函数的步骤： （1）由给定数据确定近似函数的表达式，一般可通过描点观察或经验估计得到；
310y -?
2 4 6 8 10 12 14 16
10 8 6 4 2
图3
t
（2）按最小二乘原则确定表达式的参数，即由正则方程组，求解得参数。值得注意的是：一些简单的非线性最小二乘问题通常先作变换将问题转化为线性最小二乘问题求解。
评论：（1）先作变量代换对新变量求最小二乘拟合函数，然后再还原所得近似函数与直接对原变量按最小二乘原则求得拟合函数是不同的。但由于实际计算时，人们主要关心的是问题的简化，就把两者较小的差别忽略了。
（2）以上我们是通过描点观察或经验估计来确定拟合函数的形式，更一般的拟合函数的选择问题，请参考冯康所编著的《数值分析》。 （3）当
3n ≥时，最小二乘法的正则方程组一般是病态的，n 愈大病态情形
更严重。为了避免求解病态方程组，我们必须引入点集上的正交函数族。
对离散和连续两种情形，通过引进内积与范数的概念，将它们统一起来。在离散情形，我们定义函数
()f x 与()g x 的内积为
1
(,)()()m j k i j i k i i x x ??ω??==∑
在连续情形，则定义函数
()f x 与()g x 的内积为
(,)()()()b a
f g x f x g x dx ω=?
容易验证以上两种均定义了内积空间。
例5 利用正交函数族求例2所给数据表的最小二乘二次拟合多项式。 解 按式(2.9)和(2.10)计算，得
8
8
000100008
8
3
2111200
118
8
2
1110
0022(,)
()1, 10,
(,)(,)
(), 0,(,)(,) 3.75
10.41667,(,)9()0.41667.
i
i i i i i i i
i i x x x x x x x x x x x ???α?????α????β???===================-∑∑∑∑∑∑
由式(2.7)，得
8
8
*0
000
008
8
*21
10
118
2*022
822220
(,)18.17231 2.01914(,)9(,)8.4842 2.2625(,) 3.75(0.41667)
(,)0.0378
(,)
(0.41667)i
i i i i
i
i i i i i i
i y a y y a y x x y x
y a x ?????????==============-==
=-∑∑∑∑∑∑
得最小二乘二次拟合多项式为
***
0011
2222
()()()()
2.01914 2.26250.0378(0.41667)2.0034 2.26250.0378x a x a x a x x x x x ????=++=++-=++ 性质1（正交性）
110, ()()2,21n m n m
P x P x dx n m n -≠??
=?=?+??
例8 设2
()1f x x =+，求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.
解这是
()1
x ρ≡的情形.取
01()1,(),x x x ??==
span{1,}x Φ=，于是
1
1
00010012
1101
2
000
1
2
110
1
(,)11,(,),
21(,),
3(,)1 1.147,
(,)10.609
dx xdx x dx d f x dx d f x x dx ????????========+≈==+≈????
?
得方程组
01112 1.14712130.609a a ??????= ? ? ?????
?? 解出010.934,0.426a a ==。故
*
1()0.9340.426S x x =+
平方误差
()()2
*12
1
2
100(),()(),()(1)0.4260.9340.0026
f x f x S x f x x dx d d δ
=-=+--=?
最大误差
*01
201
max ()()
max 10.9340.4260.066
x x f x S x x x δ
∞
≤≤≤≤=-=+--=
令
2()10.9340.426h x x x =+--，则
2
()0.4261x h x x '=
-+
由
()0
h x '=，知
20.426
10.426
x =-，结合
(0)0.066,(1)0.054h h =≈，可得0.066δ
∞
=。
用
{1,,,}n
x x 做基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，Hilbert
系数矩阵(5.9)是高度病态的，因此直接求解法方程是相当困难的，通常是采用正交多项式做基。
例9 求
()x f x e =在[1,1]-上的三次最佳平方逼近多形式
解 先计算((),()) (0,1,2,3)k
f x P x k = 1
011
1
111
((),()) 2.3504
((),())20.7358x
x f x P x e dx e e f x P x xe dx e ---==-≈==≈??
1
22131((),())0.143122x
f x P x x e dx -??=-≈ ????
12
3153((),())0.0201322x f x P x x x e dx -??=-≈ ??
??
于是
*
00*11*22((),())2 1.1752,3((),())2 1.1036,5((),())20.3578,a f x P x a f x P x a f x P x ====== *337((),())20.07046a f x P x ==
因此
*23
3
()0.99630.99790.53670.1761S x x x x
=+++
均方误差
*
33223
1
2*2
1
0()()
20.0084
21
x x k k x e S x e dx a k δ-==-=-≤+∑?
最大误差
*33
()
()
0.0112x
x e S x δ∞
∞
=-≤
高斯例9 确定求积公式
1
00110
()()()x f x dx A f x A f x ≈+?
的系数01,A A 及节点01,x x ，使它具有最高代数精度。
解 具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点为关于权函数
()x x ρ=的正交多项式零点0x 及1x ，设01()()()x x x x x ω=-- 2x bx c =++，由正交性知()x ω与1及x 带权正交，即得
1
1
()0,()0x x dx xx x dx ωω==?
?
于是得
2220753b c ++=及222
0975b c ++= 由此解得105
,921
b c =-=，即
2
105()921
x x x ω=-+
令()0x ω=，则得010.289949,0.821162x x ==
由于两个节点的高斯型求积公式具有3次代数精确度，故公式对
()1,f x x =，精确成立，即
当()1f x =时
1
010
23
A A xdx +==?
当
()f x x =时
1
001102
5
A x A x x xdx +=?=?
由此解出010.277556,0.389111A A ==
下面讨论高斯求积公式的余项。设在节点
(0,1,,)k x k n = 上()f x 的21n +次Hermite 插值多项式为()H x ，即
2121()(),()(),0,1,,n k k n k k H x f x H x f x k n ++''===
由Hermite 余项公式
(222
1()()()()(22)!
n n f f x H x x n ξω++-=+
有
[]00(222
1()()()()
()()()
()()()()()()()()()()(22)!
n
b
k k a
k n
b
k k a
k b
b
a
a
b
a
n b
n a R f x f x dx A f x x f x dx A H x x f x dx x H x dx x f x H x dx
f x x dx n ρρρρρξρω==++=-=-=-=-=+∑?∑?????
例10 用4点(3n =)的高斯-勒让德求积公式计算
220
cos I x xdx π
=?
解 先将区间[0,
]2
π
化为[1,1]-，由（6.13）式有
1
32
1()(1)cos (1)44
I t t dt π
π
-=++?
根据表4-6中3n =的节点及系数值可求得
3
0()0.467402k k k I A f x =≈≈∑ (准确值0.467401I = )
例11 用5点(5)n
=的高斯-切比雪夫求积公式计算积分
121
1x
e I dx x
-=-?
解 这里()x f x e =，(2)()n x
f x e =，当5n =时由公式(6.14)可得
21
5
cos
10
1
3.9774635
k k I e ππ
-==
=∑
由余项(6.16)式可估计误差
99
[] 4.610210!
R f e π
-≤
≤??
例12 用高斯-拉盖尔求积公式计算
sin x e xdx +∞
-?
的近似值。 解 取1n
=，查表得
01010.58578644, 3.41421356.
0.85355339,0.14644661
x x A A ====，
故
00110
sin sin sin 0.43246x e xdx A x A x +∞
-≈+=?
若取2n =，可得0sin 0.49603x e xdx +∞
-≈?；
若取5n
=，可得0
sin 0.50005x e xdx +∞-≈?。
而准确值0
sin 0.5x e xdx +∞
-=?
，它表明取5n =的求积公式已相当精
确。
区间为(,)-∞+∞，权函数
2
()x x e
ρ-=的正交多项式为埃尔米特多项式
2
2
()(1),0,1,,n
n x x n n d H x e e n dx
-=-=
对应的高斯型求积公式
2
()()n
x k k k e f x dx A f x +∞
--∞
=≈∑?
称为高斯-埃尔米特求积公式。节点k x (0,1,,)k n = 为1n +次埃尔米
特多项式的零点，求积系数为
1
2
12(1)!
[()]n k n
k A n H x π
++=+'
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3． 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2． 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3． 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4． 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5． 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： ? 9 1dx x n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。 五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 六、（10分）方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时 迭代收斂。 七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的 代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分} 证明： A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量. 第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、 复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n数值分析题库
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