概述
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域 北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点 矩形的性质
直角三角形斜边上的中线的性质与判定
矩形中的折叠问题
矩形的性质与判定
与矩形对角线相关的拓展问题
教学目标 1、掌握矩形的性质与判定.
2、学会应用矩形的性质解决最值问题
教学重点 能熟练掌握矩形的性质与判定.
教学难点 矩形综合题.
【教学建议】 矩形这种图形在生活中也比较常见，并且在七八年级甚至小学阶段均有涉及，在教学过程中，结合现实
生活中的矩形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对矩形有一个更深刻的认识.. 【知识导图】
1
教学过程
一、导入
【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养. 在小学阶段的学习中我们已经学习过了矩形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习矩形，矩
形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置.
二、知识讲解
考点 1 矩形的定义和性质
有三个角是直角的四边形是矩形； ①矩形的对角线相等且互相平分； ②矩形的四个角都是直角；
考点 2 矩形的判定
①有一个角是 90°的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都是直角的四边形； ④对角线相等且互相平分的四边形.
三 、例题精析 类型一 矩形的定义与性质
例题 1
如图，矩形 ABCD 的周长为 18cm，M 是 CD 的中点，且 AM⊥BM，则矩形 ABCD 的两邻边长分别是（ ）
2
A.3cm 和 6cm B.6cm 和 12cm C.4cm 和 5cm D.以上都不对 【解析】A 首先证得△ADM≌△BCM，可得出∠AMD=∠BMC，由此可求出两角的度数，即可得出 DM、MC 的长，由此得解． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D=∠C=90°，AD=BC， 又∵M 是 CD 的中点 ∴MD=MC， ∴△ADM≌△BCM， ∴∠AMD=∠BMC ∵AM⊥BM， ∴∠AMD=∠BMC=45°， ∴AD=DM，BC=CM， ∵矩形 ABCD 的周长为 18cm， ∴AD=3cm，DC=6cm， 故选 A. 【总结与反思】此题运用了矩形的定义与性质：四个角都是 90°.
类型二 直角三角形斜边上的中线的性质与判定
例题 1
如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上 运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】
A． 2 1
B． 5
C． 145 5
D． 5 2
3
【解析】A 如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE= 1 AB=1. 2
DE= AD2 AE2 12 12 2 ，
∴OD 的最大值为： 2 1.故选 A.
【总结与反思】 此题是对直角三角形斜边上的中线的性质的灵活运用.
类型三 矩形中的折叠问题
例题 1
如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′上．若 AB=6，BC=9，则 BF 的长为（ ）
Ａ、４ Ｂ、３ 2
Ｃ、４.５ Ｄ、５
【解析】A
4
由折叠可得，BC’= 3，BF+FC’= 9， 根据勾股定理可得：在△C’BF 中， BF=4 故选 A． 【总结与反思】根据折叠的性质和勾股定理即可解出此题.
类型四：矩形的性质与判定 例题 1
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F，点 O 既是 AC 的中点，又是 EF 的中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若 OA＝ 1 BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由． 2
【解析】解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°.
∵点 O 是 EF 的中点，∴OE=OF.
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）.
（2）四边形 ABCD 是矩形.理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD.
又∵OA=OC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵OA= 1 BD，OA= 1 AC，∴BD=AC.∴平行四边形 ABCD 是矩形.
2
2
（1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点 O 是 EF 的中点可得 OE=OF，再加上对顶角
∠DOF=∠BOE，可利用 ASA 证明△BOE≌△DOF.
（2）根据△BOE≌△DOF 可得 DO=BO，再加上条件 AO=CO 可得四边形 ABCD 是平行四边形，再证明 DB=AC，可
根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论.
【总结与反思】根据矩形的性质即可解出此题.
5
类型五：与矩形对角线相关的拓展问题 例题 1
如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，则 PE+FF 的值是（ ）
A、 12 B、2 5
A 【解析】B
C、 5 2
D、 13 5
连接 OP，过 D 作 DM⊥AC 于 M，求出 AC 长，根据三角形的面积公式求出 CM 的值，根据 S△AOD S△APO
S△DPO 代入求出 PE+PF=DM 即可．
连接 OP，过 D 作 DM⊥AC 于 M，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO=OC= 1 AC，OD=OB= 1 BD，AC=BD，∠ADC=90°
2
2
∴OA=OD，
由勾股定理得： AC 32 42 5
S △ ADC
1 34 2
1 5 DM 2
，
DM 12 ， 5
S△AOD S△APO S△DPO ，
即 PE PF DM 12 ， 5
故选 B．
6
【总结与反思】根据矩形对角线相等且互相平分即可解出此题.
四 、课堂运用
基础
1.若矩形的对角线长为 4cm，一条边长为 2cm，则此矩形的面积为（ ）
A．8 3 cm2
B．4 3 cm2
C．2 3 cm2
D．8cm2
2.如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B′处，
又将△CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB′与 AD 的交点 C′处．则 BC：AB 的值为
.
答案与解析 1.【答案】B 【解析】先根据矩形的性质及勾股定理求出另一条边长，再根据矩形的面积公式即可求得结果.
由题意得，另一条边长 42 22 2 3 ，‘ 则此矩形的面积为 2 3 2 4 3cm2 ，
故选 B.
2.【答案】 3
【解析】
连接 CC′， ∵将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B′处，又将△CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB′与 AD 的交点 C′处, ∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′，
7
∵∠DC′C=∠ECC′，∴∠EC′C=∠DC′C. ∴CC′是∠EC'D 的平分线. ∵∠CB′C′=∠D=90°，C′C=C′C，∴△CB′C′≌△CDC′（AAS）.∴CB′=CD. 又∵AB′=AB，∴B′是对角线 AC 中点，即 AC=2AB.∴∠ACB=30°.
∴tan∠ACB=tan30°= AB 1 .∴BC：AB= 3 . BC 3
巩固
1.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD，AE 交 BC 于 E，则∠BOE 的度数是_______________.
2.如图，∠MON=90°，边长为 2 的等边三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为
3.矩形 ABCD 中，AD=5，AB=3，将矩形 ABCD 沿某直线折叠，使点 A 的对应点 A′落在线段 BC 上，再打开得 到折痕 EF．
（1）当 A′与 B 重合时（如图 1），EF=
；当折痕 EF 过点 D 时（如图 2），求线段 EF 的长；
（2）①观察图 3 和图 4，设 BA′=x，①当 x 的取值范围是
时，四边形 AEA′F 是菱形；②在①
的条件下，利用图 4 证明四边形 AEA′F 是菱形．
答案与解析
8
1.【答案】75° 【解析】根据矩形的对角线相等，结合∠AOB=60°，得△AOB 为等边三角形，则∠AB0=60°，BO=AB，从而 得到∠EB0=30°，再根据 AE 平分∠BAD，结合矩形的性质可得△ABE 为等腰直角三角形，则 AB=BE=BO，即可 求得结果. ∵矩形 ABCD， ∴AO=BO，∠ABE=∠BAD=90°， ∵∠A0B=60°， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AB0=60°，BO=AB， ∴∠EB0=∠ABE-∠AB0=30°， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∵∠ABE=90°， ∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴AB=BE， ∵BO=AB， ∴BO=BE， ∵∠EB0=30°， ∴∠BOE=75°
2.【答案】1+ 【解析】如图，取 AB 的中点 D．连接 CD．根据三角形的边角关系得到 OC 小于等于 OD+DC，只有当 O、D 及 C 共线时，OC 取得最大值，最大值为 OD+CD，由等边三角形的边长为 2，根据 D 为 AB 中点，得到 BD 为 1， 根据三线合一得到 CD 垂直于 AB，在直角三角形 BCD 中，根据勾股定理求出 CD 的长，在直角三角形 AOB 中， OD 为斜边 AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OD 等于 AB 的一半，由 AB 的长 求出 OD 的长，进而求出 DC+OD，即为 OC 的最大值．
解答：
解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD．
∵△ABC 是等边三角形，且边长是 2，∴BC=AB=1，
∵点 D 是 AB 边中点，
9
∴BD= 1 AB=1， 2
∴CD= BC2 BD2 22 12 3 ，即 CD= 3 ；
连接 OD，OC，有 OC≤OD+DC， 当 O、D、C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OD+CD，
由（1）得，CD= 3 ，
又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点，
∴OD= 1 AB =1， 2
∴OD+CD=1+ 3 ，即 OC 的最大值为 1+ 3 ．
3.【答案】（1）当 A′与 B 重合时，EF=5，当折痕 EF 过点 D 时 EF= 5 10 ，（2）① 3 x 5 ，②证明见 3
解析 【解析】解：(1)5. 由折叠（轴对称）性质知 A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=900.
在 Rt△A′DC 中，DC=AB=2，∴ AC 52 32 4 .
∴A′B=BC－A′C=5－4=1.
∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=900， ∴∠BEA′=∠FA′C.
又 ∵∠B=∠C=900，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF.∴ AE AB ，即 AE 1
AF FC
53
∴ AE 5 . 3
在 Rt△A′EF 中， EF AE2 AD2 25 25 5 10 .
9
3
（2）① 3 x 5 . ②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F.
又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ .∴∠AEF=∠AFE .
∴AE=AF.∴AE=A′E=AF=A′F.
∴四边形 AEA′F 是菱形.
(1)根据折叠和矩形的性质，当 A′与 B 重合时（如图 1），EF= AD=5.根据折叠和矩形的性质，以及勾股定 理求出 A′B、A′F 和 FC 的长，由 Rt△EBA′∽Rt△A′CF 求得 AE 5 ，在 Rt△A′EF 中，由勾股定理求
3 得 EF 的长.
10
（2）①由图 3 和图 4 可得，当 3 x 5 时，四边形 AEA′F 是菱形. ②由折叠和矩形的性质，可得 AE=A′E，AF=A′F.由平行和等腰三角形的性质可得 AE=AF.从而 AE=A′E=AF=A′ F.根据菱形的判定得四边形 AEA′F 是菱形.
拔高 1、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 OABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别 A (2 3, 0) 、B (2 3, 2) ，
∠CAO=30°． （1）求对角线 AC 所在的直线的函数表达式； （2）把矩形 OABC 以 AC 所在的直线为对称轴翻折，点 O 落在平面上的点 D 处，求点 D 的坐标； （3）在平面内是否存在点 P，使得以 A、O、D、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
答案与解析 1.【答案】见解析
【解析】（1）由题意得，OA=2 3 ，∠CAO=30°，
则 OC=OAtan∠CAO=2， 即点 C 的坐标为（0，2），
设直线
AC
的解析式为：y=kx+b，将点
A
及点
C
的坐标代入得：
2
3k b 0
b 2
11
解得：
k
3 3
b 2
故直线 AC 的函数表达式为：y= 3 x+2． 3
（2）过点 D 作 DE⊥OA 于点 E，
∵∠CAO=30°， ∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2 3 ， ∴DE=3，AE= 3 ， ∴OE= 3 ， 故点 D 的坐标为（- 3 ，3）．
（3）①当 AD 为平行四边形的一边时，点 P 的位置有两个，分别为 P1、P2， 当点 P 位于 P1 位置时，DP1=AO，
此时可得点 P 的坐标为（ 3 ，3）；
当点 P 位于 P2 位置时， ∵OD=AD，△AOD 是等边三角形，
12
∴点 P2 与点 D 关于 x 轴对称，
此时可得点 P 的坐标为（- 3 ，-3）；
②当 AD 为平行四年行的对角线时，点 P 的位置有一个，在 P3 的位置， 此时 DP3=AO，
故可得点 P 的坐标为（-3 3 ，3）． 综上可得存在点 P 的坐标，使得以 A、O、D、P 为顶点的四边形为平行四边形，点 P 的坐标为（ 3 ，3）或 （- 3 ，-3）或（-3 3 ，3）．
五 、课堂小结
本节的重要内容：矩形的性质与判定. ①四个角都是直角的四边形是矩形； ②在已知是平行四边形的情况下，要证明是矩形，只要证明一个角是 90°或对角线长度相等； ③对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
六 、课后作业
基础
1、矩形两条对角线的夹角是 60°，若矩形较短的边长为 4cm，则对角线长
．
2、如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F，且
AF=BD，连接 BF.
（1）求证：D 是 BC 的中点 （2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论.
13
答案与解析 1.【答案】8cm 【解析】先根据题意画出图形，根据矩形的性质结合两条对角线的夹角是 60°，可得△AOB 为等边三角形， 即可求得结果．
∵四边形 ABCD 为矩形， ∴OA=OB， ∵两对角线的夹角为 60°， ∴△AOB 为等边三角形， ∴OA=OB=AB=4cm， ∴AC=BD=8cm， 即对角线的长度为 8cm 2.【答案】见解析 【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF 和△DEC 全 等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据一个角是 直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是 AB=AC． （1）∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEC， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD，
14
∴D 是 BC 的中点； （2）四边形 AFBD 是矩形． ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形 AFBD 是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ∴∠ADB=90°， ∴?AFBD 是矩形．
巩固
1.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为（0，0）、（20，0）、（20，10）．在 线段 AC、AB 上各有一动点 M、N，则当 BM+MN 为最小值时，点 M 的坐标是________．
2.已知如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A（20，0）， C（0，8），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当△ODP 是腰长为 10 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 ________．
3.（1)操作发现 如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE．且点 G 在矩形 ABCD 内部.小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为 GF=DF，你同意吗？请说明理由.
15
(2)问题解决保持(1)中的条件不变，若 DF=4 , CD=9 ，求 AD 的值. AB
(3)类比探究保持(1)中的条件不变，若 DC=2DF，求 AD 的值. AB
答案与解析 1.【答案】（12，6） 【解析】 思路：先确定点 M、N 的位置：作点 B 关于 AC 的对称点 B′，过点 B′作 B′N⊥OB 于 N，B′N 交 AC 于 M．连接 OB′，交 DC 于 P，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出 PA=PC，那么在 Rt△ADP 中， 运用勾股定理求出 PA 的长，然后由 cos∠B′ON=cos∠OPD，求出 ON 的长，由 tan∠MON=tan∠OCD，求出 MN 的长，即可得出点 M 的坐标．
解答：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 B′，过点 B′作 B′N⊥OB 于 N，B′N 交 AC 于 M，则 B′N=B′
M+MN=BM+MN，B′N 的长就是 BM+MN 的最小值．
连接 OB′，交 DC 于 P．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ DC ∥
AB，
∴∠
BAC=∠PCA，
∵点 B 关
于 AC 的对称点是 B′，
∴∠
PAC=∠BAC，
∴∠
PAC=∠PCA，
∴ PA=PC ．
令 PA=x，则 PC=x，PD=20-x．
在 Rt△ADP 中，∵PA2=PD2+AD2，
∴x2=（20-x）2+102，
∴x=12.5．
∵cos∠B′ON=cos∠OPD，
∴ON：OB′=DP：OP，
16
∴ON：20=7.5：12.5，
∴ON=12．
∵tan∠MON=tan∠OCD，
∴MN：ON=OD：CD，
∴MN：12=10：20，
∴MN=6．
∴点 M 的坐标是（12，6）．
故答案为（12，6）．
2.【答案】（6，8）或（4，8），（16,8） 【解析】分为三种情况①OP=OD=10，②DP=OD=10，③OP=DP=10，根据勾股定理求出 CP，OM 即可．
解答：∵A（20，0），C（0，8），四边形 OABC 是矩形，D 是 OA 的中点，
∴OC=8，OD=10，∠OCB=∠COD=90°，
①OP=OD=10，
由勾股定理
得：CP= 102 -82 =6，
是（6，8）； 过 P 作 PM⊥OA 于 M，
即 P 的坐标 ②DP=OD=10，
则 PM=OC=8，由勾股定理得：DM= 102 -82 =6，
OM=10-6=4，
即 P 的坐标是（4，8）或（16,8）；
③OP=DP=10，此时 DM=OD=6，即 OD≠10，即此时不存在；
故答案为：（6，8）或（4，8）．
3.【答案】（1）同意.证明 Rt△EGF ≌ Rt△EDF 得 GF = DF.
（2） 4 3
（3） AD = 2 AB
【解析】（1）同意；理由如下：将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，所以 BGE 90o；矩形 ABCD 中，E 是
AD 的中点，所以 EG=ED，D 90o；又因为 EF 是 RtVEGF, RtVEDF 的公共边，且是斜边，所以 Rt△EGF
≌ Rt△EDF，所以 GF = DF.
（2）矩形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，C 90o ；将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，△ABE △GBE，AB=BG=9； 由（1）知证明 Rt△EGF ≌ Rt△EDF 得 GF = DF，GF=4；所以 BF=BG+GE=9+4=13；CF=CD-DF=9-4=5；在 Rt△ BFC 中由勾股定理得 BC= BF2 CF2 132 52 12，所以 AD = 12 4
AB 9 3
17
（3）若 DC=2DF，所以 F 是 DC 的中点，DF=CF
矩形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC， C 90o ；将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，△ABE △GBE，AB=BG ，BG=AB=2DF；由（1）知证明 Rt△EGF ≌ Rt△EDF 得 GF = DF；所以 BF=BG+GE=3DF；；在 Rt△BFC 中由勾
股定理得 BC= BF 2 CF 2 3DF 2 DF 2 2 2DF ，所以 AD = 2 2DF 2
AB 2DF
拔高
1.课本中，把长与宽之比为 2 的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题： （1）将一张标准纸 ABCD（AB＜BC）对开，如图 1 所示，所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸．请给予证明． （2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过 A 点的直线折叠，使 B 点落在 AD 边上点 F 处，折痕为 AE（如图 2 甲）； 第二步：沿过 D 点的直线折叠，使 C 点落在 AD 边上点 N 处，折痕为 DG（如图 2 乙），此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处； 第三步：沿直线 DM 折叠（如图 2 丙），此时点 G 恰好与 N 点重合．
请你探究：矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由． （3）不难发现：将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC= 2 ，问第 5 次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第 2012 次对开后所得标准 纸的周长．
2.【问题情境】如图 1，在△ABC 中，AB=AC，点 P 为边 BC 上的任一点，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分
18
别为 D、E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F．求证：PD+PE=CF．
【结论运用】如图 2，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C′处，点 P 为折痕 EF 上 的任一点，过点 P 作 PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为 G、H，若 AD=8，CF=3，求 PG+PH 的值； 【迁移拓展】图 3 是一个航模的截面示意图．在四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂 足分别为 D、C，且 AD·CE=DE·BC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N 分别为 AE、BE 的中点，连接 DM、CN，求△DEM 与△CEN 的周长之和．
答案与解析 1.【答案】见解析
【解析】（1）证明见解析（2）是标准纸，理由见解析（3） 2+ 2 ， 1+ 2
4
21005
【解析】解：（1）证明： ∵矩形 ABCD 是标准纸，∴ BC = 2 . AB
由对开的含义知：AF=
1 2
BC，∴
AB AF
=
AB 1 BC
=2
AB BC
2
1 2
2.
2
∴矩形纸片 ABEF 也是标准纸.
（2）是标准纸，理由如下：
设 AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM.
∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE= 1 ∠BAD=45°. 2
∴△ADG 是等腰直角三角形.
∴在 Rt△ADG 中，AD= AG2 +DG2 2a ，
∴ AD = 2a = 2 ，∴矩形纸片 ABCD 是一张标准纸. AB a
（3）对开次数：
第一次，周长为：
21+
1 2
2
=2+
2，
19
第二次，周长为：
2
1 2
+
1 2
2
=1+
2，
第三次，周长为：
2
1 2
+
1 4
2
=
2+ 2
2
，
第四次，周长为：
2
1 4
+
1 4
2
=
1+ 2
2
，
第五次，周长为：
2
1 4
+
1 8
2
=
2+ 4
2
，
第六次，周长为：
2
1 8
+
1 8
2
=
1+ 4
2
，
…
∴第 5 次对开后所得标准纸的周长是： 2+ 2 ， 4
第 2012 次对开后所得标准纸的周长为： 1+ 2 . 21005
（1）根据 AB = AB 2 ，得出矩形纸片 ABEF 也是标准纸. AF 1 BC 2
（2）利用已知得出△ADG 是等腰直角三角形，得出 AD = 2a = 2 ，即可得出答案. AB a
（3）分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得
2+ 2
n 1
n为奇数
第
n
次对开后所得标准纸的周长=
2
2
1+ n 22
2
1
n为偶数
2.【答案】 【问题情境】见解析；【结论运用】 PG PH 4；【迁移拓展】 8+4 3 ．
【解析】思路：【问题情境】连接 AP，利用 SABC SABP SACP 可证得 CF=PD+PE；
【结论运用】过点 E 作 EQ⊥BC，垂足为 Q，根据条件求出 BF，BE 的长，从而证明 BE=BF 后，直接利用【问
题情境】中的结论可得出 PG PH EQ ，而 EQ=CD=4；
【迁移拓展】延长 AD、BC 交于点 F，作 BH⊥AF，垂足为 H，证明△ADE∽△BCE 得出∠A=∠CBE 从而 FA=FB，
然后应用问题情境中的结论可得： ED EC BH ，设 DH=x，根据勾股定理求出 x 的值，然后可求图中各
条线段的长，最后将△DEM 与△CEN 的周长之和转化为 DE+EC+AB 的值即可． 解：【问题情境】连接 AP，
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